Zur Theorie der Flugwege geringsten Zeitbedarfs bei Flügen mit konstanter Machzahl

FORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN Nr.887 Herausgegeben im Auftrage des Ministerpräsidenten Heinz Kühn von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt Prof. Dr.-Ing. Edgar Rößger Dipl.-Ing. Günther Sögtrop Institut für Flugführung und Luftverkehr der Technischen Universität Berlin Zur Theorie der Flugwege geringsten Zeitbedarfs bei Flügen mit konstanter Machzahl Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

ISBN 978--66-0677-7 ISBN 978--66-0760-8 (ebook) DOI 0.007/978--66-0760-8 Verlags-Nr. 0887 967 by Springer Fachmedien Wiesbaden Ursprünglich erschienen bei Westdeutscher Verlag, Köln und Opladen 967

Vorwort Probleme des Flugbetriebes sind lange Zeit von dem Standpunkt aus betrachtet worden, daß das fertige Flugzeug, bestehend aus Zelle und Triebwerk, zur Verfügung stehe und damit alle Voraussetzungen für den Einsatz erfüllt seien. Diese Vorstellung hat sich unter dem Zwang der Verhältnisse gewandelt. Die Flugzeuge mußten mit zusätzlicher Ausrüstung versehen werden, um den Einsatz bei allen vorkommenden Wetterlagen mit größter Sicherheit, Leistungsfähigkeit und Wirtschaftlichkeit zu ermöglichen, und aus dem Einsatz resultierten Probleme hinsichtlich einzuhaltender Flugverfahren. Diese Flugverfahren ergaben sich aus dem entscheidenden Einfluß der Wetterbedingungen, den Notwendigkeiten der Flugsicherung und den flugbetrieblichen Daten. Wenn z. B. lange Zeit, zumal in der fliegerischen Praxis, der Meinung Ausdruck gegeben wurde, die Flugzeuge, ihre Ausrüstung und die fliegerischen Verfahren müßten so entwickelt werden, daß man von den Umgebungsbedingungen (Wettererscheinungen) möglichst unabhängig werden sollte, so hat dies im Grundsatz durchaus seine Berechtigung. Die Entwicklung hat jedoch gezeigt, daß diese Abhängigkeiten im Laufe der Zeit nicht geringer, sondern eher größer wurden. Im Kurz- und Mittelstreckenverkehr mit der verhältnismäßig großen Zahl von Starts und Landungen führen Schlechtwetterlagen zu starker Beeinträchtigung des Flugbetriebes. Es ergeben sich Verspätungen oder es müssen sogar Flüge ausfallen und Ausweichflughäfen angeflogen werden. Ein weiterer Bereich ist die Ermittlung von Flugwegen, die ein Minimum an Aufwand bedingen. Dies bezieht sich besonders auf Weitstrecken, bei denen die Einsparung von Kraftstoff wesentlich ins Gewicht fällt. Oft kommt es darauf an, festzustellen, welche größte Reichweite mit vorgegebener Nutzlast und vorgegebenem Kraftstoffvorrat erreicht werden kann. Bei der Höhe der direkten Betriebskosten von Großflugzeugen spielen Fragen dieser Art eine erhebliche Rolle. Infolgedessen mußte es ein Anliegen sein, Flugwege geringsten Zeitbedarfs zu ermitteln. Diesem Problem haben sich die Luftverkehrsgesellschaften mit großem Interesse zugewandt, weil eine Ersparnis von nur einigen Minuten nicht nur eine Erhöhung der Sicherheit infolge größerer Kraftstoffreserve mit sich bringt, sondern auch eine erhebliche wirtschaftliche Ersparnis. Die unmittelbar durch die Flugzeit zu beeinflussenden Kosten betragen für ein Langstreckenverkehrsflugzeug etwa DM 800,- pro Flugstunde. Eine Flugzeiteinsparung von nur fünf Minuten bedeutet damit eine Kostensenkung von DM 50,- für diesen Flug. Die Grundlagenforschung auf dem Gebiete der Luftverkehrswirtschaft begann im Jahre 928, als Carl Pirath das Verkehrswissenschaftliche Institut an der Technischen Hochschule Stuttgart begründete. Es war der Vorzug dieses Instituts, daß es das Problem Luftfahrt als Teil des Gesamtverkehrswesens sah. Inzwischen sind jedoch die Probleme des Flugbetriebes und des Luftverkehrs für die Volkswirtschaft von so großer Bedeutung geworden, daß sie eigenständiger wissenschaftlicher Bearbeitung bedürfen. - Der Bearbeitung solcher Probleme hat sich - neben anderen Aufgaben - das Institut für Flugführung und Luftverkehr der Technischen Universität Berlin unter der Leitung des Erstverfassers seit seiner Gründung im Jahre 955 angenommen. Im Benehmen mit der Deutschen Lufthansa AG wurde von dem Assistenten für Flugbetrieb des Institutes, Dipl.-Ing. W. Breitung [5], eine Nachkalkulation von Nordatlantik-Flügen unternommen, die mit Flugzeugen des Musters Super Constellation durchgeführt worden sind. Dabei wurde ermittelt, welche Flugwege auf Grund der

