4 Schwakugsitervalle Schwakugsitervalle 4. Bemerkuge Die bekate Symmetrieeigeschaft Φ(x) = 1 Φ( x) bzw. Φ( x) = 1 Φ(x) für alle x R überträgt sich auf die Quatile N p der Stadardormalverteilug i der Form N p = N 1 p bzw. N 1 p = N p für alle p (0, 1). Üblicherweise sid ur die Quatile für p 1 i Tabelle ethalte. Ma schreibt daher das Schwakugsitervall meist i der Form µ σ N 1 α, µ + σ ] N 1 α. I dieser Gestalt wird (och klarer) deutlich, dass symmetrische Schwakugsitervalle für X ebefalls (!) stets symmetrisch um µ sid. I der Literatur werde astelle der Abkürzug N p für die Quatile der Stadardormalverteilug häufig auch die Abkürzuge z p oder λ p verwedet. Geläufige Sicherheitswahrscheilichkeite sid z.b. 1 α {0.90, 0.95, 0.99}. Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 73
4 Schwakugsitervalle Schwakugsitervalle 4. Beispiel: Schwakugsitervall Aufgabestellug: Es gelte Y N(50, 10 ). Zu Y liege eie eifache Stichprobe X1,..., X 5 der Läge = 5 vor. Gesucht ist ei (symmetrisches) Schwakugsitervall für X zur Sicherheitswahrscheilichkeit 1 α = 0.95. Lösug: Es gilt also µ := E(Y ) = 50, σ := Var(Y ) = 10, = 5 ud α = 0.05. Zur Berechug des Schwakugsitervalls µ σ N 1 α, µ + σ ] N 1 α beötigt ma also ur och das 1 α/ = 0.975-Quatil N 0.975 der Stadardormalverteilug. Dies erhält ma mit geeigeter Software (oder aus geeigete Tabelle) als N 0.975 = 1.96. Isgesamt erhält ma also das Schwakugsitervall 50 10 1.96, 50 + 10 ] 1.96 = 46.08, 53.9]. 5 5 Die Ziehug eier Stichproberealisatio führt also mit eier Wahrscheilichkeit vo 95% zu eier Realisatio x vo X im Itervall 46.08, 53.9]. Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 74
4 Schwakugsitervalle Schwakugsitervalle 4. Beispiel: Schwakugsitervall (Grafische Darstellug) Im Beispiel: X N (50, 10 5 ) f X (x) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.0 X α = 0.05 1 α = 0.95 α = 0.05 g u µ σ X µ µ + σ X g o Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 75
5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle Schwakugsitervalle für X zu gegebeem Erwartugswert µ ud gegebeer Variaz σ vo Y eher theoretisch iteressat. I praktische Aweduge der schließede Statistik: µ (ud evetuell auch σ ) ubekat! Ziel ist es, über die (bereits diskutierte) Parameterpuktschätzug durch X hiaus mit Hilfe der Verteilug vo X eie Itervallschätzug vo µ zu kostruiere, die bereits Iformatio über die Güte der Schätzug ethält. Asatz zur Kostruktio dieser Itervallschätzer ählich zum Asatz bei der Kostruktio vo (symmetrische) Schwakugsitervalle. Idee: Verwede die Ketis der Verteilug vo X (abhägig vom ubekate µ), um zufällige (vo der Stichproberealisatio abhägige) Itervalle zu kostruiere, die de wahre Erwartugswert µ mit eier vorgegebee Wahrscheilichkeit überdecke. Kofidezitervalle icht ur für de Erwartugswert µ eier Verteilug möglich; hier allerdigs Beschräkug auf Kofidezitervalle für µ. Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 76
5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei bekater Variaz 5.1 Kofidezitervalle für µ bei bekater Variaz σ ] Für die (feste!) Schwakugsitervalle µ σ N 1 α, µ + σ N 1 α für X zur Sicherheitswahrscheilichkeit 1 α auf Grudlage der exakte oder äherugsweise verwedete Stadardormalverteilug der Größe X µ gilt ach Kostruktio { P X µ σ N 1 α, µ + σ ]} N 1 α = 1 α. Idee: Auflöse dieser Wahrscheilichkeitsaussage ach µ, das heißt, Suche vo zufällige Itervallgreze µ u < µ o mit der Eigeschaft P {µ µ u, µ o ]} = P {µ u µ µ o }! = 1 α. (bzw. geauer P{µ < µ u }! = α ud P{µ > µ o}! = α ). Solche Itervalle µ u, µ o ] et ma da (zweiseitige) Kofidezitervalle für µ zum Kofideziveau (zur Vertraueswahrscheilichkeit) 1 α. σ Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 77
5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei bekater Variaz 5.1 Ma erhält { P { P X P µ σ N 1 α, µ + σ ]} N 1 α } { µ σ N 1 α X µ + σ N 1 α X σ N 1 α µ X + σ N 1 α { P { P P X + σ N 1 α µ X σ N 1 α X σ N 1 α µ X + σ N 1 α { µ X σ N 1 α, X + σ N 1 α ud damit das Kofidezitervall X σ N 1 α, X + σ ] N 1 α zum Kofideziveau 1 α für µ. = 1 α = 1 α } = 1 α } = 1 α } = 1 α ]} = 1 α Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 78
