Mathematische Grundlagen Übung Übung a n = 7 + 4n a n = ( n+ ( + n ( a n = n (n + (n + 4 a n = Es gilt a 9 = 9, und nach der arithmetischen Summenformel ergibt sich damit ( 7 + 9 (9 + s 9 = = Nach der geometrischen Summenformel ergibt sich s 9 = ( = 4 5,666 s 9 = + 6 9 + 5 + 8 + 4 7 + = 5 4 s 9 = + + 6 + + 5 + + 8 + 6 + 45 + 55 = Übung Bei linearer Verzinsung bilden die Guthaben eine arithmetische Folge, denn es kommen jedes Jahr als Zinsen 5 % von e, also e, zum Kapital dazu Nach zehn Jahren ergeben sich damit K = + = e Bei exponentieller Verzinsung hingegen bilden die Guthaben eine geometrische Folge, denn von Jahr zu Jahr ergeben sich die Guthaben durch Multiplikation mit dem Faktor,5 Nach zehn Jahren ergeben sich also K =,5 57,79 e Übung 4 Bei linearer Abschreibung bilden die Restwerte R n eine arithmetische Folge; konkret ergibt sich für R = 6 und einen konstanten Abschreibungsbetrag von 6 die Folgengleichung R n = 6 6n
Mathematische Grundlagen Übung 5 Aus R 6 = 6 d = 66 ergibt sich d = 4 Aus R n = n < ergibt sich n > 9,45, also nach zehn Jahren Übung 6 Der Ansatz W n = W,85 n < W, ergibt ungefähr n > 9,9, also sinkt der Restwert nach zehn Jahren unter % des Anfangswertes Die Beantwortung dieser Frage ist vom Anfangswert völlig unabhängig Übung 7 Übung 8 Übung 9 Hier werden die Glieder der geometrischen Folge mit q = addiert, und zwar vom nullten bis zum Folgenglied (denn = 48576 Nach der geometrischen Summenformel ergibt sich s = ( 8 = 6995 Wegen 46 =,9687 beträgt der prozentuale Jahresrückgang, % Die Formel lautet: M n = 46,9687 n Gesamtmüllmenge = M n = 88766549,87 Tonnen n= Für die drei Summen gilt S( = + =, S( = + + 4 = 5, S( = + + 4 + 9 = 4 Andererseits ergibt sich durch Einsetzen in den Summenausdruck ( + ( + S( = 6 ( + ( + S( = 6 ( + ( + S( = 6 = 6 = 5 6 = 4 7 6 =, = 5, = 4 Man berechnet S(n +, indem man anstelle von n in S(nüberall den Ausdruck n + einsetzt So ergibt sich (n + ((n + + ((n + + (n + (n + (n + S(n + = = 6 6
Mathematische Grundlagen Andererseits gilt S(n + (n + n(n + (n + = + (n + n(n + (n + + 6(n + =, 6 6 und Faktorisieren des Nenners ergibt das gleiche wie oben Die beiden Terme stimmen also überein, was bedeutet: Addiert man zum geschlossenen Ausdruck S(n die (n + -te Quadratzahl, so ergibt sich der entsprechende geschlossene Ausdruck für n + Damit gilt die Formel für alle n Übung Übung Übung Die periodische Dezimalzahl, 9 kann in folgender Weise als Reihe geschrieben werden:,9 =,9 +,9 +,9 +,9 + =,9, k Nach der geometrischen Reihenformel ergibt sich damit,9 =,9, = lim n n + n = lim n 5n n+ 4n+ = f (x = x f (x = x k= f (x =,5x + (oder in Koordinatenform: x + x = 4 Übung K (x =,4x + 7,5 Der Ansatz, 4x + 7, 5 = 88, 4 führt auf den Wert x = 86 Der Ansatz, 4x + 7, 5 =, x + führt auf x = 6, 5 Ab 6,5 Kilowattstunden lohnt sich demnach ein Wechsel des Stromanbieters Übung 4 D f = R, Nullstellen: x =, x =,5 und x =,5 D f = R, Nullstelle: x = D f = R\{}, Nullstellen: x =, x = 4 D f = R\{}, Nullstellen: x =, x = 5 D f = R\],[, Nullstellen: x =, x =
4 Mathematische Grundlagen Übung 5 x 4 x = x = x x x x = x + x x 5 + 4 x = x5 x + x + 4 x = x5 x x + x + 4 x = x + x + 4 x Übung 6 Auf drei Dezimalstellen gerundet sind die Lösungen: x = ln(7 =,946 x = ln(5 + =,69 x = 4 x = ± e 5 = ±,4 Übung 7 N ( = 5 und lim t N (t = Der Verlauf sieht ungefähr so aus: N (t 5 t Aus N (t = 5 bzw N (t =,5 folgt t =,69 und t =,78 4 Solche Funktionen verlaufen beispielsweise flacher, falls das e t ersetzt wird durch e at (mit < a <, also etwa e,t
Differenzialrechnung in R Übung K L (x x =5 = K (x = x + 5 K L (x x =5 =,5x 6,5 K L (x x = = 4x 87,5 Übung K L (x x = =,54x + 45,77 Übung Die Gewinnfunktion ist G(x = x + 7,5x Ableiten und Nullsetzen ergibt die beiden Werte x = 7 und x = 7, von denen nur der positive Wert, also 7 ME, in Betracht kommt Als Gewinnmaximum erhält man G(7 = 4 GE Übung 4 a > :,5 > (wahr b < : 5 < (wahr c > : > (wahr d : (wahr b < ac : 5 < (wahr Schwelle des Ertragsgesetzes: x = Übung 5 Bei einer allgemeinen linearen Kostenfunktion K (x = ax + b hat die Stückkostenfunktion k(x = a + b x die Ableitung k (x = b x Da diese überall negativ ist, ist k(x streng monoton fallend, was zur Folge hat, dass das Minimum am rechten Definitionsrand, also an der Kapazitätsgrenze, erreicht wird Übung 6 Die Gewinnfunktion ist in diesem Fall quadratisch, also eine Polynomfunktion zweiten Grades, und hat die allgemeine Form G(x = dx + (c ax b, woraus sich durch Ableitung die gewinnmaximale Menge x max = c a und durch Einsetzen das Gewinnmaximum G = ac + 4bd a c ergeben d ( c a d 4d