Wettervorhersage im Linienverkehr hätten zweckmäßig geflogen werden sollen, welche Flugwege tatsächlich eingehalten worden sind und welche Flugwege auf Grund der tatsächlich eingetretenen Wetterlage am günstigsten gewesen wären. Die Ergebnisse führten dazu, die Probleme am Institut fortlaufend weiterzuverfolgen. Die erarbeiteten Methoden hinsichtlich der Ermittlung des Flugweges geringsten Zeitbedarfs sind z. B. so weit entwickelt worden, daß nach Eingabe der neuesten meteorologischen Daten dem Flugzeugführer innerhalb von wenigen Minuten der Flugplan übermittelt werden kann (die Rechenoperation selbst dauerte 90 sec unter Verwendung einer digitalen programmgesteuerten Rechenanlage). Durch z. Zt. laufende Untersuchungen sind weitere Verbesserungen zu erwarten. Es hat sich gezeigt, daß beim Überschalluftverkehr die Abhängigkeiten von den meteorologischen Gegebenheiten erst recht nicht vernachlässigt werden dürfen. Dies bezieht sich sowohl auf die Windgeschwindigkeit und Windrichtung, die z. B. bei einem Atlantik Flug die Flugzeit immer noch in der Größenordnung von einer Minute bis zu vier Minuten beeinflussen können, mehr jedoch auf das Druck- und Temperaturfeld in den in Betracht kommenden Flughöhen. Mit den Problemen, die im Zusammenhang damit stehen, befaßt sich eine weitere Untersuchung am Institut, die ebenfalls kurz vor dem Abschluß steht und von der Deutschen Forschungsgemeinschaft gefördert worden ist. In der betrieblichen Praxis hat es sich unter Berücksichtigung der bei der Durchführung der Flüge einzukalkulierenden Parameter herausgebildet, mit konstanter Machzahl zu fliegen. Infolgedessen erschien es zweckmäßig, eine Grundsatzuntersuchung durchzuführen, die sich mit der Theorie der Flugwege geringsten Zeitbedarfs bei Flügen mit konstanter Machzahl befaßt. Das Ergebnis der Untersuchung wird hiermit vorgelegt. Der Deutschen Gesellschaft für Ortung und Navigation e. V., Düsseldorf, und dem Landesamt für Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen gebührt Dank, daß sie die Mittel bereitgestellt haben, um die Untersuchung zu ermöglichen. Berlin, im Januar 967 Die Verfasser 4

Inhalt. Problemstellung...................................................... 7 2. Arbeiten über die allgemeine Lösung des Variationsproblems der Flugwege geringsten Zeitbedarfs bei Flügen mit konstantem Betrage der Eigengeschwindigkeit... 7. Arbeiten über das Brechungsgesetz für Flugwege geringsten Zeitbedarfs...... 9 4. Das graphische Verfahren zur Bestimmung der Flugwege geringsten Zeitbedarfs nach BESSEMOULIN und PONE........................................... 0 5. Die allgemeine Lösung des Variationsproblems der Flugwege geringsten Zeitbedarfs bei Flügen mit konstanter Machzahl.............................. 6. Verfahren zur Berechnung der Flugwege geringsten Zeitbedarfs bei Flügen mit konstanter Machzahl... 7 6. Grundlagen..................................................... 7 6.2 Weg-Zeit-Rechnung............................................. 8 6. Steuerkursänderung für den Flugweg geringsten Zeitbedarfs... 9 6.4 Berechnung des Maßstabsfaktors... 2 6.4. Stereographische Projektion... 2 6.4.2 LAMBERTsche konforme Kegelkarte... 2 6.5 Festlegung des Rechengitters... 22 6.6 Rechnungsgang... 25 6.6. Berechnung des Isochronenfeldes... 25 6.6.2 Berechnung des Flugweges geringsten Zeitbedarfs... 27 7. Schlußbemerkung... 29 Literaturverzeichnis...... 29 5

