Das Additionstheorem für die Weierstrass sche -Funktion und elliptische Integrale Peychyn Lai 10. Oktober 2007
1 Einleitung Wir haben im letzten Vortrag die Weierstrass sche -Funktion kennengelernt, die eine elliptische Funktion ist. Erinnerung. Sei Ω = Ω(w 1, w 2 ) ein Gitter. Die zugehörige -Funktion ist (z) = 1 z + (2n + 1)G 2 2(2n+1) z 2n, (1.1) n=1 wobei die Eisensteinreihen sind. G k = w k, k N, k 3 w Ω\{0} Die algebraische Differentialgleichung lautet (z) 2 = 4 (z) 3 g 2 (z) g 3, (1.2) wobei g 2 = 60G 4 = 60 g 3 = 140G 6 = 140 w Ω\{0} w Ω\{0} w 4 w 6. Hier werden wir in einem ersten Teil das Additionstheorem für diese -Funktion vorstellen und beweisen. In einem weiteren Teil werden wir elliptische Integrale behandeln. 2 Das Additionstheorem Theorem 2.1 (Das Additionstheorem der -Funktion). Sei Ω = Ω(w 1, w 2 ) ein Gitter, die Funktion (1.1) die zugehörige -Funktion, und seien z und w zwei komplexe Zahlen, so dass z + w, z w, z und w / Ω. Dann gilt (z + w) = 1 4 [ ] 2 (z) (w) (z) (w) (z) (w). (2.1) 1
Eine Beweisvariante. Wir halten w fest und betrachten die Differenz der beiden Seiten f(z) := (z + w) + (z) + (w) 1 [ ] (z) 2 (w) (2.2) 4 (z) (w) Man beweise durch Nachrechnen folgende Punkte: f ist elliptisch. f hat weder Pole noch Nullstellen im Periodenparallelogramm, i.e. f = const. =: c (siehe Satz 3.3 des ersten Vortrags) c = 0 = f = 0 Die Berechnungen dieser Beweisvariante sind etwas mühsam. Deshalb folgt hier Eine zweite Beweisvariante. Wir wählen zwei komplexe Zahlen z, w / Ω, so dass z w / Ω. Dann existiert eine Gerade, die durch die beiden verschiedenen Punkte ( (z), (z)) und ( (w), (w)) geht. Seien also a und b zwei komplexe Zahlen, so dass (z) = a (z) + b (w) = a (w) + b. (2.3) Die Funktion g(t) := (t) (a (t) + b) (2.4) hat einen Pol der Ordnung 3. Daraus folgt, dass sie drei Nullstellen hat, wobei die Multiplizitäten mitgerechnet werden. Zwei davon kennen wir schon, nämlich z und w. Wir können zwei Fälle unterscheiden: 1. Fall: z hat die Multiplizität 2 und w die Multiplizität 1 (oder umgekehrt). 2. Fall: Alle drei Nullstellen sind verschieden. Nehmen wir den ersten Fall an. Wenn z die Multiplizität 2 hat, dann ist 2z + w 0 (mod Ω), (2.5) denn es gilt (ohne Beweis) folgendes 2
Lemma. Sei Ω C ein Gitter, f eine elliptische Funktion, wobei a 1, a 2 a n ihre Nullund Polstellen mit den entsprechenden Multiplizitäten m 1, m 2 m n in einer Zelle sind. Dann gilt n m i a i 0 (mod Ω). i=1 Fixieren wir dieses z, so gibt es nur einen möglichen Wert für w. Gehen wir davon aus, dass wir nicht diesen Wert nehmen. Im zweiten Fall haben z und w beide die Multiplizität 1 und es gibt eine dritte Nullstelle r. Dann gilt, wieder mit obigem Lemma, r + z + w 0 (mod Ω) r (z + w) (mod Ω) (2.6) und wir haben (r) = a (r) + b. (2.7) Die Gleichung 4x 3 g 2 x g 3 (ax + b) 2 = 0 (2.8) hat somit Nullstellen in (z), (w) und (r), wobei jede dieser Nullstellen nur einmal vorkommt. Wir können die linke Seite folgendermassen schreiben: 4(x (z))(x (w))(x (r)) = 4(x 3 ( (z) + (w) + (r))x 2 + ( (z) (w) + (z) (r) + (w) (r))x + (z) (w) (r)). (2.9) Der Koeffizient 4( (z) + (w) + (r)) von x 2 vergleichen wir nun mit dem von x 2 aus Gleichung (2.8) und erhalten (z) + (w) + (r) = a2 4. (2.10) Durch Umformung der Gleichungen (2.3) folgt a = (z) (w) (z) (w). (2.11) Mit (2.6) haben wir (r) = ( (z + w)) = (z + w), weil gerade und Ω periodisch ist. (2.12) 3
