Alfred Gray Differentialgeometrie Klassische Theorie in moderner Darstellung Aus dem Amerikanischen übersetzt und bearbeitet von Hubert Gollek Mit 277 Abbildungen Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin Oxford
t Inhalt 1. Kurven in der Ebene 1 1.1 Euklidische Räume 2 1.2 Kurven im R" 4 1.3 Die Länge einer Kurve 6 1.4 Vektorfelder längs Kurven 9 1.5 Die Krümmung von ebenen Kurven 10 1.6 Der Drehwinkel 13 1.7 Die semikubische Parabel 14 1.8 Aufgaben 15 2. Studium von ebenen Kurven mit Mathematica 17 2.1 Das Berechnen der Krümmung von ebenen Kurven 20 2.2 Das Berechnen der Länge von Kurven 23 2.3 Das Füllen von Kurven 24 2.4 Beispiele für Kurven im R 2 25 2.5 Das Zeichnen von stückweise definierten Kurven 30 2.6 Aufgaben 32 3. Berühmte ebene Kurven 35 3.1 Zykloiden 35 3.2 Die Lemniskaten von Bernoulli 37
xji Inhalt 3.3 Kardioiden 39 3.4 Die Zissoide des Diokles 40 3.5 Die Traktrix 44 3.6 Klothoiden 48 3.7 Aufgaben 50 4. Andere Methoden zur Darstellung ebener Kurven 53 4.1 Implizit definierte Kurven im R 2 53 4.2 Cassinische Kurven 59 4.3 Ebene Kurven in Polarkoordinaten 61 4.4 Aufgaben 66 5. Neue Kurven aus alten 69 5.1 Evoluten 69 5.2 Iterierte Evoluten 72 5.3 Die Evolute einer Traktrix ist eine Kettenlinie 74 5.4 Evolventen 74 5.5 Tangenten und Normalen ebener Kurven 79 5.6 Schmiegkreise von ebenen Kurven 83 5.7 Parallelkurven 87 5.8 Fußpunktkurven 89 5.9 Aufgaben 92 6. Das Bestimmen ebener Kurven aus ihrer Krümmung 95 6.1 Euklidische Bewegungen 96 6.2 Kurven und Euklidische Bewegungen 99 6.3 Natürliche Gleichungen ebener Kurven 101 6.4 Das Zeichnen ebener Kurven mit vorgegebener Krümmung 104 6.5 Aufgaben 110
Raumkurven 113 7.1 Vorbereitungen 114 7.2 Krümmung und Windung von Kurven der Geschwindigkeit 1 im R 3 115 7.3 Krümmung und Windung von Kurven beliebiger Geschwindigkeit im R 3 118 7.4 Das Berechnen von Krümmung und Windung mit Mathematica 122 7.5 Die Schraubenlinie und ihre Verallgemeinerungen 127 7.6 Die Vivianische Kurve 130 7.7 Der Fundamentalsatz für Raumkurven 131 7.8 Das Zeichnen von Raumkurven mit vorgegebener Krümmung 134 7.9 Aufgaben 136 Tuben und Knoten 141 8.1 Tuben um Kurven 141 8.2 Torusknoten 143 8.3 Aufgaben 148 Differentialrechnung im Euklidischen Raum 151 9.1 Tangentialvektoren des R" 151 9.2 Tangentialvektoren als Richtungsableitungen 153 9.3 Tangierende Abbildungen 155 9.4 Vektorfelder auf dem R" 159 9.5 Ableitungen von Vektorfeldern auf dem R" 162 9.6 Kurven - nochmals überarbeitet 166 9.7 Aufgaben 167 Flächen im Euklidischen Raum 169 10.1 Koordinatennetze im R" 169 10.2 Koordinatennetze im R 3 177
xiv 10.3 Die lokale Gaußabbildung 179 10.4 Die Definition einer regulären Fläche im R" 180 10.5 Tangentialvektoren regulärer Flächen im R" 185 10.6 Flächenabbildungen 187 10.7 Niveauflächen im R 3 189 10.8 Aufgaben 192 11. Beispiele für Flächen 193 11.1 Der Graph einer Funktion von zwei Veränderlichen 194 11.2 Das Ellipsoid 199 11.3 Das stereographische Ellipsoid 200 11.4 Tori 201 11.5 Das Paraboloid 203 11.6 Schnecken 205 11.7 Koordinatennetze mit Singularitäten 206 11.8 Das Darstellen von implizit gegebenen Flächen 208 11.9 Aufgaben 208 12. Nichtorientierbare Flächen 211 12.1 Orientierbarkeit von Flächen 211 12.2 Das Beschreiben von nichtorientierbaren Flächen durch Identifizierungen 216 12.3 Das Möbiusband 218 12.4 Die Kleinsche Flasche 220 12.5 Realisierungen der reellen projektiven Ebene 222 12.6 Das Färben von Flächen in Mathematica 226 12.7 Aufgaben 227 13. Metriken auf Flächen 229 13.1 Anschauliche Vorstellungen vom Abstand auf Flächen 229
