GRUPPEN UND RUBIK S WÜRFEL

GRUPPEN UND RUBIK S WÜRFEL HERBERT KOCH 1. Vorlesung: Notation und Gruppen 1.1. Notation. Der Würfel hat sechs Seiten: Front (vorne), back (hinten), left (links), right (rechts), up (oben) und down (unten). Wir bezeichnen eine Drehung im Uhrzeigersinn mit F (Front), B (Back), L (Left), R (Right), U (Up), D (Down) und eine gegen den Uhrzeigersinn mit f, b, l, r, u, d. Den Ursprungszustand nennen wir Normalposition. In jeder Position können wir den Würfel so drehen, dass der mittlere Würfel oben die Farbe weiß und rechts die Farbe rot hat. In der Regel halten wir den Würfel so. Einen Zustand, den man durch Verdrehen aus der Normalposition erreichen kann, nennen wir Bewegung. Jede Bewegung kann durch die Drehungen F, B, L, R, U, D erreicht werden. Wir schreiben die Bewegung erst F dann B als F B. Der Würfel hat 8 Ecken, die wir z.b. mit F RU bezeichnen, 12 Kanten die z.b. mit UR und 6 Seitenmitten, die z.b. mit U bezeichnet werden. In der Regel lassen wir die Seitenmitten in der normalen Position. Jede Bewegung permutiert die Kanten und Ecken. Außerdem werden die Kanten, Ecken und Mitten verdreht. Gelegentlich ist es hilfreich, Drehungen der mittleren Ebenen zuzulassen. Wir definieren (bis auf eine Drehung des ganzen Würfels) d = U = Ud, l = R = Rl, u = D = Du, r = L = Lr, f = B = Bf, b = F = F b. Bei diesen Drehungen ändert sich die Position der mittleren Quadrate. Z.B ist das mittlere Quadrat R nach d vorne. 1.2. Inverse, Einheit und Gruppen. Wir nennen eine Bewegung invers zu einer anderen, wenn wir den Ausgangszustand erreichen, indem wir die eine nach der anderen ausführen. Wir bezeichnen eine inverse Bewegung z.b. mit R 1. Diese Bewegung ist r. Die neutrale Bewegung wird auch mit 1 bezeichnet. Wir schreiben F 3 für F F F. Was ist die inverse Bewegung zu F UB? Und zu flf? F R unterscheidet sich von RF - im Gegensatz zur Multiplikation von Zahlen. Definition 1. Wir nennen eine derartige Struktur Gruppe: Es gibt eine Menge von Elementen A, B, C,... der Gruppe wie Zahlen oder Bewegungen, die verknüpft werden können und dann wieder ein Objekt ergeben. Diese Verknüpfung ist assoziativ: (AB)C = A(BC). 1

Es gibt ein neutrales Element 1, das nichts tut - also 1A = A1 = A für jedes Element. Es gibt zu jedem Element A ein inverses Element A 1 mit A 1 A = AA 1 = 1. Man rechnet nach: Es gibt genau ein 1 Element, und zu A genau ein Inverses Element. 1 = 11 = 1, 1 = BA = AB = B A = AB = B = B(AB ) = BAB = B. Beispiele: (1) Spiegelungen an Geraden durch den Ursprung und Drehung in der Ebene um den Ursprung. Das Einselement ist die Drehung um Null Grad. Die Hintereinanderausführung zweier Drehungen ist wieder eine Drehung. Die Hintereinanderausführung zweier Spiegelungen ist eine Drehung. Die Hintereinanderausführung einer Spiegelung und einer Drehung ist eine Spiegelung. Das Quadrat einer Spiegelung ist die Eins, d.h. die Spiegelung ist zu sich selbst invers. Die Drehung in die umgekehrte Richtung ist zur Drehung invers. (2) Eine Gerade definiert eine Spiegelungsgruppe {1, A}, wobei A die Spiegelung an der Geraden ist. (3) Zwei Geraden mit rechtem Winkel definieren eine Spiegelungsgruppe mit 4 Elementen. Multiplikationstafel. (4) Zwei Geraden mit einem Winkel von 120 Grad definieren eine Spiegelungsgruppe mit 6 Elementen. (5) Die Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks. (6) Die Stundenzahlen auf der Uhr definieren eine (additive) Gruppe mit 12 Elementen. Genauso kann man eine Uhr mit 7 Einheiten betrachten. Wir bezeichnen diese Gruppe mit Z/7Z. Von besonderem Interesse ist Z/360Z. Satz 2. Zu einer Bewegung A existiert eine kleinste Zahl M, die Ordnung von M, mit A M = 1. Beweis. Betrachte die Bewegungen 1, A, A 2, A 3.... Es gibt nur endlich viele Bewegungen. Also existiert ein kleinstes M mit A M = A j für eine kleinere Potenz oder A M = 1. Es existiert ein inverses Element A 1. Falls j > 0 ist so folgt A 1 A M = A M 1 = A j 1 im Widerspruch zur Wahl von M. Also ist A M = 1. Was ist die Ordnung von F, F 2, F 3, F Rf, Ru, Rf, RF und RfrF? Eine Untergruppe des Würfels ist eine Anzahl von Bewegungen, die wieder eine Gruppe bilden. Beispiele für Untergruppen: {1, F, F 2, F 3 } {1, F 2 } Die Untergruppe, die nur Würfel der oberen Ebene bewegt. Findest Du Beispiele? Die Untergruppe der Bewegungen, die durch die Drehungen F und R erreicht werden können. Wir sagen, diese Untergruppe wird durch F und R erzeugt. Die Untergruppe, die nur die Würfel der oberen Ebene bewegt und deren Position fest läßt. Findest Du Elemente? Die von F F und RR erzeugte Gruppe. Finde die Zahl der Elemente und die Multiplikationstafel. 2

