Wirtschaftsmathematik II

WMS: Wirtschaftsmathematik 2 :: WS 2009/10 Wirtschaftsmathematik II Reinhard Ullrich http://homepage.univie.ac.at/reinhard.ullrich Basierend auf Folien von Dr. Ivana Ljubic October 11, 2009

1 Funktionen in mehreren Variablen 2 Differentialrechnung in mehreren Variablen 3 Totales Differential 4 Jacobimatrix 5 Kettenregel 6 Approximation durch eine affine Funktion 7 Die zweite Ableitung von f : R n R 8 Die zweite Ableitung von f in Richtung h 9 Definitheit der Matrizen 10 Optimierung in mehreren Variablen 11 Extremwerte unter Nebenbedingungen 12 Konvexität 13 Extremalprobleme mit Ungleichungen als Nebenbedingungen

Funktionen in mehreren Variablen Beispiele: Lineare Funktion: f (x 1, x 2,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n = c t x Cobb-Douglas Funktionen: in 2 Variablen (der Output einer Produktion hängt von der Arbeit = x 1 und Kapital = x 2 ab): in n Variablen: f (x 1, x 2 ) = x 1 x 2 f (x 1,..., x n ) = x c 1 1 x c 2 2... x cn n, c i > 0, i = 1,..., n

Beispiele f (x, y) = x 2 + y 2 f : R 2 : [0, )

Beispiele f (x, y) = x 2 y 2 f : R 2 : R

Definitionsbereich Skizziere den Definitionsbereich: 1 f (x, y) = x3 +y 3 x 2 +y 2 2 f (x, y) = sin(x+y) x+y 3 f (x, y) = x y x+y 4 f (x, y) = ln(x 2 y 2 )

Graphische Darstellung Applet im Web: http://www.mathe-online.at/nml/materialien/innsbruck/ flaechen3d/ f (x 1, x 2 ): f (x 1, x 2 ) als Funktionsgebirge, ähnlich wie eine Relief-Landkarte. Höhenschichtlinien der Funktion f, ähnlich wie auf einer Wanderkarte, oder beim Wetterbericht. Beispiele: 1 f (x, y) = ln(x 2 y 2 ) 2 f (x, y) = x + y

Einschub: Hyperbel Hyperbel: x 2 a 2 y 2 b 2 = 1 Asymptoten: y = ± b a x

Einschub: Parabel Parabel: y = ax 2 y = ax 2 +bx+c

Einschub: Elipse Elipse: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 Kreis: x 2 + y 2 = r 2

f (x, y) = log(1 + x 2 + y 2 )

Differenzenquotient Die Änderung einer Funktion f auf einem Intervall [x 0, x] ist f (x) f (x 0 ). Die durchschnittliche Änderung ist f (x) f (x 0 ) x x 0 Differenzenquotient Einschub: Differentialrechnung (f : R R)

Einschub: Differentialrechnung (f : R R) 1. Ableitung Die momentane Änderung einer Funktion im Punkt x 0 ist die 1.Ableitung von f im Punkt x 0. Sie ist durch folgenden Limes gegeben (sofern der Limes existiert!!) f (x 0 ) = lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h f ist differnzierbar auf D f wenn für alle x 0 D f obriger Limes existiert! Der Anstieg der Tangente an einer Funktion f im Punkt x 0 ist gegeben durch k = f (x 0 ).

Elementare Ableitungen Einschub: Differentialrechnung (f : R R) f (x) f (x) f (x) = c R f (x) = 0 f (x) = c g(x) f (x) = c g (x) f (x) = x n f (x) = n x n 1 f (x) = g(x) ± h(x) f (x) = g (x) ± h (x) f (x) = sin(x) f (x) = cos(x) f (x) = cos(x) f (x) = sin(x) f (x) = e x f (x) = e x f (x) = ln(x) f (x) = 1 x Kettenregel [f (g(x))] = f (g(x)) g (x)

