Das Relaxationsverhalten eines RC-Schwingkreises

Versuch 353 Das Relaxationsverhalten eines RC-Schwingkreises Thorben Linneweber Marcel C. Strzys 28.0.2008 Technische Universität Dortmund Zusammenfassung Protokoll zum Versuch zur Bestimmung der Zeitkonstanten eines RC-Gliedes, der Amplitude und der Phase einer anliegenden Kondensatorspannung in Abhängigkeit zur Frequenz und der Eignung des RC- Gliedes als intigrierender Schaltkreis. Inhaltsverzeichnis Einleitung 2 Theorie 2. Die allgemeine Relaxationsgleichung.............. 2.2 Anwendung auf den RC-Kreis.................. 2.3 Durchführung........................... 3 3 Auswertung 4 3. Berechnung des RC-Gliedes................... 4 3.2 Abhängigkeit der Kondesatorspannungsamplitude von der Frequenz............................... 7 3.3 Phasenverschiebung der Kondesatorspannung bei variirender Frequenz.............................. 9 3.4 Das RC-Glied als Integrator................... 2 4 Diskussion 3 5 Literatur 3 thorben.linneweber@tu-dortmund.de marcel.strzys@tu-dortmund.de

EILEITUG Einleitung Unter Relaxation versteht man den Vorgang der Rückkehr eines ausgelenkten Systems in seinen Ausgangszustand. Der vorliegende Versuch befasst sich mit dem Relaxationsverhalten eines RC-Gliedes unter verschiedenen Bedingungen. Die Ergebnisse dieses Versuchs lassen sich auf andere physikalische Gebiete (z.b. der Mechanik) übertragen. Die Möglichkeit der präzisen Messung der Parameter mit Hilfe moderner Messgeräte machen die Untersuchung der Relaxation anhand einer elektronischen Schaltung sinnvoll. 2 Theorie 2. Die allgemeine Relaxationsgleichung Es wird angenommen, dass die Geschwindigkeit der Rückkehr eines Systems in seinen Ausgangszustand proportional zur Auslenkung ist: da = c[a(t) A( )] () dt ach multiplizieren mit dt und integrieren von 0 bis zum Zeitpunkt t ergibt sich: ln A(t) A( ) A(0) A( ) = ct Durch Anwenden der e-funktion erhält man schließlich eine allgemein gültige Formel für die Relaxation eines ausgelenkten Systems: A(t) = A( ) + [A(0) A( )]e ct (2) Bei c handelt es sich um die so genannte Zeitkonstante. Sie ist charakteristisch für den jeweiligen Relaxationsvorgang und muss negativ sein, damit Gleichung (2) beschränkt ist. 2.2 Anwendung auf den RC-Kreis Die gefundene allgemeine Relaxationsgleichung wird jetzt auf den RC-Kreis angewendet. 2.2. Auf- und Entladevorgang des Kondensators Abbildung mit aufgeladenem Kondensator in Schalterstellung wird betrachtet. Über die Beziehung I = U C R und U C = Q C folgt: dq dt = RC Q(t)