. Problemstellung Bezogen auf ein erdfestes Koordinationssystem setzt sich der Geschwindigkeitsvektor eines Luftfahrzeuges aus dem Vektor der Eigengeschwindigkeit und dem Windvektor zusammen. Die Flugzeit zwischen zwei Punkten auf der Erde wird damit eine Funktion des Betrages der Eigengeschwindigkeit, der Richtungskosinusse der Eigengeschwindigkeit im erdfesten System und des Vektorfeldes der Windverteilung. Bei konstantem Betrage der Eigengeschwindigkeit kann die Frage gestellt werden: Welcher Bedingung müssen die Richtungskosinusse der Eigengeschwindigkeit genügen, um bei gegebenem Windfeld in kürzester Zeit von einem Punkt A zu einem Punkt B zu gelangen? Für dieses Problem existieren eine Reihe von Lösungen, auf die in den nächsten Abschnitten eingegangen werden soll. Die Voraussetzung eines Fluges mit konstantem Betrage der Eigengeschwindigkeit trifl-t im allgemeinen nur für Flugzeuge zu, die durch Kolbenmotore angetrieben werden. Strahlflugzeuge halten während des Reisefluges bei den heute üblichen Flugverfahren eine konstante Flugmachzahl ein. Der Betrag der Eigengeschwindigkeit wird über die Beziehung: Ve =k M VT mit den Bezeichnungen Ve = Betrag der Eigengeschwindigkeit k = M = Proportionalitäts konstante Flugmachzahl T = Temperatur der Umgebungsluft in K eine Funktion der Umgebungstemperatur. Für den Flugweg eines Strahlflugzeuges kann daher die Frage gestellt werden: Welcher Bedingung müssen die Richtungskosinusse der Eigengeschwindigkeit genügen, um bei gegebenem Wind- und Temperaturfeld in kürzester Zeit von einem Punkte A zu einem Punkte B zu gelangen? Dabei soll die Flugmachzahl eine Konstante sein. In der vorliegenden Arbeit wird eine allgemeine Lösung dieses Problems im Raum und ein Rechenverfahren für das ebene Problem angegeben. 2. Arbeiten über die allgemeine Lösung des Variationsproblems der Flugwege geringsten Zeitbedarfs bei Flügen mit konstantem Betrage der Eigengeschwindigkeit Eine allgemeine Lösung des Variationsproblems der Flugwege geringsten Zeitbedarfs bei Flügen mit konstantem Betrage der Eigengeschwindigkeit wird von E. ZERMELO [] und T. LEVI-CrVITA [2] angegeben. Beide Autoren gehen von den Bewegungsgleichungen 7

eines Luftfahrzeuges im Windfeld aus. Für jeden Punkt des Flugweges im n-dimenionalen Raum gilt: mit den Bezeichnungen: dx, - = Komponenten der absoluten Geschwindigkeit dt Wi Ve OC, Komponenten der Windgeschwindigkeit = Betrag der konstanten Eigengeschwindigkeit = Richtungskosinusse der Eigengeschwindigkeit (i =,2 '" n) LEVI-CIvITA gibt als Lösung des Variationsproblems die Beziehung mit doct ow -=-+A'OCi dt OXt (i =,2... n) (2.) an. ZERMELO kommt auf einem anderen Wege für das ebene Problem zu der Bedingung: dcp owx (owx OWy). OWy. - = - - cos 2 cp + - - - cos cp S0 cp + - S02 cp dt oy OX oy OX (2.2) Dabei bedeutet cp den Winkel zwischen der positiven x-achse und der Richtung des Vektors der Eigengeschwindigkeit. ZERMELO gibt in einem zweiten Abschnitt seiner Arbeit eine Lösung für das räumliche Problem an. Für n = 2 und n = stimmen die Gleichungen von LEvI-CrvITA und ZERMELO überein. Wird in der ZERMELOschen Navigationsgleichung das Koordinatensystem so gedreht, daß die x-achse mit der Richtung der Eigengeschwindigkeit zusammenfällt, ergibt sich die einfache Beziehung: dt Das bedeutet als Bedingung für den Flugweg geringsten Zeitbedarfs mit den Worten von ZERMELO []:»Das Steuer muß immer nach der Seite gedreht werden, nach welcher die gegen die Steuerrichtung wirkende Windkomponente größer wird.«dieser Sachverhalt wird noch deutlicher, wenn nach P. FUNK [, S.284] die Komponente Wt der Windgeschwindigkeit in Steuerrichtung eingeführt und nach dem Linienelement senkrecht dazu differenziert wird. Für die Windkomponente in Steuerrichtung gilt: oy Wt = Wx cos cp + Wy sin cp 8

