Lehrsuhl für Saisik und emp. irschafsforschung, Prof. Regina T. Riphahn, Ph.D. Muserlösung zur Baseler Abschlussklausur im S 04/05 Aufgabe : Als wissenschaflicher Miarbeier eines Schlafinsius versuchen Sie schon sei längerem, geeignee Deerminanen zu finden, die menschliches Schlafverhalen erklären können. Nach jahrelanger orschung und vielen schlaflosen Nächen sind Sie auf folgende Gleichung gekommen: SLEEP = β + β TOTRK + β EDUC + β AGE + β MARR 4 5 Um Ihre Gleichung schäzen zu können, nuzen Sie amerikanische Querschnisdaen aus dem Jahre 990 mi 5 Beobachungen. Die Variablen sind wie folg definier: SLEEP i Schlaf pro oche einer Person i, gemessen in Minuen TOTRK i Toale Arbeiszei pro oche der Person i, gemessen in Minuen EDUC i Ausbildung der Person i, gemessen in Anzahl der Schuljahre AGE i Aler der Person i, gemessen in Jahren MARR i Dummy-Variable mi Ausprägung, wenn Person i verheirae, sons 0 MALE i Dummy-Variable mi Ausprägung, wenn Person i männlich, sons 0 Gesamhaf führen Sie drei Schäzungen durch. Die erse (Tabelle ) beinhale sämliche 5 Beobachungen. Da Sie der Überzeugung sind, dass das Schlafverhalen zwischen Männern und rauen jedoch grundsäzlich anders is, schäzen Sie erneu nur für Männer (Tabelle ) und danach nur für rauen (Tabelle ).
Lehrsuhl für Saisik und emp. irschafsforschung, Prof. Regina T. Riphahn, Ph.D. Muserlösung zur Baseler Abschlussklausur im S 04/05 a) Inerpreieren Sie den Regressionsparameer b 5 der Tabelle saisisch und inhallich. saisisch: Koeffizien = 64.96; Saisik =.55058; p-er = 0.058; auf 5%-Niveau insignifikan; auf 0% signifikan inhallich: Verheiraee Personen schlafen im Durchschni 65 Minuen oder gu eine Sunde länger in der oche. b) Tesen Sie H : β β + β =0 für Tabelle auf dem 5%-Signifikanzniveau zweiseiig. Sellen Sie 0 4 die Alernaivhypohese auf. Sie wissen, dass Cov( b, b ) = 0, Cov( b, b ) = 0 und Cov( b, b ) = 0. 4 4 Geben Sie die korreke Anzahl der reiheisgrade an, verwenden Sie jedoch D =. Anzahl reiheisgrade: 5 5 = 57. ir esen: H : β β + β = 0 gegen H : β β + β 0 mi: 0 4 4 Es gil: ( b b b ) + = 0.5 0 +.5 =.5 4 und se b b + b = var ˆ b b + b, 4 4 = ( b b + b 4) ( β β + β 4) se( b b + b ) 4 wobei var ˆ ( b b + b ) = var ˆ 4 ( b) + var ˆ ( b) + var ˆ ( b4) cov ( b, b ) + cov ( b, b 4) cov ( b, b 4) = 0.04 + 5.84 +.56 0 + 0 0 = 54.44.5 0 = = 0.8 <.96 = 0.05; 54.44 Die Nullhypohese kann nich verworfen werden. Also: c) Die berechnee Durbin-ason Saisik ha den er.97767 (Tabelle ). Tesen Sie H : ρ 0 0 auf dem 5% Signifikanzniveau und erläuern Sie Ihre Vorgehensweise deaillier. Erläuern Sie die Alernaivhypohese in oren. Alernaivhypohese: Es gib negaive Auokorrelaion. H : ρ 0 0 ( d ) H : ρ < 0 d >
Lehrsuhl für Saisik und emp. irschafsforschung, Prof. Regina T. Riphahn, Ph.D. Muserlösung zur Baseler Abschlussklausur im S 04/05 Da d * =.97767 kleiner is als 4 = 4.78 =.7 und 4 = 4.8 =.9, kann die Nullhypohese (keine negaive Auokorrelaion) nich verworfen werden. d Lc d) Sie vermuen, dass Sie enscheidende Variablen ausgelassen haben. Deshalb schäzen Sie Ihr Modell erneu, diesmal zusäzlich mi den prognosizieren eren der abhängigen Variablen in zweier und drier Poenz. arum kann das nüzlich sein? Die nun berechnee ehlerquadrasumme is 8577447. elchen Schluss können Sie daraus ziehen? Erläuern Sie Ihr Vorgehen (verwenden Sie Tabelle ). RESET-Tes enn wir das Modell signifikan verbessern können, indem