A ( 0) 0 oder ( ) ( ) ln A t A ct A( 0) A( ) = und schließlich [ ] (2) A( t) = A( ) + A( 0 ) A( ) e ct. In (2) muss c < 0 sein, damit A beschränkt bleibt. 2 THEORIE 2 Beispiele für Relaxationsvorgänge stellen die Ent- und die Aufladung eines Kondensators über einen Widerstand dar. +Q C U U 0 -Q C I R 2 = Abb.: Entladung (Stellung ) und Aufladung (Stellung 2) eines Kondensators über einen Widerstand Entladevorgang: Angenommen auf den Platten des Kondensators mit der Kapazität C in Abb. befinde sich die Ladung Q. Dann liegt zwischen ihnen eine Spannung U C, die durch Diese Bedingung ist bei mechanischen Systemen erfüllt, wenn Trägheitskräfte gegenüber anderen Kräften vernachlässigt werden können. Abbildung : RC-Kreis Analog zu Gleichung (2) folgt mit Q( ) = 0 hierraus: Q(t) = Q(0)e t RC (3) Aus Symmetriegründen gilt für die Aufladung in Schalterstellung 2: Q(t) = CU 0 ( e t RC ) (4) Dies bedeutet, dass die Zeitkonstante, die ein Maß für die Geschwindigkeit der Relaxation darstellt, hier RC ist. 2.2.2 Auf- und Entladevorgang mit gleichzeitiger periodischer Anregung Liegt eine Wechselspannung U(t) = U 0 cos ωt wie in Abbildung 2 gezeigt an das RC-Glied an, so kann man über folgenden Ansatz: U C (t) = A(ω) cos (ωt + ϕ(ω)) (5) und der.kirchhoffschen-regel folgende Beziehung herleiten: U 0 (t) cos ωt = AωRC sin (ωt + ϕ) + Aω cos (ωt + ϕ) (6) Gleichung (6) muss für alle t gelten. Mit ωt = π 2 erhält man dann: ( π ) ( π ) 0 = ωrc sin 2 + ϕ + cos 2 + ϕ und daraus über einige Umformungen folgende Gleichung für die Phasenverschiebung zwischen Kondensatorspannung und Generatorspannung in Abhängigkeit zur Kreisfrequenz: ϕ(ω) = arctan ( ωrc) (7) Mit ωt + ϕ = π 2 erhält man dann aus Gleichung (6) und (7) die Amplitude der Kondensatorspannung wieder in Abhängigkeit zur Kreisfrequenz: A(ω) = U 0 + ω 2 R 2 C 2 (8) Hier zeigt sich auch, dass die Generatorspannung umgekehrt proportional zur Kreisfrequenz ist, und somit der RC-Kreis einen Tiefpass darstellt.

Solange die Kreisfrequenz ω der äußeren Wechselspannung U(t) mit U(t) = U 0 cosωt in der Schaltung nach Abb.2 hinreichend niedrig ist, das heißt ω<</rc, wird die Spannung U C (t) am Kondensator in jedem Zeitpunkt praktisch gleich U(t) sein. Mit zunehmender Frequenz bleibt jedoch die Auf- und Entladung des Kondensators über den Widerstand R immer weiter hinter dem zeitlichen Verlauf der Generatorspannung zurück. Es wird sich also eine Phasenverschiebung ϕ zwischen beiden Spannungen ausbilden, 2 THEORIE und die Amplitude A der Kondensatorspannung wird abnehmen. Die Frequenzabhän- 3 gigkeit der Phase und der Amplitude von U C sollen nun im Folgenden näher betrachtet werden. I (t) R U R (t) U(t) = U 0cosωt ~ C U C (t) Abb.2: Schaltungsbeispiel zur Diskussion von Relaxationsphänomenen, die unter dem Einfluss einer Abbildung 2: RC-Kreis periodischen Auslenkung mit harmonischer auftreten Anregung Mit dem Ansatz 2.2.3 (7) Der RC-Kreis Uals C ( t) Integrator = A( ω) cos ωt + ϕ { ω} ( ) Mit Hilfe der.kirchhoffschen-regel erhält man für den RC-Kreis: versucht man, eine Lösung des Problems zu finden. ach dem zweiten Kirchhoffschen Gesetz ( siehe V302, Kap.2) gilt für den Stromkreis in Abb.2 (7a) U(t) U t = = U R RC (t) + du U c C (t). (9) dt oder ausführlich geschrieben Da für genügend große ω (ω >> RC) U C << U (8) U0 cos ω t = I ( t) R + A( ω ) cos ( R und U ω t + ϕ ) 2 C << U ist,. gilt näherungsweise: bzw. I(t) lässt sich mit Hilfe der Gleichungen (3) und (5) durch U C ausdrücken (9) I ( t) Damit folgt aus (7), (8) und (9) U(t) = RC du c dq C du C = =. dt dt dt (0) U0 cos ω t = A ω RC sin ( ω t + ϕ ) + A( ω ) cos ( ω t + ϕ ). U C (t) = U(t )dt (0) RC 2 Der Innenwiderstand Ri 0 der Spannungsquelle (V30) soll null sein; sonst wäre U R (t) = (R + R i ) I(t). Dies bedeuted, dass die am Kondensator abgegriffende Spannung proportional zum Integral der Generatorspannung ist. 2.3 Durchführung Die Aufgaben und Zielsetzungen des Versuches sollen im Folgenden kurz beschrieben werden: a) Die Zeitkonstante eines RC-Gliedes wird bestimmt. Dafür wird eine Rechteckspannung an einem RC-Kreis angeschlossen und die Kondensatorspannung gemessen. Es sollte somit möglich sein, über die gemessenen Spannungen während der Auf- und Entladung die Zeitkonstante zu ermitteln. b) Die Amplitude der Kondensatorspannung soll für ein gewisses Frequenzspektrum bestimmt werden. Hierfür wird ein Millivoltmeter benutzt. c) Die Phasenverschiebung zwischen Generator- und Kondensatorspannung wird ermittelt. Hierfür werden beide sinusförmigen Spannungskurven gleichzeitig auf einem Oszilloskop dargestellt und mit Hilfe der Differenz der ulldurchgänge die gesuchte zeitliche Verschiebung ermittelt. t

