Gunter Ochs 9. Juni 05 Probeklausur zu Mathematik für Informatik Lösungshinweise ohne Garantie auf Fehlefreiheit. Sei fx x x. a Bestimmen Sie den Grenzwert lim x fx. Da an der Stelle x Zähler Nenner Null werden, kann der Grenzwert mit der Regel von l'hospital berechnet werden: x lim x fx lim / x x lim x/ x. c Berechnen Sie die Ableitungsfunktion f x. Mit der Quotientenregel: f x x/ x x / x x/ x/ x / + x d Bestimmen Sie die Gleichung für die Tangente an der Stelle x 0 4. 64 Mit f4 4 7 f 4 T x 7 + 9 x 4.. Sei fx, y x + e y + x y 64 4+ 4 + 4 9 9 a Berechnen Sie den Gradienten die HesseMatrix von f. grad f fx f y x e y + x + e y f xy f yy x x + x erhält man die Tangente fxx f H f xy e y x e y x e y x + e y b Prüfen Sie, ob im Punkt x ; y ; ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder ein Sattelpunkt vorliegt. Eingesetzt in grad f H f erhält man grad f ; + 0 0 H f ; det H f ; > 0 f xx ; > 0. Es folgt, dass ein lokales Minimum vorliegt. Der zugehörige Funktionswert ist f ; + e 0. c Geben Sie die Gleichung für die Tangentialebene im Punkt x 0 ; y 0 0; an. Mit f0; + 0 grad f0; erhält man die Tangentialebene T x; y f0; + grad x 0 f0; y 0 + +. Gemessen werden zwei Gröÿen x ± 0, y ± 0,. x y mit + x y. Bestimmen Sie mittels einer linearen Approximation des Fehlers, mit welcher Genauigkeit sich daraus folgende Gröÿen berechnen lassen: a z x y Mit z x x y z y x gilt für den Fehler z in linearer Näherung die Abschätzung y z y ; y 4 x + 4 y 4 0, + 4 0,,. z z x ; x + b w x x + y x x+y w y x x+y x x+y somit Hier ist mit der Produktregel w x x + y + w w x ; x + w y ; y 5 x + y, 5 0, + 0, 0, 45.
4. Gegeben seien folgende Dierentialgleichungen. Ordnung für die Funktion xt: i x tx x t, ii x t e x a Handelt es es um lineare Dierentialgleichungen? Wenn ja, homogen oder inhomogen? b Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Dierentialgleichungen i ii. c Finden Sie jeweils eine spezielle Lösung mit x. i x tx x t x + t t x 0 ist linear homogen mit dem nichtkonstanten Koezienten pt t t, der die Stammfunktion P t ln t t hat. Die allgemeine Lösung ist damit nach der Lösungsformel xt c e P t c e t ln t c t e t mit c R beliebig. Eine Lösung mit x erfüllt die Gleichung x c e c e e, also ist xt te e t t e t Lösung des betrachteten Anfangswertproblems. ii x t e x ist nichtlinear, da der Faktor e x vorkommt. Die allgemeine Lösung erhält man durch Trennung der Variablen: dx dt t e e x dx t dt e x dx e x t dt x 4 t4 + c xt ln 4 t4 + c Eine Lösung mit x erfüllt x ln 4 + c e e 4 + c c e 4, 468, also xt ln 4 t4 + e 4 ln 4 t4 + e. 5. a Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Dierentialgleichung x + 4x + 8x 0. Die charakteristische Gleichung λ + 4λ + 8 0 λ ± 8 ± 4 hat keine reelle Lösung, somit liegt Fall der Lösungsformel vor. Mit r 4 ω +4 erhält man die allgemeine Lösung xt e t c cos t + c sin t mit c, c R beliebig. b Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Dierentialgleichung x + 4x + 8x t. Die allgemeine Lösung setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung x h t der homogenen DGL aus a einer speziellen Lösung, die sich, da die rechte Seite gt t eine lineare Funktion ist, mit dem Ähnlichkeitsansatz x s t αt + β x st α x st 0 bestimmen lässt: Eingesetzt erhält man 0 + 4α + 8αt + 8β t, durch Koezientenvergleich folgt 8α α 8 4α + 8β 0 β α 6. Somit ist x s t 8 t 6 die allgemeine Lösung xt x h t + x s t e t c cos t + c sin t + 8 t 6 mit c, c R beliebig. 6. Ein Lügendetektor erkennt mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 %, wenn jemand eine Frage falsch beantwortet. Gleichzeitig zeigt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 0 % auch dann eine Lüge an, wenn die Frage wahrheitsgemäÿ beantwortet wird. Eine befragte Person lügt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0 %. a Beschreiben Sie die angegebenen Wahrscheinlichkeiten als ggf. bedingte Wahrscheinlichkeiten mit den Ereignissen A : Lügendektor zeigt Lüge an B : Befragte Person lügt. Es ist P A B 0, 6 Wahrscheinlichkeit, dass der Detektor eine Lüge erkennt, P A B 0, Wahrscheinlichkeit, dass der Detektor fälschlich eine Lüge anzeigt P B 0, Wahrscheinlichkeit einer Lüge. b Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt der Lügendetektor eine Lüge an? Mit der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit P B P B 0, 7: P A P B P A B + P B P A B 0, 0, 6 + 0, 7 0, 0, 8 + 0, 07 0, 5 5%. c Angenommen, der Lügendetektor zeigt eine Lüge an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat die befragte Person gelogen? P BP A B Mit der Formel von Bayes: P B A P A 0,0,6 0,5 8 5 7%.
