7 Ganzzahlige lineare Gleichungen und Moduln über euklidischen Ringen

7 Ganzzahlige lineare Gleichungen und Moduln über euklidischen Ringen 7.1 Der Elementarteileralgorithmus 7.1.1 Matrizen über euklidischen Ringen Sei (R, gr) ein Euklidischer Ring. Definition (i) GL n (R) = (R n n ) heißt allgemeine lineare Gruppe über R (GL = general linear) (ii) 1 n := 1 GLn(R) (n n-einheitsmatrix) Lemma 7.1 GL n (R) = {U R n n det U R } (falls R = Z, U GL n (Z) U Z n n, det U = ±1) Beweis (i) U (R n n ) V R n n, V U = UV = 1 n 1 = det 1 n = det(uv ) = det U det U R R det }{{ V } R (ii) Sei U R n n, det U R. In LA I zeigt man für die Adjungierte U # von U: UU # = U # U = det U 1 n U # wird aus det W gewonnen, wo W Untermatrizen von U sind, also det W R U # R n n, det U R U 1 = 1 det U U # R n n U (R n n ) Definition B = (b ij ) R m n, so sei ggt(b) := ggt(b ij ) (i = 1,..., m und j = 1,..., n) Lemma 7.2 A R l m, B R m n. Dann gilt: (i) ggt(a) ggt(ab), ggt(b) ggt(ab) (ii) U GL m (R), V GL n (R), so ist ggt(ubv ) = ggt(b) 73

7 Ganzzahlige lineare Gleichungen und Moduln über euklidischen Ringen Beweis (i) A = (a ij ), B = (b kl ), d = ggt(a) a ij = d a ij, a ij R. AB = C = (c rs), c rs = m j=1 d rjb js = d j a ij b js r, s : d c rs d ggt(c) = ggt(c rs r, s). ggt(b) = ggt(ab) genau so. (ii) ggt(b) ggt(ub) ggt(u 1 (UB)) = ggt(b) ggt(b) = ggt(ub). ggt(ub) = ggt((ub)v ) genau so Spezielle Matrizen: E ij Matrizeneinheiten, E ij,kl = δ ik δjl. Es steht in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte eine 1. 0 0... Beispiel: 1... 0 0 Elementarmatrizen sollen folgende Matrizen genannt werden (in R n n ): 1.) Additionsmatriizen: A ij (b) = 1 n +b E ij (i j). =E n 1 0... Beispiel: b... 0 1 2.) Vertauschungsmatrizen: V ij = 1 n E ii E jj + E ij + E ji. 1 0... Beispiel: 0 1 1 0... 0 1 3.) Einheitsdiagonalmatrizen : 1... 1 diag j (ɛ) = ɛ 1, ɛ R... 1 Laut LA: det A ij (b) = 1, det(v ij ) = 1(i j), det diag j (ɛ) = ɛ Alle Elementarmatriizen sind in GL n (R) Weiter Matrizen besonderer Form: Diagonalmatrizen: D = diag(d 1,..., d r, 0,..., 0) (in R m n ). Für r = 0 : D = 0. 74