6 Differenzialrechnung in R Übung 7 Die sinnvolle obere Grenze für x ergibt sich aus 78,x, also x 6 Das Nullsetzen der Ableitung U (x liefert zwei Werte, nämlich 45 und, von denen bei x = ME der größere Wert angenommen wird, nämlich U ( = 57 GE Die Nullstellen der Ableitung G (x sind 4,5 und 5 Hier wird bei x = 4,5 ME der größere Wert, nämlich G(4, 5 = 4, GE, angenommen Übung 8 Aus den beiden Punkten (7/75 und (65/5 ergibt sich die lineare Preis- Absatz-Funktion p(x = 5 5x Da p nicht negativ sein kann, ergibt sich als obere Grenze für die Produktion x = 55 Mountainbikes Die Gewinnfunktion lautet G(x = x p(x K (x = 5x + 775x Um das globale Gewinnmaximum zu bestimmen, berechnet man die Nullstelle der Grenzgewinnfunktion G (x = x + 775 und erhält x max = 59,6 Maximaler Gewinn wird daher bei der Produktion von x = 59 Bikes erzielt, und dieser Gewinn beträgt G(59 = 5 e Übung 9 Die Gesamtkostenfunktion hat die Form K ges (x = x x + 84x + 98 Die Gewinnfunktion ist G(x = x( x (x x + 84x + 98 = x + x + 6x 98 Durch Nullsetzen der Ableitung G (x ergibt sich als gewinnmaximale Menge x max = 4, 94 ME, und durch Einsetzen in die Gewinnfunktion erhält man das Gewinnmaximum G(x max = 4,4 GE Damit beträgt die abzuführende Steuer S(x max =,656 GE Nun muss für die allgemeine Gesamtkostenfunktion K ges (x = x x + (6 + sx + 98 die gewinnmaximale Menge bestimmt werden Man erhält x max = ( + 84 s ME (was natürlich nun von s abhängig sein muss Die Steuer, die sich im Gewinnmaximum ergibt, hängt nun ebenfalls als Funktion von s ab, nämlich Steuer(s = s x max = s ( + 84 s Nullsetzen der Ableitung Steuer (s liefert dann schließlich den gesuchten Wert s = 44,9 GE 4 Für den Wert s = ergibt sich als gewinnmaximale Menge x max = 5,88 ME Das entsprechende Gewinnmaximum beträgt 76,484 GE und die Steuer 5,99 GE
Differenzialrechnung in R 7 Übung Die Elastizitätsfunktion ist ε x (p = p 4 p Es ist ε x ( = 4 = Das bedeutet, dass eine einprozentige Erhöhung des Preises eine etwa -prozentige Senkung des Absatzes impliziert Aus der Skizze, die den Verlauf der Elastizitätsfunktion zeigt, wird deutlich, dass zwischen den Preisgrenzen und 4 unelastisches und zwischen den Preisgrenzen 4 und 8 elastisches Verhalten vorliegt: 4 p ε x (p Übung Es gilt P( = 5 Die maximale Produktionskapazität wird erreicht, wenn der Quadratausdruck im Nenner der Funktion verschwindet, also für t = Übung Übung Man berechnet ε f ( = 8 Der Funktionswert ändert sich demnach bei einer dreiprozentigen Steigerung von x um etwa 8 = 8 % Der Ansatz B(t = at + bt + ct + d führt auf ein Gleichungssystem; so ergibt sich beispielsweise wegen B( = d =, bereits der Wert für d, und so verfährt man sukzessive weiter Schließlich erhält man B(t =,t,4t +,9t +, Mit B(4 = 5,9 ergibt sich die Schätzung für das Jahr 6 Es gilt B (t =,t,8t +,9 Hieraus ergibt sich als ungefährer Zuwachs für 997 B ( =,5 (also 5 Einwohner
8 Differenzialrechnung in R 4 Die Skizze zeigt, dass das Wachstum progressiv wird, was unrealistisch ist Realistische Alternativen modellieren ein beschränktes Wachstum, beispielsweise ein logistisches: nach progressiver Phase wieder eine degressive N (t 5,9 4,,,9, (986 (996 (6 4(6 t
Integralrechnung in R Übung F (x = 5 x5 x F (x = x = x x F (x = 8 x4 5x F (x = (x + Übung Die Nullstellen von f (x = x x sind x = und x = Damit berechnet sich die gesuchte zweiteilige Fläche A über die Summe zweier Integrale: A = = Übung ( x xdx [ x x ] ( x xdx [ x x ],4477 FE Durch Gleichsetzen der Funktionsterme 4 x = x ergeben sich die beiden Schnittstellen x = und x = Für das gesuchte Flächenstück A ergibt sich demnach A = (4 x x dx = [ 4x ] x = 6 FE 7,545FE Übung 4 Durch Gleichsetzen der Funktionsterme erhält man hier den Gleichgewichtspunkt: Es ergibt sich Gleichgewichtsabsatz bzw die Gleichgewichtsnachfrage x G = 4 ME und den Gleichgewichtspreis p G = 6 GE/ME x A (p x N (p 5 6 p