2. Vorlesung: Permutationen Wir wollen die Wirkungen der Bewegungen beschreiben. 2.1. Definition. Eine Permutation ist eine Umordnung von Objekten. Wir schreiben sie in der Form ( ) 1234, 3412 wobei die Wahl der Symbole unwichtig ist. Alternativ verwenden wir eine Zykelschreibweise: Die Permutation oben wird a b c a = (abc). (13)(24) Was ist die Zykelstruktur von RRUU? Die Permutationen von n Elementen bilden eine Gruppe, die von (12), (23), (n 1, n) erzeugt wird. Diese Gruppe heißt symmetrische Gruppe oder Permutationsgruppe. (1) Was ist das neutrale Element? (2) Was ist das inverse Element? (3) Warum gilt das Assoziativgesetz? (4) Gilt das Kommutativgesetz? 2.2. Gerade und ungerade Permutationen. Wir können jede Permutation als Hintereinanderausführung von Vertauschungen von jeweils zwei Elementen schreiben (Warum?). Diese Darstellung ist allerdings nicht eindeutig bestimmt (Warum?). Wenn eine Darstellung durch eine gerade Anzahl von Vertauschungen erreicht werden kann, nennen wir sie gerade, und sonst ungerade. Warum können wir eine gerade Permutation nicht durch eine ungerade Anzahl von Vertauschungen erreichen? Wir betrachten das Produkt (für n = 4) (2 1)(3 1)(3 2)(4 1)(4 2)(4 3) Wenn wir zwei aufeinanderfolgende Zahlen vertauschen, so ändert sich das Vorzeichen - genau wie im Vortrag von Frau Stroppel. Der Fehlbetrag gibt die Anzahl der Vorzeichenwechsel an. Es gilt (13) = (12)(23)(12), (14) = (13)(34)(13) = (12)(23)(12)(34)(12)(23)(12), (15) = (14)(45)(14)... Jede Vertauschung zweier Zahlen läßt sich als ungerade Anzahl von Permutationen zweier aufeinanderfolgender Zahlen schreiben, ändert also das Vorzeichen. Damit ist das Vorzeichen bei einer geraden Permutation positiv und bei einer ungeraden Permutation negativ. Beispiele: Ungerade: (12), (13), (1234)=(14)(123) Gerade: (123)= (13)(23) 3

