1 Vorlesung Lineare Optimierung (Sommersemester 2010) Kapitel 6: Die Geometrie der Linearen Optimierung Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Juni 2010) Gliederung 2 Das Dekompositionstheorem für Polyeder Affine Hüllen und Dimension von Polyedern Seiten von Polyedern Irredundante Darstellungen von Polyedern
Homogenisierung von Polyedern 3 Theoreme von Weyl/Minkowski 4 Satz 6.1 (Dekompositionssatz für Polyeder) Eine Menge P R n ist genau dann ein Polyeder, wenn man sie als P = conv V + ccone U mit endlichen Mengen V, U R n darstellen kann; ein Polyeder P R n ist genau dann rational (d.h. durch ein lineares Ungleichungssystem mit rationalen Koeffizienten definierbar), wenn man U und V in der Darstellung als Mengen U, V Q n rationaler Vektoren wählen kann. Bezeichnungen P = {x R n Ax b}: Äußere Darstellung P = conv V + ccone U: Innere Darstellung
5 Kodierungslängen Bemerkung 6.2 Sind A und b rational, so kann man rationale U und V so wählen, dass die Kodierungslänge jeder Komponente eines Vektors in V U polynomial in der maximalen Kodierungslänge eines Eintrags in (A, b) beschränkt ist ( V U lässt sich aber i.a. nicht polynomial in der Kodierungslänge von (A, b) beschränken). Bemerkung 6.3 Sind V und U rational, so kann man rationale A und b so wählen, dass die Kodierungslänge jeden Eintrags in (A, b) polynomial in der maximalen Kodierungslänge einer Komponente eines Vektors aus V U beschränkt ist (die Anzahl der Ungleichungen in Ax b lässt sich aber i.a. nicht polynomial in der Kodierungslänge von V U beschränken). 6 Lineare Optimierung und innere Darstellungen Bemerkung 6.4 Sind V, U R n endliche Mengen und c R n, so ist das Optimierungsproblem max{ c, x x P} mit P = conv V + ccone U (1) genau dann unzulässig, wenn V = ist. Andernfalls ist (1) genau dann unbeschränkt, wenn c, u > 0 für ein u U ist, und falls kein solches u existiert, ist jedes v V aus der endlichen Menge V mit c, v = max{ c, v v V } eine Optimallösung von (1).
7 Konsequenzen Polynomiale Zertifikate Ist ein lineares Optimierungsproblem mit rationalen Daten weder unzulässig noch unbeschränkt, so hat es eine (rationale) Optimallösung, deren Kodierungslänge polynomial in der Kodierungslänge der Problems beschränkt ist. Außerdem kann man (via starker Dualität) die Optimalität einer solchen Optimallösung in polynomialer Zeit beweisen. Das Entscheidungsproblem Ist Ax b lösbar (für rationale A, b) ist in NP conp (gute Charakterisierung). 8 Charakteristischer Kegel / Rezessionskegel Definition 6.5 Der charakteristische Kegel (Rezessionskegel) eines Polyeders P R n ist char(p) = {y R n x + y P für alle x P}. Satz 6.6 Für jedes nicht-leere Polyeder P = P (A, b) = Q + K (mit A R m n, b R m, einem Polytop Q R n und einem polyedrischen Kegel K R n ) gelten: 1. char(p) = K 2. char(p) = P (A, O m ) 3. char(p) = {y R n x + ccone{y} P} für alle x P
9 Beispiel 10 Polytope Definition 6.7 Ein Polyeder, das beschränkt (also kompakt) ist, heißt Polytop. Bemerkung 6.8 Für nicht leere Polyeder P R n sind folgende Aussagen paarweise äquivalent: 1. P ist ein Polytop. 2. char(p) = {O n } 3. P = conv V für eine endliche Menge V R n Bemerkung 6.9 Polyeder sind also genau die Minkowski-Summen eines Polytops und eines polyedrischen Kegels.