Integralrechnung in R Übung 5 Die Produzentenrente berechnet sich durch PR = 5 x A (pdp = 66,667 GE f ( =, f ( =, f (5 = 5 Allgemein gilt [ ] x f (x = t = x und damit f (x = x Auf Grund der Form von g (x liegt es nahe, G(t = t zu setzen Für das bestimmte Integral gilt dann x a Übung 6 G(tdt = [ t ] x a = x a Beispielsweise mit a = ergibt sich so die gesuchte Darstellung: g (x = x t dt Ebenso ist auch eine Darstellung mit a = möglich Der Gleichgewichtspunkt ergibt sich durch Gleichsetzen: Aus x + 7 = 4 x folgt x G = 6 ME Aus der Skizze liest man die Werte für die Renten sofort ab; beide betragen 6 GE: 4 p A (x 9 7 p N (x 6 5 x Übung 7 Das gesuchte Integral wird mit Hilfe eines Grenzwerts wie folgt berechnet: x dx = lim a a [ x dx = lim ] a a x =
Integralrechnung in R Übung 8 Die beiden Funktionen sind p N (x = x + 64 und p A (x = x + 6 Gleichsetzen der Funktionsterme ergibt den Gleichgewichtsabsatz bzw die Gleichgewichtsnachfrage x G = 4 ME und den Gleichgewichtspreis p G = 6 GE/ME Mit Hilfe der Skizze sieht man leicht, mit welchen Integralen die Renten bestimmt werden können: 64 p A (x 6 p N (x 6 4 x Übung 9 Für die Produzentenrente erhält man PR = 4 p N (xdx 4 6 = 4, GE Für die Konsumentenrente erhält man KR = 4 6 4 p A (xdx = 8,44 GE 4 Es ist ε pn (x = x x + Es gilt f ( = g ( = und f ( = g ( = 4 Die Skizze macht deutlich, dass es keine weiteren Schnittpunkte gibt: f (x = x 4 g (x = x + x
Integralrechnung in R Für die Fläche A gilt A = Übung ( x x,679 FE Die Scheiben haben an der Stelle x den Radius f (x, so dass die (senkrecht stehende Grundseite der Scheibe nach der Kreisformel den Flächeninhalt π f (x hat Die Dicke der Scheibe wird durch dx symbolisiert; Aufsummieren aller Scheibeninhalte ergibt die Integralformel Hier gilt V = π h r dx = π [r x ] h = πr h Es handelt sich um einen Zylinder mit Höhe h und Radius r Hier gilt V = π h ( r h x dx = π [ r h x ] h = hπr Es handelt sich um einen Kegel mit Höhe h und Radius r
4 Lineare Algebra Übung 4 {( L =,5 L = L = } + t t t t R Übung 4 Ein mögliches LGS lautet: 6 5 Lösen Sie eine der drei Gleichungen nach dem Parameter t auf und setzen diese dann in die anderen beiden Gleichungen ein Außerdem dürfen Sie zwei Gleichungen addieren, etc Es könnten sich folgende Gleichungen ergeben: x x = x + x + x = 6 Modelliert in einem LGS: ( 6 Übung 4 ( Das LGS lautet 6 7,5 6,75 ( Das LGS lautet 7,5 9 8, {(,5, und die Lösungsmenge ist damit L =,5, und die Lösungsmenge ist damit L = {( 8/5 7/5 Hier gibt es nach wie vor nur zwei Gleichungen, aber drei Variablen Das LGS ist damit unterbestimmt: ( 6 7,5 9 7, } }
4 4 Lineare Algebra Damit ist im Gegensatz zu den Teilaufgaben und dieses Problem nicht eindeutig lösbar Die Lösungsmenge erfordert also einen Parameter Es ergibt sich L = t +, t +,8 t t,4, wobei die Einschränkungen für den Parameter t sich aus der Nicht-Negativität der drei Variablen ergeben Wählt man zum Beispiel für den Parameter t =,, dann lautet die Lösung: L =,,6, Übung 44 Mit dem Ansatz f (x = ax + bx + c ist folgendes LGS zu lösen: 5 85 9 5 Die Lösungsmenge ist L = f (x =,5x x + 5,5 5, und damit ergibt sich der Funktionsterm Man geht völlig analog zum ersten Aufgabenteil vor Die gesuchte Funktion vierten Grades (mit dem Ansatz f (x = ax 4 + bx + cx + dx + e lautet: f (x = x 4 x + x + 4x 4 Übung 45 Die Summe der natürlichen Zahlen ist durch einen quadratischen Ausdruck gegeben Es liegt daher möglicherweise nahe, für die Quadratzahlen einen wiederum um einen Grad höheren Ansatz zu wählen, also einen kubischen Ausdruck (In der Tat ist ja, wenn wir das Ergebnis bereits als bekannt voraussetzen, durch n(n + (n + 6 = (n + n(n + 6 ein solcher kubischer Ausdruck gegeben = n + n + n + n 6 = n + n + 6 n Wir wählen also den Ansatz S(n = an + bn + cn + d Zur Bestimmung der Koeffizienten bieten sich als Bedingungen die ersten vier Partialsummen an: S( = ; S( = ; S( = + = 5; S( = + + = 4