Partielle Ableitung (f : R n R) Partielle Ableitung Für eine Funktion f (x 1, x 2,..., x n ), nennen wir jene Funktion, welche man erhält, wenn man die Variable x 1,..., x i 1, x i+1,..., x n festhält und nach der Variablen x i differenziert, die i te partielle Ableitung der Funktion f. Wir schreiben: f x i (x 1,..., x n )

Partielle Ableitung (f : R n R) Partielle Ableitung Falls der Grenzwert f (x1 lim,..., x i 1, x i + h, xi+1,..., x n) f (x1,..., x n) = f h 0 h x i existiert, so ist die Funktion f im Punkt x = (x 1,..., x n) t partiell nach der Variable x i differenzierbar. Der marginale Zuwachs Grenz-Zuwachs der Funktion f wenn die Variable x i um eine kleine Einheit erhöht wird. x

Partielle Ableitung (f : R n R) Beispiele Berechne die partiellen Ableitungen: 1 f (x, y) = xy 2 f (x, y, z) = ln(y 3 + 2x 2 ) + e z 3 f (x, y, z) = xz + yz + xy 4 f (x, y, z) = e xyz

Differenzierbarkeit Differenzierbarkeit im Punkt Die Funktion f : R n R heißt im Punkt x = (x 1,..., x n) t differenzierbar, falls es eine Abbildung gibt, sodass f ( x ) = (y 1,..., y n ) : R n R f ( x + s) f ( x ) (y 1,..., y n ) s lim s 0 s = 0

Gradientenvektor Ableitung im Punkt x : Wenn f ( x) im Punkt x = (x1,..., x n) t differenzierbar ist, so existieren die partiellen Ableitungen im Punkt x und es gilt: ( f f ( x ) = ( x ),..., f ) ( x ) x 1 x n Gradientenvektor der Funktion f : R n R an der Stelle x versteht man den Vektor f x 1 ( x ) f gradf ( x x ) = 2 ( x ). f x n ( x )

Gradientenvektor Gradientenvektor Steht normal auf die Niveaulinie von f an der Stelle x. Zeigt in die Richtung des größten Anstiegs der Funktion f an der Stelle x. Beispiel Bestimme die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion f im Punkt P: 1 f (x, y) = xy in P = (1, 1) 2 f (x 1, x 2 ) = x 2 in P = (2, 2) x1 2 +1

Richtungsableitung Richtungsableitung Die Richtungsableitung der Funktion f : R n R an der Stelle P in Richtung h ist: f P h Ist h = 1, dann entspricht die erste Richtungsableitung dem Anstieg der Funktion f an der Stelle P in Richtung h. Applets im Web: http://www.mathe-online.at/nml/materialien/innsbruck/ flaechen3d/

Totales Differential Totales Differential: Zu einer gegebenen Funktion f : R n R, bezeichnet man mit df das totale Differential: df = n i=1 f x i dx i Das totale Differential beschreibt die Änderung von f bei kleinen Änderungen von x i Variablen. Link: http: //www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/differential.pdf

Totales Differential Als lineare Abbildung: df (x) = n i=1 f x i (x)dx i df (x) : R n R (Richtungsableitung in Richtung h): [df (x)](h) = f (x) h = n i=1 f x i (x)h i Falls h = e i = (0,..., 1,..., 0) t : [df (x)](h) = f (x) h = f x i (x)

Jacobimatrix Jacobimatrix Unter der Jacobi-Matrix der Funktion F : R n R m f 1 (x 1,..., x n ) F (x 1,..., x n ) =. f m (x 1,..., x n ) versteht man die folgende m n Matrix: J(F ) = f 1 x 1 ( x). f m x 1 ( x) f 1 x n ( x). f m x n ( x)

Jacobimatrix Bemerkung: Für den Fall F : R n R gilt: F ( x) = J(F ( x)) Beispiele: Berechne die Jacobi-Matrix: 1 F (x, y) = (y 2, x 2, 1 xy )t 2 F (u, v, w) = e uw+v

Kettenregel Kettenregel: Seien g : R n R m und f : R m R im Punkt x, bzw. g(x) differenzierbar. Dann gilt für die zusammengesetzte Funktion f g(x) = f (g(x)): J(f g) x = J(f ) g(x) J(g) x Beispiel: Gegeben seien f (t) = (t, sin t, ln t) t und g(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 + x1 2 + x 3. Differenziere g f.