wir ein Polynom der vorhergesagen ere berücksichigen, dann muss das ursprüngliche Modell inadäqua gewesen sein. Solle es nämlich ausgelassene Variablen geben, die mi den berücksichigen Variablen mindesens geringfügig korrelier sind, so würde das über die Polynome der vorhergesagen ere zum Teil aufgefangen und abgebilde. ( SSE SSE )/ J ( 87454 8577447 )/ R U = = = 5.0 >.00 SSE / T K 8577447 / 5 7 U e) Sie glauben weier, dass der Einfluss der Arbeissunden auf das Schlafbedürfnis mi der Ausbildung des Arbeinehmers variier. ie können Sie diese Hypohese esen? Neue Schäzung mi Inerakion von TOTRK und EDUC Nullhypohese: Koeffizien = 0 Tesen anhand des -Tess f) ühren Sie einen Chow-Tes bei einem Signifikanzniveau von 5% durch, um zu prüfen, ob es signifikane Unerschiede in den Regressionsergebnissen für Männer und rauen gib. Zu welchem Ergebnis kommen Sie? ie sieh das unresringiere Modell formal aus? Das unresringiere Modell formal: SLEEP = β + β MALE + β TOTRK + β TOTRK MALE + β EDUC + β EDUC MALE 4 5 6 + β AGE + β AGE MALE + β MARR + β MARR MALE 7 8 9 0 SSE + SSE = 4605889 + 4064500 = 86709 = SSE m f U ( SSE SSE R U) SSE ( ) ( ) / 5 87454 86709 / 5 = = = 0.85 <. / 5 0 86709/ 5 U ir können also nich davon ausgehen, dass die Koeffizienen nich gleich Null sind. g) Sie befürchen, dass die Variable TOTRK mi dem Sörerm korrelier. as häe das für Auswirkungen? Sie führen einen Hausman Tes mi Hilfe von Insrumen-Variablen durch. Erklären Sie genau Ihre Vorgehensweise. elche Bedingungen müssen die Insrumene erfüllen? Auswirkungen: Problem der Inkonsisenz und keine Erwarungsreue. Auch bei seigender Sichprobengröße konvergier der geschäze Parameer nich zum wahren er. Bedingung für IV: Die Insrumen-Variablen sollen mi TOTRK korrelieren, jedoch nich mi dem Sörerm. Hausman: Man regressier die Variable, von der man den Zusammenhang mi e vermue auf geeignee Variablen. Die Residuen inegrier man als Vekor in die Ursprungsgleichung und ese den Koeffizienen miels -Tes auf Signifikanz, wobei H : γ = 0. 0 Residuen d Uc
Lehrsuhl für Saisik und emp. irschafsforschung, Prof. Regina T. Riphahn, Ph.D. Muserlösung zur Baseler Abschlussklausur im S 04/05 Aufgabe : In einem einfachen Regressionsmodell y = β + β x + e ha die Varianz des Sörerms folgende Srukur: σ = σ x a) elche Auswirkungen ha dies auf die Eigenschafen des Kleinsquadraeschäzers? Der KQ-Schäzer is nich mehr BLUE, seine Varianz is nich mehr die kleinse aller linearen unverzerren Schäzer (nich mehr effizien). Die berechneen Sandardfehler sind falsch, dami die Konfidenzinervalle und Tessaisiken für -Tess. b) ie würden Sie vorgehen, um eine Schäzung mi homoskedasischen ehlern zu erhalen? Erläuern Sie Ihre Vorgehensweise und zeigen Sie, dass der in Ihrem Verfahren resulierende Sörerm homoskedasisch is. GLS-Schäzung: Schri : Transformaion der Daen mi akor x y x e Schri : Schäzen von = β + β + 0 x x x x * * * y = β x + β x + e * 0 0 var ( e ) = var = var ( e ) e * x x = σ c) Gib es ein alernaives Verfahren, das Problem anzugehen? Erläuern Sie dieses verbal und formal. hie Korrekur: Bei der Berechnung der Sandardfehler der geschäzen Parameer wird die geschäze Varianz ersez durch e ˆ, so dass ( ) x x σ var b ( x x) eˆ = geschäz wird durch. x x x x ( ( ) ) ( ( ) ) d) Erläuern Sie deaillier, wie man am Beispiel der oben genannen Sörermvarianz formal auf Heeroskedasie esen kann. Goldfeld-Quand Tes: Schri : Aufeilen (Halbieren) der Sichprobe auf Beobachungen mi hohen und niedrigen eren für x. Schri : Separae Schäzungen ergeben zwei ere für ˆ Schri : Tessaisik GQ = σ, wobei der größere er im Zähler seh. σˆ GQ ~ T k+ T k+ ( ); σ, mi k = Anzahl der Seigungsparameer und T = Anzahl Beobachungen e) ie laue Ihr Schluss am 5 Prozen Signifikanzniveau für einen einseiigen Tes der Homoskedasie als Nullhypohese, wenn die Tessaisik für den Tes aus Aufgabe (d) den er,08 annimm und Sie mi insgesam 6 Beobachungen gearbeie haben? 4
Lehrsuhl für Saisik und emp. irschafsforschung, Prof. Regina T. Riphahn, Ph.D. Muserlösung zur Baseler Abschlussklausur im S 04/05 = ; Da GQ =.08 > wird H 0 verworfen; es lieg Heeroskedasie vor. 5% ; 6 ; 6.98 f) Sie erfahren nachräglich, dass die Varianz des Sörerms die orm σ bedeue dies für Ihre Schäzergebnisse aus Teilaufgabe (b)? = σ x annimm. as Die Schäzung aus Teilaufgabe (b) führ immer noch zu Heeroskedasie, selbs nach Korrekur; die Korrekur wurde mi dem falschen akor ausgeführ. var ( e ) σ = σ x = x * x Aufgabe : Zeigen Sie, dass folgender Zusammenhang zwischen der Tessaisik des -Tess () und dem Güemaß R gil: R /( k ) =, ( R ) /( T k) wobei k die Anzahl der geschäzen Seigungsparameer und T die Anzahl der Beobachungen angib. = R ( k ) / ( R )/( T k) da SSE R = und = ( )/ ( SSE / ( T k) SSE k ) R SSE is zu zeigen, dass = R SSE Einsezen ergib SSE = SSE SSE SSE SSE = SSE q.e.d. Aufgabe 4: ahr oder alsch? Tragen Sie für zureffende Aussagen den Buchsaben w (für wahr), für nich zureffende f (für falsch) ein. (ür jede richige Anwor gib es 0,75 Punke, für jede falsche Anwor werden 0,75 Punke abgezogen. Die Gesampunkzahl kann nich negaiv werden.) Die Chi-Quadra Vereilung is eine einparamerige Vereilung. Bei immer größer werdenden Sichproben endier die Varianz der mi dem Kleinsquadraeverfahren geschäzen Parameer gegen Null. Das Auslassen relevaner erklärender Variablen führ in manchen, aber nich in allen ällen zu verzerren Koeffizienenschäzungen für die berücksichigen erklärenden Variablen. enn die Sandardfehler von Koeffizienen unerschäz werden, sind die geschäzen Konfidenzinervalle der Koeffizienen zu brei. Bei gegebener Typ I ehlerwahrscheinlichkei ( α ) is die ahrscheinlichkei eines Typ II 5
Lehrsuhl für Saisik und emp. irschafsforschung, Prof. Regina T. Riphahn, Ph.D. Muserlösung zur Baseler Abschlussklausur im S 04/05 ehlers posiiv mi der Sichprobengröße korrelier. Regressier man eine logarihmiere abhängige Variable (ln(y)) auf eine logarihmiere erklärende Variable (ln(x)), so gib der Koeffizien an, um wie viel Prozen sich Y änder, wenn X um eine Einhei seig. Das Gauss-Markov Theorem gil nur für kleine Sichproben. Der Kleinsquadraeschäzer is umso unverzerrer, je größer die Sichprobe. Heeroskedasie führ zu ineffizienen, aber unverzerren Schäzergebnissen. Im Rahmen des "Two sage leas squares" Verfahren wird im zweien Schri die abhängige Variable auf den vorhergesagen er einer oder mehrerer erklärender Variablen regressier. Der Hausman Tes vergleich die Ergebnisse verschiedener Schäzverfahren. Um nichlineare Zusammenhänge zwischen erklärenden und abhängigen Variablen abzubilden, muss mehr als eine erklärende Variable im Modell sein. Der Jarque-Bera Tes prüf, ob eine Zufallsvariable sandardnormalvereil is. Der k-e Momen einer Zufallsvariable (Y) ensprich dem Erwarungswer von Y k. Der Durbin-ason Tes is nich