4 Lineare Algebra 5 Aus der ersten Bedingung folgt sofort d = und somit verbleibt das zu lösende LGS: 8 4 5 7 9 4 Es ergibt sich als Lösung a =, b = und c = 6 Also erhält man S(n = n + n + 6 n Übung 46 Es bezeichnen s A, s B bzw s C die Anzahl der Essen A, B bzw C, die an Studierende ausgegeben werden, sowie m A,m B bzw m C die Anzahl der Essen A, B bzw C, die an Mitarbeiter ausgegeben werden Es ergibt sich dann beispielsweise folgendes LGS: 4 5 7,5,5,5,5 45,5,5,5,5 495 5 5 5 Andere Ansätze sind möglich; so kann etwa die letzte Zeile auch ersetzt werden durch ( 5 oder auch durch ( 5 Hier gibt es fünf Gleichungen in sechs Variablen Das LGS ist damit unterbestimmt, und die Lösungsmenge mit einem freien Parameter darstellbar: L = 6 + t 9 t 4 t t t {;;;;4} Die Einschränkungen für t ergeben sich in diesem Fall aus den letzten beiden Variablen: m B und m C müssen nicht-negativ und ganzzahlig sein Die Werte für s A und m A sind fest, und die Nicht-Negativitäts- und Ganzzahligkeitsbedingungen für s B und s C sind weniger scharf als die anderen Es gibt 4 verschiedene Lösungen (siehe Teilaufgabe
6 4 Lineare Algebra Übung 47 Folgende Matrizenprodukte sind möglich: ( A A = ( C D = 5 8 9 6 6 ( 6, A B = 9 5 (, A C = 6 D A = (, D B = (, D C = ( Übung 48 ( det 5 ( x x det x det ( 5 = und A = x x x x A = x 4 = x 6x und A = = x 4 und x 6 x x x 4 7 x x x 6 x x ( x, falls x ± 4, falls x und x 6 Übung 49 Für die Produkte ergibt sich ( A x = ( A 5 x = (, A x =, A 6 x = ( (, A x =, (, A 4 x = Man sieht, dass die Ergebnisse sich wiederholen Bei A handelt es sich um eine Drehmatrix: A dreht den Vektor x um 9 Grad im mathematisch positiven Drehsinn, ( A x = A 5 x = ( x = A 4 x = ( A x = ( A x =
4 Lineare Algebra 7 Übung 4 Aus den Informationen erhalten wir folgende Tabelle: Kostenstelle Kostenstelle Nachfrage primäre Kosten y 8 4 9 Damit erhalten wir das lineare Gleichungssystem: + v = 5v + 8v = v Die Verrechnungspreise lauten v =,5 und v =,875 Übung 4 ( 4 5 7 7 6 5 7 5 9 6 8 5 = ( 4 5 5 ( 4 4 = = 7 7 6 5 7 5 9 87 9 Übung 4 Zur Berechnung der Einheiten ist folgendes LGS zu lösen: ( 4 5 4 6 Es ergibt sich als Lösung Einheiten von Produkt A und,5 Einheiten von Produkt B Wir berechnen die inverse Matrix A zur Koeffizientenmatrix A Die Lösung erhalten wir dann aus: ( x = A ( ( b = 4 = 7 5 Übung 4 5 6 Die Produktionskoeffizientenmatrix lautet,,, A =,,,,4,,
8 4 Lineare Algebra Damit ist die Nachfrage y = (E A x = 94 66 erfüllbar Für den erforderlichen Produktionsvektor gilt x = (E A y = 555 75 5 Übung 44 Die Markow-Matrix lautet M =,8,,,,7,,,,6, und die Startaufteilung ist durch den Vektor p = gegeben Nach einem Monat ergibt sich damit die Aufteilung p = M p =,44,6, Für die weiteren gesuchten Aufteilungsvektoren gilt: p = M p =,464,86,5, p 6 = M 6 p =, 495, 5,,4,,4, p = M p = Wir erhalten eine stationäre Verteilung Es wird ein dynamisches Gleichgewicht angenommen,5,, Übung 45 Der Anfang des theoretisch unendlichen Pfeildiagramms sieht so aus: e e e e e e e
4 Lineare Algebra 9 Die ersten drei Zustandsvektoren sind: s =, s = 4, s = 4 Die Übergangsmatrix lautet U = 5 8 8 4 4 Langfristig (zum Beispiel nach Münzwürfen erhält man folgende Wahrscheinlichkeiten: s = U s = Damit lohnt sich diese Strategie bei dem Spiel nicht, da man mit einer doppelt so hohen Wahrscheinlichkeit ruiniert ist, als dass man die e erreicht Übung 46 Produktionskoeffizientenmatrix: A = y = (E 4 A x =,9,75,8,5, 75,5,75,,75,,5, 5,5,5 5 6 4 = Es können 7 Mengeneinheiten von Produkt P und Mengeneinheiten von Produkt P für die Nachfrage zur Verfügung gestellt werden,9,75 4 x = (E 4 A,8,5 y =, 75 6 = 5, 48,5,75 4 85, Es sind 4 Kilowattstunden Strom, 54 Liter Wasser, 48 Mengeneinheiten von Produkt P und 86 Mengeneinheiten von Produkt P herzustellen, um die geforderte Nachfrage zu erfüllen 7
4 Lineare Algebra Übung 47 Aus den Informationen erhalten wir folgende Tabelle: Eis Pizza Nachfrage Produktion Eis 95 Pizza 96 (,, Die Verbrauchskoeffizientenmatrix lautet: A =,, ( ( (,98, 8 y = (E A x = =,,99 4 87 Es können 8 Portionen Eis und 87 Portionen Pizza verkauft werden ( ( ( x = (E A,98, 5 56,87 y = =,,99 7, 68 Es müssen 57 Portionen Eis und 8 Portionen Pizza bereitgestellt werden
