Modul 1 Der Würfel! 1
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Der 2-1-1-Würfel 5
Der 2-1-1-Würfel 6
Der 5-3-2-Würfel 7
Der 5-3-2-Würfel 8
Der 5-3-2-Würfel 9
Der 5-3-2-Würfel 10
10-2-2-Würfel und 10-3-2-Würfel 11
10-2-2-Würfel und 10-3-2-Würfel 12
10-2-2-Würfel und 10-3-2-Würfel Autostereogramm 13
Kavalierperspektive 14
Kavalierperspektive Frontquadrat 1 15
Kavalierperspektive Verkürzung q 1 q a Anstellwinkel a 16
Kavalierperspektive q 1 a 17
Militärperspektive Bodenquadrat 1 18
Militärperspektive Bodenquadrat q a 1 19
Militärperspektive Bodenquadrat q a 1 20
Militärperspektive Bodenquadrat q a 1 21
Militärperspektive Bodenquadrat q a 1 22
Sonderfall der Militärperspektive: Senkrechte Achse nach oben Grundriss unverzerrt 23
Sonderfall der Militärperspektive: Senkrechte Achse nach oben Richtung der z-achse senkrecht 24
Sonderfall der Militärperspektive: Senkrechte Achse nach oben Richtung der z-achse senkrecht 25
Sonderfall der Militärperspektive: Senkrechte Achse nach oben 26
Sonderfall der Militärperspektive: Senkrechte Achse nach oben 27
Was sehen wir denn? 28
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Würfel? 30
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Modell z x y 32
Kavalierperspektive Militärperspektive 33
Kavalierperspektive Militärperspektive 34
Kavalierperspektive Militärperspektive 35
Unmögliche Figuren Kavalierperspektive Militärperspektive 36
Isometrische Axonometrie 37
z 1 x 1 1 y Isometrische Axonometrie r:s:t = 1:1:1 38
Isometrische Darstellung des Würfels 39
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Würfel oder Rhomben? 49
R. Penrose Tribar 50
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Dimetrische Axonometrie r:s:t = 1:2:2 52
z 1 Exakte Konstruktion 2 3 1 1 2 1 y x 53
z 1 Praktisches Vorgehen 41.41 1 1 7.18 y x 54
z 1 x 1 1 y 55
z Zu viel Symmetrie 1 x 1 1 y 56
Allgemein r:s:t beliebig Beispiel r:s:t = 4:5:6 57
Dreieck mit Seitenverhältnis r 2 : s 2 : t 2 r 2 s 2 t 2 58
r 2 s 2 1.6 2.5 t 2 Dreieck mit Seitenverhältnis r 2 : s 2 : t 2 3.6 59
Wie steht es mit der Dreiecksungleichung? Dreieck mit Seitenverhältnis r 2 : s 2 : t 2 r 2 s 2 1.6 2.5 t 2 3.6 60
z-achse senkrecht 61
Waagerechte Hilfslinie 62
Winkelhalbierende Winkelhalbierende 63
6 Einheitspunkte im richtigen Verhältnis 4 5 64
