. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zufallsereignisse, Ereignisraum und Ereignismenge Zufallsexperiment: nach einer bestimmten Vorschrift ausgeführter, unter gleichen edingungen beliebig oft wiederholbarer Vorgang mit mindestens 2 möglichen bekannten Ergebnissen. Es ist nicht bekannt bzw. ungewiss, welches Ergebnis eintreten wird, d.h. es kann nicht exakt vorausgesagt werden. sp.: Werfen eines Würfels oder einer Münze Elementarereignisse einzelne, nicht mehr zerlegbare und sich gegenseitig ausschließende Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Z.. Zahl der ugen beim Würfel
Ereignisraum: Die Menge Ω aller n Elementarereignisse ω, ω2,..., ωn eines Zufallsexperiments stellt den Ereignisraum Stichprobenraum dieses Zufallsexperiments dar: Ω { ω ω,..., }, 2 ω n Voraussetzung: endlich viele oder höchstens abzählbar unendlich viele ω n stetiges Kontinuum Zusammengesetztes Ereignis: Ein zufälliges Ereignis ist eine Teilmenge von Ω. Das Ereignis ist eingetreten, wenn das Ergebnis des Zufallsexperiments ein Element der Teilmenge ist. Ereignismenge: lle Ereignisse eines Zufallsexperiments mit Ereignisraum Ω bilden die dazugehörige Ereignismenge E Ω. 2
. sicheres Ereignis: Ω Ω 2. unmögliches Ereignis: Ω Tritt das Ereignis immer ein, wird es mit es mit bezeichnet. Ω bezeichnet; tritt es niemals ein wird 3
.2 Ereignisse und ihre Verknüpfungen Wenigstens eines der beiden Ereignisse oder oder beide treten ein: Vereinigung. Gemeinsam auftretende Ereignisse: sowohl als auch müssen eintreten: Durchschnitt 4
Komplementärereignis: Das Komplementärereignis tritt genau dann ein, wenn nicht eintritt Negation:, d.h. und sind komplementär zueinander : Ω \ Es gilt: und Ω, Ω und Ω 5
Differenz \ : Das Ereignis ohne das Ereignis : Disjunkte Ereignisse: Falls und niemals gleichzeitig eintreten können,, dann gelten die Ereignisse als disjunkt unvereinbar, d.h. sie schließen sich gegenseitig aus. 6
Implikation: Das Ereignis enthält das Ereignis : impliziert Da das Ergebnis eines Zufallsexperiments ist nicht vorhersagbar, aber man kann möglichen Ereignissen Wahrscheinlichkeiten reelle Zahlen zuordnen: : E R reellwertige Funktion : 7
Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie 8 Regeln für Ereignisoperationen: bzw. Kommutativgesetze C C bzw. C C ssoziativgesetze C C bzw. C C Distributivgesetze bzw. De Morgansche Regeln
.3 Wahrscheinlichkeitsbegriffe Definition der Wahrscheinlichkeit nach Laplace klassische Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses ist die nzahl der günstigen Fälle in denen eintritt im Verhältnis zu allen möglichen Fällen. chtung: Setzt die Gleichwahrscheinlichkeit für das Eintreten aller möglichen Fälle voraus. : nzahl der günstigen usgänge nzahl der möglichen usgänge nzahl der Elemente nzahl der Elemente Ω Rechtfertigung: rinzip des unzureichenden Grundes 9
Definition der Wahrscheinlichkeit nach von Mises statistische Wahrscheinlichkeit: Nach n-maligem Durchführen eines Zufallsexperiments konvergiert die relative Häufigkeit f bei sehr großen n gegen die statistische Wahrscheinlichkeit des uftretens von, : f lim bzw. f n > ε 0 lim n sp.: Würfel wird 3000mal hintereinander geworfen. Es interessiert die nzahl der Sechser: 0
nzahl der Würfe bsolute H. der ugenzahl 6 Relative Häufigkeit der ugenzahl 6,00000 2 0,50000 3 0,33333 4 0,25000 5 2 0,40000 0 2 0,20000 M M M 3000 560 0,6867 Konvergenz der relativen Häufigkeit wird als Gesetz der großen Zahlen bezeichnet. f wird dann als Näherungswert oder Schätzwert ˆ für die gesuchte Wahrscheinlichkeit verwendet
Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff Risikosituation : Man erhält 000 EUR mit Wahrscheinlichkeit p. Man erhält 0 EUR mit Wahrscheinlichkeit p. Risikosituation : Man erhält 000 EUR, wenn DX innerhalb nächsten drei Monate um 00 unkte steigt. Wenn nicht, geht man leer aus. xiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff nach Kolmogorov xiom Nichtnegativität: 0 reelle Zahl. für jedes E. ist eine nichtnegative xiom 2 Normierung: Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit : Ω 2