5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei bekater Variaz 5.1 I der resultierede Wahrscheilichkeitsaussage { P X σ N 1 α µ X + σ } N 1 α = 1 α sid die Itervallgreze µ u = X σ N 1 α ud µ o = X + σ N 1 α des Kofidezitervalls zufällig (icht etwa µ!). Ziehug eier Stichproberealisatio liefert also Realisatioe der Itervallgreze ud damit ei kokretes Kofidezitervall, welches de wahre (ubekate) Erwartugswert µ etweder überdeckt oder icht. Die Wahrscheilichkeitsaussage für Kofidezitervalle zum Kofideziveau 1 α ist also so zu verstehe, dass ma bei der Ziehug der Stichprobe mit eier Wahrscheilichkeit vo 1 α ei Stichprobeergebis erhält, welches zu eiem realisierte Kofidezitervall führt, das de wahre Erwartugswert überdeckt. Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 79
5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei bekater Variaz 5.1 Beispiel: Kofidezitervall bei bekatem σ Die Zufallsvariable Y sei ormalverteilt mit ubekatem Erwartugswert ud bekater Variaz σ =. Gesucht: Kofidezitervall für µ zum Kofideziveau 1 α = 0.99. Als Realisatio x 1,..., x 16 eier eifache Stichprobe X 1,..., X 16 vom Umfag = 16 zu Y liefere die Stichprobeziehug 18.75, 0.37, 18.33, 3.19, 0.66, 18.36, 0.97, 1.48, 1.15, 19.39, 3.0, 0.78, 18.76, 15.57,.5, 19.91, was zur Realisatioe x = 0.184 vo X führt. Als Realisatio des Kofidezitervalls für µ zum Kofideziveau 1 α = 0.99 erhält ma damit isgesamt x σ N 1 α, x + σ ] N 1 α = 0.184 16.576, 0.184 + 16.576 = 18.896, 1.47]. ] Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 80
5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei ubekater Variaz 5. Verteilug vo X bei ubekatem σ Wie ka ma vorgehe, falls die Variaz σ vo Y ubekat ist? Naheliegeder Asatz: Ersetze vo σ durch eie geeigete Schätzfuktio. Erwartugstreue Schätzfuktio für σ bereits bekat: S = 1 1 ( (X i X ) = 1 1 i=1 i=1 X i ) 1 X = (X 1 X ) Ersetze vo σ durch S = S möglich, Verteilug ädert sich aber: Satz 5.1 Seie Y N(µ, σ ), X 1,..., X eie eifache Stichprobe zu Y. Da gilt mit S := S 1 = 1 i=1 (X i X ) = 1 (X X ) X µ t( 1), S wobei t( 1) die t-verteilug mit 1 Freiheitsgrade bezeichet. Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 81
5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei ubekater Variaz 5. Die Familie der t()-verteiluge Die Familie der t()-verteiluge mit > 0 ist eie spezielle Familie stetiger Verteiluge. Der Parameter wird meist Azahl der Freiheitsgrade ( degrees of freedom ) geat. t-verteiluge werde (vor allem i eglischsprachiger Literatur) oft auch als Studet s t distributio bezeichet; Studet war das Pseudoym, uter dem William Gosset die erste Arbeit zur t-verteilug i eglischer Sprache veröffetlichte. t()-verteiluge sid für alle > 0 symmetrisch um 0. Etspreched gilt für p-quatile der t()-verteilug, die wir im Folgedem mit t ;p abkürze, aalog zu Stadardormalverteilugsquatile für alle p (0, 1) t ;p = t ;1 p bzw. t ;1 p = t ;p Für wachsedes ähert sich die t()-verteilug der Stadardormalverteilug a. Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 8
5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei ubekater Variaz 5. Grafische Darstellug eiiger t()-verteiluge für {, 5, 10, 5, 100} f(x) 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 N(0,1) t() t(5) t(10) t(5) t(100) 4 0 4 x Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 83
5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei ubekater Variaz 5. Kostruktio vo Kofidezitervalle für µ bei ubekater Variaz σ = Var(Y ) gaz aalog zur Situatio mit bekater Variaz, lediglich 1 Ersetze vo σ durch S = S = i=1 (X i X ) Ersetze vo N 1 α durch t 1;1 α erforderlich. 1 1 Resultieredes Kofidezitervall: X S t 1;1 α, X + S ] t 1;1 α Beötigte Quatile t 1;1 α köe ählich wie bei der Stadardormalverteilug z.b. mit der Statistik-Software R ausgerechet werde oder aus geeigete Tabelle abgelese werde. Mit R erhält ma z.b. t 15;0.975 durch > qt(0.975,15) 1].13145 Mit zuehmedem werde die Quatile der t()-verteiluge betragsmäßig kleier ud äher sich de Quatile der Stadardormalverteilug a. Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 84