Approximation durch eine affine Funktion Gleichung der Tangentialebene: Eine Funktion heißt affin, wenn sie die Summe einer linearen Funktion und einer Konstanten ist. f : R R : Tangente a. d. Stelle x 0 : t: y = f (x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) f : R n R : Affine Funktion a. d. Stelle x 0 : T ( x) = f ( x 0 ) + f ( x 0 ) ( x x 0 ) f : R n R m : Affine Funktion a. d. Stelle x 0 : T ( x) = f ( x 0 ) + Jf ( x 0 ) ( x x 0 )

Die zweite Ableitung von f : R n R Hess sche Matrix der Funktion f : R n R grad : R n R n ist eine vektorwertige Funktion. Noch einmal differenzieren matrix. f f x 1... Hf = x 1 x 1 f x 1 x 2. f x 1 x n x 2 x 2 x 2 f x n x 1 f x 2 f x 2... x n.. f x n... x n f x n Jede Komponente des Gradientenvektors von f wird nach jeder Variable abgeleitet.

Beispiel Finde die zweite Ableitung von f (x, y) = sin(xy) + x. Beispiel

Beispiel Finde die zweite Ableitung von f (x, y) = sin(xy) + x. Satz von Schwarz: Wenn alle 2-fachen partiellen Ableitungen x i stetig sind, dann gilt: f x j Beispiel existieren und f = x i x j f x j x i i, j n Dadurch wird die Hess sche Matrix symetrisch. Es werden folgende Schreibweisen verwendet: f = x i x j 2 f x i x j bzw. x i f x i = 2 f x 2 i

Die zweite Ableitung von f in Richtung h Definition: Unter der zweiten Richtungsableitung der Funktion f : R n R an der Stelle P in Richtung des Vektors h versteht man den Ausdruck ht H f ( x) P h Bemerkung: ht H f ( x) P h = n n i=1 j=1 2 f x i x j P h i h j

Die zweite Ableitung von f in Richtung h Beispiel: Gegeben ist die Funktion f (x 1, x 2 ) = e x 1+2x 2 und der normierte Vektor h = 1 13 (2, 3) t. Finde im Punkt P(2, ln 2) die zweite Richtungsableitung in Richtung h. Konvex in Richtung h: Falls die zweite Richtungsableitung von f an der Stelle P in Richtung h größer als 0 ist ( h t H f ( x) P h > 0), so ist die Funktion f in der Nähe von P in Richtung h konvex. Konkav in Richtung h: Analog ist f in der Nähe von P in Richtung h konkav, falls ht H f ( x) P h < 0 ist.

Einschub: Definitheit der Matrizen Definition: H ist pos. definit x t H x > 0 x R n \ 0 neg. definit x t H x < 0 x R n \ 0 pos. semidefinit x t H x 0 neg. semidefinit x t H x 0 x R n x R n indefinit es gibt x R n \ 0 so dass x t H x < 0 und es gibt y R n \ 0 so dass y t H y > 0

Einschub: Definitheit und Eigenwerte Bemerkung: Für jede (symmetrische) n n Matrix H mit Eigenwerten λ 1,..., λ n gilt: Sind alle λ i > 0, dann ist H positiv definit. Sind alle λ i 0, dann ist H positiv semi-definit. Sind alle λ i < 0, dann ist H negativ definit. Sind alle λ i 0, dann ist H negativ semi-definit. Ist ein λ i > 0 und ein λ j < 0, dann ist H indefinit.