geeigne, um auf Auokorrelaion zu esen, wenn der Sörerm von mehr als einem seiner verzögeren ere besimm wird. Es gib Siuaionen in denen der Durbin-ason Tes nich zu einem klaren Tesergebnis führ. Der Goldfeld-Quand Tes prüf genau wie der Chow Tes, ob zwei Teilsichproben mi dem gleichen Modell geschäz werden sollen. Solange im Modell eine Konsane berücksichig is, werden die Koeffizienen kaegorischer erklärender Variablen hinsichlich einer Referenzkaegorie inerpreier. Das angepasse R sink, wenn die gleiche Erklärungsgüe mi weniger geschäzen Parameern erziel werden kann. Bei Messfehlern in den erklärenden Variablen is der Kleinsquadraeschäzer inkonsisen. Aufgabe 5: Sind folgende Aussagen richig? Erläuern Sie sichworarig Ihre Auffassung (Bsp.: "Simm, weil..." bzw. "Simm nich, weil..."). Nur bei korreker Begründung wird die Anwor mi,5 Punken pro rage honorier. Simm Simm nich Simm nich Simm nich Durch die Berücksichigung exerner Informaionen im Rahmen eines resriced leas squares Schäzers kann sich die Qualiä der Schäzung verschlechern. Genau dann, wenn die exerne Informaion nich exak zuriff, is die Schäzung verzerr. Der Lagrange Muliplier Tes auf Auokorrelaion is nur bei Auokorrelaion erser Ordnung anwendbar. Der Voreil des Tess is eben die flexible Anwendbarkei bei Auokorrelaion höherer Ordnung. Es werden einfach zusäzlich verzögere Sörermwere in der Gleichung berücksichig: y = β + β x + ρe + ρe +... +υ Mone Carlo Simulaionen nuzen vorliegende Daensäze, um zu überprüfen ob vorgegebene Beziehungen in den Daen gelen. Bei Mone Carlo Simulaionen werden die (Zufalls-)Daen generier, die Daensäze liegen nich vor. Die Varianz des Vorhersagefehlers bei Vorhersagen auf Basis eines linearen Modells häng nich von der Kovarianz zwischen geschäzer Regressionskonsane und Seigungsparameer ab. 6
Lehrsuhl für Saisik und emp. irschafsforschung, Prof. Regina T. Riphahn, Ph.D. Muserlösung zur Baseler Abschlussklausur im S 04/05 Simm Simm nich Simm nich Simm Simm nich Simm nich In die Varianz dieses ehlers geh die Kovarianz mi ein, da beide Parameer in der or- var f = var β + β x + e b + b x mel vorkommen, z.b. ( ) 0 0 0 Der Hausman Tes kann in der orm eines -Tess durchgeführ werden. enn mehrere erklärende Variablen gleichzeiig auf Endogeniä geese werden und vorhergesage Residuen in der Schäzgleichung erscheinen. Darsellungen der Residuen erlauben Rückschlüsse auf mögliche Auokorrelaion, aber nich auf mögliche Heeroskedasie. Durch geeignee Darsellung der Residuen in Hinblick auf die relevanen erklärenden Variablen kann Heeroskedasie sichbar werden. Beim RESET Tes wird der vorhergesage er des Sörerms als zusäzlicher Regressor im Modell verwende. Es wird der vorhergesage er der abhängigen Variablen in. und höherer Poenz verwende. Die Auswirkungen von Auokorrelaion und Heeroskedasie auf den Kleinsquadraeschäzer sind gleich. In beiden ällen wird KQ ineffizien und die geschäzen Sandardfehler sind falsch. Die Nullhypohese ρ 0 wird im Durbin-ason Tes verworfen, wenn die Durbin-ason Tessaisik größer is als 4 - d L, wobei d L den uneren kriischen er des Durbin-ason Tess angib. Diese Nullhypohese wird verworfen, wenn die Tessaisik zwischen 0 und d L lieg. Der er der geschäzen Koeffizienen änder sich nich, wenn alle Variablen des Modells (abhängige und unabhängige) durch einen akor '000 dividier werden. Die Konsane wird dann ebenfalls um den akor 000 verkleiner. 7