Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1

Christian Eisentraut & Julia Krämer www.vorkurs-mathematik-informatik.de Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe) Notieren Sie die Definitionen der folgenden Begriffe aus dem Kopf ohne im Skript nachzuschlagen und korrigieren Sie dann ihre Lösungen: (a) Schlussregel (b) Schluss (c) Beweis Aufgabe 2. (Sind Schlussregeln korrekt?!) Haben Sie an einer der Schlussregeln Zweifel? Schreiben Sie sie als Implikation auf und zeigen Sie, dass es sich um eine Tautologie handelt. Warum zeigt dies dies Korrektheit der Regel? Gibt es Regeln, deren Korrektheit Sie so nicht zeigen können? Aufgabe 3. (Implikation vs. Schluss) Überlegen Sie sich den Unterschied zwischen der wahren Aussage Wenn 2 + 2 = 5, dann ist die Sonne grün. und Sie können logisch aus 2 + 2 = 5 Die Sonne ist grün. schließen. Wie erklären Sie sich diesen Unterschied? Wie passt dies mit Ihrem Verständnis von Aussagenlogik zusammen? Aufgabe 4. (Schließen vs. Beweisen) Erklären Sie mit eigenen Worten anhand eines Beispiels, was der Unterschied zwischen Schließen und Beweisen ist. Beweisen Sie... heißt der Auftrag in den folgenden Aufgaben. Damit ist gemeint, dass Sie sowohl einen Textbeweis als auch einen Ableitungsbaum erstellen sollen. Im Ableitungsbaum müssen Sie Aussagen der Form x eine Menge :... und x eine Menge :... nicht anders behandeln als x :... bzw. x :... außer der Beweis erfordert dies explizit. Sie dürfen also zum Beispiel den folgenden Baum ableiten, sofern es der Beweis zulässt. 1 Die vorlegende Sammlung an Übungsaufgaben erstellt von Christian Eisentraut und Julia Krämer (www.vorkurs-mathematik-informatik.de) ist inklusive aller darin vorkommenden Texte und Bilder lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung - Nicht-kommerziell - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz. Weitere Hinweise finden Sie unter http: //creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/. 1

Beispiel für einen zulässigen Ableitungsbaum: ( :Bew) P (ṅ) n N : P (n) Achtung: Sie müssen sich aber merken (und korrekt berücksichtigen) aus welcher Menge die Elemente ursprünglich stammen. Aufgabe 5. (Quantorenregeln anwenden) Beweisen Sie: Für jede natürliche Zahl gibt es eine natürliche Zahl, die echt größer ist. Sie dürfen annehmen, dass x + 1 > x gilt. Aufgabe 6. (Quantorenregel und Implikationsregel anwenden) Beweisen Sie: Jede natürliche Zahl, die von 4 geteilt wird, wird auch von 2 geteilt. Aufgabe 7. (Schlussregeln anwenden) Schließen Sie aus den nachfolgenden Aussagen auf möglichst viele neue Aussagen, indem Sie alle möglichen Schlussregeln anwenden. Seien dazu P, Q und R beliebige Prädikate über dem Universum U. Beispiel Wir betrachten als Beispiel den Ausdruck x : y : P (x) Q(x, y) zusammen mit z : P (z) Q(z, z). Sei U = N. ( :Anw) ( :Anw) ( :Anw) x : y : P (x) Q(x, y) y : P (ẋ) Q(ẋ, y) P (ẋ) Q(ẋ, ẏ) P (ẋ) Q(ẋ, ẋ) Q(ẋ, ẏ) y : P (ẋ) Q(ẋ, ẋ) Q(ẋ, y) z : P (z) Q(z, z) P (ẋ) Q(ẋ, ẋ) ( :Bew) x : y : P (x) Q(x, x) Q(x, y) ( :Bew) ( :Anw) Somit haben wir auf alle im Ableitungsbaum auftauchenden Aussagen sowie insbesondere die Aussage x : y : P (x) Q(x, x) Q(x, y) geschlossen. Ein paar Anmerkungen: Unser Ableitungsbaum für die Aussagen ist in umgekehrter Reihenfolge von oben nach unten entstanden. In Beweisen würden Sie unten anfangen, also bei x : y : P (x) Q(x, x) Q(x, y) und dann versuchen, einen korrekten Baum zu konstruieren, dessen oberen Enden wahre bzw. bewiesene Aussagen hier: x : y : P (x) Q(x, y) und z : P (z) Q(z, z) sind. Das Ziel dieser Aufgabe ist nicht, dass Sie die gegebenen prädikatenlogischen Aus- 2

