3. Erzwungene Schwingungen

3. Erzwungene Schwingungen Bei erzwungenen Schwingungen greift am schwingenden System eine zeitlich veränderliche äußere Anregung an. Kraftanregung: Am schwingenden System greift eine zeitlich veränderliche äußere Kraft an. Weganregung: An einem Punkt des schwingenden Systems ist eine zeitlich veränderliche Bewegung vorgeschrieben. Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-1

3.2 Weganregung 3. Erzwungene Schwingungen Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-2

Grundmodell: An der Masse greift eine zeitlich veränderliche Kraft f(t) an. Die Bewegungsgleichung lautet: m ẍ d ẋ c x= f t Division durch m führt auf Feder Dämpfer Masse ẍ 2 ẋ 2 x= f t m x f(t) Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-3

Wichtiger Spezialfall: Harmonische Kraft Eine harmonische Kraft hat die Form f t =F sin t. Dabei ist Ω die Erregerkreisfrequenz und F(Ω) die Amplitude der Kraft, die im Allgemeinen von der Erregerkreisfrequenz abhängen kann. Jede periodische Kraft kann als Überlagerung von harmonischen Kräften dargestellt werden. Die Antwort des Systems auf eine periodische Kraft ist die Überlagerung der Antworten auf die harmonischen Kräfte. Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-4

Allgemeine Lösung: Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung ẍ 2 ẋ 2 x= F sin t m setzt sich zusammen aus einer partikulären Lösung x p t der inhomogenen Lösung und der allgemeinen Lösung x h t der homogenen Gleichung ẍ 2 ẋ 2 x=0 Die Lösung der homogenen Gleichung ist eine freie gedämpfte Schwingung. Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-5

Die homogene Lösung hängt von den Anfangsbedingungen ab und klingt exponentiell mit der Zeit ab. Nach Beendigung des sogenannten Einschwingvorgangs kann die homogene Lösung gegenüber der partikulären Lösung vernachlässigt werden. Die partikuläre Lösung beschreibt den eingeschwungenen Zustand. Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-6

Partikuläre Lösung: Mit m=c/ 2 F F gilt: m = 2 = 2 x S c Dabei ist x S = F die statische Lösung. c Lösungsansatz für die partikuläre Lösung: x p t = A s sin t A c cos t ẋ p t = A s cos t A c sin t ẍ p t = 2 A s sin t A c cos t Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-7

Einsetzen in ẍ 2 ẋ 2 x= 2 x S sin t führt auf: 2 A s sin t A c cos t 2 A s cos t A c sin t 2 A s sin t A c cos t = 2 x S sin t 2 A c 2 A s 2 A c cos t = 2 A s 2 A c 2 A s 2 x S sin t Diese Gleichung ist nur dann für alle Zeitpunkte t erfüllt, wenn die Ausdrücke in den Klammern verschwinden. Daraus folgen 2 Gleichungen zur Ermittlung der beiden Konstanten A s und A c. Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-8

Mit dem Frequenzverhältnis = / und dem Lehrschen Dämpfungsmaß D= / folgt nach Division durch 2 : 1 2 A c 2 D A s = 0 2 D A c 1 2 A s = x S Lösung mit der Cramerschen Regel: A c = 0 x S 2 D 2 1 = 2 D x S, A s = 1 2 2 D 0 x S = 1 2 x S = 1 2 2 D 2 D 1 2 = 1 2 2 4 D 2 2 Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-9

Die partikuläre Lösung ist eine harmonische Schwingung mit der Amplitude x p t = Asin t A= A s 2 A c 2 = 1 2 2 4 D 2 2 und dem Phasenwinkel 1 2 2 4 D 2 2 x S = x S 1 2 2 4 D 2 2 tan = A c A s = 2 D 1 2 tan = 2 D 1 2 Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-10

Mit dem dynamische Überhöhungsfaktor V 1 = gilt: 1 1 2 2 4 D 2 x p t, =V 1 x S sin t Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-11

13 1 2 3 12 11 10 9 D = 0,04 8 7 D = 0,08 V 1 6 5 4 D = 0,12 D = 0,5 3 2 D = 1.0 1 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 η Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-12

φ 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 D = 1.0 D = 0,5 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 η D = 0,12 D = 0,08 D = 0,04 Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-13