xiom 3 dditivität: + disjunkte Ereignisse., falls dditionsregel für Für die Ereignismenge E muss gelten: Ω E sicheres Ereignis gehört zur Ereignismenge 2 E, wenn E jedes Ereignis besitzt komplementäres Ereignis U 3 j E j bgeschlossenheit der Menge E xiom 3 : 2 3 2 3 K + + + K Kolmogorovscher Wahrscheinlichkeitsraum: [ Ω, E, ] 3
.4 Wichtige Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung Theorem : Die Wahrscheinlichkeit des zu komplementären Ereignisses ist: für jedes E eweis: Ereignisse und sind disjunkt, folglich gilt xiom 3 und 2: + Ω Theorem 2: Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses beträgt: 0 eweis: und Ω sind komplementäre Ereignisse. Nach xiom 2 ist Ω nach Theorem folgt 0. und 4
Theorem 3: Sind die Ereignisse,,, 2 K n E paarweise disjunkt, dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, das aus der Vereinigung all dieser Ereignisse entsteht, die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten: n 2 3 U i K i i bei n disjunkte Ereignissen: eweis: vollständige Induktion nach xiom 3 bzw. xiom 3. n i Theorem 4: Für eine Differenzmenge \ gilt stets: \ eweis: Ereignis setzt sich aus \ und zusammen, so dass aus xiom 3 folgt: \ + 5
Theorem 5: dditionsgesetz für beliebige auch für nicht disjunkte Ereignisse: + eweis: Das Ereignis setzt sich aus den drei disjunkten gegenseitig ausschließenden Ereignissen Theorem 4 gilt: \, und \ zusammen und nach Dann folgt nach Theorem 3: \ + + \ \ - und \ - + + - + + - + - 6
dditionsgesetz für zwei disjunkte Ereignisse: +, da bzw. 0 Theorem 6: Monotonieeigenschaft des Wahrscheinlichkeitsmaßes Impliziert Ereignis das Ereignis dann folgt grundsätzlich: eweis: Ereignis setzt sich aus den beiden disjunkten Ereignissen und \ zusammen und nach xiom 3 gilt: + \ nach xiom nicht negativ sein kann, gilt:.. Da \ 7
.5 edingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit edingte Wahrscheinlichkeit: Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses unter der Voraussetzung, das bereits eingetreten ist., für > 0 bedingte Wahrscheinlichkeit von unter der edingung von 8
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist selbst ein Wahrscheinlichkeitmaß und gehorcht ebenfalls den Kolmogorovschen xiomen, denn es gilt: 0 für beliebige Ereignisse E 2 Ω für das sichere Ereignis Ω 3 2 + 2, falls 2 9
Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie 20 2 2 2 2 2 + + Theorem 7: Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung für beliebige Ereignisse durch Umformen der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:, wenn 0 > bzw., wenn 0 >
Multiplikationssatz für drei Ereignisse: C C C C, wenn C > 0 us C > 0 folgt C C > 0 ist. Daher gilt: C C C C C Stochastische Unabhängigkeit: Zwei Ereignisse und heißen stochastisch unabhängig, wenn bzw. Theorem 8: Multiplikationssatz für stochastisch unabhängige Ereignisse: 2
.6 Totale Wahrscheinlichkeit und das ayes Theorem Theorem 9: Satz der totalen Wahrscheinlichkeit esteht ein Ereignisraum Ω aus n disjunkten Ereignissen,...,, 2 n d.h. für i j und U n i j i i Ω bzw. vollständige Zerlegung der Ereignismenge, und ist das Ereignis ein Teil von Ω, sind, 2,, n disjunkte Ereignisse und es gilt: n + +... + n i U i i 2 i Ω, dann n 22
Da i i i ist, kann geschrieben werden. n auch als: i i i 23
Theorem von ayes: us der Verknüpfung von bedingter und totalen Wahrscheinlichkeit folgt die Formel von ayes: i i i Ersetzt man im Nenner durch den usdruck der totalen Wahrscheinlichkeit, dann erhält man: i n j i j i j i 24
Interpretation der Formel von ayes:, 2,..., n sind sich ausschließende mögliche Zustände der Welt alternative Hypothesen, von denen genau eine zutrifft. ist das Ergebnis einer eobachtung. Für jede der n Hypothesen i ist die Wahrscheinlichkeit bekannt, dass eintritt, wenn i gilt. i ist die -priori-wahrscheinlichkeit von i bzw. die Wahrscheinlichkeit, dass die i-te Hypothese zutrifft. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die i Wahrscheinlichkeit von, wenn die Hypothese i zutrifft. i ist die -posteriori-wahrscheinlichkeit von i bzw. die nach der eobachtung von ermittelte Wahrscheinlichkeit, dass die i-te Hypothese zutrifft, unter der edingung, dass das Ergebnis beobachtet worden ist. 25