5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei ubekater Variaz 5. Quatile der t-verteiluge: t ;p \p 0.85 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 0.9995 1 1.963 3.078 6.314 1.706 31.81 63.657 636.619 1.386 1.886.90 4.303 6.965 9.95 31.599 3 1.50 1.638.353 3.18 4.541 5.841 1.94 4 1.190 1.533.13.776 3.747 4.604 8.610 5 1.156 1.476.015.571 3.365 4.03 6.869 6 1.134 1.440 1.943.447 3.143 3.707 5.959 7 1.119 1.415 1.895.365.998 3.499 5.408 8 1.108 1.397 1.860.306.896 3.355 5.041 9 1.100 1.383 1.833.6.81 3.50 4.781 10 1.093 1.37 1.81.8.764 3.169 4.587 11 1.088 1.363 1.796.01.718 3.106 4.437 1 1.083 1.356 1.78.179.681 3.055 4.318 13 1.079 1.350 1.771.160.650 3.01 4.1 14 1.076 1.345 1.761.145.64.977 4.140 15 1.074 1.341 1.753.131.60.947 4.073 0 1.064 1.35 1.75.086.58.845 3.850 5 1.058 1.316 1.708.060.485.787 3.75 30 1.055 1.310 1.697.04.457.750 3.646 40 1.050 1.303 1.684.01.43.704 3.551 50 1.047 1.99 1.676.009.403.678 3.496 100 1.04 1.90 1.660 1.984.364.66 3.390 00 1.039 1.86 1.653 1.97.345.601 3.340 500 1.038 1.83 1.648 1.965.334.586 3.310 1000 1.037 1.8 1.646 1.96.330.581 3.300 5000 1.037 1.8 1.645 1.960.37.577 3.9 Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 85
5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei ubekater Variaz 5. Beispiel: Kofidezitervall bei ubekatem σ Die Zufallsvariable Y sei ormalverteilt mit ubekatem Erwartugswert ud ubekater Variaz. Gesucht: Kofidezitervall für µ zum Kofideziveau 1 α = 0.95. Als Realisatio x 1,..., x 9 eier eifache Stichprobe X 1,..., X 9 vom Umfag = 9 zu Y liefere die Stichprobeziehug 8.1, 30.55, 7.49, 34.79, 30.99, 7.54, 31.46, 3.1, 31.73, was zur Realisatioe x = 30.54 vo X ud zur Realisatio s =.436 vo S = S führt. Als Realisatio des Kofidezitervalls für µ zum Kofideziveau 1 α = 0.95 erhält ma damit isgesamt x s t 1;1 α, x + s ] t 1;1 α = 30.54.436.306, 30.54 +.436 ].306 9 9 = 8.67, 3.414]. Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 86
5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei ubekater Variaz 5. Kofidezitervalle, falls Y icht ormalverteilt 1 Ist Y icht ormalverteilt, aber die Variaz σ vo Y bekat, so verwedet ma wie bei der Berechug der Schwakugsitervalle äherugsweise (durch de zetrale Grezwertsatz gerechtfertigt!) die Stadardormalverteilug als Näherug der Verteilug vo X µ σ ud erhält so approximative (äherugsweise) Kofidezitervalle X σ N 1 α, X + σ ] N 1 α zum (Kofidez-)Niveau 1 α. Ist Y icht ormalverteilt ud die Variaz vo Y ubekat, so verwedet ma u aalog als Näherug der Verteilug vo X µ S die t( 1)-Verteilug ud erhält so approximative (äherugsweise) Kofidezitervalle X S t 1;1 α, X + S ] t 1;1 α zum (Kofidez-)Niveau 1 α. Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 87
5 Kofidezitervalle Kofidezitervalle bei ubekater Variaz 5. Spezialfall: Kofidezitervalle für p, falls Y B(1, p) Gilt Y B(1, p) für eie ubekate Parameter p 0, 1], so köe Kofidezitervalle wege p = E(Y ) = µ äherugsweise ebefalls mit Hilfe der Näherug aus Folie 87 bestimmt werde. I der Formel für die Berechug der Kofidezitervalle ersetzt ma üblicherweise X wieder durch die i dieser Situatio geläufigere (gleichbedeutede!) Notatio p. Die (otwedige) Berechug vo S = 1 (X i X ) 1 gestaltet sich i=1 hier besoders eifach. Ma ka zeige, dass S = p) gilt. 1 p(1 Ma erhält so die vo der Stichprobe ur och über p abhägige Darstellug p p(1 p) 1 p(1 p) t 1;1 α, p + t 1;1 α 1 für approximative Kofidezitervalle für p zum Niveau 1 α. Die Güte der Näherug hägt vo ud p ab. Je größer, desto besser; je äher p a 1, desto besser. Schließede Statistik (WS 017/18) Folie 88 ]