Konvexität in der Nähe von P Bemerkung: Ist die Hesse-Matrix der Funktion f im Punkt P positiv definit: dann ist f in jeder Richtung h in der Nähe von P konvex. negativ definit: dann ist f in jeder Richtung h in der Nähe von P konkav. indefinit: dann gibt es Richtungen, für die f konkav ist und solche, für die f in der Nähe von P konvex ist.

Beispiel Bestimme die Definitheit der folgenden Matrix A: 1 2 1 A = 2 1 1. 1 1 4 Wir suchen die Nullstellen des charakteristischen Polynoms p(λ) = det(a λi n ) = 0. Die zugehörigen Eigenvektoren werden über das homogene lineare Gleichungssystem (A λ i I n )v = 0 berechnet. (Dabei erhält man eine parametrische Losung mit mindestens 1 freien Parameter)

Einschub: Eigenwerte & Eigenvektoren Die Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren zu einem Eigenwert λ i ist gleich der Anzahl der freien Parameter in der Lösung des linearen GLS (A λ i I n )v = 0. Ist A eine obere (untere) Dreiecksmatrix, bzw eine Diagonalmatrix, so stehen die Eigenwerte in der Hauptdiagonalen von A. Ist die Matrix nicht invertierbar, so ist λ = 0 ein Eigenwert. Das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante der Matrix.

Konvexität Eine Funktion f : R n R sei zweimal stetig differenzierbar. Wenn x R n gilt: Hf ( x) ist positiv definit, dann heißt die Funktion f strikt konvexe Funktion Hf ( x) ist positiv semidefinit, dann heißt die Funktion f konvexe Funktion Hf ( x) ist negativ definit, dann heißt die Funktion f strikt konkave Funktion Hf ( x) ist negativ semidefinit, dann heißt die Funktion f konkave Funktion

Beispiele http://www.mathe-online.at/nml/materialien/innsbruck/ flaechen3d/ Strikt konvex: f (x, y) = x 2 + y 2. Strikt konkav: f (x, y) = (x 2 + y 2 ). Weder noch: f (x, y) = x 2 y 2.

Optimierung in mehreren Variablen Definition Sei f : R n R mit D f R n. Ein Punkt x D f heißt: lokaler Maximizer wenn f (x ) f (x) lokaler Minimizer wenn f (x ) f (x) für alle x aus D f die genügend nahe bei x sind, d.h. x D f, die x x < ɛ für ein ɛ > 0. globaler Maximizer wenn f (x ) f (x) globaler Minimizer wenn f (x ) f (x) für alle x aus D f. Bemerkung: Enthält D f auch Randpunkte, so kann f auch Randextrema besitzen.

Einschub: Optimierung in einer Variable Beispiel: f : R R, f (x) = x 2 + 3. Finde die lokalen Extrema von f 1 in D f 2 in [ 1, 2] 3 in ( 1, 2). Das Rezept: 1 Nullsetzen der ersten Ableitung kritischer Punkt x 2 Natur des Extremums: das Vorzeichen der zweiten Ableitung in x : f (x ) > 0 lokaler Minimizer f (x ) < 0 lokaler Maximizer f (x ) = 0 keine Aussage möglich.

Optimierung in mehreren Variablen Kritische Punkte Ein Punkt x 0 R n, für den gilt gradf ( x 0 ) = 0 heißt kritischer Punkt der Funktion f. Proposition Sei f : R n R zweimal stetig differenzierbar. Wenn x 0 kritischer Punkt ist und 1 Hf an der Stelle x 0 positiv definit ist, dann ist x 0 ein lokaler Minimizer. 2 Hf an der Stelle x 0 negativ definit ist, dann ist x 0 ein lokaler Maximizer. 3 Hf an der Stelle x 0 indefinit ist, dann ist x 0 ein Sattelpunkt. 4 Hf an der Stelle x 0 semidefinit ist mit mindestens einem Eigenwert gleich 0, dann ist keine Aussage möglich.