7. Bei einem Glücksspiel wird ein fairer Würfel geworfen. Bei einer 5 beträgt der Gewinn 5 Euro, bei einer beträgt er Euro bei einer gewürfelten,, 4 oder 6 gibt es keinen Gewinn. a Geben Sie die Verteilung des Gewinns X an. d. h. die Wahrscheinlichkeiten P X k für alle in Frage kommenden Werte k P X 5 P X 6, P X 0 4 6 für X 5, also Gewinn 5 Euro, X gibt es jeweils eine von 6 Möglichkeiten, für X 0 gibt es 4 mögliche Augenzahlen. b Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz Standardabweichung des Gewinns X. EX 0 P X 0 + P X + 5 P X 5 0 + 6 + 5 6. Die Zufallsvariable X nimmt die Werte 0, 5 an mit EX 0 P X 0 + P X + 5 P X 5 0 P X 0 + P X + 5 P X 5 0 + 6 + 5 6 6 6. Es folgt V X EX EX 6 6 0 6 0, σ X 0 V X, 8 c Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz Standardabweichung des Gesamtgewinns bei 0 Spielen. Ist Y 0 k X k, wobei X,..., X 0 unabhängig sind die Verteilung von X haben, so gilt EY 0 EX 0, V Y 0 V X 00 σ Y V Y 0. d Bestimmen Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass bei 0maligem Würfeln der Gewinn mindestens 5 Euro beträgt. Es ist P Y 5 P Y < 5 0, 695 0, 085 0, 85 %, wobei P Y < 5 Φ 5 EY σ Y Φ 5 0 0 Φ0, 5 0, 695 69, 5 % der Wert Φ0, 5 der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung entstammt einer Tabelle. Bemerkung: Ein besseres Ergebnis erhält man mit einer Stetigkeitskorrektur, die in der Aufgabe nicht zwingend gefordert war. Dann ist die obere Grenze 5 durch 4,5 zu ersetzten Korrektur um 0,5 nach unten, die Y nur ganzzahlige Werte annehmen kann die Ungleichung < betrachtet wird. Damit ist dann P Y < 5 Φ Φ0, 45 0, 676 P Y 5 0, 676 0, 64, 64 %. 4,5 0 0 8. Von Karten eines Kartenspiels haben 8 die Farbe Karo. a Es werden 6 Karten ohne Zurücklegen gezogen. Wie kann die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass sich unter den gezogenen Karten mindestens KaroKarten benden? Angabe der Formel genügt Die Zahl X der gezogenen KaroKarten ist hypergeometrisch verteilt mit N Gesamtzahl der Karten, K 8 Zahl der KaroKarten n 6 gezogene Karten. Somit ist 8 4 0 6 P X P X < P X 0 P X 6 8 4 5 Bemerkung Durch Betrachtung der Gegenwahrscheinlichkeit P X < vereinfacht sich die Rechnung. Alternativ kann die Lösung natürlich auch als P X P X + P X +... + P X 6 bestimmt werden. Der in der Aufgabe nicht gefragte Zahlenwert ist P X 47, 6 %. 6
Für die Aufgabenteile b bis d werden die Karten mit Zurücklegen gezogen, d. h. bei jedem Zug beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine KaroKarte 4. Die Zufallsvariable X n bezeichne die Anzahl der gezogenen KaroKarten bei n Zügen. b Welcher Verteilung genügt X n? Hier kann von einer Binomialverteilung mit den Parametern n p 4 ausgegangen werden, da bei jedem Zug die Wahrscheinlichkeit für eine KaroKarte die gleiche 4 ist. c Berechnen Sie P X, also die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 4 gezogenen Karten genau KaroKarten benden. Nach Formel mit n 4, k p 4 : P X n k p k p n k 4 4 4 6 6 9 6 7 8, %. d Geben Sie Erwartungswert Varianz von X 6, also der Zahl der gezogenen KaroKarten bei 6 Zügen, an. EX 6 n p 6 4 4 V X 6 n p p 6 4 4. 