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Theoretischer Hintergrund 67
Situation in der Einheitskugel N! c! a b! 68
Situation in der Einheitskugel Achsensystem aus Origami-Papier N! c! a b! 69
ξ ϑ Situation in der Einheitskugel N ζ ζ N! ϑ c c!! a b! η 70
ξ ϑ N ζ ζ N! ϑ c c!! a b! ψ η Eulersche Winkel ϑ und ψ 71
ξ ϑ N ζ ζ N! ϑ c c!! a b! ψ η! c = sin( ϑ ) 0 cos( ϑ ) 72
ξ ϑ N ζ ζ N! ϑ c c!! a b! ψ η! a = sin ( ψ )cos( ϑ ) cos( ψ ) sin ( ψ )sin( ϑ )! c = sin( ϑ ) 0 cos( ϑ ) 73
ξ ϑ N ζ ζ N! ϑ c c!! a b! ψ η! a = sin ( ψ )cos( ϑ ) cos( ψ ) sin ( ψ )sin( ϑ )! b = cos( ψ )cos( ϑ ) sin ( ψ ) cos( ψ )sin( ϑ )! c = sin( ϑ ) 0 cos( ϑ ) 74
Projektion auf die Aufrissebene ζ N! c! a b! η 0! a = cos( ψ ) sin ( ψ )sin( ϑ ) 0! b = sin ( ψ ) cos( ψ )sin( ϑ ) 0! c = 0 cos( ϑ ) 75
ζ imaginäre Achse c Komplexe Zahlenebene η reelle Achse a b a = cos( ψ ) i sin( ψ )sin( ϑ) b = sin( ψ ) i cos( ψ )sin( ϑ) c = i cos( ϑ) r = a s = b t = c 76
a = cos( ψ ) i sin( ψ )sin( ϑ) b = sin( ψ ) i cos( ψ )sin( ϑ) c = i cos( ϑ) ( ) 2 ( sin ( ψ )) 2 ( sin( ϑ )) 2 + 2i cos ψ ( ) 2 ( cos( ψ )) 2 ( sin( ϑ )) 2 2i sin ψ ( cos( ϑ )) 2 a 2 = cos( ψ ) b 2 = sin ( ψ ) c 2 = a 2 + b 2 + c 2 = 1 1 + 0 ( )sin ( ψ )sin ϑ ( ) ( )cos( ψ )sin ϑ ( ) a 2 + b 2 + c 2 = 0 daher geschlossenes Dreieck 77
Berechnung der Verkürzungen r 2 = a 2 = cos( ψ ) s 2 = b 2 = sin ( ψ ) t 2 = c 2 = ( ) ( ) 2 + ( sin ψ ) 2 ( sin( ϑ )) 2 ( ) ( ) 2 + ( cos ψ ) 2 ( sin( ϑ )) 2 ( cos( ϑ )) 2 r 2 + s 2 + t 2 = 2 r 2 + s 2 + t 2 = 2 78
Beispiel r : s :t = 4 : 5 : 6 r = 4λ s = 5λ t = 6λ r 2 + s 2 + t 2 = 2 16λ 2 + 25λ 2 + 36λ 2 = 2 77λ 2 = 2 λ = 2 77 0.16116 r = 4λ 0.6446 s = 5λ 0.8058 t = 6λ 0.9670 79
Beispiel r : s :t = 4 : 5 : 6 r = 4λ s = 5λ t = 6λ r 2 + s 2 + t 2 = 2 16λ 2 + 25λ 2 + 36λ 2 = 2 77λ 2 = 2 λ = 2 77 0.16116 r = 4λ 0.6446 s = 5λ 0.8058 t = 6λ 0.9670 80
Beispiel r : s :t = 4 : 5 : 6 r = 4λ s = 5λ t = 6λ r 2 + s 2 + t 2 = 2 16λ 2 + 25λ 2 + 36λ 2 = 2 77λ 2 = 2 λ = 2 77 0.16116 r = 4λ 0.6446 s = 5λ 0.8058 t = 6λ 0.9670 81
Beispiel r : s :t = 4 : 5 : 6 r = 4λ s = 5λ t = 6λ r 2 + s 2 + t 2 = 2 16λ 2 + 25λ 2 + 36λ 2 = 2 77λ 2 = 2 λ = 2 77 0.16116 r = 4λ 0.6446 s = 5λ 0.8058 t = 6λ 0.9670 82
Beispiel r : s :t = 4 : 5 : 6 r = 4λ s = 5λ t = 6λ r 2 + s 2 + t 2 = 2 16λ 2 + 25λ 2 + 36λ 2 = 2 77λ 2 = 2 λ = 2 77 0.16116 r = 4λ 0.6446 s = 5λ 0.8058 t = 6λ 0.9670 83