5 Lineare Optimierung Übung 5 Das LOP lautet: z = 8x + 9x max x x 7x + 5x 5 7x + x 4 x, x Die graphische Methode liefert das Maximum für x = und x = 7, mit dem Funktionswert z(,7 = 4: x 5 7 (/7 5 x
5 Lineare Optimierung Mit dem Simplex-Algorithmus ergeben sich folgende Tableaus: Basis x x s s s s 4 b Q s s s 7 5 5 s 4 7 4 4 Zielfunktion 8 9 Lösung 5 4 Basis x x s s s s 4 b Q s x s 7 5 55 s 4 7 4 55 7 4 7 Zielfunktion 8 9 9 Lösung 55 7 4 7 Basis x x s s s s 4 b Q s 7 7 44 7 5 x s 5 5 x 7 7 Zielfunktion 7 8 7 7 4 44 Lösung 5 7 7 4 7 95 7
5 Lineare Optimierung Basis x x s s s s 4 b Q s 7 7 x 5 5 s 5 5 x 7 7 Zielfunktion 7 5 5 Lösung 7 74 7 74 7 7 4 Das graphische Ergebnis wird bestätigt: Die optimale Lösung ergibt sich für x = und x = 7, und der Gewinn beträgt dann 4 GE Übung 5 Aus dem vorgegebenen Tableau: Basis x x s s s s 4 b Q x s 9 7 6 6 9 s 5 x 4 Zielfunktion 8 Lösung 6
4 5 Lineare Optimierung ergibt sich das Folgetableau: Basis x x s s s s 4 b Q x 5 s 9 5 s 5 x Zielfunktion 5 5 5 5 5 5 5 Lösung 5 Übung 5 Der Simplex-Algorithmus ist beendet, da in der Zielfunktionszeile kein negativer Eintrag mehr vorhanden ist Das Maximum lautet und wird für x = und für x = 5 angenommen Wir lösen das LOP mit dem Simplex-Algorithmus: Basis x x s s s b Q s s 8 4 s Zielfunktion 4 Lösung 8 Basis x x s s s b Q x s s 7 5 Zielfunktion 4 Lösung 7 Basis x x s s s b Q x x s Zielfunktion 8 Lösung
5 Lineare Optimierung 5 Basis x x s s s b Q x x s Zielfunktion 5 4 Lösung 4 Die optimale Lösung ergibt sich also für x = 4, x = und s = mit dem dazugehörigen Maximum Übung 54 Das Minimierungsproblem lautet: z = x + 6x min! 6x + x 4x + x 4 x + x 8 x, x Wie man aus der Graphik ersieht, wird das Minimum bei (/ angenommen; die minimalen Förderkosten ergeben sich durch z(, = 68 e x 6 (/ 6 x
6 5 Lineare Optimierung Das duale Maximierungsproblem lautet: z = x + 4x + 8x max 6x + 4x + x x + x + x 6 x, x, x Starttableau: Basis x x x s s b Q s 6 4 5 s 6 4 Zielfunktion 4 8 Basis x x x s s b Q s 6 4 44 55 x 6 6 4 Zielfunktion 8 4 Basis x x x s s b Q x x 4 4 6 6 6 9 6 55 5 55 8 5 8 Zielfunktion 54 Zielfunktion Basis x x x s s b Q x 4 4 x 4 8 4 4 7 68
5 Lineare Optimierung 7 Die Lösung für das Minimierungsproblem lesen wir in den Spalten der Schlupfvariablen ab und bestätigen auch hier die graphische Lösung: einen Fördertag in Kiesgrube, drei Fördertage in Kiesgrube und die daraus resultierenden Kosten von 68 e Übung 55 Das Minimierungsproblem lautet: z = 4x + 6x min! 6x + x 4 4x + x 48 x + x 6 x, x Wie man aus der Graphik ersieht, wird das Minimum bei (6/ angenommen; die minimalen Kosten ergeben sich durch z(6, = 6 e x 6 (6/ 6 x Das duale Maximierungsproblem lautet: z = 4x + 48x + 6x max 6x + 4x + x 4 x + x + x 6 x, x, x Starttableau: Basis x x x s s b Q s 6 4 4 s 6 5 Zielfunktion 4 48 6
8 5 Lineare Optimierung Basis x x x s s b Q s 6 4 5 x 6 6 5 Zielfunktion 6 8 4 4 Basis x x x s s b Q x 4 6 6 75 5 x 8 4 875 5 Zielfunktion 4 Basis x x x s s b Q x 4 4 x 8 4 9 5 5 Zielfunktion 6 6 6 Die Lösung für das Minimierungsproblem lesen wir in den Spalten der Schlupfvariablen ab: Sechs Tage im Backbetrieb A, zwei Tage im Backbetrieb B und die daraus entstehenden Kosten von 6 e ergeben das Minimum (siehe graphische Lösung Übung 56 Bei diesem LOP sind nur die Bedingungen eindeutig; die Zielfunktion kann auf verschiedene Weise dargestellt werden Wesentlich ist nur, dass die Gewichtung der Variablen, die die Anzahl der Türen beschreibt (im Folgenden ist dies x das,5-fache der anderen Variablen beträgt Ein mögliches LOP ist also: z = x + x max 4 x + x 8 x + x x, x
5 Lineare Optimierung 9 Wir geben den Lösungsweg mit dem Simplex-Algorithmus an: Basis x x s s b Q s 4 s 8 6 Zielfunktion Lösung 8 Basis x x s s b Q x 6 s 4 4 Zielfunktion 4 4 Lösung 6 4 Basis x x s s b Q x 9 x 4 Zielfunktion 5 4 75 Lösung 4 9 Die optimale Lösung ergibt sich also für 4 Fenster, 9 Türen und dem daraus (für unsere konkrete Gewinnfunktion resultierenden maximalen Gewinn von 75 GE Übung 57 Bezeichnet man mit x die Anzahl der kleinen und mit x die Anzahl der großen Schachteln, so lautet das Minimierungsproblem: z = x + x min! x x 4 x + x 8 x, x
