Die Phasenkonstante Auslenkung 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00-0,500,00 5,00 10,00 15,00-1,00-1,50-2,00-2,50 Zeit Loslassen nach Auslenkung. y y0 sin( t ) 2 2 Auslenkung 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00-0,500,00 5,00 10,00 15,00-1,00-1,50-2,00-2,50 Zeit Anstoßen in Ruhelage: φ = 0 y = y 0 sin(ωt)
Auslenkung 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00-0,500,00 5,00 10,00 15,00-1,00-1,50-2,00-2,50 Zeit Auslenken und Anstoßen: y y0 sin( t ) 4 4 Die Phasenkonstante gibt die anfängliche Auslenkung durch einen Winkel an. Unterscheiden sich zwei Schwingungen in ihrer Phasenkonstante, so spricht man vom Phasenunterschied Δφ = φ 1 - φ 2
Überlagerung von Schwingungen Schwingung 1 x1( t ) x sin t 01 1 1 x 1 (t) T 1 x 01 t Schwingung 2 x ( t ) x t 2 sin 02 2 x 2 (t) 2 T2 x 02 t Überlagerung: x ( t ) x1( t ) x2( t ) x(t) t
Erste Sinus Kurve, T=1,05 [s] 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 f(t) 0,0-15 -10-5 0 5 10 15-0,5-1,0-1,5 f=0,95 [Hz] -2,0-2,5 t
f(t) Zweite Sinus Kurve, T=1,00 [s] 2,5 2,0 B ### ### f(t) 1,5 1,0 0,5 0,0-15 -10-5 0 5 10 15-0,5-1,0-1,5 f=1,00 [Hz] -2,0-2,5 t t
Überlagerung beider Sinus Kurven f(t) 2,5 2,0 1,5 f=1,00 [Hz] 1,0 0,5 f(t) 0,0-15 -10-5 t0 5 10 15-0,5-1,0-1,5 f=0,95 [Hz] -2,0-2,5 t Eine Schwebung entsteht bei Überlagerung zweier Schwingungen ähnlicher Frequenz
Summe der Amplituden beider Sinus-Kurven f(t) f(t) 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0-15 -10-5 0 5 10 15-0,5-1,0-1,5-2,0-2,5 t Die Amplitude der Schwebung ist die Summe der Amplituden der beitragenden Schwingungen
Addition von Schwingungen Addition kollinearer Schwingungen gleicher Frequenz Versuch: Zwei gleiche Stimmgabeln werden angestoßen. Mit Mikrophon und Oszillograph veranschaulichen. Ergebnis: Manchmal wird der Ton lauter, manchmal leiser. Mathematische Beschreibung: 1. Schwingung: y 1 = y 01 sin(ωt) 2. Schwingung: y 2 = y 02 sin(ωt + φ) φ... Phasenverschiebung
Sonderfälle: a) φ = 0 Gleichphasigkeit: y = y 1 + y 2 = (y 01 + y 02 ).sin(ωt) Elongation 15 10 5 0 Überlagerung von Schwingungen Schwingung1 Schwingung2 Überlagerung Die resultierende Schwingung besitzt die größtmögliche Amplitude -5 0 5 10 15 Konstruktive Interferenz Zeit
b) φ = π y = y 1 + y 2 = y 01 sin(t) + y 02 sin(ωt+π) = y 01 sin(ω t) - y 02 sin(ωt) = (y 01 - y 02 ) sin(ω t) 15 Überlagerung von Schwingungen Die resultierende Schwingung besitzt kleinstmögliche Amplitude. Elongation 10 5 0 Schwingung1 Schwingung2 Überlagerung bei y 01 = y 02 resultierende Amplitude 0. ist die -5 0 5 10 15 Zeit Destruktive Interferenz. 10. Schwingungen
Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz und gleicher Schwingungsrichtung ergibt stets wieder eine harmonische Schwingung, deren Amplitude von den Amplituden der Einzelschwingungen und von ihrer Phasendifferenz abhängt.
Lissajous Figuren: ungleiche Frequenzen 0 1 2 2 1 1 2 1 4 0 1 2 3 2 y sin( 2 0 t ) x sin( 1 0 t ) 1 2 2 3 1 2 4 3 1 2 5 8
Lissajoussche Figuren Sie entstehen, wenn zwei aufeinander normal stehende Schwingungen mit rationalem Frequenzverhältnis überlagert werden. Versuch: Zwei Blattfedern, auf denen sich je ein Spiegel befindet werden normal zueinander befestigt und mit einem Laser angeleuchtet. Das reflektierte Signal wird an die Wand projiziert. Laserstrahl Spiegel Schirm 10. Schwingungen
Mathematische Beschreibung: x - Schwingung: x = x 0 sin(ω 1 t) y - Schwingung: y = y 0 sin(ω 2 t+φ) φ... Phasenverschiebung Sonderfälle: 1. ω 1 = ω 2 = ω ; x 0 ; y 0 ; φ = 0 y y x 0 x 0 y y x 0 0 x Gerade 2. ω 1 = ω 2 = ω ; x 0 = y 0 ; φ = π/2 x - Schwingung: y - Schwingung: x = r.sin(ωt) y = r.sin(ωt + π/2) = r.cos(ωt) Kreis x 0 y 0 Ellipse 10. Schwingungen
3. ω 1 = 2ω ω 2 = ω ; x 0 ; y 0 ; φ = 0 x - Schwingung: y - Schwingung: x = x 0 sin(2ωt) y = y 0 sin(ωt) Betrachte auch den Fall = φ = π/2 Faustformel: Berührungspunkte vertikal : Berührungspunkte horizontal = f x : f y 10. Schwingungen
Gedämpfte Schwingung Eine harmonische Schwingung hat eine konstante Amplitude und sollte unaufhörlich sein. Reale Schwingungen verhalten sich nicht so. Versuch: Pendel wird in Schwingung versetzt. Das Weg-Zeit Diagramm wird mit dem Computer aufgezeichnet. Die Amplitude der gedämpften Schwingung nimmt mit der Zeit ab. Die Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung ist etwas größer als bei der ungedämpften Schwingung.