Die Hintereinanderausführung zweier gerader Permutationen oder zweier ungerader Permutationen ist gerade, die einer geraden und einer ungeraden Permutation ist ungerade. Der Begriff gerade hängt nicht von der Anordnung der Zahlen ab und ist genauso für Permutationen von Autos oder Würfel definiert. Jede Bewegung des Würfels führt zu einer geraden Permutation der Würfel. Betrachte (1) r(u Lu)R(U lu) Diese Bewegung erzeugt die Permutation (2) (LF URBURF U) und läßt alle Kanten fest. Genauso vertauscht UF RUruf die Kanten LU und F U, läßt die unteren Ebenen fest und permutiert die oberen Ecken. Satz 3. Zu einer Permutation der kleinen Ecken- und Kantenwürfel existiert genau dann eine Bewegung, die zu dieser Permutation führt, falls die Permutation gerade ist und Ecken auf Ecken abbildet. Beweis. Wir halten den Würfel mit dem weißen mittleren Quadrat nach oben und dem roten mittleren Quadrat nach rechts. Die Permutation bringt einen Kantenwürfel nach rechts unten. Das können wir durch eine Reihe von Bewegungen UF RUruf nach Drehung des Würfels erreichen. Nach und nach erhalten wir die gegebene Permutation der Kantenwürfel. Nun wenden wir uns den Ecken zu und drehen mit r(u Lu)R(U lu) einen Eckwürfel nach dem anderen in die gewünschte Position. Das geht, bis wir zu den letzten zwei Eckwürfeln kommen. Diese sind genau dann in der richtigen Position, wenn die Permutation gerade war. Wir werden später sehen, wie wir ähnliche Bewegungen finden können. Ist der Würfel verdreht, so kann er durch Drehungen des ganzen Würfels und die obigen Bewegungen bis auf die Orientierungen der kleinen Würfel sortiert werden. 3. Vorlesung: Die Parität Im Normalzustand versehen wir jede Kante mit einem Pfeil, der nach oben, rechts oder vorne zeigt. Jede Bewegung R, L, U, D, F und B führt zu genau zwei Pfeile die nach unten, links oder hinten zeigen. Also ist eine gerade Anzahl von Kanten verdreht, wenn wir den Würfel aus der Ausgangsposition verdrehen. Wir sagen, die Kantenparität ist gerade, wenn eine gerade Anzahl von Kanten verdreht ist. Die Bewegung (Ru ) 4 dreht die Kanten UR, F R, BL und BF und läßt alles andere unverändert. Die Bewegung Ru hat die Ordnung 8. 4 ist die Hälfte und (Ru ) 4 hat die Ordnung 2. 4

Satz 4. Eine gerade Anzahl von Kanten sei gegeben. Dann existiert eine Beweung, die die Ecken und die Position der Kanten unverändert läßt, aber genau diese Kanten dreht. Beweis. Im ersten Schritt drehen wir zwei gegebene Würfel auf der oberen Seite. Zunächst bringen wir einen zu drehenden Würfel nach U R mit einer Drehung des ganzen Würfels. Wir wenden (Ru ) 4 an. Danach ist der eine Würfel gedreht - und zusätzlich drei in den unteren Ebenen. Durch eine Potenz von U bringen wir den zweiten zu drehenden Würfel nach UR und wiederholen (Ru ) 4. Nach einer weiteren Potenz von U erhalten wir die gewünschte Situation. Mit diesem Schritt reduzieren wir die Zahl der zu drehenden Würfel in der unteren Ebene auf maximal einen. Falls ein zu drehender Kantenwürfel unten übrigbleibt, so wiederholen wir die Konstruktion mit der rechten Seite. Genauso erreichen wir, dass auf jeder Seitenfläche höchstens die obere Kante noch zu drehen ist. Dann müssen wir noch null, zwei, oder vier Kantenwürfel auf der oberen Fläche drehen, was wir mit Hilfe des ersten Schrittes tun. In der Ausgangsposition markieren wir die oben bzw. unten liegende Seite der Eckenwürfel. Im verdrehten Würfel kann die Markierung oben oder unten sein, oder sie kann verdreht sein. Wir stellen die Drehung fest, indem wir von der Ecke in den Mittelpunkt sehen, und die Ecke um 120 oder 240 Grad im Uhrzeigersinn zu dieser Normalposition verdreht ist. Eine einfache Drehung der oberen oder der unteren Seite um 90 Grad verdreht Eckwürfel nicht. Eine Drehung einer anderen Seite um 90 Grad verdreht die Eckwürfel insgesamt um ein Vielfaches von 360 Grad. Bei der nächsten Drehung erhalten wir wieder eine Drehung um ein Vielfaches von 360 Grad. Satz 5. Gegeben sei für jeden Eckwürfel ein Winkel 0, 120 oder 240 Grad, deren Summe ein Vielfaches von 360 Grad ist. Dann gibt es eine Bewegung, die alle Würfel am Platz läßt, die die Kanten nicht bewegt, und die die Ecken um den angegebenen Winkel dreht. Beweis. Wir betrachten (RfrF ) 2 Die Bewegung (RfrF ) hat die Ordnung 6. (RfrF ) 2 verändert auf der oberen Ebene nur den Würfel F RU um 120 Grad im Uhrzeigersinn. Jetzt seien auf der oberen Ebene vier Winkel von 0, 120 und 240 Grad gegeben, die sich zu 360 Grad aufsummieren. Mit der obigen Bewegung drehen wir den ersten Würfel um 90 Grad, bringen mit U bzw. einer Potenz den nächsten zu drehenden Würfel nach F RU und drehen diesen. Nach der dritten Drehung um 120 Grad sind die unteren Ebenen wieder sortiert, und eine Drehung der oberen Ebene bringt alle Würfel in die Ursprungsposition. Mit diesem Verfahren bringen wir BDL, BDR und DF R in die gewünschte Orientierung. Dann drehen wir den Würfel und bringen DF L und F LU, und dann den Rest in die gewünschte Orientierung. Drehung der Mittelpunkte. Betrachte (3) F blrudfdurlbfu 5