5 Lineare Optimierung Wir geben die graphische Lösung an: x 8 5 4 (4/4 4 8 x Es müssen also von beiden Schachtelarten 4 Stück produziert werden, um die Gesamtkosten zu minimieren, die in dem Fall GE betragen Übung 58 Für lediglich - und 4-Personen-Bungalows ist folgendes LOP zu lösen: z = 45x + 6x max x + x 9 6x + 8x 64 x + 4x x, x
5 Lineare Optimierung Alle Punkte auf der Kante zwischen den beiden Eckpunkten (/65 und (4/5 lösen das gegebene Optimierungsproblem: x 75 65 (/65 5 (4/5 4 9 x Der maximale Gewinn beträgt jeweils 48 e Mit dem Simplex-Algorithmus ergibt sich: Basis x x s s s b Q s 9 9 s 6 8 64 8 s 4 75 Zielfunktion 45 6 Lösung 9 64 Basis x x s s s b Q s 4 5 s 4 x 4 75 5 Zielfunktion 5 5 45 Lösung 75
5 Lineare Optimierung Basis x x s s s b Q s 4 x x 4 Zielfunktion 4 4 5 4 65 48 Lösung 65 5 Der Simplex-Algorithmus ist beendet und liefert einen Eckpunkt von der optimalen Kante, also den unendlich vielen optimalen Lösungen (vergleiche die graphische Lösung Das Maximum lautet also (,65,48 Für alle drei Typen von Bungalows erhalten wir das LOP: z = 45x + 6x + 9x max x + x + x 9 6x + 8x + 9x 64 x + 4x + 6x x, x Mit dem Simplex-Algorithmus ergibt sich: Basis x x x s s s b Q s 9 9 s 6 8 9 64 64 9 s 4 6 5 Zielfunktion 45 6 9 Lösung 9 64
5 Lineare Optimierung Basis x x x s s s b Q s 6 s 5 9 x Zielfunktion 5 5 45 6 4 6 9 5 5 Lösung 5 4 9 Basis x x x s s s b Q x 4 6 s 5 45 5 x Zielfunktion 5 45 4 45 4 54 Lösung 6 Für dieses Optimierungsproblem existiert eine eindeutige Lösung: Es sollten 6 Zwei-Personen-Bungalows, kein einziger Vier-Personen-Bungalow und Sechs- Personen-Bungalows gebaut werden, um einen maximalen Gewinn von 54 e zu erzielen
6 Differenzialrechnung in R n Übung 6 Die Nebenbedingung lautet x + x = 5 Also setzen wir x = 5 x in die Gewinnfunktion ein und erhalten G(x,5 x =,5x,5 (5 x + x + 5 (5 x 5 = x + 9x 65 Als stationäre Stelle ergibt sich durch Nullsetzen der ersten Ableitung G (x = 4x + 9 der Wert x = 5 Damit folgt x = 5 x = 5 Aus G (x = 4 < folgt: Die Gewinnfunktion hat an der Stelle (x, x = (5,5 ein lokales Maximum, und der maximale Gewinn lautet: G(5, 5 = 4 GE Übung 6 Der Gradient lautet: ( f f (x, x = ; f = ( x ;x x x Den größten Anstieg erhalten wir mithilfe der jeweiligen Gradientenrichtung: f (, = (,; f (, = (,; f (, = (, Übung 6 Die Lagrange-Funktion L(x, x, x,λ = x +x +6x +λ(x +x +x 5 führt auf das Gleichungssystem L x = 4x + λ = L x = 6x + λ = L x = 6 + λ = L λ = x + x + x 5 = Die einzige stationäre Stelle lautet x = 5, x =, x = 5,λ = 6 Die geränderte Hesse-Matrix lautet 4 H = 6
6 Differenzialrechnung in R n 5 Übung 64 und ist negativ definit Daher liegt ein lokales Minimum vor Der Produktionsplan mit minimalen Kosten lautet also (x, x, x = (5,,5, und die dabei entstehenden Kosten betragen K (5,, 5 = 85 GE Zu allen Funktionen werden der Gradient und die Hesse-Matrix angegeben: f = ( x 4x y + 5y,4y + 5y x 4yx ( 6x 4y 5y 8x y H f = 5y 8x y y + yx 4x f = (xe x (y z,ye x, ze x (4x + (y z e x 4x ye x 4xze x H f = 4x ye x e x ( e y f = H f = 4xze x e x z, xey xey, z z e y z ey z e y z xe y z xey z ey z xey z xe y z 4 f = ( x e x x 4,(x x + x x 4 + x x e x x 4, x 4 ex x 4, (x x + x x 4 x x 4 e x x 4 x (x + e x x 4 x (x + e x x 4 (x x H f = + x + 4x x + x x4 ex x 4 x4 ex x 4 x ex x 4 (x x + x x + x x 4 (x 4 e x x 4 x ex x 4 x4 ex x 4 (x x + x x + x x 4 (x 4 e x x 4 e x x 4 x 4 (x 4 e x x 4 x 4 (x 4 (x x + x 4x x 4 + x x4 ex x 4 Übung 65 Die Lagrange-Funktion L(x, y, z,λ = x + y + z + λ(x + y + z führt auf das Gleichungssystem L x = + xλ = L y = + yλ = L z = + zλ = L λ = x + y + z =
6 6 Differenzialrechnung in R n Die stationären Stellen lauten x = y = z =,λ = sowie x = y = z =,λ = Die geränderte Hesse-Matrix hängt von x, y und λ ab: H = x y z x λ y λ z λ Für die erste stationäre Stelle (,,, ist sie negativ definit; daraus folgt, dass ein lokales Minimum vorliegt Bei der zweiten stationären Stelle (,,, ist die geränderte Hesse-Matrix positiv definit, d h hier liegt ein lokales Maximum vor Da unsere Zielfunktion linear ist und somit weder Maximum noch Minumum annimmt, muss es sich bei den berechneten Extremwerten unter der gegebenen Nebenbedingung auch um die globalen Extrema handeln Die globalen