3 AUSWERTUG 4 d) Es werden mit Hilfe des Frequenzgenerators für hohe Kreisfrequenz verschiedene Spannungen unterschiedlicher Form (Sägezahnspannung, Rechteckspannung und Sinusspannung) an den RC-Kreis angelegt und mit der Kondensatorspannung auf dem Oszilloskop verglichen. 3 Auswertung Im Folgenden soll mit Hilfe der Messergebnisse aus den obigen Experimenten nun das verwendete, unbekannte RC-Glied genauer bestimmt, sowie die Abhängigkeit der Spannungsamplitude am RC-Glied und die Phasenverschiebung in Abhängigkeit von der Frequenz des Generators analysiert werden. 3. Berechnung des RC-Gliedes In diesem Teil soll mit Hilfe einer linearen Ausgleichsrechnung das RC-Glied aus den gemessenen Werten bestimmt werden. Bei der Messung ergeben sich die in der Tabelle enthaltenen Werte der Spannung in Abhängigkeit zur Zeit t, wobei alles Messungen bei einer Generatorfrequenz von f = 40, 7Hz genommen werden. Zudem werden die Werte normiert, was bedeuted, dass der Beginn der Messung auf t = 0 und die Endspannung auf U end = 0 gesetzt wird. Die Spannungswerte werden dabei mit einem Oszillographen gemessen. Zur Erhöhung der Messgenauigkeit wird die Cursor-Funktion des Oszillographen verwendet. Zur Auswertung benutzt man nun Gleichung 3 und es ergibt sich mit dem Zusammenhang U(0) = Q(0) C : U(t) = U(0)e t RC () ( ) ln(u(t)) = t + ln U(0) (2) RC Stellt man nun die Messwerte aus Tabelle nach dieser Gleichung graphisch mit halblogarithmischer Skalierung dar, erhält man den Graphen aus Abbildung 3. Aus der obigen Gleichung kann man nun erkennen, dass wir durch die Berechnung der Steigung einer Ausgleichgeraden an den Faktor RC gelangen und so unser RC-Glied betimmen können. Für die Auswertung ist folglich auch nicht die gemessenen Spannung selbst, sondern der natürliche Logarithmus der Spannung zu verwenden. Zur Bestimmung der Regressionsgeraden werden die folgenden Gleichungen verwendet, wobei m für die Steigung der Geraden und b für den y- Achsenabschnitt steht:

3 AUSWERTUG 5 Tabelle : ormierte Messwerte - Kondensatorspannung t [ms] U [V] ln(u/v) 0 0,56 2,36 0, 9,76 2,28 0,2 9,04 2,20 0,3 8,4 2,3 0,4 7,76 2,05 0,5 7,2,97 0,6 6,64,89 0,7 6,6,82 0,8 5,68,74 4,8,57,3 3,76,32,5 3,2,4,8 2,4 0,88 2,,84 0,6 2,4,36 0,3 2,6,2 0, 3 0,72-0,33 3,2 0,56-0,58 3,5 0,4-0,923 4 0,6 -,83 4,5 0,08-2,53 5,5 0 n.def

U in [V] 3 AUSWERTUG 6 0 0, 0,0 0 2 3 4 5 6 t in [ms] Abbildung 3: Entladungskurve des RC-Gliedes ( ) ( xy xȳ m = x 2 x = k= x ky k ( k= k) x ) k= y k 2 ( ( k= k) x2 ) 2 (3) k= x k ( ) ( ) b = ȳ m x = y k m x k (4) k= Mit den Werten aus der Tabelle ergeben sich somit die nachstehenden Werte, wobei t = x und ln(u(t)/[v ]) = y ist: x =, 64ms ȳ = 4, 36 k= xy = 0, 43ms x 2 = 4, 52ms 2 m =, 02 ΩmF b = 2, 54 Der statistische Fehler von m und b berechnet sich nach:

3 AUSWERTUG 7 m = 2 b = m Somit ist: (y k b m x k ) 2 k= ( k= x2 k ) ( k= x k ) 2 (5) x 2 k (6) k= m = (, 02 ± 0, 03) ms b = (2, 54 ± 0, 06) Wie oben genannt ist die Steigung m der gesuchte Faktor RC. Wir können also den Wert von m einsetzten und nach RC umformen und erhalten: RC = ms 0, 98ms (7), 02 (8) Das in dieser Rechnung enthaltenen R stellt jedoch den gesammten Widerstand dar, der sich aus dem Widerstand des RC-Gliedes und dem Innenwiderstand des Generators von R i = 600Ω zusammensetzt R ges. = R + R i. Dieser Innenwiderstand soll nun herausgerechnet werden, wobei der Widerstand des RC-Gliedes R = 5, 058kΩ beträgt. CR = R R ges R + R i (9) Der Wert des Widerstandes R soll in diesem Fall keine Fehler aufweisen, wodurch sich der obige relative Fehler für CR nicht ändert und es ergibt sich für das RC-Glied letztlich: CR = (0, 98 ± 0, 03)ms (20) 3.2 Abhängigkeit der Kondesatorspannungsamplitude von der Frequenz un soll untersucht werden, wie sich die Amplitude der Kondesatorspannung bei einer Änderung der Generatorfrequenz verhält. Dazu nehmen wir die Werte für die Spannungamplitude U bei gegebener Frequenz f auf. Zudem

3 AUSWERTUG 8 Tabelle 2: Frequenzabhängigkeit der Kondensatorspannung f [Hz] U [V] U0 [V] U/U0 0 6,9 7 0,99 20 6,6 6,85 0,96 30 6,5 6,8 0,96 40 6,3 6,8 0,93 50 6, 6,8 0,90 60 5,9 6,8 0,87 70 5,7 6,8 0,84 80 5,45 6,8 0,80 90 5,25 6,8 0,77 00 5 6,8 0,74 50 4,05 6,8 0,60 200 3,3 6,8 0,49 250 2,8 6,8 0,4 300 2,35 6,8 0,35 350 2,05 6,8 0,30 400,8 6,8 0,26 450,6 6,8 0,24 500,45 6,8 0,2 600,25 6,8 0,8 700,05 6,8 0,5 800 0,94 6,8 0,4 900 0,84 6,8 0,2 000 0,76 6,8 0, 200 0,64 6,8 0,09 400 0,54 6,8 0,08 600 0,475 6,8 0,07 800 0,42 6,8 0,06 2000 0,38 6,75 0,06 2500 0,305 6,75 0,05 3000 0,252 6,75 0,04 3500 0,25 6,75 0,03 4000 0,9 6,75 0,03 4500 0,7 6,75 0,03 5000 0,53 6,75 0,02