drücke auf eine bestimmte Form bringen, sondern betrachten, was Sie alles aus den gegebenen Fakten ableiten können. Wie Sie später vermutlich merken werden, kann dies beim Beweisen sehr hilfreich sein, vor allem wenn man nicht direkt eine Beweisidee hat. Es reicht in dieser Aufgabe nicht aus, nur die Schlussregeln ( :Anw), ( :Anw), ( :Bew)und ( :Bew)anzuwenden. Entweder es ist mindestens eine weitere Regel (nach Anwendung anderer Regeln) anwendbar oder Sie müssen begründen, warum keine der anderen Regeln anwendbar ist. Sie können (müssen aber nicht) dazu wie folgt vorgehen: Konstruieren Sie Ableitungsbäume wie folgt: Beginnen Sie ganz oben bei den gegebenen Fakten und überlegen Sie sich, wie Sie daraus neue Aussagen schließen können und notieren Sie sie wie im Beispiel, also angewendete Schlussregel. Aussage, die Sie haben Aussage die Sie erschließen. Schreiben Sie an die Linie die Übrigens sind die Ableitugen nicht eindeutig, wie das folgende Beispiel zeigt: ( :Anw) ( :Anw) ( :Anw) x : y : P (x) Q(x, y) y : P (5) Q(5, y) P (5) Q(5, ẏ) P (5) Q(5, 5) Q(5, ẏ) y : P (5) Q(5, 5) Q(5, y) z : P (z) Q(z, z) P (5) Q(5, 5) ( :Bew) x : y : P (x) Q(x, x) Q(x, y) ( :Bew) ( :Anw) (a) x : P (x) P (x) zusammen mit z : P (z) R(z) und y : P (y) R(y) (b) y : P (y) x : Q(x) zusammen mit z : Q(z) x : R(x) (c) z : P (z) x : Q(x) zusammen mit z : Q(z) R(z) Aufgabe 8. (Ableitungsregeln anwenden) Gegeben sind nun Aussagen, die Sie als bewiesen voraussetzen dürfen und eine Aussage, die Sie damit beweisen sollen. Konstruieren Sie passende Ableitungsbäume. Beispiel In Aufgabe?? hätte die Aufgabenstellung zu dem gegebenen Baum im Beispiel gelautet: Gegeben sei x : y : P (x) Q(x, y) zusammen mit z : P (z) Q(z, z). Schließen Sie auf x : y : P (x) Q(x, x) Q(x, y). Dabei kann man den Baum wie folgt konstruieren: Sie beginnen bei x : y : P (x) Q(x, x) Q(x, y) und wenden die Inferenzregeln rückwärts an, bis Sie bei bereits bewiesenen Aussagen hier x : y : P (x) Q(x, y) und z : P (z) Q(z, z) ankommen. Um die Inferenzregeln korrekt rückwärts anzuwenden, müssen Sie sich 3

überlegen, wie Sie auf die Aussage, die Sie bereits haben, hätten schließen können. Z.B. können Sie auf x : y : P (x) Q(x, x) Q(x, y) von y : P (ẋ) Q(ẋ, ẋ) Q(ẋ, y) mittels der Regel ( :Bew) schließen. Auch hier sind prinzipiell immer mehrere Ableitungsregeln möglich. Dies wird auch später beim Beweisen so sein. Ziel der Aufgabe ist es daher auch, eine Intuition dafür zu bekommen, welche Inferenzregeln zum Ziel führen und welche eher nicht. (a) Gegen sei x : y : P (x, y) Q(x, y). Schließen Sie auf P (ẋ, ẏ) Q(ẋ, ẏ). (b) Gegeben sei x : y : P (x, y). Schließen Sie auf P (ẋ, ẏ). (c) Gegeben sei y : P (y) Q(y) zusammen mit x : R(x) Q(x). Schließen Sie auf y : P (y) R(y). (d) Gegeben sei x : y : z : P (x, y, z) zusammen mit x : Q(x, x). Schließen Sie auf x : y : z : P (x, y, z) Q(x, x). (e) Gegeben sei x : y : P (x) (Q(y) (Q(y))). Schließen Sie auf x : P (x). (f) Gegeben sei x : y : z : (P (x) Q(y, z)). Schließen Sie auf (P (ẋ) Q(ẏ, ż)). (g) Gegeben sei ( x : P (x)) ( y : P (y) Q(y)). Schließen Sie auf x : Q(x). Aufgabe 9. (Ableitungsregeln anwenden - einmal anders) Sie sind immer noch mit Leidenschaft Gärtner. Nun möchten Sie das Wachstum und die Zusammensetzung der Beete zweier Ihrer Lieblingsblumen als Schlussregelsystem modellieren. Betrachten Sie folgendes System von Schlussregeln (wir schreiben die Blumenformen aus statt sie zu malen - Ihnen steht es natürlich frei, die entsprechenden Texte als Bilder darzustellen): (a) Leiten Sie das folgende Blumenbeet ab: Erde Tulpe Erde Nelke (b) Auf wie viele verschiedene Arten kann man T ulpensamen Erde ableiten? Begründen Sie Ihre Antwort! (c) Geben Sie ein vermeintliches Blumenbeet an, welches man aber nicht ableiten kann. Tulpensamen AxiomT Nelkensamen AxiomN Erde AxiomE Wasser AxiomB Sonne AxiomS 4

