KLAUSUR THEORETISCHE MECHANIK Univ. Potsdam Prof. A. Feldmeier Fr 30. Juli 00 4 bis 7 Uhr JEDE AUFGABE AUF EIN NEUES BLATT MIT NAME UND MATRIKEL Schein: mindest. halbe Punktzahl. Davon mindest. ein Drittel im Aufgabenteil V O R L E S U N G V. Fragen 0 Punkte je (a) Wie ist die Poissonklammer definiert? (b) Wie lauten die Bewegungsgleichungen mit Poissonklammer? (c) Wie ist die Phasenraumdichte definiert wie realisieren Sie sie? (d) Wie ist das dyadische Produkt definiert? (e) Was ist ein Tensor? V. Erzeugende Funktion 7 Punkte Sei F = F (q p q p). Weiterhin sei eine der beiden Gleichungen q = F p erfüllt sowie eine der beiden Gleichungen und es gelte H H = F/ t. q = F p p = F q F p = q Zeigen Sie dass dann q p q p die kanonischen Gleichungen erfüllen. Gemischte zweite Ableitungen nach q p t dürfen beliebig vertauscht werden. V3. Eulersche Differentialgleichung 3 Punkte Bitte leiten Sie die Eulersche Differentialgleichung d q dt q = 0 mit der originalen Eulerschen Methode her: (i) Diskretisierung der Zeitachse in Intervalle (ii) Variation 0 = δw = i δl(q i q i t i ) der Wirkung (iii) Bahnvariation δq in nur einem Punkt t. Benutzen Sie bitte linksseitige Differentiale also q = (q q 0 )/. BITTE WENDEN!
A U F G A B E N A. Von Hamilton zu Lagrange 4 Punkte Ein System mit einem Freiheitsgrad hat die Hamiltonfunktion H(q p) = p + A(q) p + B(q). m Bitte finden Sie die Geschwindigkeit q und die Lagrangefunktion L(q q). Achtung: L hängt von q ab nicht von p. A. Isotroper Oszillator 0 Punkte Die Hamiltonfunktion des isotropen Oszillators in der Ebene lautet Wir definieren (mit ω = k/m) H(q p) = m (p x + p y ) + k (x + y ). S = m (p x p y ) + k (x y ) S = m p xp y + kxy S 3 = ω(xp y yp x ). Zeigen Sie (mit Poissonklammern {x p x } = {y p y } = ) dass {S S } = ωs 3. A3. Rotierende kartesische Koordinaten 0 Punkte Seien X Y kartesische Koordinaten im Inertialsystem I der Ebene und x y Koordinaten im gegenüber I mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω = dθ/dt rotierenden System R X = x cos θ y sin θ Y = x sin θ + y cos θ. Zeigen Sie dass die Lagrangefunktion m [(Ẋ) + (Ẏ ) ] des in I kräftefreien Teilchens in R so lautet: L = m [ (ẋ) + (ẏ) + ω (x + y ) + ω(xẏ yẋ) ]. Tipp: Es empfiehlt sich Abkürzungen s = sin θ(t) und c = cos θ(t) zu verwenden. Achtung: ṡ = ωc ċ = ωs. A4. Kroneckersymbol 0 Punkte Das Kroneckersymbol ist in jedem kartesischen Koordinatensystem gleich definiert δ ij = δ ij = 0 bzw. wenn i j bzw i = j. Zeigen Sie dass sich δ unter Drehungen im euklidischen R 3 mit Drehmatrix a dennoch wie ein Tensor. Stufe transformiert.
L Ö S U N G E N V. Erzeugende Funktion Wir müssen zeigen dass für alle Koordinaten q p q p die kanonischen Gleichungen gelten: q = F t p = F p t = p (H H) = + H p p = + F t q = + F q t = + q (H H) = H q q = + F t p = + F p t = + p (H H) = + H p ṗ = F t q = F q t = q (H H) = H q wobei H( q p)/ q = 0 usw. verwendet wurde. V3. Eulersche Differentialgleichung Hilfsrechnung: wenn man nur den Punkt q variiert dann ändern sich die Ableitungen q und q (schreibe vor und nach der Variation) Entsprechend q vor = q q 0 = q + δq q 0 q nach δ q = q nach q vor = δq. q vor = q q = q (q + δq ) q nach δ q = q nach q vor = δq. Damit Prinzip der kleinsten Wirkung (wir schreiben q i q ) i
0 = δw = δl i i = ( δq i + ) δ q i q i i q i ( = δq + δ q + ) δ q q q q ( = δq + δq q q ) δq q ( = / q ) / q δq q ( = d ) δq q dt q Also muss die runde Klammer verschwinden! Der zweite Summand ist ein Funktionswert an der Stelle t. Er unterscheidet sich vom Funktionswert an der Stelle t nach Taylorreihenentwicklung um t um einen Term. Im limes 0 verschwindet dieser. Da an beiden (verbleibenden) Termen der Index steht und dieser (Zeit-)Punkt beliebig ist können wir den Index weglassen: q d dt q = 0. A. Von Hamilton zu Lagrange q = H p = p m + A(q). L = p q H = p m B = m ( q A) B. A. Isotroper Oszillator Wir geben nur die nicht-verschwindenden Terme an {S S } = { m (p x p y ) + k (x y ) } m p xp y + kxy ( {p } x xy} {p y xy + { } { } ) x p x p y y p x p y = k m = k m (yp x {p x x} xp y {p y y} + xp y {x p x } yp x {y p y }) = k m (xp y yp x ) = ωs 3.
A3. Rotierende kartesische Koordinaten Abkürzung: s = sin θ c = cos θ. Koordinatentransformation Zeitableitung davon X = xc ys Y = xs + yc. Quadrieren und addieren Ẋ = ẋc ẏs xωs yωc Ẏ = ẋs + ẏc + xωc yωs. ) ) (Ẋ + (Ẏ = ẋ c + ẏ s + x ω s + y ω c ẋẏsc xẋωsc yẋωc + xẏωs + yẏωsc + xyω sc + ẋ s + ẏ c + x ω c + y ω s +ẋẏsc + xẋωsc yẋωs + xẏωc yẏωsc xyω sc Zusammenfassen L = m [Ẋ + Ẏ ] = m [ẋ + ẏ + ω (x + y ) + ω(xẏ yẋ) ]. A4. Kroneckertensor Für Drehmatrizen gilt a τ = a.. Beweis: mit Operatoren. Das Kroneckersymbol ist der Identitätsoperator I: I = I = aa = aa τ = aia τ Das erste Gleichheitszeichen gilt laut Voraussetzung; das letzte sollte gezeigt werden: dies ist das Transformationsverhalten eines Tensors zweiter Stufe:. Beweis: mit Indizes: T = at a τ.
δ ij = δ ij a ik a kj a ik a τ kj a ik a jk a ik a jl δ kl l Dies ist wieder das Transformationsverhalten eines Tensors zweiter Stufe: T ij = a ika jl T kl.