Diskussion der Lösung: Bereich 1: η < 0,8: unterkritisch Bei schwacher Dämpfung (D < 10%) hat die Dämpfung praktisch keinen Einfluss. Die Verschiebung ist in Phase mit der Anregung. Es gilt in guter Näherung: Für η < 1/3 erhält man: V 1 1 1 2 1 V 1 1 1/3 2= 9 8 =1,125 Für η < 0,3 können Dämpfungs- und Trägheitskraft vernachlässigt werden: Quasistatische Lösung Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-14

Bereich 2: 0,8 < η < 1,2: kritisch Dieser Bereich wird wesentlich von der Dämpfung beeinflusst. Die Verschiebung hat eine Phasenverschiebung von 90 gegenüber der Anregung. Die Geschwindigkeit ist in Phase mit der Anregung. Trägheits- und Federkraft sind im Gleichgewicht. Die Anregung ist im Gleichgewicht mit der Dämpfungskraft. Den Zustand η = 1 nennt man Resonanz. Bei η = 1 sind Federkraft und Trägheitskraft entgegengesetzt gleich groß. Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-15

Bereich 3: η > 1,2: überkritisch Bei schwacher Dämpfung (D < 10%) hat die Dämpfung praktisch keinen Einfluss. Die Verschiebung hat eine Phasenverschiebung von 180 gegenüber der Anregung. Die Beschleunigung ist in Phase mit der Anregung. Es gilt in guter Näherung: Für η > 3 erhält man: V 1 1 2 1 V 1 1 9 1 = 1 8 =0,125 Für η > 3 ist die Trägheitskraft groß gegenüber der Federund der Dämpferkraft. Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-16

Beispiel: Unwucht m u e Ωt Die Masse m 0 wird durch die Zentrifugalkraft der rotierenden Masse m u zu Schwingungen angeregt. m 0 Beispiele: x Motor c d Rad Rüttler Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-17

m u S Kinematik: x u =x e sin t ẍ u =ẍ e 2 sin t S sin(ωt) Unwucht: m u ẍ u =S sin t S Ωt Schwinger: m 0 ẍ= F C F D S sin t m 0 x Kraftgesetze: F C F D F C =c x, F D =d ẋ Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-18

Einsetzen ergibt: m 0 m u ẍ d ẋ c x= m u e 2 sin t Der Schwinger wird also durch die Kraft angeregt. F = m u e 2 Division durch die Gesamtmasse m=m 0 m u ergibt: ẍ 2 x 2 x= m u m e 2 sin t = 2 x S sin t Dabei ist x S = m ue c 2 = m u e 2 = m u m 2 m e 2 die statische Verschiebung. Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-19

Die partikuläre Lösung lautet also x p t, = 2 V 1 m u m = V 3 m u m esin t esin t mit und V 3 = 2 V 1 tan = 2 D 1 2 Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-20

13 1 2 3 12 11 10 9 D = 0,04 8 7 D = 0,08 V 3 6 5 4 D = 0,12 D = 0,5 3 2 D = 1.0 1 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 η Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-21

Diskussion der Lösung: 3.1 Kraftanregung Unterkritischer Bereich: η < 0,8 Bei schwacher Dämpfung (D < 10%) hat die Dämpfung praktisch keinen Einfluss. Es gilt in guter Näherung: V 3 2 1 2 Kritischer Bereich: 0,8 < η < 1,2 Dieser Bereich wird wesentlich von der Dämpfung bestimmt. An der Resonanzstelle η = 1 gilt: V 3 1 = 1 2 D Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-22

Überkritischer Bereich: η > 1,2 Bei schwacher Dämpfung (D < 10%) hat die Dämpfung praktisch keinen Einfluss. Es gilt in guter Näherung: V 3 2 2 1 Für große Werte von η strebt V 3 gegen 1. Für η = 5 erhält man: V 3 5 = 25 24 =1,042 Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-23

3.2 Weganregung Grundmodell: m Die Bewegung des Fundaments wird vorgeschrieben. Beispiele: c d x Rütteltisch fahrbahnerregte Fahrzeugschwingungen x F (t) Fundament Erdbeben Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-24