Erde Tulpensamen Tulpensamen PflanzenT Erde Nelkensamen Nelkensamen PflanzenN Wasser Tulpensamen kleine Tulpe WachsenT Wasser Nelkensamen kleine Nelke WachsenN Sonne kleine Tulpe Tulpe BluehenT Sonne kleine Nelke Nelke BluehenN s t s t Kombination Nelke in Nelke Erde Nelkensamen NeuN Tulpe in Tulpe Erde Tulpensamen NeuT Aufgabe 10. (Beweise) (a) Beweisen Sie: Für alle natürlichen Zahlen n gilt: Wenn n gerade ist, dann ist auch n 2 gerade. (b) Vergleichen Sie Ihren Beweis von letzter Woche nun mit Ihrem neuen Beweis zu der Behauptung, dass aus n gerade auch n 2 gerade folgt. Schreiben Sie alles auf, was Ihnen daran auffällt. Würden Sie Ihren alten Beweis immer noch als Beweis bezeichnen? 5

Aufgabe 11. (Beweise) Beweisen Sie: Die Summe zweier rationalen Zahlen ist wieder rational. Hinweis: Die Menge, die alle rationalen Zahlen enthählt (und nur genau diese), ist die Menge Q. Gehen Sie dazu wie folgt vor: (a) Definieren Sie ein Prädikat Q(x), welches genau dann wahr ist, wenn x rational ist. Definieren Sie das Prädikat auch hier nicht natürlichsprachlich, d.h. nicht als Q(x) := x ist rational, sondern als prädikatenlogischen Ausdruck. (b) Schreiben Sie die Aussage, die bewiesen werden soll, als prädikatenlogischen Ausdruck auf. (c) Stellen Sie die Schlussbäume für den Beweis auf. (d) Schreiben Sie nun anhand der Schlussbäume einen Textbeweis. Aufgabe 12. (Beweise verstehen) Entscheiden Sie, welche Schlussregeln angewendet worden sind. Es kann Ihnen helfen, zunächst zu identifizieren, welche Schritte logisch begründet werden müssen. Schreiben Sie dann den Beweis als Baum wie in Aufgabe??. Textbeweis Erklärungen Schlussregel Behauptung: Die 0 ist eindeutig, d.h. es gibt keine weitere Zahl für die gilt: x R : x + 0 = x Beweis durch Widerspruch. Annahme: 0 und 0 haben die beschriebene Eigenschaft. Sei ȧ R beliebig. Dann gilt: ȧ + 0 = ȧ + 0 = ȧ. Dann gilt auch: 0 = 0 + 0 = 0 + 0 = 0 Die beschriebene Eigenschaft wird für 0 und 0 angewendet. Satz aus der Mathematik Aufgabe 13. (Beweisen) Beweisen Sie für beliebige reelle Zahlen x, y und z: (a) max(x, y) + min(x, y) = x + y (b) min(x, min(y, z)) = min(min(x, y), z) (c) min(x, y) max(x, y) Aufgabe 14. (Beweise) Beweisen Sie die Dreiecksungleichung: x, y R : x + y x + y 6

