Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung... 1 1.1 Historie... 1 1.2 Elemente der Mehrkörperdynamik... 2 1.3 Anwendungsgebiete... 3 Literatur... 4 2 Dynamik des starren Körpers... 5 2.1 Lagebeschreibung... 6 2.1.1 Koordinatensysteme... 6 2.1.2 Starrkörperbedingung... 6 2.1.3 Körperfestes Koordinatensystem... 7 2.1.4 Kardan-Winkel... 8 2.1.5 Vektortransformation... 9 2.1.6 Euler-Winkel... 10 2.1.7 Drehung um eine beliebige Achse... 11 2.1.8 Euler-Parameter... 13 2.1.9 Orthogonalitätsbedingung... 15 2.1.10 Zusammenfassung... 15 2.2 Geschwindigkeit... 16 2.2.1 Allgemeine Relativbewegung... 16 2.2.2 Starrkörperbewegung... 16 2.3 Winkelgeschwindigkeit... 17 2.3.1 Definition... 17 2.3.2 Kardan-Winkel... 17 2.3.3 Euler-Winkel... 19 2.3.4 Euler-Parameter... 21 2.4 Bewegungsgleichungen... 22 2.4.1 Impulssatz... 22 2.4.2 Drallsatz... 23 2.4.3 Zustandsgleichung... 25 VII
VIII Inhaltsverzeichnis 2.5 Beispiel Quader im homogenen Schwerefeld... 26 2.5.1 Mathematische Beschreibung... 26 2.5.2 Simulation... 27 2.5.3 Drift in den Euler-Parametern... 29 2.5.4 Eulersche Kreiselgleichung... 30 Übungsbeispiele... 32 Literatur... 34 3 Starre Körper mit elastischen Verbindungselementen... 35 3.1 Bushings... 36 3.1.1 Kraft- und Momentenwirkung... 36 3.1.2 Beispiel räumliches Doppelpendel... 38 3.2 Beidseitig gelenkig gelagertes Kraftelement... 43 3.2.1 Topologie... 43 3.2.2 Kraft- und Momentenwirkung... 44 3.2.3 Beispiel Laufkatze mit Last... 45 3.3 Kontaktelemente... 50 3.3.1 Einfaches Kontaktelement... 50 3.3.2 Spezielle Kontaktelemente... 53 3.3.3 Beispiel Körper gegen Boden... 54 3.4 Integrationsverfahren... 57 3.4.1 Allgemeines... 57 3.4.2 Explizite Verfahren... 57 3.4.3 Implizite Verfahren... 59 3.4.4 Numerische Dämpfung... 60 3.5 Konsequenzen für elastisch gekoppelte Mehrkörpersysteme... 63 3.5.1 Typisches Verhalten expliziter und impliziter Solver... 63 3.5.2 Dünnbesetzte Jacobi-Matrix... 64 3.5.3 Fazit... 66 Übungsbeispiele... 67 Literatur... 70 4 Starre Körper mit kinematischen Bindungen... 71 4.1 Rollende Münze... 72 4.1.1 Modellbildung... 72 4.1.2 Orientierung und Lage... 72 4.1.3 Geschwindigkeiten... 74 4.1.4 Bewegungsgleichungen... 75 4.2 Methoden und Prinzipe... 77 4.2.1 Überblick... 77 4.2.2 Euler-Lagrange-Gleichungen... 79 4.2.3 Kinetische Energie und deren partielle Ableitungen... 81
Inhaltsverzeichnis IX 4.2.4 Verallgemeinerte Kräfte und Momente... 82 4.2.5 Euler-Lagrange-Gleichungen für einen starren Körper... 84 4.2.6 Verallgemeinerter Drehimpuls... 84 4.2.7 Differential-Algebraisches System vom Index 1... 85 4.2.8 Jourdain und D Alembert... 88 4.3 Räumliches Doppelpendel mit Kugelgelenken... 90 4.3.1 Lage... 90 4.3.2 Geschwindigkeit... 91 4.3.3 Beschleunigung... 92 4.3.4 Verallgemeinerte Kräfte und Momente... 93 4.3.5 Massenmatrix... 94 4.3.6 Zustandsänderung... 94 4.3.7 Simulationsergebnisse... 95 4.4 Rekursiver Algorithmus... 98 4.4.1 Kinematik... 98 4.4.2 Bewegungsgleichung... 100 4.4.3 Elimination der Zwangskräfte... 100 4.4.4 Zusammenfassung... 102 4.4.5 Topologie von Mehrkörpersystemen... 103 4.5 Ebenes Mehrfachpendel... 103 4.5.1 Erste Vorwärtsrekursion... 103 4.5.2 Rückwärtsrekursion... 107 4.5.3 Abschließende Vorwärtsrekursion... 108 4.5.4 Simulation... 109 4.6 Einfach geschlossene kinematische Schleifen... 