Spannung in V Phasenverschiebung in 3 AUSWERTUG 9,2 00 90 80 70 M T 0,8 0,6 Messwerte Theoriewerte 60 50 40 30 0,4 20 0 0,2 0 0 0 00 000 0000 Generatorfrequenz in Hz Abbildung 4: Relativamplitude des RC Gliedes in Abhängigkeit von der Generatorfrequenz wird die Amplitude der Generatorspannung in gleichen Abständen festgehalten, da nicht garantiert ist, dass diese konstant bleibt. Auch diese Werte (siehe Tabelle 2) werden zur Veranschaulichung graphisch mit halblogarithmischer Skalierung dargestellt. Hierbei wird statt A(ω), A(ω) U(0) aufgetragen, um Fehler durch die - wenn auch nur geringfügig - variirende Generatorspannung weiter zu minimieren. Die Theoriekurve wird dabei mit der Gleichung 8 aus dem Theorieteil berechnet. Die theoretische Kurve stimmt dabei nahezu mit den Messwerten überein, auch wenn die theoretischen Werte dabei stets etwas höher als die Messwerte liegen. Da bei der Messung jedoch wieder R ges. und nicht R gemessen wurde, erniedrigt der zusätzliche Widerstand R i die Messwerte gegenüber der Theorie. Da dieser zusätzliche Widerstand mit R i R = 0, 04 jedoch äußerst gering ist, vermag er nicht die Abweichungen der beiden Kurven zu erklären (näheres siehe Diskussion). 3.3 Phasenverschiebung der Kondesatorspannung bei variirender Frequenz In diesem Teil der Auswertung wird die Abhängigkeit der Phasenverschiebung ϕ zwischen der eingespeisten Spannung und der Kondensatorspannung

Phasenverschiebung in 3 AUSWERTUG 0 00 90 80 70 60 50 40 30 20 0 0 Messwerte Theoriewerte 0 00 000 0000 Generatorfrequenz in Hz Abbildung 5: Phase ϕ in Abhängigkeit zur Generatorfrequenz näher betrachtet. Die bei der Messung bestimmten Werte finden sich in der folgenden Tabelle: Die Größe a ist dabei der Zeitunterschied zwischen den ulldurchgängen der Spannungen und b die Schwingungsdauer. Mit deren Hilfe sich der Phasenwinkel nach ϕ = a b 360 (2) berechnen lässt. Zum Vergleich soll ϕ zudem über die Formel ϕ = arctan ( ωrc) aus Kapitel 2.2.2. berechnet werden. Beide Kurven finden sich im Koordinatensystem in Abbildung 5. Auch hier weicht die Messkurve leicht von der Theorie ab, und zwar liegt jene zu Beginn stets oberhalb der Theorie. Das Absinken der Messwerte ist jedoch als untypisch anzusehen. Der Einfluss von R i bei dieser Messung ist durch die relativ stark abweichenden Kurven schwieriger zu bewerten, da wie oben beschrieben R i klein gegenüber R ist dürfte die Differenz auch in diesem Fall als Erklärung für die Unteschiede der Graphen alleine nicht ausreichen. Die Untschiede zwischen der Einbeziehung von R i sind maginal und eine genauere Berechnung von RC mit den Werten dieser Messsung ist nicht