Daraus folgt nach Differentiation in Richtung ljj +!:. : 2 OWt o(wx cos ljj + wy sin jj). o(wx cos ljj + wy sin jj) - = -. sm ljj + cos ljj (2.) on OX oy Vergleich von (2.2) und (2.) ergibt: dljj dt (2.4) Ein Rechenverfahren für programmgesteuerte digitale Rechenanlagen, das mit (2.4) die Bestimmung des Flugweges geringsten Zeitbedarfs gestattet, wird von F. LEWIS [4] angegeben.. Arbeiten über das Brechungsgesetz für Flugwege geringsten Zeitbedarfs Analogiebetrachtungen zwischen den Flugwegen geringsten Zeitbedarfs und der Ausbreitung eines Lichtstrahls in einem Medium mit ortsveränderlichem Brechungsindex gehen auf PR. FUNK [5] und R. v. MISES [6] zurück. In jüngster Zeit haben E. RÖSSGER und G. RÄNIKE in [7] und [8] das Problem ausführlich behandelt. Bei der Ableitung des Brechungsgesetzes wird davon ausgegangen, daß das Windfeld zwischen Abflugpunkt A und Zielpunkt B in eine Anzahl von Gebieten mit jeweils konstantem Windvektor eingeteilt werden kann. Diese Gebiete sollen durch Geraden voneinander getrennt sein. Es wird nun in Analogie zur Optik die Frage gestellt, wie ändert sich der Steuerkurs unter der Bedingung des Flugweges geringsten Zeitbedarfs beim Übergang von einem Windgebiet zum anderen, also bei der» Brechung«an den Trennungsgeraden zwischen den beiden Windgebieten. Wird mit X der Winkel zwischen dem Vektor der Eigengeschwindigkeit und dem Lot auf die Trennungsgerade und mit u die Komponente der Geschwindigkeit über Grund in Richtung der Eigengeschwindigkeit bezeichnet, muß nach [8] an der Trennungsgerade die Bedingung sin Xl sin X2 (.) erfüllt sein. Die Indizes bezeichnen dabei die Zustände vor und nach dem Übergang von einem Wind gebiet zum anderen. Ein Berechnungsverfahren zur Ermittlung des Flugweges geringsten Zeitbedarfs, das die Bedingung (.) benutzt, wird von G. RÄNIKE in [8] angegeben. 9

4. Das graphische Verfahren zur Bestimmung der Flugwege geringsten Zeitbedarfs nach BESSEMOULIN und PÖNE Die Luftverkehrsgesellschaften bestimmen z. Z. im allgemeinen den Flugweg geringsten Zeitbedarfs durch das graphische Verfahren nach BESSEMOULIN und Po NE [9]. Bei diesem Verfahren werden vom Abflugpunkt A ausgehend Kurven - sogenannte Isochronen - konstruiert, die im erdfesten System von dem Flugzeug unter Berücksichtigung des Windeinflusses in gleicher Zeit erreicht werden können. Abb. zeigt die Konstruktion nach [0]. Als Zeiteinheit wird eine Stunde gewählt. Um den Abflugpunkt A wird ein Kreis VI mit der Eigengeschwindigkeit E des Flugzeuges als Radius geschlagen. Von verschiedenen Punkten PI, QI, RI auf VI werden die während der ersten Flugstunde auf den verschiedenen Kursen herrschenden mittleren Windvektoren PIAI, QIBI, RICI abgetragen. Die Punkte Al, BI, Cl liegen auf der ersten Isochrone WI, die von dem Flugzeug in der ersten Flugstunde erreicht werden kann. In verschiedenen Punkten auf WI werden nun wieder Kreisbögen mit E als Radius geschlagen. Die Bögen werden von der Kurve V 2 eingehüllt. Von V 2 aus werden die mittleren Windvektoren P2 A 2, Q2B2, R2C2 auf den verschiedenen Kursen für die zweite Flugstunde abgetragen. Die Punkte A 2, B2, C2 liegen auf der zweiten Isochrone W2, die von dem Flugzeug nach zwei Flugstunden erreicht werden kann. Das Verfahren wird so lange wiederholt, bis das Isochronenfeld den Zielpunkt B überdeckt. Im allgemeinen wird B nicht genau auf einer der Isochronen liegen. Es muß dann, ausgehend von der letzten zwischen A und B liegenden Isochrone, eine kleinere Zeiteinheit gewählt werden, bis B gerade erreicht wird. Jeder der von A ausgehenden Wege AAl... An, ABI... Bn, ACI... Cn ist dann ein Flugweg geringsten Zeitbedarfs zur Isochrone Wn. Um den Flugweg geringster Zeit zwischen A und B zu finden, wird nun von B ausgehend die Konstruktion in umgekehrter Richtung durchgeführt. Von B wird der Windvektor zwischen Bund V n in umgekehrter Richtung abgetragen. Sein Ausgangspunkt ist Sn auf V n. Von Sn wird das Lot auf Wn- l gefällt. Das Lot trifft Wn- l in D n- l. Die gleiche Konstruktion wird nun so lange wiederholt, bis A erreicht ist. Der Linienzug A D I D 2 B ist dann der Flugweg geringsten Zeitbedarfs zwischen A und B. Wn Vn Wn-l Vn- W2 V2 Wl Vl Abb. Konstruktion des Flugweges geringsten Zeitbedarfs (nach [0]) 0