3.2 Weganregung Vorgeschriebene Bewegung des Fundaments: x F t =x F0 sin t, ẍ F t = 2 x F0 sin t Relativbewegung: x rel =x x F x=x F x rel Kräfte: F C =c x rel F D =d ẋ rel Schwerpunktsatz: m x m ẍ= d ẋ rel c x rel F C F D Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-25

3.2 Weganregung Mit folgt: ẍ=ẍ F ẍ rel m ẍ rel d ẋ rel c x rel = m ẍ F =m x F0 2 sin t Division durch m führt auf ẍ rel 2 ẋ rel 2 x rel =x F0 2 sin t = 2 x S sin t mit x S =x F0 2 =x F0 2 Damit gilt für die Relativverschiebung: x prel t, =x F0 2 V 1 sin t =x F0 V 3 sin t Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-26

3.2 Weganregung Für die Absolutverschiebung folgt: x p,t =x F,t x rel,t =x F0 sin t x F0 V 3 sin t =x F0 [sin t V 3 sin t cos cos t sin ] =x F0 [ 1 V 3 cos sin t V 3 sin cos t ] Die Amplitude ist: x pmax =x F0 1 V 3 cos 2 V 3 2 sin 2 =x F0 1 V 3 2 2V 3 cos Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-27

3.2 Weganregung Diskussion der Lösung: Tiefer unterkritischer Bereich: 0,3 V 3 0,32 1 0,3 2 0,1 Die Relativverschiebung ist vernachlässigbar klein. Die Masse folgt der Bewegung des Fundaments. Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-28

3.2 Weganregung Hoher überkritischer Bereich: 4 V 3 42 4 2 1 1,1 Der Überhöhungsfaktor ist nahezu 1. Der Phasenwinkel ist nahezu 180. Die Relativverschiebung ist entgegengesetzt gleich groß wie die Verschiebung des Fundaments Die Absolutverschiebung der Masse geht gegen Null. Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-29

3.2 Weganregung Bei Vernachlässigung der Dämpfung gelten folgende Vereinfachungen: Überhöhungsfaktor: 2 V 3 = 1 2 Phasenwinkel: 0 für 1 ={ 180 für 1 Absolutverschiebung: x p t, ={ x F0 1 V 3 sin t für 1 x F0 1 V 3 sin t für 1 Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-30

3.2 Weganregung Beispiel: z x L m v z F (x) Das Fahrzeug der Masse m fährt mit der konstanten Geschwindigkeit v. Die Unebenheit der Fahrbahn wird beschrieben durch z F x =z 0 sin 2 x Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-31

3.2 Weganregung Gesucht: Relative und absolute Verschiebungsamplitude der vertikalen Hubschwingung Absolute Beschleunigungsamplitude der vertikalen Hubschwingung Daten: Masse m = 1500kg, Federsteifigkeit c = 1,5 105 N/m Lehrsches Dämpfungsmaß D = 20% Geschwindigkeit v = 30m/s Wellenlänge λ = 60m, Amplitude z 0 = 0,1m Radabstand L = 2,5m Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-32

Berechnungsmodell: 3.2 Weganregung Der Radabstand ist klein im Vergleich zur Wellenlänge. Daher wird angenommen, dass die Vertikalverschiebung an beiden Rädern ungefähr gleich groß ist. Das Fahrzeug wird als einfaches Feder-Masse-Dämpfer- System modelliert. m z c d z F (t) Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-33

3.2 Weganregung Anregung: x=v t z F t =z 0 sin 2 v t =z 0sin t Frequenzverhältnis: mit =2 v =2 30m/s 60m =3,142 1 s, = 1,5 105 N /m =10 1 1500 kg s =0,3142 Dynamischer Überhöhungsfaktor: V 3 0,3142 = 0,3142 2 1 0,3142 2 2 4 0,2 2 0,3142 2 =0,1085 Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-34

3.2 Weganregung Amplitude der Relativverschiebung: z rel max =z 0 V 3 0,3142 =0,1m 0,1058=0,01058m Amplitude der Absolutverschiebung: tan = 2 0,2 0,3142 1 0,3142 2 =0,1394 cos = 1 1 tan 2 = 1 1 0,1394 =0,9904 2 z max =0,1m 1 0,1058 2 2 0,1058 0,9904=0,1105 Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-35

3.2 Weganregung Amplitude der Beschleunigung: z max = 2 z max =3,142 2 1 s 2 0,1105m=1,091m/s2 Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-36