Mithilfe von (2.10), (2.11) und (2.12) erhalten wir also (z + w) = 1 4 [ ] (z) 2 (w) (z) (w). (2.13) (z) (w) Wenn z = w, dann ist die Formel (1) des Theorems nicht mehr wohl-definiert. Dennoch gilt: Die Verdoppelungsformel (2z) = 1 4 [ ] 2 (z) (z) 2 (z), für z mit 2z / Ω. (2.14) Beweis. Wir verwenden hier die Entwicklungen von (z) und (z) um den Punkt w: (z) (w) = (w)(z w) + höhere Potenzen von (z w) (z) (w) = (w)(z w) + höhere Potenzen von (z w) Im Grenzübergang z w und erhalten somit Daraus folgt die Verdoppelungsformel. (z) (w) lim z w (z) (w) = (w) (w) Man kann (2z) auch nur mit (z) ausdrücken (ohne die Ableitungen (z) und (z)). Dazu verwendet man die Differentialgleichung (1.2) der -Funktion: (z) 2 = 4 (z) 3 g 2 (z) g 3. Differenziert man diese Gleichung erhält man 2 (z) (z) = 12 (z) 2 (z) g 2 (z) = 2 (z) = 12 (z) 2 g 2. [ (z) (z) ] 2 einsetzen und erhält durch einige Um- Nun kann man diese beiden Ausdrücke in formungen (2z) = ( (z)2 + 1 4 g 2) 2 +2g 3 (z) 4 (z) 3 g 2 (z) g 3. (2.15) 4
3 Elliptische Integrale Der Name der elliptischen Integrale kommt davon, dass man sie für die Berechnung der Länge von Ellipsenbögen gebraucht hat. Seit dem 18. Jahrhundert hat man ein spezielles elliptisches Intergral E(x) := x 0 dt 1 t 4 untersucht. 1827 hat N. H. Abel herausgefunden, dass die Umkehrfunktion f eine Fortsetzung als meromorphe Funktion in die komplexe Ebene besitzt und dass sie doppelt periodisch ist. Sie stellt also eine ellipische Funktion dar. Daher kommt auch dieser Name. Definition. Ein elliptisches Integral erster Gattung ist ein Integral von folgender Form: z a dt P (t), wobei P ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle ist. Theorem 3.1. Zu jedem Polynom P (t) dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle existiert eine nichtkonstante elliptische Funktion f mit folgender Eigenschaft: Ist D C eine offene Teilmenge, auf welcher f umkehrbar ist (i.e. man kann für D eine kleine offene Umgebung eines beliebigen Punktes a C mit f (a) 0 nehmen), und ist die Umkehrfunktion von f, so gilt g : f(d) C g (z) = 1 P (z). Kurz kann man sagen: Die Umkehrfunktion eines elliptischen Integrals (erster Gattung) ist eine elliptische Funktion. Dieser Satz ist aber sehr unpräzise! Beweis. 1. Schritt: Wir nehmen an, dass wir für ein festes Polynom P eine elliptische Funktion f mit den erwünschten Eigenschaft gefunden haben. Wir betrachten irgendeine komplexe Matrix ( ) a b M = c d mit Determinante 1, i.e. ( d b M 1 = c a ), 5
und bilden die neue elliptische Funktion f = Mithilfe der Möbiustransformation ( a b M : [M = c d setzen wir: g(z) := g df b cf + a = M 1 f Dies ist eine lokale Umkehrfunktion von f, weil ), u] au + b cu + d = Mu, ( ) az + b = g(mz). cz + d g f = g(m f) = g(m(m 1 f)) = g((mm 1 )f) = gf = id D. Ihre Ableitung ist g (z) = 1 Q(z), mit und Q(z) ist wieder ein Polynom. Q(z) = (cz + d) 4 P ( ) az + b, cz + d Dies zeigt uns, dass wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit P durch Q ersetzen können. Wir verwenden nun diese Subsitutionsart, um das Theorem auf Polynome dritten Grades ohne quadratischen Term zu reduzieren. Bemerkung. Sei P ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle. Es existiert eine Matrix M der Determinante 1, so dass das Polynom ( ) az + b Q(z) = (cz + d) 4 P cz + d ein Polynom dritten Grades ohne quadratischen Term ist. Beweis. Wir nehmen an, das Polynom sei vom Grad 4 und schreiben es in der Form P (X) = C(X e 1 )(X e 2 )(X e 3 )(X e 4 ), e 4 0. Anwendung der Matrix ( ) e4 0 M = 1 e 1, 4 deren Determinante 1 ist, verwandelt P in ein Polynom dritten Grades ohne mehrfache Nullstelle. Man kann also annehmen, dass P vom Grad 3 ist. Anwendung der Matrix ( ) 1 b N = 0 1 mit geeignetem b bringt den quadratischen Term zum Verschwinden. 6