Der Linealitätsraum Definition 6.10 1. Der Linealitätsraum eines konvexen Kegels K R n ist 11 lineal(k) = {y K y K} = K ( K), der größte in K enthaltene lineare Unterraum von R n. 2. Der Linealitätsraum eines Polyeders P R n ist lineal(p) = lineal(char(p)). 3. Ein Polyeder P R n ist spitz, wenn sein Linealitätsraum lineal(p) = {O n } trivial ist. (Spitze Polyeder sind nicht leer (n 1).) Satz 6.11 Für Polyeder P = P (A, b) (mit A R m n, b R m ) gelten: 1. lineal(p) = ker A 2. lineal(p) = {y R n x + lin{y} P} für alle x P Beispiele 12
13 Beispiele 14 Affine Hülle und Dimension Satz 6.12 Für jedes nicht leere Polyeder P = P (A, b) (mit A R m n, b R m ) ist aff P = {x R n A Eq(P), x = b Eq(P) }. Insbesondere ist die Dimension von P dim P = dim aff P = n rang(a Eq(P), ). Dabei ist... Eq(P) = Eq Ax b (P) = {i [m] A i,, x = b i für alle x P}
15 Beispiele 16 Seiten Definition 6.13 Eine Seite des Polyeders P R n ist eine Teilmenge F P mit F = P H = (a, β) für einen P enthaltenden Halbraum H (a, β) P (mit a R n, β R). Die Ungleichung a, x β definiert die Seite F. Bemerkung 6.14 1. und P sind die trivialen Seiten von P. 2. Seiten von Polyedern sind Polyeder. 3. Die Menge der Optimallösungen eines (weder unzulässigen noch unbeschränkten) linearen Optimierungsproblems γ = max{ c, x Ax b, x R n } ist genau die durch c, x γ definierte Seite von P (A, b).
17 Implizierte Ungleichungen Satz 6.15 Eine Ungleichung a, x β (mit a R n, β R) ist genau dann gültig für ein nicht-leeres Polyeder P (A, b) mit A R m n, b R m (Ax b impliziert a, x β), wenn es y R m + gibt mit y T A = a und y, b β. 18 Äußere Darstellung von Seiten Satz 6.16 Sei P = P (A, b) mit A R m n, b R m. 1. Die Seiten von P sind genau die Mengen {x P A I, x = b I } für alle I [m] und die leere Seite. 2. Für jede nicht-leere Seite F von P gilt F = {x P A Eq(F ), x = b Eq(F ) }. Die Dimension von F ist dim F = n rang(a Eq(F ), ). 3. Der Schnitt zweier Seiten von P ist eine Seite von P. 4. Seiten von Seiten von P sind Seiten von P. 5. Die nicht-leeren Seiten von P haben Dimensionen zwischen dim lineal(p) und dim P (einschließlich). Dabei ist... Eq(F ) = Eq Ax b (F ) = {i [m] A i,, x = b i für alle x F }
Innere Darstellung von Seiten 19 Satz 6.17 Seien P = conv V + ccone U mit endlichen Mengen V, U R n und F eine von a, x β definierte Seite von P. 1. F = conv {v V a, v = β} + ccone {u U a, u = 0} 2. Falls F : char(f ) = char(p) H = (a, 0) (die von a, x 0 definierte Seite von char(p)) lineal(f ) = lineal(p) Bemerkung 6.18 Jedes Polyeder hat endlich viele Seiten. Irredundante äußere Darstellungen 20 Definition 6.19 Eine irredundante äußere Darstellung eines Polyeders P R n ist ein System A (1) x = b (1), A (2) x b (2) (mit A (1) R m 1 n, b (1) R m 1, A (2) R m 2 n, b (2) R m 2 ) mit P = {x R n A (1) x = b (1), A (2) x b (2) }, so dass jedes echte Untersystem von A (1) x = b (1), A (2) x b (2) ein größeres Polyeder als P definiert und für kein i [m 2 ] die Gleichung A (2) i,, x = b i gültig für P ist.