Mathematische Beschreibung: y = y 0.e -δt sin(ωt) δ... Dämpfungsfaktor e - δt... Dämpfungsglied Gedämpfte Schwingung Elongation [cm] 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0,00 0,00-2,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00-4,00-6,00-8,00 Gedämpfte Schw. Harmonische Schw. Dämpfungsglied 1 Dämpfungsglied 2-10,00 Zeit [s] 10. Schwingungen
Erzwungene Schwingungen
Aufbau Ein zu harmonischen Schwingungen fähiges System mit Eigenfrequenz 0 Ein antreibendes System mit Frequenz Beide Systeme sind über eine Feder gekoppelt
Zwei über eine Feder gekoppelte Oszillatoren: Antrieb (rot) und angetriebener Oszillator (blau)
Antriebsfrequenz kleiner als Oszillatorfrequenz Antriebsfrequenz kleiner als Oszillatorfrequenz: Kopplungsfeder wird wenig beansprucht Praktisch gleichphasige Auslenkungen
Antriebsfrequenz höher als Oszillatorfrequenz Antriebsfrequenz höher als Oszillatorfrequenz: Kopplungsfeder wird stark beansprucht Auslenkung in Gegenphase
Antriebsfrequenz gleich Oszillatorfrequenz: Führt Ohne Dämpfung zur Resonanz-Katastrophe Antriebsfrequenz gleich als Oszillatorfrequenz: Jede Schwingung überträgt Energie vom Antrieb in den angetriebenen Oszillator Phasenverschiebung π/2, Auslenkung wächst mit jeder Periode an
Um die Dämpfung zu vermeiden z. B. bei Uhren verwendet man Rückkopplungseinrichtungen. Sie führen die in Reibung umgewandelte Energie wieder zu, dass die Amplitude konstant bleibt. Beispiel: Pendeluhr
Pendeluhr Anker Steigrad Gewicht Pendel 10. Schwingungen
Rückkopplungsmechanismen Pendeluhr, Taschenuhr Atmung CO 2 -Gehalt des Blutes Selbststeuerung bei der Dampfmaschine
Resonanz Resonanz, falls Antriebsfrequenz gleich Eigenfrequenz Die Amplitude wächst bei jeder Schwingung und führt ohne Dämpfung zur Resonanzkatastrophe Unabhängig von der Dämpfung springt die Phase an der Resonanzstelle
Resonanzkurven 2 Dämpfung: klein mittel groß f 0 10. Schwingungen
Die Amplitude der Blattfeder hängt von der Frequenz des Erregers ab. Ist die Frequenz des Erregers gleich der Eigenfrequenz der Blattfeder spricht man von Resonanz. Die Resonanzkurve ist um so höher, je geringer die Dämpfung ist. Im schlimmsten Fall (ungedämpft) Resonanzkatastrophe. Tacoma Narrows Bridge Gebäudeschwingungen, Rotierende Maschinenteile, Resonanz von Tragflügeln, Resonanzkörper
Tacoma Narrows Bridge Tacoma Narrows Bridge 7. November 1940 heute
Film Resonanz der Tacoma Narrow Bridge Quelle im Internet z. B. : http://www.enm.bris.ac.uk/anm/tacoma/taco ma.html
Versuche Schwebung bei Tönen Schwebung elektromagnetischer Wellen Schwebung am Doppelpendel (-> Chaostheorie)
Stoßdämpfer
4Amplitude 2 0,0 0 0,5 Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz 1,0 1,5 2,0 1,4 0,2 0,0 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 Dämpfung Amplitude einer erzwungenen Schwingung in Abhängigkeit von dem Verhältnis zwischen Antriebs- und Eigenfrequenz und der Dämpfung. Die Resonanzkurve wird mit abnehmender Dämpfung schärfer
150 100 Phase zwischen Antrieb und Oszillator 50 0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,0 Antriebsfrequenz/Eigenfrequenz Dämpfung Phase zwischen Antrieb und Schwingung des Systems in Abhängigkeit von dem Verhältnis zwischen Antriebs- und Eigenfrequenz und der Dämpfung.