Beispiele Bestimme die lokalen Extrema der Funktion f : 1 f (x, y) = x 2 + y 2 2 f (x, y) = x 2 y 2 3 f (x, y) = x 2 y 2 4 f (x, y) = (x 2 + 2y 2 )e x2 y 2

Extremwerte unter Nebenbedingungen Nebenbedingungen: Beispiel Maximiere die Fläche eines Rechtecks bei gegebenem Umfang U, d.h. F (a, b) = a b max unter der Nebenbedingung 2a + 2b = U Bemerkung: Wenn der Punkt x = (a, b ) t ein Extremum des Zielfunktionals F (a, b) unter der Nebenbedingung g(a, b) = 0 ist, so ist es notwendig, dass im Punkt x der Gradient von F ein vielfaches vom Gradienten von g ist: gradf (x ) = λgradg(x ).

Satz über Lagrange-Multiplikatoren Satz über Lagrange-Multiplikatoren: Gegeben: f ( x) extremal (max. od. min.) Nebenbedingungen: g 1 ( x) = 0 g 2 ( x) = 0. g k ( x) = 0 Damit x lokaler Minimizer oder Maximizer von f unter den Nebenbedingungen g 1, g 2,..., g k ist, ist es notwendig, dass es reelle Zahlen λ 1, λ 2,..., λ k gibt (Lagrange-Multiplikatoren), sodass: grad f ( x )=λ 1 grad g 1 ( x )+λ 2 grad g 2 ( x )+...+λ k grad g k ( x ) Zusatzbedingung Die Vektoren grad g i ( x ) müssen linear unabhängig sein.

Klassifizieren von kritischen Punkten, Teil I Lagrange-Funktion Gegeben: f ( x) extremal (max. od. min.) NB: g 1 ( x) = 0 g 2 ( x) = 0. g k ( x) = 0 G( x) = g 1 ( x) g 2 ( x). g k ( x) Wir betrachten die Lagrange-Funktion: L(x 1,...,x n, λ 1,...,λ k )=f (x 1,...,x n) λ 1 g 1 (x 1,..., x n)... λ k g k (x 1,...,x n) Kritischer Punkt von L Sei z = (x1,..., x n, λ 1,..., λ k ) kritischer Punkt des Problemes, d.h. gradl( x) z = 0 und G( x) x = 0

Klassifizieren von kritischen Punkten, Teil II Berandete Hesse Matrix H = ( 0k k JG( x) JG( x) t HL( x) Die Hesse-Matrix HL( x) wird gebildet indem man die Ableitungen nach den Variablen x i bildet, die λ i werden als Konstante betrachtet. ) Haben die letzten n k Minoren von H z alle das Vorzeichen ( 1) k, so liegt an der Stelle x ein Minimum vor. Wechseln die letzten n k Minoren von H z ( ) alle das Vorzeichen, wobei sgn det H z = ( 1) n, so liegt an der Stelle x ein Maximum vor.

Spezielle Anwendungsfälle n = 2, k = 1 : 3 > 0 Maximum 3 < 0 Minimum n = 3, k = 1 : 4 < 0 und 3 > 0 Maximum 4 < 0 und 3 < 0 Minimum n = 3, k = 2 : 5 < 0 Maximum 5 > 0 Minimum n = 4, k = 2: 6 > 0 und 5 < 0 Maximum 6 > 0 und 5 > 0 Minimum

Konvexität Definition: Eine Menge C im R n heißt konvex, wenn zu je zwei Punkten x 1 und x 2 C, auch die Verbindungsstrecke zwischen x 1 und x 2 in C liegt, d.h. λ x 1 + (1 λ) x 2 C für alle x 1, x 2 C

Konvexität Definition: Eine Menge C im R n heißt konvex, wenn zu je zwei Punkten x 1 und x 2 C, auch die Verbindungsstrecke zwischen x 1 und x 2 in C liegt, d.h. λ x 1 + (1 λ) x 2 C für alle x 1, x 2 C Bemerkung: Der Durchschnitt von zwei oder mehreren konvexer Mengen ist konvex.