Extrema lauten also: Minimum: (,,, und Maximum: (,,, Übung 66 Wählen wir die Variablen l für die Länge und b für die Breite des Zauns, dann lautet unsere Zielfunktion für die Zaunlänge f (b,l = b + l Diese Zielfunktion soll unter der Nebenbedingung b l = 45 minimiert werden Mit Hilfe der Substitutionsmethode (l = 45 b, mit b > ergibt sich f (b = b + 45 b, und aus f (b = 45 = die einzig sinnvolle Lösung b = 5 m Mit Hilfe der zweiten Ableitung (f (b = 9 verifizieren wir, dass es sich tatsächlich um ein Minimum b b handelt und berechnen noch die lange Seite des Zauns l = m und die komplette (minimale Zaunlänge f (5, = 6 m Übung 67 Aus dem Gleichungssystem f x = x = x = f x = x = x =
6 Differenzialrechnung in R n 7 folgt als einzige stationäre Stelle (, Für die Hesse-Matrix erhalten wir: ( H f = mit det(h f = 4 > Da außerdem f = > gilt, ergibt sich das lokale Minimum x (,, 4 Mit der zusätzlichen Nebenbedingung ergibt sich die Lagrange-Funktion L(x, x,λ = x + x + λ(x + x und damit das Gleichungssystem L x = x + x λ = L x = x + x λ = L λ = x + x = Die Lösung dieses nicht linearen Gleichungssystems liefert die beiden stationären Stellen: x =, x =, λ = sowie x =, x =, λ = Für die geränderte Hesse-Matrix H = x x x + λ x + λ gilt det(h(x, x,λ = 8 (x + x (+λ Damit folgt det(h(,, = 4 > und det(h(,, = 4 < Es ergeben sich das lokale Maximum (,, und das lokale Minimum (,, Übung 68 Mit dem Ansatz 6f + 4h = 84, also h = 7 f, ergibt sich mit der Substitutions- Methode die Funktion x (f,7 f = f + 8 (7 f + f (7 ( f f 7 f Nullsetzen der ersten Ableitung und Überprüfen der stationären Stelle (f = 6 und h = mithilfe der zweiten Ableitung ergibt das lokale Maximum (6,,9596
8 6 Differenzialrechnung in R n Übung 69 Nullsetzen der Ableitungsfunktion f (x = e x+ + a ergibt den Wert x = ln ( a Dies ist aber wegen des Logarithmus nur für positive Werte von a möglich In diesem Fall ist dann auch f (x = 4e x+ > Daher liegt für alle a > ein lokales Minimum vor Mit a = ergibt sich nach dem ersten Teil die Minimalstelle x = ln ( = Übung 6 Daher ergibt sich das lokale Minimum ( /4 Die Nebenbedingung lautet g (x, x = x + x Inklusive der Fixkosten erhalten wir damit die Lagrange-Funktion: L(x, x,λ =,x + x + + λ(x + x Zur Berechnung der stationären Stellen ist folgendes Gleichungssystem zu lösen: L x =,4x + λ = L x = + λ = L λ = x + x = Die einzige stationäre Stelle lautet: x = 5, x = 7 Der lagrangesche Parameter ist λ = Für die geränderte Hesse-Matrix H =, 4 gilt det(h =,4 < Daher handelt es sich bei der stationären Stelle um ein lokales Minimum Bei 5 ME von Produkt und 7 ME von Produkt entstehen somit die minimalen Kosten in Höhe von 9 e
7 Finanzmathematik Übung 7 K 8 = K ( + 8 i = K + 8i = i =,5 =,5% (linear K 8 = K ( + i 8 ( + i 8 = i = /8 =,95 = 9,5% (exponentiell Übung 7 n = Übung 7 Übung 74 K n K i =,4 = 6 Jahre (einfache Verzinsung,5 4 =,5 n n = ln(,4 =,664 Jahre (exponentielle Verzinsung ln(,5 4 + 5 + Mit n = = 95 ergibt sich: 6( 6 7885 = 7 + 95 6 i i =,75 = 7,5% K =,6,7 5,4 = 776,8 und für den durchschnittlichen Zinssatz i Durchschnitt =,6,7 5,4 = 5,89% Beachten Sie, dass hier für den Durchschnitt das geometrische Mittel genommen werden muss! Übung 75 Ein Viertel der Gesamtzinsen:,5 n = 4 (,5 n = ln(,94 ln(, 5 Die Hälfte der Gesamtzinsen:,5 n = (,5 n =,5548 Jahre Drei Viertel der Gesamtzinsen:,5 n = 4 (,5 n =,9 Jahre =,79 Jahre
4 7 Finanzmathematik Übung 76 Übung 77 Übung 78 Übung 79 komplett linear: = ( + n,55 n =,6, also etwa Jahre und 9 Tage stetig: =,55 n n =,45, also etwa Jahre und 46 Tage kalenderjährlich: = ( + 56 6,55,55 ( + t 6,55 t = 46, also am 79 i s = ln(,85 = 8,6% Effektiver Jahreszins: i e =,8 =,%, daraus ergibt sich ein stetiger Jahreszins von i s = ln(, = 9,56% Der Ansatz für den gesuchten Betrag B ist: B + B,6 Übung 7 5,7 5,4 =,6 7 +,6 4 und hieraus folgt B = 5784,8 Endwert einer 8 Jahre lang vorschüssig gezahlten Rente von 5 e: R 8 = 5,6,68 = 545,66,6 Endwert einer Jahre lang nachschüssig gezahlten Rente von e: R =,6 = 8,6,6 Endwert einer 4 Jahre lang nachschüssig gezahlten Rente von e: R 4 =,64 = 8749,,6 Endkapital nach Jahren: R = R 8,6 R,6 9 + R 4,6 5 = 6885, Die Jahresersatzrente beträgt r Ers = ( +,45 = 675; damit folgt R = 675,45,45 = 8666, 7 Aus der Aufgabenstellung ist ersichtlich, dass dieser Betrag nun fünf Jahre lang ruht, also auf 8666,7,45 5 = 5665,6 anwächst Dieser Betrag ist nun aufzufassen als Barwert der Auszahlungsrente, die 5 Jahre lang dauern soll Also:,45 5 5665,6 = R = r Ers,45,45 5, woraus r Ers = 5,8 folgt Wegen r Ers = r ( +,45 ergibt sich schließlich r = 7,