Aufgabe 15. (Beweise) Beweisen Sie für beliebige ganze Zahlen: x ungerade und y ungerade impliziert, dass x y gerade ist. Aufgabe 16. (Beweise verstehen) Betrachten Sie den nachfolgenden Beweis und versuchen Sie zu verstehen, wie hier die logischen Schlussregeln angewendet worden sind. Notieren Sie rechts jeweils die im Beweis benutzten Schlussregeln. Schreiben Sie die im Beweis nur als Text geschriebenen Aussagen auch als prädikatenlogische Aussage auf; notieren Sie z.b. neben dem Satz Damit ist p 2 durch 2 teilbar. die entsprechende prädikatenlogische Aussage k N : p 2 = 2k. Gibt es im Beweis logische Lücken? Wenn ja, versuchen Sie diese zu schließen. Textbeweis Erklärungen Schlussregel Behauptung: 2 Q Beweis durch Widerspruch Annahme: 2 Q Das heißt, es existiert (ṗ, q) Z (Z \ {0}), so dass 2 = ṗ q und ṗ und q haben außer 1 keinen gemeinsamen Teiler. Es genügt, natürliche Zahlen zu betrachten, da 2 positiv ist. Man forme zunächst wie folgt um: 2 = ṗ 2 = p 2 2 q q 2 = p 2 q 2 Damit ist p 2 durch 2 teilbar. Man kann folgern, dass auch ṗ durch 2 teilbar ist. Sei nun ṗ = 2 ṅ für ein ṅ Z. Man forme erneut um: 2 = 4 n 2 q 1 = 2 n2 2 q q 2 = 2 2 n 2 Damit ist q 2 und somit auch q durch 2 teilbar. Das ist aber ein Widerspruch zur Annahme, dass ṗ und q nur 1 als gemeinsamen Teiler haben. Somit folgt die Behauptung. d.h., sie sind als vollständig gekürzter Bruch darstellbar. Wir schränken ṗ and q auf N ein, da uns dies später nützen wird ( ). Die erste Äquivalenzumformung setzt voraus, dass p und q positiv sind, ansonsten ist das Quadrieren keine Äquivalenzumformung. Daher haben wir vorher erklärt, warum die Einschränkung ( ) zulässig ist. Hier wird die Definition der Teilbarkeit angewendet. Satz aus der Mathematik. Diesen sollten Sie als gute Übung für zwischendurch gleich noch beweisen! Rechnungen, gültig nach Rechengesetzen Definition Teilbarkeit und Satz aus der Mathematik 7

Aufgabe 17. (Beweise verstehen) Betrachten Sie den nachfolgenden Beweis und versuchen Sie zu verstehen, wie hier die logischen Schlussregeln angewendet worden sind. Notieren Sie rechts jeweils die im Beweis benutzten Schlussregeln. Schreiben Sie die im Beweis nur als Text geschriebenen Aussagen auch als prädikatenlogische Aussage auf. Gibt es im Beweis logische Lücken? Wenn ja, versuchen Sie diese zu schließen. Textbeweis Erklärungen Schlussregel Behauptung: Wenn jede schlechte Bäckerin eine gute Bäckerin als Mutter hat, dann gibt es mindestens eine gute Bäckerin mit einer guten Bäckerin als Großmutter. Sei x 1 eine beliebige Bäckerin. Annahme: Jede schlechte Bäckerin hat eine gute Bäckerin als Mutter. Wir machen im Folgenden eine Reihe von ineinander verschachtelten Fallunterschiedungen und nummerieren diese daher zur besseren Lesbarkeit entsprechend. Fallunterscheidung: Fall (1): x 1 ist eine gute Bäckerin. Bezeichne x 2 ihre Mutter. Fallunterscheidung: Fall (1.1): x 2 ist eine schlechte Bäckerin. Mit der Annahme folgt dann, dass ihre Mutter x 3, die Großmutter von x 1 eine gute Bäckerin ist. Die Existenzaussage der Konklusion ist damit durch x 1 gezeigt. Fall (1.2): x 2 ist eine gute Bäckerin. Fallunterscheidung: F all (1.2.1): x 3 ist eine gute Bäckerin. Achtung, wir machen einen nicht-konstruktiven Existenzbeweis. Daher werden wir die Regel ( :Bew) in diesem Beweis nicht verwenden! Passen Sie also genau auf, wie hier argumentiert wird! Es wird unterschieden, ob x 1 eine gute oder eine schlechte Bäckerin ist. Achtung! Welche Annahme macht der Beweis hier? Es wird unterschieden, ob x 2 eine gute oder eine schlechte Bäckerin ist. Es wird unterschieden, ob x 3 eine gute oder eine schlechte Bäckerin ist. 8