5. Die allgemeine Lösung des Variationsproblems der Flugwege geringsten Zeitbedarfs bei Flügen mit konstanter Machzahl Der Flugweg geringsten Zeitbedarfs bei Flügen mit konstanter Machzahl ist ein Sonderfall eines Flugweges, bei dem der Betrag der Eigengeschwindigkeit eine Funktion des Ortes und der Zeit ist. Es kann daher allgemein gefragt werden: Welcher Bedingung müssen die Richtungskosinusse des von Ort und Zeit abhängigen Betrages der Eigengeschwindigkeit genügen, um bei gegebenem Windfeld in kürzester Zeit von einem Punkte Po zu einem Punkte Pr zu gelangen? Der Läsungsgang ist zunächst mit dem von LEVI-CIvITA in [2] angegebenem Weg identisch. In einem kartesischen, räumlichen, erdfesten Koordinationssystem mit den Achsen i =, i = 2 und i = gilt für jeden Punkt der Flugbahn die Beziehung mit dxi - = Ve lxi + Wi dt Komponenten der absoluten Geschwindigkeit (5.) Ve lxi Wi Betrag der Eigengeschwindigkeit = Richtungskosinusse des Betrages der Eigengeschwindigkeit = Komponenten der Windgeschwindigkeit Quadrieren der drei Gleichungen (5.) und anschließende Summation führt mit den Bezeichnungen 'Pd = Li W dxi (5.2) i zu w 2 = Li wp ds 2 = Li dx[ (5.) (5.4) oder Daraus folgt dt = - "Pd ± V"Pa + (v; - w 2 ) ds 2 v;-w 2 (5.5) (5.6) Für den Flug muß dt > 0 sein. Wird weiter vorausgesetzt, daß der absolute Betrag der Eigengeschwindigkeit stets gräßer als der absolute Betrag der Windgeschwindigkeit ist, eine Voraussetzung, die für alle hier interessierenden Flugzeuge erfüllt ist, kann in Gleichung (5.6) nur das positive Vorzeichen der Wurzel gelten (5.7)

Die Flugzeit zwischen den Punkten Po und PI ergibt sich dann zu T = J La(Xi' dxi, t) Variation von (5.8) führt mit (5.7) als Nebenbedingung nach Einführung von mit. La -p + y,ll + (v; - w 2 ) vi L (Xi, Xi, t) = - = --'--.:...:..--,---------'-"- dt v; _w2 (5.8) (5.9) (5.0) nach LEVI-CIVITA zu d ol ol ol ol dt OXi - OXi = 8t. OXi (5. ) (5.2) als Bedingungsgleichung für den Flugweg geringsten Zeitbedarfs. Für (5.7) kann mit (5.9) auch geschrieben werden.. La L(Xi' Xi, t) = - = dt (5.) Bei der Variation von (5.8) macht LEVI-CIVITA von seiner Voraussetzung eines konstanten Betrages der Eigengeschwindigkeit keinen Gebrauch. Gleichung (5.2) ist daher in Verbindung mit Gleichung (5.) auch eine Lösung des Variationsproblems des Flugweges geringsten Zeitbedarfs bei veränderlicher Eigengeschwindigkeit. Für die Berechnung von (5.2) wird nach LEVI-CIVITA nicht der explizite Ausdruck (5.9) für L benutzt, sondern die implizite Gleichung (5.5). Mit dt = La ergibt sich aus (5.5) (v; -w 2 )LJ + 2pdLd-ds2 = 0 Nach Division durch dt 2 folgt unter Berücksichtigung von (5.9), (5.0) und (5.) (5.4) Wird mit Z eines der in L vorkommenden Argumente Xi, Xi oder t bezeichnet, folgt aus (5.4) durch partielle Differentation nach Z [(v; _ w2) L + p] ol = _ ~ L2 (ove _ ow) _ L op + ~ Während des Fluges muß die Nebenbedingung erfüllt sein. Damit ergibt sich 2 ov; OZ 2 OZ OZ oz 2 oz L(Xi' Xi, t) = ~ ( O_ V ow) e _ op + ~ [(v; _ w2) + p] ol = _ ov; (5.5) OZ 2 OZ OZ OZ 2 OZ

Darin bedeuten nach (5.), (5.0) und (5.) W 2 = '\'. W ~ LI I jj=li Wi' Xi ') ':" 0 V;=LiXr Mit Z = Xi folgt aus (5.5) mit (5.6), (5.7) und (5.8) (5.6) (5.7) (5.8) Aus (5.) ergibt sich Damit wird (5.9) zu oder mit 2 2 al. (Ve - W + jj) -. = Xi - Wi axi dxi. - = Xi = Ve. IXi + Wi dt 2 2 al (Ve -IV + jj) -. = Ve ' IXi axi al -. = e' IXi axi (5.9) (5.20) (5.2) (5.22) Werden in (5.7) für die Xi die Ausdrücke (5.20) eingeführt, folgt daraus mit (5.6) Darin ist aber jj=li Wi Xi = LiWi(Ve' IXi + Wi) jj=w2 +Ve Li Wi' IXi Li Wi' IXi = W die Komponente der Windgeschwindigkeit in Steuerrichtung. (5.2) (5.24) Einführung von (5.2) mit (5.24) in (5.22) ergibt Wird in (5.8) Z = Xi gesetzt, folgt e=-- Ve + W (5.25) 2 2 al ave aw -0 awj (Ve-W +jj)-=-ve-+ W--Li-' IXj axi axi axi axi