7.1 Der Elementarteileralgorithmus d 1 0... Beispiel: dr 0. 0.. Bemerkung: Eine Matrix B R n n heiße in Elementarteilerform B = diag(d 1,..., d r, 0,...0), d 1,..., d r normiert und d r 0 und d 1 d 2... d r (dann d 1 = ggt(b)) Eine Elementaroperation (ausgeübt auf B R m n ) ist eine der folgenden Operationen: Zu Γ Elementarmatrix bilde B = ΓB oder B = BΓ und setzte wieder B := B. Liste: Zeilenoperationen B B =: B = A ij (b) B B B =: B = V ij B B B =: B = diag j (ɛ) B Spaltenoperationen B B =: B = B A ij (b) B B =: B = B V ij B B =: B = B diag j (ɛ) bewirkt Addition des b-fachen der j-ten Zeile von B zur i-ten Vertauschen der i-ten mit der j-ten Zeile Multiplikation der j-ten Zeile mit ɛ bewirkt Addition der i-ten Sapte b zur j-ten Vertauschen der i-ten mit der j-ten Spalte Multiplikation der j-ten Spalte mit ɛ Jeder Algorithmus der eine Matrix A durch eine endliche Folge von Elementaroperationen in Elementarteilerform überführt, heißt Elementarteileralgorithmus. Vorschlag: Bearbeite Tripel (U, B, V ) GL m (R) R m n GL n (R) beginnend mit (1 m, A, 1 n ), so dass immer B = UAV ist. Elementaroperationen hier (U, B, V ) (U, B, V ) := ( ΓU (U, B, V ) (U, B, V ) := ( U, ΓB, V ) (Zeilenoperation) oder =U =B =V, BΓ, V Γ ) (Spaltenoperation). =U =B =V Bedingung okay: ΓU AV U A V = ΓB = B, ebenso UAV Γ = BΓ = B Ziel: Steure die Operationen so, dass nach endlich vielen Elementaroperationen ein (U, B, V ) entsteht, mit B =: D eine Elementarteilerform, also A = UDV. Falls man so einen Algorithmus hat, so beweist das: Satz 7.3 (Elementarteilersatz) Sei R ein euklidischer Ring, m, n N +, A R m n 75

7 Ganzzahlige lineare Gleichungen und Moduln über euklidischen Ringen (i) Dann gibt es ein U GL m (R), V GL n (R) und D R m n, D in Elementarform, derart, dass A = UDV (ii) D ist durch A eindeutig bestimmt Zur Eindeutigkeit (Beweis-Skizze): d 1 = ggt(d) = ggt(udv ) = ggt(a). Man kann zeigen: d 1... d j ist der ggt der Determinanten aller j j-untermatrizen von A. Bemerkung: 1.) A R m n, so det A = det U det D det V. Dann zur Berechnung von det A benutzt werden. 2.) Idee für LGS: Für A = D in Elementarteilerform kann Lösung unmittelbar abgelesen werden Lösung für A wird mittels Rücktransformation ermittelt. LGS: xa = b, A R m n, b R 1 n (Zeile) ist gegeben. Gesucht Lösung x R 1 m (Zeile). (LA oft Ax = b mit Spalten, Ax = b x T A T = b T ) Besser: Information über die Lösungsmenge: L(A, B) = {x R m = R 1 m xa = b} Antwort sehr leicht, falls A = D = d 1...! L(D, c), c = (c 1,..., c n ) yd = (y 1 d 1,..., y r d r, 0,..., 0) = (c 1,..., c n ) n-stück d r in Elementarteilerform. y = (y 1,..., y m ) Lösbarkeitsbedingung (notwendig und hinreichend): L(D, C) c r+1 = c r+1 =...c n = 0 und d 1 c 1, d 2 c 2,..., d r c r Falls Bedingung erfüllt, so hat man die spezielle Lösung (wo c j = d j y j, Bezeichnung y j = d 1 j c j ). y (0) = (d 1 1 c 1,..., d 1 r c r, 0,..., 0). Die allgemeine Lösung hat die Form: y = y 0 + n j=r+1 a je j, e j = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) Einheitsvektor, a j R y L(D, c) yd = c(auch y 0 D = c) (y y 0 )D = 0 z = (y y 0 ) ist Lösung des zugehörigen homogenen Systems zd = 0, d.h. von der Form n j=r+1 a je j Es muss z j d j = 0, also z 0 = 0 für j = 1,..., r gelten. Man transformiert xa = b wie folgt auf Diagonalform: xa = b xu }{{ 1 } UAV y D yd = c, wo c = bv und y = xu 1, also x = yu ist. L(A, b) = L(D, bv ) U = bv c = 0. (U, B, V ) GL m (R) R m n GL n (R), B = UAV. 76