2. Schritt: Nach dem ersten Schritt können wir also P (t) = at 3 + bt + c schreiben. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit wählen wir folgende Bezeichnungen: a = 4, b = g 2, c = g 3. Daraus folgt die sogenannte Weierstrass sche Normalform von P: P(t) = 4t 3 g 2 t g 3. Dieses Polynom hat genau dann keine mehrfachen Nullstellen, wenn die Diskriminante D 3, welche gleich g 3 2 27g 2 3 ist, ungleich Null ist. 3. Schritt: Hier stellt sich die Frage, ob überhaupt ein Gitter Ω C existiert, das von zwei komplexen Zahlen w 1 und w 2 erzeugt wird (i.e. Ω = Zw 1 + Zw 2 ), so dass g 2 = 60G 4 = 60 w 4 = g 2 (Ω) g 3 = 140G 6 = 140 w Ω\{0} w Ω\{0} w 6 = g 2 (Ω). Behauptung. Zu je zwei komplexen Zahlen g 2 und g 3 mit g2 3 27g3 2 0 existiert ein Gitter Ω C mit der Eigenschaft g 2 = g 2 (Ω), g 3 = g 3 (Ω). Der Beweis folgt im fünften Schritt. 4. Schritt: Theorem 3.2. Im Falle P (t) = 4t 3 g 2 t g 3, g 2 = g 2 (Ω), g 3 = g 3 (Ω), mit geeignetem Gitter Ω C hat die Weierstrass sche -Funktion zum Gitter Ω f(z) := (z) die in Theorem 3.1 angegebene Eigenschaft. 7
Beweis. Sei g eine lokale Umkehrfunktion von. Aus der algebraischen Differentialgleichung der -Funktion folgt g (t) 2 = 1 (g(t)) = 1 = 1 2 4 (g(t)) 3 g 2 (g(t)) g 3 P (t). 5. Schritt: Beweis der Behauptung des 3. Schrittes. Dazu benötigen wir die J-Funktion von Klein, die im letzten Vortrag folgendermassen definiert wurde: J(τ) := g3 2(τ) (τ) = Behauptung. Die J-Funktion nimmt jeden Wert aus C an. g 3 2(τ) g 3 2(τ) 27g 2 3(τ), τ := w 2 w 1 H. (3.1) Beweis. Wir müssen zeigen, dass J(H) = C. Nach dem Satz über die Gebietstreue ist J(H) ein Gebiet, also offen in C. Wir werden also noch zeigen, dass J(H) gleichzeitig auch abgeschlossen in C ist. Aus der Analysis I wissen wir, dass jede Menge A genau dann abgeschlossen ist, wenn der Grenzwert jeder in H konvergenten Folge in A enthalten ist. Wir wählen eine Folge von Punkten aus J(H), welche gegen einen Punkt b konvergiert, i.e. J(τ n ) b für n. Wir nehmen an, dass alle τ n im abgeschlossenen Fundamentalbereich F := {τ H; τ 1, Re τ 1 } der Modulgruppe enthalten sind (möglich! cf. Vortrag 2 4) und unterscheiden zwei Fälle: 1. Fall: Es existiert eine positive Konstante C, so dass gilt. Die Punktmenge Imτ n C n {τ F; Imτ C} ist kompakt. Nach Übergang zu einer Teilfolge kann man annehmen, dass (τ n ) konvergiert: Aus der Stetigkeit von J folgt τ n τ F H. b = J(τ) J(H). 2. Fall: Es existiert eine Teilfolge (ρ n ) von (τ n ), deren Imaginärteile nach konvergieren, aber es gilt: (ρ n ) 0 und J(ρ n ) +. Daher kann (J(τ n )) nicht konvergieren. Da dieser Fall gar nicht eintreten kann, gilt b J(H). 8
Aus der soeben bewiesenen Behauptung wissen wir, dass ein τ H existiert, so dass J(τ) = g 3 2. g2 3 27g3 2 Sei Ω = Z + Zτ. 1. Fall: Wenn g 2 = 0, dann ist J(τ) = 0 nach (3.1). Sei w C, so dass w 6 g 3 ( Ω) = g 3 0. Setzen wir Ω = Zw + Z(wτ), dann und g 3 (Ω) = g 3. g 2 (Ω) = w 4 g 2 ( Ω) = w 4 g 2 (τ) = g 2 = 0, 2. Fall: Wenn g 2 0, dann wählen wir w C, so dass w 4 g 2 ( Ω) = g 2. Sei wieder Ω = Zw + Z(wτ). Dann g 2 (Ω) = g 2. Somit haben wir wegen der Homogenität von J: g 3 2 g 3 2 27g 2 3 = J(τ) = J( Ω) = J(Ω) = g 3 2(Ω) g 3 2(Ω) 27g 2 3(Ω) = g 3 2 g 3 2 27g 2 3(Ω). Dies zeigt, dass Daraus folgt g 2 3(Ω) = g 2 3. g 3 (Ω) = ±g 3. O.B.d.A. nehmen wir g 3 (Ω) = +g 3 (ersetze w durch iw). Auch bleibt Ω ein Gitter, dessen g 2 und g 3 die vorgegebenen Werte haben. Somit haben wir das Theorem 3.1 vollständig bewiesen. Literatur [1] E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie 1, Springer Verlag, S. 281-283, 287-289, 318-319. [2] S. Lang: Elliptic functions, Springer Verlag, S. 7, 12-14, 39-40. 9