Daraus mit (5.20) und (5.22) unter Berücksichtigung von (5.6) und (5.24) (5.26) Für Z = tin (5.8) folgt in gleicher Weise ol = _ (Ove + OW) ot e ot ot (5.27) Einsetzen von (5.2), (5.26) und (5.27) in die Bedingungsgleichung (5.2) führt zu oder (i =, 2, ) (5.28) --- d(xi _ [ove -+- OWJ - [e-+e (ove -+- OW)J.. (XI dt OXi OXi e ot ot (5.29) Für die Summe von Ve und W kann die Geschwindigkeit Vt in Steuerrichtung eingeführt werden Vt = Ve + W (5.0) daraus d(xi = _ dt OXi e ot OVt _ (i + e OVt) (Xi Zur Berechnung von ein (5.) geht LEVI-CIvITA von (5.25) in der Form (5.) aus. e(ve + W) = (5.2) Differentiation von (5.2) nach t ergibt. d(e' W) dve Ve. e = - dt - e dt Wird für e W mit (5.24) eingeführt, gilt e. W = Lj Wj. e. (Xj d(e. W) _ '). w. d(e. (Xj) '\'. dwj. (X dt - ~ J J dt + e L. J dt j daraus folgt mit dwj OWj,,-, OWj. OWj '.-, OWj "'. OWj dt ot OXk ot OXk OXk - = - + L. k -. Xk = - +... k Wk - + Ve L. k -. (Xk 4

und dem Ausdruck (5.28) für d(e.rli) dt Ve. e = e. Lj Wj ave + e. Lj Wj ow + e.2 ave Lj Wj. rlj + e. 2 ow Lj Wj. rlj OXj OXj ot ot '\' owi ~ owi '\' owi ave - e..:...,i fit. rlj - () Lj. k 8Xk. Wk. rli - (! Ve.:...,j. k OXk. rli. rlk - e. 8t " 8ve ~ 8ve - e. Li -. wi - e.. Ve Li -. rli 8xi 8xi Werden in diese Gleichung die Ausdrücke eingeführt, ergibt sich " ow '.:' 8wj W = Li wi. rlj, 8t = Li 8t. rli 8W \' 8wj 8Xk... 8Xk -= 'j-' rlj ve (!=(e.. 2 W -e.) (8Ve -+- OW) -(} Ve!...k,,(8Ve -+- 8W) 'rlk 8t 8t 8Xk 8Xk Wird in (5.) aus (5.2) (5.) und zur Abkürzung (5.4) eingesetzt, folgt mit (5.0) daraus für (5.). OVt V e (! = - (}2 V e - - (! V e A 8t (5.5) Bezeichnet X den Winkel zwischen der positiven x-achse und der Projektion der Steuerrichtung auf die xy-ebene, {} den Winkel zwischen dieser Projektion und der Steuerrichtung, gilt rlx = cos {}. cos X rly = COS {} sin X rlz = sin {} Damit für (5.5)...' 8vt - sm {} cos X {} - cos {}. sm X X = - - + cos 0 cos X A 8x. {}. {}. {}. 8vt {}' A - sm. Sin X - cos cos XX = - 8y + cos sm X'. 8vt cos {}{} = - - + sin {}. A 8Z (5.6) (5.7) (5.8) 5

Wird (5.7) mit cos X und (5.6) mit - addiert, folgt sin X multipliziert und heide Gleichungen. OVt. OVt cos {}. X = -. Sln X - - cos X OX oy Für (5.8) ergibt sich unter Berücksichtigung von (5.4) (5.9) {} OVt. {} OVt.. {} OVt {} = - cos X sm + - sm X sm - - cos OX oy oz (5.40) Die Gleichungen (5.9) und (5.40) lassen sich weiter vereinfachen, wenn die Normale n auf die Steuerrichtung in der horizontalen Ebene mit den Richtungskosinussen (-cos X, cos X, 0) und die Normale n' auf die Steuerrichtung mit den Richtungskosinussen (- cos X sin {}, - sin X sin {}, cos {}) eingeführt werden. Differentiation von Vt nach n ergibt oder nach n' OVt OVt. OVt - = - - sm X + - cos X on OX oy OVt OVt. OVt. OVt - = - - cos X sm {} - - sm X sm {} + - cos {} on' OX oy 0Z (5.4) (5.42) Vergleich von (5.9) mit (5.4) und von (5.40) mit (5.42) führt zu OVt cos{)' X =- on (5.4) Für das ebene Problem folgt mit {} = 0. OVt {}=- on' OVt x=- on (5.44) (5.45) Als einfachste Lösungsform der am Beginn dieses Abschnitts gestellten Frage haben sich damit die Gleichungen (5.4) und (5.44) ergeben, die in Verbindung mit den Gleichungen (5.) für jeden Punkt des Flugweges geringsten Zeitbedarfs erfüllt sein müssen. Wird das Ausgangsintegral (5.8) mit (5.9) in die Form T = f Ld(xi, dxi, t) = f L(xi' Xi, t) dt gebracht, kann daraus direkt das im Abschnitt angegebene Brechungsgesetz abgeleitet werden. Für Variationsprobleme mit geknickten Extremalen muß an den Ecken der Lösungskurve die Bedingung [, S. 02] (L') - (L' ) Xi - Xi 2 erfüllt sein. Die Indizes bedeuten die Zustände vor und nach dem Knick. 6