7 Finanzmathematik 4 Übung 7 Übung 7 Mit der Ersatzrente ( +,9 = 585 folgt R = 585,9 = 98, Für die Laufzeit von Jahren ergibt sich 9 R = 585 = 488,75,9,9 Dabei macht man den Fehler 98, 488, 75 =,7 =,7% 488, 75 Der Betrag von 4 e kann als Barwert einer ewigen Rente aufgefasst werden Deren (nachschüssige! Jahresraten r Jahr berechnen sich aus der Formel der ewigen Rente durch R = 4 = r Jahr,5 r Jahr = 5 Die Auszahlungen sollen nun jeweils am 4 und am erfolgen Aus der Zeitschiene r 4 7 r Perioden: r ( +,5 Periode: r ( +,5 ergibt sich, dass sich die beiden unterjährigen Auszahlungen r am Jahresende zu einer Jahresrente von r Jahr = r ( +,5 + r ( +,5 = r,5 zusammenfassen lassen Also folgt r = r Jahr,5 = Rückwärts rechnen ergibt r Jahr = 5,5 = 75 und damit R = 75,5 = 65
4 7 Finanzmathematik Übung 7 R 6 = 8 ( 6 5 = 8 Z 7 =,75 8 ( 6 5 = 78 A 8 = T 8 + Z 8 = +,75 8 ( 7 5 = 896 5 k= Z k = i R 5 k ( k= 5 = i R 5 5 R 5 k + = i k= 5 5(5+ = 44 k R k Z k T k A k R k 6 6,95 = 555 755 48 48 48,95 = 444 644 6 6 6,95 = 5 4 Übung 74 Es ist R = 68,9 = 4 Wegen i A =, erhält man als Annuität A = 8 Für die Restschuld R gilt: R = q R A q q = 475 4 8 475 = 86,99 475 Für die Laufzeit n gilt: n = ( % ln 5, 5% = 5,84 ln(, 475 Für den Tilgungsplan ergibt sich (je nachdem, welche Methode gewählt wurde: k R k Z k T k A k R k 4 86,99 988,8 7,9 8 85,8 5 85,8 655,78 744, 8 646,58 oder k R k Z k T k A k R k 4 86,99 988,8 7,9 8 85,8 5 85,8 655,78 85,8 446,58
7 Finanzmathematik 4 Übung 75 C (I = 5 +,8 + + + 4 = 96,,8,8,8 4 C (I = 5 + 5,8 + + + 5 = 69,9 I,8,8,8 4 ist lohnender Bei verändertem Kalkulationszins: C (I = 5 +, + + + 4 = 445,78,,, 4 C (I = 5 + 5, + + + 5 = 4897,,,, 4 I ist lohnender Übung 76 Aus 4 + + 6 = ergibt sich q =,5 =,47, also i q q 4 int =,47% Für kleinere Zinssätze als diesen lohnt sich die Investition; für größere lohnt sie sich nicht Der Ansatz 4 +,5 + 6,5 4 = + z 4,5 4 ergibt z 4 = 6,896 Es gilt i int = 4 6 =,89 = 8,9 % 4 Der Zinssatz i = % liegt zwischen den internen Zinsfüßen der beiden Investitionen Somit lohnt sich I mehr als I (Genauer gesagt lohnt sich überhaupt nur I, denn der Kapitalwert von I ist schon negativ Übung 77 Die Varianzfunktion ist Var(x =,4x +,6( x =,x,x +,6 Ableiten ergibt Var (x =,4x, und damit ist die Mischung x =,8 und x =, varianzminimal Die erwartete Varianz beträgt,576 und die erwartete Rendite % Bei perfekt positiver Korrelation ergibt sich minimale Varianz, wenn alles in das erste Wertpapier investiert wird, also für x = und x = Die Varianz beträgt in diesem Fall,4 und die erwartete Rendite % Sind die beiden Wertpapiere perfekt negativ korreliert, so ist Var(x =,4x +,6( x +,,4 ( x ( x =,6x,48x +,6 Ableiten ergibt in diesem Fall Var (x =,7x,48, und so erhält man für x = und x = die risikoärmste Mischung, und zwar mit einer Varianz von und einer erwarteten Rendite von, % Bei einer geforderten Mindestrendite von 5 % ergibt sich in allen drei Fällen die risikoärmste Mischung für x = x =,5
44 7 Finanzmathematik Übung 78 Zu maximieren ist die Funktion E(x, x =,x +,8x unter den Nebenbedingungen x + x = und Var(x, x =,65x +,6x =,4 Wir wenden auch hier die Lagrange-Methode an (Variablensubstitution ginge natürlich auch Die Lagrange-Funktion ist L(x,x,λ,λ =,x +,8x + λ (x + x + λ (,65x +,6x,4 Als Lösung ergibt sich x =,788 und x =,7 Die erwartete Rendite beträgt, % Wir wenden Variablensubstitution an Die Varianzfunktion sieht so aus: Var(x =,65x +,6( x +,5,9 x ( x Ableiten ergibt, dass es kein lokales Minimum im relevanten Bereich gibt; die Varianz ist also streng monoton steigend und somit minimal am linken Rand (x = Da aber für x = nur 8 % Rendite zu erwarten sind, ermitteln wir diejenige Mischung mit Rendite 8,5 % Diese ist x =,5 und x =,875