7.1 Der Elementarteileralgorithmus Elementarteileralgorithmus Idee: Falls B 0, so setzte gr(b) = min{gr(b ij, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n, b ij 0}. Wenn es gelingt durch Elementaroperationen von B nach B überzugehen, so dass gr(b ) < gr(b), so ist man induktiv fertig. Zuerst benötigen wir einen Unteralgorithmus: ggtnachvorn(a): Er soll zu einem 0 A R m n (U 1, B 1, V 1 ) mit U 1 GL m (R), v 1 GL n (R), b 1 = U 1 AV 1 gilt, wobei Skizze: B = ( d1 0 0 A ), d 1 = ggt(a). 0. Initialisierung: (U, B, V ) := (1 m, A, 1 n ). 1. Bestimme(k, l) mit gr(b kl = gr(b). 2. Fall I: Es gibt eine Zeile i mit B kl b il. Division mit Rest: b ij = qb kl + r. Addiere ( q) faches der k ten Zeile. Das ergibt B mit b il = b il qb kl = r. Induktiv sind wir fertig, denn: gr(r) < gr(b kl ) = gr(b). Weiter bei Schritt 1. 3. Fall II: Es gibt eine Spalte j mit b kl b kj. Genau wie bei Schritt 2, nur mit Spaltenoperationen erhalten wir b kj = q b kl + r. Addieren wir nun das ( q ) fache der l-ten Spalte auf die j te Spalte, erhalten wir B mit gr(b ) < gr(b). 4. Fall III: b kl b il und b kl kj, i, j aber (i, j) mit b kl b ij. b il = q b kl, i k, l j. Addiere (1 q )-faches der k-ten Zeile zur i-ten hinzu: b il = b ij q b kl +(1 q )b kl = b kl b ij = b ij + (1 q )b k j = b kl = b il b ij (wegen b k l b ij, b kl b kl ) Fall II liegt vor mit i-ter statt k-ter Zeile. B := B, (k, l) := (i, l), weiter bei Schritt 3. 5. i, j : b kl b ij (letzter möglicher Fall). Vertausche k-te und 1. Zeile und l-te und j-te Spalte. Entsteht b mit 0 b 11 b ij i, j = b 11 ist ein ggt, = ɛ R : d 1 = ɛb 11 = ggt(b) Lemma = 2 ggt(a) = Multipliziere 1. Zeile mit ɛ: Es entsteht Matrix mit b 11 = d 1 = ggt(a). Wie bei Gaußalgorithmus erzeugt man jetzt in der ersten Spalte und ( ersten Zeile ) Nullen außer bei b 11. Jetzt hat man (U, B, V ) mit A = UBV ) und d1 0 B = 0 A. Ausgabe: (U 1, B 1, V 1 ) := (U, B, V ) Klar: Man kann genauso mit A weitermachen: Braucht: d n = ggt(a) = ggt(b 1 ) ggt(a ). Im Detail: ELT(A) : (1) Falls A 0, Ausgabe: (1 m, A, A n ). (2) Anderfalls liefert ggtnachvorn(a) (U 1, B 1, V 1 ) wie oben: Falls n = 1 oder M = 1, so fertig. Ausgabe (U, D, V ) := (U 1, B 1, V 1 ). Falls m,n>1 und A = 0, so wieder fertig. Ausgabe wie 77