Nach (5.2) gilt ol -. =(!'lxi OXi damit ergibt sich als Eckenbedingung (!l lxil = (!2 lxi2 Mit (! war nach (5.25) der Kehrwert der Summe aus Eigengeschwindigkeit und Windkomponente in Richtung der Eigengeschwindigkeit bezeichnet worden. Diese Summe ist aber gleich der Komponente der Grundgeschwindigkeit in Steuerrichtung. Mit den Bezeichnungen von (.) kann daher gesetzt werden. Damit für den Knickpunkt der Extremalen (!= =- Ve + W U lxil lxi 2 oder in Komponenten COS Xl COS X2 und sin Xl sin X2 Das ist aber das Brechungsgesetz (.). 6. Verfahren zur Berechnung der Flugwege geringsten Zeitbedarfs bei Flügen mit konstanter Machzahl 6. Grundlagen Im folgenden wird ein Verfahren zur Berechnung der Flugwege geringsten Zeitbedarfs bei Flügen mit konstanter Machzahl in einer horizontalen Ebene angegeben. Ausgang ist Gleichung (5.45) als allgemeine Lösung des ebenen Variationsproblems. Daraus folgt nach Diskretisierung dx OVt ---- dt on Die Berechnung erfolgt in einem orthogonalen Gitter auf einer Karte stereographischer Projektion oder einer LAMBERTschen konformen Kegelkarte. Für die Knotenpunkte des Gitters werden die Windwerte und die Umgebungstemperaturen aus der Wetterkarte der entsprechenden Reiseflughöhe entnommen. 7

Vom Abflugpunkt A ausgehend wird für einen Fächer von Abflugkursen die Steuerkursänderung X für die einzelnen Zeitabschnitte LI t berechnet. Entsprechend dem graphischen Verfahren von BESSEMOULIN und PÖNE wird zunächst das Isochronenfeld zwischen dem Abflugpunkt und dem Zielpunkt B ermittelt. Der Flugweg geringsten Zeitbedarfs zwischen A und B wird dann durch Iteration bestimmt. Als Beispiel werden Flüge von Unter schall- und Überschallverkehrsflugzeugen zwischen Frankfurt und New Y ork behandelt. 6.2 Weg-Zeit-Rechnung Aus Abb. 2 kann bei der hier gewählten Orientierung des Koordinatensystems und Bewegungsrichtung für die x- undy-komponente des in der Zeiteinheit zurückgelegten Weges die Beziehung Llx = - Vgz ' S Llt Lly = V gy S. Llt entnommen werden. Dabei bedeuten Vgz und Vgy die Komponenten der Grundgeschwindigkeit in x- undy-richtung und S den Maßstabsfaktor. y '" x -----------l Abb. 2 Geschwindigkeitsdreieck zur Ableitung der Bewegungsgleichungen x Wird mit Wt die Komponente der Windgeschwindigkeit in Richtung der Eigengeschwindigkeit Ve und mit Wn die Komponente der Windgeschwindigkeit in der dazu senkrechten Richtung bezeichnet, ergibt sich mit X als dem Winkel zwischen der negativen x-richtung und dem Vektor der Eigengeschwindigkeit Llx = - [(ve + Wt) cos X + Wn. sin xl. s Llt (6.) Lly = [(ve + Wt) sin X - Wn. cos xl. S, Llt (6.2) 8