Konvexität Definition: Eine Menge C im R n heißt konvex, wenn zu je zwei Punkten x 1 und x 2 C, auch die Verbindungsstrecke zwischen x 1 und x 2 in C liegt, d.h. λ x 1 + (1 λ) x 2 C für alle x 1, x 2 C Bemerkung: Der Durchschnitt von zwei oder mehreren konvexer Mengen ist konvex. Die Vereinigung von zwei konvexen Mengen ist im allgemeinen nicht mehr konvex.

Epigraph, I Epigraph: Der Epigraph einer Funktion f : R n R ist diejenige Teilmenge des R n+1, die aus allen Punkten des R n+1 besteht, welche über dem Graphen von f liegen. D.h.: Epi(f ) = {( x y ) x Rn, y R, y f ( x)}

Epigraph, I Epigraph: Der Epigraph einer Funktion f : R n R ist diejenige Teilmenge des R n+1, die aus allen Punkten des R n+1 besteht, welche über dem Graphen von f liegen. D.h.: Epi(f ) = {( x y ) x Rn, y R, y f ( x)} Konvexe Funktion: Eine auf einer konvexen Teilmenge C des R n definierte Funktion f : C R heißt konvex, falls der Epigraph von f eine konvexe Menge ist.

Epigraph, I Epigraph: Der Epigraph einer Funktion f : R n R ist diejenige Teilmenge des R n+1, die aus allen Punkten des R n+1 besteht, welche über dem Graphen von f liegen. D.h.: Epi(f ) = {( x y ) x Rn, y R, y f ( x)} Konvexe Funktion: Eine auf einer konvexen Teilmenge C des R n definierte Funktion f : C R heißt konvex, falls der Epigraph von f eine konvexe Menge ist. Konkave Funktion: Die Funktion f heißt konkav, falls die Funktion f konvex ist.

Epigraph, II Beispiel: Für α R betrachten wir die Funktion f : R + R +, f = x α. Für α 0 oder α 1 ist f konvex, für 0 < α < 1 ist f konkav. Warum?

Epigraph, II Beispiel: Für α R betrachten wir die Funktion f : R + R +, f = x α. Für α 0 oder α 1 ist f konvex, für 0 < α < 1 ist f konkav. Warum? Proposition: Sei g : C R eine auf einer konvexen Teilmenge C des R n definierte konvexe Funktion. Dann ist für jedes b R die Menge C b = { x C g( x) b} konvex.

Extremalprobleme mit Ungleichungen als Nebenbedingungen, I Der zulässige Bereich eines Optimierungsproblems: Für das Optimierungsproblem f ( x) = max! nennen wir die Menge g 1 ( x) b 1 g 2 ( x) b 2. g m( x) b m C = { x R n g j ( x) b j für j = 1, 2,..., m} den zulässigen Bereich des Optimierungsproblems.

Bemerkungen: Extremalprobleme mit Ungleichungen als Nebenbedingungen, I Wenn ein Minimierungsproblem F (x) = min! vorliegt, läßt es sich durch Änderung des Vorzeichens in die max! Form überführen: f (x) = F (x) = max!.

Bemerkungen: Extremalprobleme mit Ungleichungen als Nebenbedingungen, I Wenn ein Minimierungsproblem F (x) = min! vorliegt, läßt es sich durch Änderung des Vorzeichens in die max! Form überführen: f (x) = F (x) = max!. Die Ungleichungen der Form h( x) b j lassen sich in die Form umschreiben. g( x) = h( x) b j

Bemerkungen: Extremalprobleme mit Ungleichungen als Nebenbedingungen, I Wenn ein Minimierungsproblem F (x) = min! vorliegt, läßt es sich durch Änderung des Vorzeichens in die max! Form überführen: f (x) = F (x) = max!. Die Ungleichungen der Form h( x) b j lassen sich in die Form g( x) = h( x) b j umschreiben. Eine Gleichheitsnebenbedingung g( x) = b j schreiben wir als: g( x) b j und g( x) b j.

