Die komplexe Logarithmus-Funktion bbildung: Riemannsche Fläche - Bild der Exponential-Funktion DIE KOMPLEXE EXPONENTILFUNKTION Die e-funktion ist im Komplexen 2 π i-periodisch und deshalb nicht injektiv, denn für C z = x + iy, x, y R und k Z ist e z+2 k π i = e x cosy + 2 k π + i siny + 2 k π = e x cos y + i sin y = e z. Schränkt man die e-funktion allerdings auf den Streifen S := R [, 2 π ein, dann ist diese Funktion bijektiv und man kann eine Umkehrfunktion definieren. Ln : C \ {} S
DIE KOMPLEXE LOGRITHMUSFUNKTION Wir suchen dazu zu gegebenem w C die Lösungen der Gleichung e x e i y = e x+i y = e z = w = w e i argw, argw [, 2 π in S. Bildet man den Betrag, so folgt zunächst e x = w, also x = ln w und y = argw + 2 k π, k Z. Dabei ist nur für k = das y [, 2 π und x R ist ebenfalls eindeutig bestimmt, d. h. die komplexe Logarithmusfunktion ist durch ihren Hauptzweig eindeutig definiert. z = Ln w = ln w + i argw KONSEQUENZEN FÜR DIE PRTILBRUCHZERLEGUNG bleitungen und Stammfunktionen zu komplexen Funktionen werden erst in der Vorlesung Funktionentheorie definiert. Wir benutzen daraus das dort gewonnene Resultat d dz Ln z z =, z z z, z C., d. h. Ln z z ist eine Stammfunktion zu z z. Der Beweis erfolgt ähnlich wie im Reellen. Die bleitung der Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion selbst Unendliche Reihe. Der Rest folgt aus der Formel für die bleitung der Umkehrfunktion.
FORMEL FÜR DIE PRTILBRUCHZERLEGUNG Für reelles z = x, z = x + i C erhält man nun zunächst für x z im ersten Quadranten dx = ln x z + i argx z x z = ln x x 2 + y 2 + i arccotx x π = ln x x 2 + y 2 + i 2 arctan x x = ln x x 2 + y 2 + i arctan x x. Hierbei ist i π/2 eine komplexe Integrationskonstante, die man auch weglassen kann. Weitere verschiedene Integrationskonstanten erhält man, wenn man in den anderen Quadranten argx z durch arctan-terme ausdrückt. BESTÄTIGUNG DER FORMEL Jetzt, da wir die Herkunft der Formel kennen, können wir diese als vom Himmel gefallen betrachten und deren Richtigkeit durch bleiten im Reellen nachweisen: = d dx ln x x 2 + y 2 ± i arctan x x x x 2 + y 2 2 x x 2 + y 2 ±i 2 + x x = x x x z 2 ± i x z 2 = x x i x z x z = { x z für + für x z 2x x
POLYNOME MIT REELLEN KOEFFIZIENTEN Konjugiert komplexe Nullstellen Satz. Bei einem Polynom mit reellen Koeffizienten ist mit jeder echt komplexen Nullstelle z auch die konjugiert komplexe Zahl z Nullstelle. 2. Bei der Partialbruchzerlegung einer echt gebrochen rationalen Funktion gehören zu konjugiert komplexen Nullstellen konjugiert komplexe Koeffizienten, d. h. mit jedem Term tritt auch der Term Ā x z n auf. Beweis: Übungsaufgabe Man konjugiere die Produktzerlegung bzw. die Partialbruchzerlegung. x z n RÜCKKEHR INS REELLE EINFCHE NULLSTELLEN Mit = a + i b und z = x + i ist + Ā dx = a + i b ln x z + i arctan x x x z x z + a i b ln x z i arctan x x = 2 a ln x x 2 + y 2 2 b arctan x x Beispiel: = a ln x x 2 + y 2 2 b arctan x x Für = z = + i, also a = b = x = =, ist 2x 2 x 2 2x + 2 dx = lnx2 2x + 2 2 arctanx.
RÜCKKEHR INS REELLE MEHRFCHE NULLSTELLEN Mit = a + i b und z = x + i und < k N ist x z k + Ā x z k dx = k x z k + Ā x z k Beispiel: = k = k x z k + Ā x z k x z 2k 2 Re x z k x z 2k Für = z = + i, also a = b = x = =, und k = 2 ist 2x 2 2x 4 x 2 dx = 2x + 2 2 x 2 2x + 2