9. Gegeben sei die Stichprobe vom Umfang n 0 mit den Werten,, 6, 8,, 5,,, 6 5. a Geben Sie eine geordnete Urliste an.,,,,, 5, 5, 6, 6, 8 b Bestimmen Sie das arithmetische Mittel, den Median die Quartile der Stichprobe. x 0 + + + + + 5 + 5 + 6 + 6 + 8 4. Mit n 0 n 5 n + 6 ist der Median x x 5 + x 6 + 5 4. Weiter ergibt 0, 5 n, 5 aufgeret 0, 75 n 7, 5 aufgeret 8, womit man das untere Quartil x 0,5 x das obere Quartil x 0,75 x 8 6 erhält. c Geben Sie die pquantile x p für p p 0, 8 an. n 0, ergibt aufgeret 4. Somit ist x / x 4. 0, 8 n 8 ist ganzzahlig. Daher ist x 0,8 x 8 + x 9 6 + 6 6. d Berechnen Sie die empirische Varianz, die Standardabweichung, die Spannweite den Interquartilsabstand. s 0 9 k x k x 9 + + + + + + + + + 4 9 50 5, 6 s s 50 9 5, 6. Der Interquartilsabstand ist d IQ x 0,75 x 0,5 6 4 die Spannweite x 0 x 8 7. e Welche der in b, c d berechneten Gröÿen ändern sich nicht, wenn stattdessen die Stichprobe,, 6, 0,, 5,,, 6 5 unterscheidet sich nur beim vierten Wert x 4 0 von der ursprünglichen Stichprobe betrachtet wird? Die Lagekennwerte, die nicht von gröÿten Stichprobenwert abhängen, bleiben unverändert. Dies sind der Median x, die Quantile Quartile x 0,5, x 0,75, x / x 0,8 der Interquartilsabstand d IQ. Die übrigen Gröÿen ändern sich: x, s s hängen von allen Stichprobenwerten ab, in die Spannweite geht der gröÿte Wert direkt ein.
0. Bei einem normalverteilten Merkmal mit unbekannter Varianz ergibt eine Stichprobe vom Umfang n ein arithmetisches Mittel x eine empirische Varianz s 99. a Testen Sie die Alternative H : µ 0 gegen die Nullhypothese H 0 : µ 0 zum Signikanzniveau α %. Da die Varianz unbekannt ist, wird ein zweiseitiger ttest durchgeführt mit der Teststatistik 99 0 9, welche mit dem α Quantil t n x µ s 0 t 0; 0,995, 69 aus Tabelle der tverteilung mit n 0 Freiheitsgraden verglichen wird. Wegen t < t 0; 0,995, 69 wird H 0 beibehalten H abgelehnt. b Würde sich das Ergebnis in a ändern, wenn die Varianz σ 99 als bekannt vorausgesetzt würde? Dann kann ein GauÿTest durchgeführt werden. Die Teststatistik 99 0 9 ist mit dem α Quantil z0,995, 5758 z n x µ σ 0 der Standardnormalverteilung zu vergleichen. Wegen z > z 0,995, 5758 wird jetzt H 0 verworfen H angenommen. c Geben Sie ein einseitiges Kondenzintervall der Form, b] zum Vertrauensniveau α 90 % für den Erwartungswert µ an. s Nach Formel ist b x + n t 99 0; 0,9 +, 7 +, 7 5, 6 bei unbekannter Varianz ist das αquantil der tverteilung mit n 0 Freiheitsgraden zu verwenden. Das gesuchte Kondenzintervall hat also die Form ; 5, ]. d Testen Sie zum Niveau α 0% die Alternative H : σ 60 gegen die Nullhypothese H 0 : σ 60. Hier wird ein χ Test mit der Teststatistik y n s 0 99 σ0 60 7, 5. Beim geforderten zweiseitigen Test muss y mit zwei Quantilen der χ Verteilung mit n 0 Freiheitsgraden verglichen werden: mit p α 0, 05 p α 0, 95, welche einer Tabelle entnommen werden. Man erhält χ 0; 0,05, 94 < y 7, 5 < χ 0; 0,95 8,. Da y zwischen beiden Quantilen liegt damit im grünen Bereich ist, wird H 0 beibehalten H abgelehnt.