Facetten 21 Definition 6.20 Die inklusionsmaximalen unter den nicht-trivialen Seiten eines Polyeders sind seine Facetten. Satz 6.21 Eine nicht-triviale Seite F eines Polyeders P ist genau dann eine Facette von P, wenn dim F = dim P 1 ist. Charakterisierung irredundanter äußerer Darstellungen 22 Satz 6.22 Ist P ein nicht-leeres Polyeder, so ist ein System A (1) x = b (1), A (2) x b (2) genau dann eine irredundante äußere Darstellung von P, wenn 1. aff P = {x R n A (1) x = b (1) } ist, 2. die Matrix A (1) vollen Zeilenrang hat, 3. jede Ungleichung in A (2) x b (2) eine Facette von P definiert 4. und jede Facette von P von genau einer Ungleichung aus A (2) x b (2) definiert wird.
Irredundante innere Darstellungen 23 Definition 6.23 Eine irredundante innere Darstellung eines Polyeders P R n besteht aus endlichen Mengen V, U R n mit P = conv V + ccone U + lineal(p), so dass für alle echten Teilmengen Ṽ V und Ũ U P conv Ṽ + ccone U + lineal(p) und P conv V + ccone Ũ + lineal(p) ist. Minimale Seiten von Polyedern 24 Definition 6.24 Die inklusionsminimalen unter den nicht-leeren Seiten eines Polyeders sind seine minimalen Seiten. Satz 6.25 Für eine nicht-leere Seite F eines Polyeders P = P (A, b) (mit A R m n, b R m ) sind folgende Aussagen paarweise äquivalent (mit Eq(F ) = Eq Ax b (F )): 1. F ist eine minimale Seite von P. 2. F = {x R n A Eq(F ), x = b Eq(F ) } 3. F = {x } + lineal(p) für alle x F 4. dim F = dim lineal(p)
Beispiele 25 Echte minimale Seiten von polyederischen Kegeln 26 Definition 6.26 Die inklusionsminimalen unter den vom Linealitätsraum verschiedenen Seiten eines polyederischen Kegels sind seine echten minimalen Seiten. Satz 6.27 Für eine nicht-leere Seite G eines polyedrischen Kegels K = P (A, O m ) (mit A R m n ) sind folgende Aussagen paarweise äquivalent (mit Eq(G) = Eq Ax Om (G)): 1. G ist eine echte minimale Seite von K. 2. G = {x R n A Eq(G), x = O Eq(G), A i,, x 0} für alle i [m] \ Eq(G) 3. G = ccone{x } + lineal(k) für alle x G \ lineal(k) 4. dim G = dim lineal(k) + 1
27 Ecken und Extremalstrahlen Definition 6.28 1. Die (0-dimensionalen) minimalen Seiten {v} (oder auch v selbst) eines (spitzen) Polyeders sind seine Ecken. 2. Die (1-dimensionalen) echten minimalen Seiten eines (spitzen) polyederischen Kegels sind seine Extremalstrahlen. Die von O verschiedenen Vektoren in einem Extremalstrahl sind seine Erzeuger. Bemerkung 6.29 Ein Punkt v P in einem Polyeder P ist genau dann eine Ecke von P, wenn v conv (P \ {v}) ist, d.h., wenn v ein Extremalpunkt von P ist. 28 Charakterisierung irredundanter innerer Darstellungen Satz 6.30 Für ein nicht-leeres Polyeder P und zwei endliche Mengen V P und U char(p) ist P = conv V + ccone U + lineal(p) genau dann eine irredundante innere Darstellung von P, wenn 1. V aus jeder minimalen Seite von P genau einen Punkt und 2. U aus jeder echten minimalen Seite von char(p) genau einen nicht in lineal(p) liegenden Vektor enthalten.
Folgerungen für spitze Polyeder 29 Korollar 6.31 Für spitze Polyeder P und endliche Mengen V P und U char(p) ist also genau dann P = conv V + ccone U, wenn V alle Ecken und U Erzeuger aller Extremalstrahlen von char(p) enthält. Korollar 6.32 Ein lineares Optimierungsproblem über einem spitzen Polyeder ist unbeschränkt oder nimmt sein Optimum in einer Ecke des Polyeders an. Korollar 6.33 Eine spitzes Polyeder ist genau dann rational, wenn es nur rationale Ecken hat und sein charakteristischer Kegel nur rationale Extremalstrahlen besitzt.