Es dreht U um 90 Grad in Uhrzeigerrichtung und F um 90 Grad gegen die Uhrzeigerrichtung. Jede Drehung um ein Vielfaches von 360 Grad kann erreicht werden. Warum sind das alle Bewegungen? 4. Vorlesung: Konjugation und Kommutator In dieser Vorlesung lernen wir mathematische Strukturen kennen, mittels derer man eigene Makros zum Lösen des Würfels finden kann. Ist P eine Bewegung, die die vordere und hintere obere Kante verdreht, so können wir auch mit dieser Information andere Kanten vertauschen: Mit F F BBP bbff verdrehen wir die vordere und hintere untere Kante. Hier ist bbf f Inverse zu F F BB und eine derartige Struktur AP A 1 nennen wir eine Konjugation von P mittels A. Ein Beispiel ist in dem Makro (1). Bei Rechnen mit Zahlen ist diese Struktur unwichtig: apa 1 = aa 1 p = p. Der Kommutator flf [A, B] = ABA 1 B 1 ist eine ähnliche Struktur. Wir nennen eine Gruppe kommutativ, wenn der Kommutator immer 1 ergibt. Bei dem Würfel ist das anders, was wir am Beispiel RfrF sehen. Was ist die Ordnung von RfrF? Auch rulurulu = [r, ULu] ist ein Kommutator, wobei ULu L mit U konjugiert ist. Wir nutzen diese Ideen, um zwei Kanten auf der oberen Ebene zu drehen. Zuerst suchen wir ein Makro P, das UF dreht und den Rest der oberen Ebene nicht verändert. Dann dreht P UP 1 u zwei Kanten und lä st den Rest des Würfels unverändert. Genauso können wir drei Kanten zyklisch vertauschen, zwei Ecken in die entgegengesetzte Richtung drehen, oder drei Ecken zyklisch vertauschen. Der Superflip (der alle Kanten vertauscht) kommutiert mit allen Bewegungen. Er ist (neben der 1) die einzige Bewegung mit dieser Eigenschaft. Der Supertwist dreht jede Ecke am Platz um 120 Grad bzw 240 Grad. Können wir jede Ecke am Ort um 120 Grad drehen? 6

5. Zyklische Gruppe, Erzeuger, Makros Eine zyklische Gruppe besteht aus 1, P, P 2,... P n = 1 Beispiele: {1, F F }. Wir sagen, die Gruppe wird durch P erzeugt. Falls in einer Gruppe Elemente existieren, sodass jedes Element durch Verknüpfen dieser Elemente erzeugt werden kann, so sagen wir, die Gruppe wird durch diese Elemente erzeugt. Der Würfel wird z.b. durch L, R, F, B, U, D erzeugt, aber auch durch eine Anzahl von Makros, die wir oben gesehen haben. 6. Links Der Text der Vorlesung verwendet den Draft von Tom Davis www.geometer.org/rubik/group.pdf. Unter www.geometer.org/rubik/ gibt es ein Programm zum Würfel. Andere Referenzen sind http://akbar.marlboro.edu/ mahoney/courses/spr00/rubik.html http://www.mathematische-basteleien.de/zauberwuerfel.htm 7