Inhalt xy 13.2 Isometrien von Flächen 233 13.3 Der anschauliche Flächeninhaltsbegriff 236 13.4 Programme zum Berechnen von Metriken und Flächeninhalten 238 13.5 Beispiele für Metriken 238 13.6 Aufgaben 240 14. Flächen im dreidimensionalen Raum 243 14.1 Die Weingartenabbildung 244 14.2 Die Normalkrümmung 246 14.3 Das Berechnen der Weingartenabbildung 250 14.4 Die Eigenwerte der Weingartenabbildung 253 14.5 Die Gaußsche und die mittlere Krümmung 255 14.6 Die drei Fundamentalformen 261 14.7 Beispiele handschriftlicher Krümmungsberechnungen 262 14.8 Die Krümmung von implizit definierten Flächen 266 14.9 Aufgaben 272 15. Flächen im dreidimensionalen Raum mit Mathematica 273 15.1 Programme zum Berechnen der Weingartenabbildung und der Krümmung 273 15.2 Beispiele zur Krümmungsberechnung mit Mathematica 276 15.3 Die Gaußabbildung mit Mathematica 283 15.4 Aufgaben 288 16. Asymptotenlinien auf Flächen 291 16.1 Asymptotische Kurven 292 16.2 Beispiele für asymptotische Kurven 295 16.3 Das Ermitteln asymptotischer Kurven mit Mathematica 299
xvj Inhalt 16.4 Aufgaben 302 17. Regelflächen 305 17.1 Beispiele für Regelflächen 306 17.2 Torsen 312 17.3 Nichtzylindrische Regelflächen 316 17.4 Beispiele für Kehllinien nichtzylindrischer Regelflächen 319 17.5 Ein Programm für Regelflächen 320 17.6 Die Normalen- und die Binormalenfläche 322 17.7 Aufgaben 324 18. Rotationsflächen 327 18.1 Hauptkrümmungslinien 328 18.2 Die Krümmung einer Rotationsfläche 331 18.3 Das Erzeugen von Rotationsflächen mit Mathematica 334 18.4 Das Katenoid 335 18.5 Das Rotationshyperboloid 338 18.6 Rotationsflächen von Kurven mit vorgegebener Krümmung 339 18.7 Aufgaben 340 19. Flächen konstanter Gaußscher Krümmung 343 19.1 Das elliptische Integral zweiter Art 343 19.2 Rotationsflächen konstanter positiver Krümmung 344 19.3 Rotationsflächen konstanter negativer Krümmung 347 19.4 Die Kuensche Fläche 351 19.5 Aufgaben 353 20. Innere Geometrie der Flächen 355 20.1 Formeln für die Gaußsche Krümmung 356 20.2 Das Gaußsche Theorema Egregium 361
Inhalt xvii 20.3 Die Christoffelsymbole 363 20.4 Die Mainardi-Codazzi-Gleichungen 366 20.5 Die geodätische Krümmung 368 20.6 Aufgaben 372 21. Hauptkrummungslinien und Nabelpunkte 373 21.1 Die Differentialgleichung der Hauptkrummungslinien 374 21.2 Nabelpunkte 376 21.3 Dreifach orthogonale Flächensysteme 380 21.4 Elliptische Koordinaten 386 21.5 Parabolische Koordinaten 391 21.6 Aufgaben 393 22. Minimalflächen 1 395 22.1 Variation in Normalenrichtung 395 22.2 Beispiele für Minimalflächen 398 22.3 Die Gaußabbildung einer Minimalfläche 408 22.4 Aufgaben 410 23. Minimalflächen II 413 23.1 Isotherme Koordinaten 413 23.2 Minimalflächen und komplexe Funktionentheorie 414 23.3 Das Bestimmen konjugierter Minimalflächen 420 23.4 Die Enneperfläche vom Grad n 427 23.5 Die Weierstraßdarstellung 430 23.6 Weierstraßsche Koordinatennetze mit Mathematica 433 23.7 Beispiele Weierstraßscher Koordinatennetze 434 23.8 Aufgaben 436 i
xviii Inhalt 24. Konstruktion von Flächen 439 24.1 Parallelflächen 439 24.2 Die Weingartenabbildung einer Parallelfläche 442 24.3 Fußpunktflächen 445 24.4 Verallgemeinerte Wendelflächen 446 24.5 Getwistete Flächen 452 24.6 Aufgaben 455 25. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 457 25.1 Die Definition der differenzierbaren Mannigfaltigkeit 458 25.2 Differenzierbare Funktionen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten 462 25.3 Tangentialvektoren differenzierbarer Mannigfaltigkeiten 468 25.4 Induzierte Abbildungen 476 25.5 Vektorfelder auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten 481 25.6 Tensorfelder auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten 485 25.7 Aufgaben 488 26. Riemannsche Mannigfaltigkeiten 491 26.1 Kovariante Ableitungen 491 26.2 Indefinite Riemannsche Metriken 497 26.3 Die klassische Beschreibung von Metriken 501 27. Abstrakte Flächen 507 27.1 Die Metrik abstrakter Flächen 508 27.2 Beispiele abstrakter Flächen 511 27.3 Das Berechnen der Krümmung von Metriken abstrakter Flächen 513 27.4 Orientierbarkeit einer abstrakten Fläche 515 27.5 Die geodätische Krümmung in abstrakten Flächen 515
Inhalt xjx 27.6 Aufgaben 516 28. Geodätische auf Flächen 519 28.1 Die Gleichung der Geodätischen 519 28.2 Clairautsche Koordinatennetze 521 28.3 Beispiele für Clairautsche Koordinatennetze 525 28.4 Numerisches Bestimmen von Geodätischen mit Mathematica 527 28.5 Aufgaben 531 Anhang 533 A.1 Allgemeine Programme 533 A.2 Ebene Kurven 563 A.3 Raumkurven 575 A.4 Flächen 578 A.5 Metriken 590 A.6 Mathematica für Acrospin 593 Literaturverzeichnis 597 Sachverzeichnis 610