Textbeweis Erklärungen Schlussregel Die Existenzaussage der Konklusion folgt erneut mit x 1 F all (1.2.2): x 3 ist eine schlechte Bäckerin. Mit der Annahme folgt, dass x 4, die Mutter von x 3 und die Großmutter von x 2 eine gute Bäckerin ist. Damit ist die Existenzaussage der Konklusion durch x 2 erfüllt. F all (2): x 1 is eine schlechte Bäckerin. Dann ist x 2, die Mutter von x 1, eine gute Bäckerin. Wiederholen wir die Argumentation von F all (1) und ersetzen x 1 durch x 2 x 2 durch x 3 und x 3 durch x 4, sowie x 4 durch x 5, so sehen wir, dass die Konklusion erneut folgt. Man nennt diese abkürzende Art der Argumentation eine analoge Argumemtation. Man sagt, etwas folgt analog zu etwas anderem, wenn beide Beweise exakt gleich funktionieren, bis auf die Tatsache, dass gewisse Symbole eins zu eins ausgestauscht werden müssen. Aufgabe 18. (Gegenbeispiele finden) Widerlegen Sie die Behauptungen, indem Sie ein Gegenbeispiel angeben. (a) Das Produkt zweier irrationaler Zahlen ist irrational. (b) Seien A, B und C Mengen. Wenn A C = B C, dann gilt A = B. (c) Seien a, b natürliche Zahlen. Dann ist max(a, b) = 1 2 (a + b + a b ) + 1. (d) Seien a, b natürliche Zahlen. Dann ist min(a, b) = 1 2 (a + b + a b ). Aufgabe 19. (Kontraposition verwenden) Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe der Kontraposition. (a) Beweisen Sie für eine beliebige natürliche Zahl n: Ist n 2 ungerade, dann ist auch n ungerade. (b) Wenn n eine ganze Zahl ist und n 3 + 5 ungerade ist, dann ist n gerade. (c) Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade. (d) Wenn x selbst keine rationale Zahl ist, dann ist auch 1 x keine rationale Zahl. (e) Wenn n eine natürliche Zahl ist und n 2 + 5 ungerade, dann ist n gerade. 9

Aufgabe 20. (Widerspruchsbeweis) Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe von Widerspruchsbeweisen. (a) Man sagt, y heißt Barbier, wenn x : ( P (x, x) P (y, x)) für y wahr wird. Zeigen Sie, dass es keinen Barbier geben kann. (b) 3 Q (c) Die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist irrational. Aufgabe 21. (Ringschluss) Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden drei Aussagen mit Hilfe eines Ringschlusses. Sei dazu z Z beliebig. (a) k Z : 3 z + 2 = 2 k (b) k : Z : z + 5 = 2 k + 1 (c) k Z : z 2 = 2 k Aufgabe 22. (Direkte Beweise) Beweisen Sie die folgenden Aussagen direkt. Verwenden Sie dazu die Regel (=-Subst). (a) Die Summe zweier ungerader Zahlen ist gerade. (b) Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade. (c) Es gibt zwei irrationale Zahlen, deren Potenz rational ist. Aufgabe 23. (Beweise) Beweisen Sie auch die folgende Aussage direkt. Verwenden Sie dazu die Regel (=-Subst) nicht, sondern wenden Sie die entsprechenden Umformungen als Sätze an. Beispiel Seien a, b, c reelle Zahlen. Im Folgenden sollen Sie Umformungen wie a = b a+c = b + c nicht mit der Regel (=-Subst) begründen, sondern den Satz x, y, z R : x = y x + z = y + z verwenden. Verfahren Sie mit allen weiteren mathematischen Umformungen analog. Zeigen Sie, dass x 2 x 1 = 0 zwei Lösungen hat. Formen Sie dazu die Gleichung um. Aufgabe 24. (Schlussregeln evaluieren) Machen Sie sich klar, warum man (Subst) und (=-Subst) nicht einfach austauschen kann. Hinweis: Einen Ausdruck zu vereinfachen ist nicht das gleiche wie in einer Gleichung beide Seiten äquivalent zu verändern. Betrachten Sie dazu z.b. die beiden vorangegangenen Aufgaben. 10