7 Ganzzahlige lineare Gleichungen und Moduln über euklidischen Ringen oben. Falls A 0, so liefert ELT(A ) (U, D, V ) mit U D V = A und ( ) ( ) ( ) 1 0 d1 0 1 0 U 1 0 U 0 D 0 V V 1 =U 1 B = d 1 0 0 U } D {{ V } V 1 =A =U 1 B 1 V 1 =A Ausgabe (U, D, V ) mit U, D, V passend wie in obiger Formel. Einschub Beispielrechnung Blätter abzutippen) (folgt vielleicht später, hab grade keine Lust, die zwei DinA4-7.2 Ganzzahlige Lösungen eines ganzzahligen linearen Gleichungssystems Betrache LGS xa = B, gegeben a R m n, b R 1 n. Gesucht:L(A, B) = {x R 1 m = R m : xa = b} Elementarteilersatz: A = UDV, D = diag(d 1, d 2,..., d r, 0,... ) in Elementarteilerform. U GL m (R), V GL n (R). Gesehen: L(A, b) = L(D, bv )U. c := bv = (c 1, c 2,..., c n ). Satz 7.4 (LGS-Satz) Mit diesen Voraussetzungen und Bezeichnungen gilt: (1) L(A, b) d i c i, i = 1, 2,..., r, c r+1 = c r+2 = c n = 0. (2) Lösung des homogenen Systems xa = 0: L(A, 0) = L(D, 0)U = m j=r+1 R(e ju). e j ist der j-te Einheitsvektor in R m. Das heißt, eine R-Basis von L(A, 0) ist gegeben durch Basis b r+1, b r+2,..., b m, mit b j = e j U, also die j-te Zeile von U ist. Falls m r, so L(A, 0) = 0, d-h- jede Lösung y L(A, 0) hat eindeutige Darstellung y = m j=r+1 a jb j, a j R. (3) Falls das LGS lösbar ist, so erhalt man die allgemeine Lösung x aus einer spezielen Lösung x 0 in der Form x = x 0 + y, y L(A, 0). Mann kann wählen: x 0 = (d 1 1 c 1, d 1 2 c 2,..., d 1 r c r, 0,..., 0). Beweis Alles schon bewiesen... Bemerkungen: (1) Ist A R n n, so gilt A GL n (R) D = 1 n 78

7.2 Ganzzahlige Lösungen eines ganzzahligen linearen Gleichungssystems (2) Jedes U GL n (R) ist Produkt von Elementarmatrizen. Beweis (1) A = UDV, U, V GL n (R). D GL n (R) n = r, d 1,..., d n = 1 = D = 1 n (2) A GL n (R) D = 1 n = A = UV = Behauptung Freunde der Algebra mögen beachten, dass für ein R-Modul M die selben Axiome wie für einen Vektorraum gelten, nur dass R ein Ring statt einem Körper ist. Das Z-Modul ist (fast) das selbe wie eine (additive) abelsche Gruppe. Die Hauptneuheit ist, dass man im Allgemeinen in M eine R-Basis hat. Ein Beispiel dazu ist mit R = Z das Modul M = (Z/2Z), +). Wäre die Basis die leere Menge, so wäre M = 0, Widerspruch. Ist nun b ein Element der Basis, so wären alle z b, z Z verschieden, also #M =, was auch ein Widerspruch ist. In der Algebra zeigt man leicht: Ist M = u 1,..., u m = { m i=1 α iu i α i R}, so existiert ein A R m n mit M = R n /R m A. Klar: A = UDV wie im Elementarsatz, also R m = R m U, R n = V R n = M = R n /R m UDV = R n V/R m DV = R n /R m D = (R R)/(Rd 1 Rd r 0 0) = R/Rd 1 R/R d r R R Damit ist die Struktur bestimmt. So kann die Eindeutigkeit von D auch bewiesen werden. Ist R = Z, so ist (Z/dZ, +) zyklisch, erzeugt von 1 + dz = 1, Z sowieso zyklisch. Als Ergebnis haben wir: Jede endlich erzeugbare abelsche Gruppe ist direktes Produkt zyklischer Gruppen. Die R-lineare Abbildung R l R k beschriebung durch Darstellungsmatrizen in R l k. Der Elementarteiler-Algorithmus liefert Mittel Kern(f) und Bild(f) explizit zu beschreiben. 79