Für Wt und W n folgt mit dem Betrag W der Windgeschwindigkeit und der Windrichtung IX Wt = - W sin (IX - X) Wn = W cos (IX - X) (6.) (6.4) Bei einem Flug mit konstanter Machzahl gilt entsprechend Gleichung (.) für den Betrag der Eigengeschwindigkeit mit k = Proportionalitätskonstante M = Reiseflugmachzahl t = Umgebungstemperatur in oe Ve = k. M. lh7 +' (6.5) Der Maßstabsfaktor 5 kann direkt für jeden Ort x,y berechnet werden. * Die Windgeschwindigkeit und die für die Berechnung der Eigengeschwindigkeit notwendige Umgebungs temperatur sind nur in den Gitterpunkten bekannt. Für Ve, Wt und W n in x,y wird das gewogene Mittel aus Ve, Wt und W n in den x,y benachbarten vier Gitterpunkten gebildet. Die Gitterpunkte haben im Rechengitter immer ganzzahlige x- undy-werte. 4 o x,y 2 Steht Z für eine der Größen Ve, Wt und Wn in den Gitterpunkten, gilt mit der aus obenstehender Skizze zu entnehmenden Knotenbezifferung für die gewogenen Mittelwerte: Z(x,y) = [Zl (X2 - x) + Z2 (x - Xl)] (Ya - y) Der Ort x + Llx,y + Lly zur Zeit t + Llt wird in erster Näherung mit den Gleichungen (6.) und (6.2) aus den nach (6.) bis (6.6) und Abschnitt 6.4 bestimmten Werten von Ve, Wt, Wn und 5 in X,j' zur Zeit t berechnet. Für den Ort x + LI x,y + LI y werden wieder Ve, Wt, W n und 5 in gleicher Weise bestimmt. Aus diesen Werten und den Werten dieser vier Größen am Ort x, y werden die arithmetischen Mittelwerte gebildet und daraus mit (6.) und (6.2) eine zweite Näherung für den Ort x + Llx,y + Lly berechnet. Dieses Iterationsverfahren wird so lange wiederholt, bis die Abweichung zwischen der n-ten Näherung und der (n-l)-ten Näherung genügend klein ist. Ein strenger Beweis der Konvergenz des Iterationsverfahrens konnte wegen des komplizierten Aufbaus der Gleichungen nicht erbracht werden. Bei der Durchrechnung einiger Beispiele zeigt es sich aber, daß das Verfahren schnell konvergiert. 6. Steuerkursänderung für den Flugweg geringsten Zeitbedarfs Nach Abschnitt 6. gilt als Bedingungsgleichung für den Flugweg geringsten Zeitbedarfs * V gl. Abschnitt 6.4. Llx = - avt -. Llt an (6.6) (6.7) 9

Wird in (6.7) der Maßstabsfaktor 5 eingeführt, ergibt sich mit o (Vt S) = S. OVt + Vt os an an an OVt OS) Lx = - [ S - + Vt -. Lt an an Für Vt gilt nach (5.0) mit W = Wt Vt = Ve + Wt (6.8) (6.9) Zur Berechnung der partiellen Ableitungen in (6.8) wird der Funktionsverlauf von Ve, Wt und S in der Richtung n durch eine Ausgleichsparabel über fünf aequidistante Stützstellen angenähert. Wird wieder mit Z eine der Gräßen Ve, Wt oder S bezeichnet, gilt nach [, S. 49] mit den Bezeichnungen von Abb. und der Stützstellenweite h = für die Ableitung (6.0) Für die x,y Werte an den Stützstellen ergibt sich aus Abb. X-2 = Xo -2 sin X y -2 = Yo - 2 cos X X-I = Xo - sinx y- =yo-cosx Xl Xo + sin X Y = yo + cos X X2 Xo + 2 sin X Y2 = Yo + 2 cos X (6.) Mit (6.) werden jeweils die Stütz stellen für den Ort x,y zur Zeit t und für den Ort X + Lx,y + Ly zur Zeit t + Lt bestimmt. Für die Stützstellen werden S und mit (6.), (6.4) und (6.6) Ve und Wt berechnet und die Steuerkursänderung für den Ort x,y und X + Lx,y + Ly mit (6.0) aus (6.8) bestimmt. Die Steuerkursänderung LX nach dem Zeitabschnitt Lt ergibt sich als arithmetisches Mittel von LX in x,y und x + Lx,y + Ly. y n Abb. StützsteIlen der Ausgleichsparabel für den Funktionsverlauf von Ve, Wt und 5 in der x:y-ebene 20

6.4 Berechnung des Maßstabsfaktors 6.4. Stereographische Projektion Für das Vergrößerungsverhältnis des Maßstabsfaktors einer polständigen stereographischen Karte gilt mit der geographischen Breite rp und {} = 90 - rp nach [2, S.94]: V= 5 cos2-2 Für den Abstand r eines Punktes in der Karte vom Pol ergibt sich (6.2) r=2r' t g ~ 2 (6.) dabei ist R' der Radius der Bildkugel, d. h. das Verhältnis zwischen Erdradius und Polmaßstab. Mit und cos2 ~ = + cos {} 2 2 5 - tg2 _ 2 cos{}=---- 5 + tg2 _ 2 folgt unter Berücksichtigung von (6.),2 V=l+- 4R'2 (6.4) Daraus ergibt sich für den Maßstabsfaktor S in einem beliebigen Punkt der Karte (6.5) Die Konstante k ist der Maßstabsfaktor am Pol. Wird mit Xp undyp der Abstand des Nullpunktes des Rechengitters vom Pol bezeichnet, gilt für den Abstand, eines Punktes vom Pol in der Karte, = V(xp - x)2 + (yp - y)2 (6.6) Mit (6.6) und (6.5) kann für jeden Ort x,y der Maßstabsfaktor S berechnet werden. 6.4.2 LAMBERTsche konforme Kegelkarte In der LAMBERTschen konformen Kegelkarte gilt für das Vergrößerungsverhältnis des Maßstabsfaktors nach [2, S. 6], V=n-- (6.7) R' sin {} Darin gelten für R' und {} die Definitionen des vorigen Abschnittes, n ist die Kegelkonstante und, der Abstand eines Punktes der Karte vom Schnittpunkt des Bildes der Längenkreise. 2