Beispiel r : s :t = 4 : 5 : 6 r = 4λ s = 5λ t = 6λ r 2 + s 2 + t 2 = 2 16λ 2 + 25λ 2 + 36λ 2 = 2 77λ 2 = 2 λ = 2 77 0.16116 r = 4λ 0.6446 s = 5λ 0.8058 t = 6λ 0.9670 84
Beispiel r : s :t = 4 : 5 : 6 r = 4λ s = 5λ t = 6λ r 2 + s 2 + t 2 = 2 16λ 2 + 25λ 2 + 36λ 2 = 2 77λ 2 = 2 λ = 2 77 0.16116 r = 4λ 0.6446 s = 5λ 0.8058 t = 6λ 0.9670 85
Berechnung der Eulerschen Winkel t = cos( ϑ ) ϑ = arccos( t) r 2 = cos( ψ ) ( ) ( ) 2 + ( sin ψ ) 2 ( sin( ϑ )) 2 r 2 = cos( ψ ) ( ) ( ) 2 + ( sin ψ ) 2 1 t 2 t 2 ( sin ( ψ )) 2 = 1 r 2 ( sin ( ψ )) 2 = 1 r2 ( ) = 1 t 2 sin ψ ψ = arcsin 1 r 2 t 2 t 2 ( ( )) 2 86
Beispiel: r : s :t = 4 : 5 : 6 r 0.6446 s 0.8058 t 0.9670 ϑ = arccos( t) 14.76 ψ = arcsin 1 r 2 t 2 52.24 87
r : s :t = 4 : 5 : 6 ϑ 14.76 ψ 52.24 Standort des Beobachters? 88
r : s :t = 4 : 5 : 6 ϑ 14.76 ψ 52.24 Geografische Breite 14.76, geografische Länge (90-52.24 ) und sehr weit im Weltall 89
Zeichnen im Würfel 90
Symmetrieebenen parallel zu Seitenflächen 91
Symmetrieebenen parallel zu Seitenflächen 92
Symmetrieebenen parallel zu Seitenflächen 93
Symmetrieebenen parallel zu Seitenflächen 94
Symmetrieebenen senkrecht zu den Seitenflächen 95
Symmetrieebenen senkrecht zu den Seitenflächen 96
Alle Symmetrieebenen 97
Alle Symmetrieebenen 98
Schnitt zweier Ebenen 99
Ebene ABC Ebene PQR R B A P Q C 100
Ebene ABC B A C 101
Ebene ABC B A C 102
Ebene ABC B A C 103
Ebene ABC B A C Und? 104
Ebene ABC B A C 105
Ebene ABC B A C 106
Ebene ABC B A C 107
Ebene ABC B A C Kontrollen 108
Ebene ABC B A C 109
Ebene PQR R P Q 110
Ebene PQR R P Q 111
Ebene PQR R P Q 112
Ebene PQR R P Q 113
Ebene PQR R P Q 114
Ebene PQR R P Q 115
R B Gemeinsamer Punkt auf Rückwand A P Q C Gemeinsamer Punkt am Boden 116
R B A Schnittgerade P Q C 117
Sichtbarkeit R B A P Q C 118
Schnitt einer Ebene mit einer Geraden 119
Ebene ABC Gerade PQ B A P Q C 120
Ebene ABC Gerade PQ B A P Q C 121
Ebene ABC Gerade PQ B A Schnittpunkt? P Q C 122
Ebene ABC Hilfspunkt R (beliebig) R B Gerade PQ A P Q C 123
Ebene ABC Hilfspunkt R (beliebig) R B Gerade PQ A P Q C 124
Ebene ABC Hilfspunkt R (beliebig) R B Gerade PQ A Q P C Schnittpunkt (Durchstoßpunkt) 125
Ebene ABC Gerade PQ R B A P Q C 126
Ebene ABC Gerade PQ B A P Da geht s durch. Q C 127