113 4.6.1 Beispiel Laufkatze mit Last... 113 4.6.2 Bindungsgleichungen... 113 4.6.3 Kinematik... 115 4.7 Differential-Algebraische Gleichungen... 118 4.7.1 Schnittmethode... 118 4.7.2 Lagrange-Multiplikatoren... 119 4.7.3 Index-Reduktion... 121 4.7.4 Räumliches Doppelpendel... 122 4.7.5 Gear-Gupta-Leimkuhler-Stabilisierung... 125 4.7.6 Baumgarte-Stabilisierung... 127 4.7.7 Index 3 Solver... 128 4.7.8 Bindungsgleichungen und Anzahl der Freiheitsgrade... 130 4.7.9 Redundante Bindungen... 131 4.8 Konsequenzen... 133 Übungsbeispiele... 134 Literatur... 136
X Inhaltsverzeichnis 5 Analyse von Mehrkörpersystemen... 137 5.1 Gleichgewicht... 138 5.1.1 Definition und Bestimmungsgleichungen... 138 5.1.2 Nichtlineare Gleichungslöser... 139 5.1.3 Simulation des Einschwingverhaltens... 141 5.1.4 Minimierung der potentiellen Energie... 142 5.2 Eigendynamik... 143 5.2.1 Linearisierung... 143 5.2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren... 145 5.2.3 Beispiel Räumliches Doppelpendel... 147 5.2.4 Beispiel Traktor mit gefederter Vorderachse... 148 5.3 Fremderregung... 153 5.3.1 Überblick... 153 5.3.2 Sprungantwort... 154 5.3.3 Harmonische Erregung... 156 5.3.4 Erregung durch Gleitsinus... 157 5.3.5 Stochastische Erregung... 158 5.4 Optimierung... 159 5.4.1 Allgemeines... 159 5.4.2 Beispiel optimales Einschwingen... 160 5.5 Inverse Kinematik... 161 5.5.1 Aufgabenstellung... 161 5.5.2 Lösungsansätze... 162 5.5.3 Beispiel Bahnvorgabe... 163 5.6 Inverse Dynamik... 166 5.6.1 Lage, Geschwindigkeit und Beschleunigung... 166 5.6.2 Stellkräfte und -momente... 167 5.6.3 Beispiel Bahnsteuerung... 167 Übungsbeispiele... 169 Literatur... 172 6 Elastische Körper... 173 6.1 Einleitung... 174 6.1.1 Anwendungsgebiete... 174 6.1.2 Modellvorstellungen... 174 6.1.3 Bewegtes Bezugssystem... 175 6.1.4 Relative Punkt-Kinematik... 177 6.2 Einfaches Balkenmodell... 178 6.2.1 Modell-Vorstellung... 178 6.2.2 Euler-Bernoulli-Hypothese... 178 6.2.3 Eigenschwingungen... 181
Inhaltsverzeichnis XI 6.2.4 Näherungslösungen... 183 6.2.5 Gleichgewicht am verformten Balkenelement... 186 6.3 Lumped Mass Modelle... 189 6.3.1 Modellvorstellung... 189 6.3.2 Bewegungsgleichungen im bewegten Referenzsystem... 190 6.3.3 Nichtlineare Dynamik des Lumped Mass Systems... 194 6.3.4 Linearisierung und Eigendynamik... 198 6.4 Einbindung Finiter Elemente... 200 Übungsbeispiele... 202 Literatur... 204 7 Anwendungsbeispiel aus der Fahrzeugtechnik... 205 7.1 Motivation... 206 7.2 Aufbau einer MacPherson-Achse... 207 7.2.1 Gesamte Achse... 207 7.2.2 Teilmodell Radaufhängung... 208 7.3 Analytische Beschreibung... 209 7.3.1 Bewegungen, Bindungen und Freiheitsgrade... 209 7.3.2 Problemangepasste Lagebeschreibung... 211 7.3.3 Geschwindigkeit... 215 7.3.4 Beschleunigung... 218 7.3.5 Kinematische Analyse... 218 7.4 ADAMS-Modell... 222 7.4.1 Vorbereitende Schritte... 222 7.4.2 Modell-Körper... 224 7.4.3 Bindungen... 225 7.4.4 Kinematische Analyse... 226 7.4.5 Schraubenfeder... 227 7.4.6 Dämpfer... 227 7.4.7 Reifen und Felge... 229 7.5 SIMPACK-Modell... 230 7.5.1 Vorbemerkung... 230 7.5.2 Topologie... 230 7.5.3 Relative Beschreibung... 231 7.6 Modellerweiterungen... 232 Literatur... 234 Sachverzeichnis... 235
http://www.springer.com/978-3-658-16008-1