3 AUSWERTUG a [ms] b [ms] Phase [ ] Theorie Phase [ ],4 00,00 5,04 3,527,5 50,00 8,28 7,028,5 33m33 2,42 0,476,3 25,00 8,72 3,850,2 20,00 2,6 7,29,6 6,67 25,056 20,296,04 4,29 26,208 23,338 0,96 2,50 27,648 26,248 0,98, 3,752 29,09 0,0 36 3,649,02 6,67 55,08 42,756 0,96 5,00 69,2 50,95 0,84 4,00 75,6 57,08 0,73 3,33 78,84 6,596 0,64 2,86 80,64 65,3 0,58 2,50 83,52 67,923 0,52 2,22 84,24 70,74 0,48 2,00 86,4 72,023 0,39,67 84,24 74,870 0,3,43 78,2 76,95 0,29,25 83,52 78,536 0,26, 84,24 79,78 0,223,00 80,28 80,785 0,9 0,83 82,08 82,300 0,6 0,7 80,64 83,390 0,4 0,63 80,64 84,20 0,2 0,56 77,76 84,850 0, 0,50 79,2 85,362 0,08 0,40 72 86,287 0,07 0,33 75,6 86,905 0,06 0,29 75,6 87,346 0,05 0,25 72 87,677 0,045 0,22 72,9 87,935 0,04 0,20 72 88,42 Tabelle 3: ulldurchgänge von Erreger- und Kondensatorspannung, theoretische und gemessene Phase

3 AUSWERTUG 2 aufgetragen gegen ϕ in Polarkoordina- Abbildung 6: Relativamplitude A(ϕ) U 0 ten Abbildung 7: Oszillographenbilder möglich. Um auch den Zusammenhang zwischen Phasenverschiebung und Amplitude zu zeigen, soll nun auch noch zusätzlich die Relativamplitude A(ω) U 0 in Abhängigkeit zu der Phase gesetzt werden. Diese Darstellung erfolgt zur Veranschaulichung in Polarkoordinaten. Auch hier werden wieder sowohl eine Messkurve (grün) und eine Theoriekurve(schwarz) in das Diagramm in Abbildung 6 eingefügt. 3.4 Das RC-Glied als Integrator Die Bilder in Abbildung 7 sollen veranschaulichen, wie ein RC-Glied nach Gleichung 0 zur Integration von Spannungen genutzt werden kann. Die gelben Kurven stellen darbei immer die eingespeiste bzw. zu integrierende Spannung, die grünen Kurven die dazugehörige integrierte Spannung dar.

4 DISKUSSIO 3 4 Diskussion Bei der Darstellung der Werte für den Entladungsvorgang des Kondensators in 3. zeigt sich ab etwa 3ms eine geringfügige Abweichung der gemessenen Spannung von den erwarteten Werten (vergleiche Abbildung 3 auf Seite 6). Eine Ursache für diesen Sachverhalt könnte sein, dass zusätzliche -ungewollte- Impedanzen (z.b. durch Zuleitungen) auftreten. Die Abweichung der Wertekurve von der Theorie in Teil 3.2 lässt sich nicht alleine mit dem Innenwiderstand des Generator erklären, da dieser im Verhältnis zu R sehr klein ist. Eventuell kommen jedoch noch zusätzliche Widerstände der Kabel als Erklärung in Frage. Auch ein systematischer Messfehler ist nicht ganz auszuschließen. Insgesamt kann die Abweichung aber als gering angesehen werden. Die Unterschiede der Kurven in Teil 3.3 sind ebenso zu erklären wie in 3.2. Das Absinken der Messwerte für hohe Frequnezen dürfte auf eine fehlerhafte Messung in dem Bereich zurückzuführen sein. 5 Literatur Skript zum Versuch 353 des physikalischen Anfängerpraktikums an der TU Dortmund zu finden unter: http://praktikum.physik.uni-dortmund.de/neu/a-praktikum/anleitungen.html (Stand 03..2008)