(In)Aktive Restriktionen: Spezielle Anwendungsfälle Eine Restriktion g j ( x) b j heißt aktiv im Punkt x C, falls gilt: g j ( x ) = b j. Die Menge der im Punkt x C aktiven Nebenbedingungen bezeichnen wir mit J a( x ). Beispiel: Der Zulässige Bereich C eines Optimierungsproblems sei durch folgende Ungleichungen beschrieben: x 2 + y 2 25, x 4, x + y 1 Untersuchen Sie für die angegebenen Punkte P j, ob Sie im zulässigen Bereich C liegen. Geben Sie für Punkte im zulässigen Bereich die Menge der aktiven und die Menge der inaktiven Nebenbedingungen an! P 1 (3 4), P 2 ( 1 2), P 3 (2 2), P 4 (4 3), P 5 ( 3 4), P 6 (0 5)

Konkaves Programm Ein Optimierungsproblem Konkaves/Konvexes Programm f ( x) = max! g 1 ( x) b 1. g m( x) b m heißt konkaves Programm, wenn die Zielfunktion f eine konkave Funktion und die Nebenbedingugnsfunktionen g j konvexe Funktionen sind.

Konkaves Programm Ein Optimierungsproblem Konkaves/Konvexes Programm f ( x) = max! g 1 ( x) b 1. g m( x) b m heißt konkaves Programm, wenn die Zielfunktion f eine konkave Funktion und die Nebenbedingugnsfunktionen g j konvexe Funktionen sind. Konvexes Programm Ein Optimierungsproblem f ( x) = min! g 1 ( x) b 1. g m( x) b m heißt konvexes Programm, wenn die Zielfunktion f eine konvexe Funktion und die Nebenbedingugnsfunktionen g j konvexe Funktionen sind.

Satz von Kuhn-Tucker: Sei x ein lokaler Maximizer für das Optimierungsproblem Satz von Kuhn-Tucker f ( x) = max! g 1 ( x) b 1 g 2 ( x) b 2. g m( x) b m 1 Dann gibt es nichtnegative Zahlen λ 1,..., λ m, sodass m gradf ( x ) = λ j grad g j ( x ) j=1 Außerdem gelten Complementary Slackness Bedingungen: λ j = 0 für j / J a( x ) 2 Wenn ein konkaves Programm vorliegt, dann ist Bedingung (1) hinreichend, dass x ein Maximizer des Optimierungsproblems ist. 3 Bemerkung: x muss darüber hinaus die constrained qualification erfüllen. (S. 49)

Satz von Kuhn-Tucker: Sei x ein lokaler Minimizer für das Optimierungsproblem Satz von Kuhn-Tucker f ( x) = min! g 1 ( x) b 1 g 2 ( x) b 2. g m( x) b m 1 Dann gibt es nichtpositive Zahlen λ 1,..., λ m, sodass m gradf ( x ) = λ j grad g j ( x ) j=1 Außerdem gelten Complementary Slackness Bedingungen: λ j = 0 für j / J a( x ) 2 Wenn ein konvexes Programm vorliegt, dann ist Bedingung (1) hinreichend, dass x ein Minimizer des Optimierungsproblems ist. 3 Bemerkung: x muss darüber hinaus die constrained qualification erfüllen. (S. 49)

Satz von Kuhn-Tucker Bemerkung: Die KT-Bedingungen lassen sich aus der Lagrange-Funktion ableiten: L(x 1, x 2,..., x n, λ 1,..., λ m) = f ( x) Die n Gleichungen müßen erfüllt sein: m λ j (g( x) b j ). i=j und L x 1 = = L x n = 0 L L 0,..., 0 λ 1 λ m

Satz von Kuhn-Tucker - Beispiel Beispiel: Angenommen, die Kosten der Produktionsfaktoren betragen 1 Euro pro Einheit Arbeit und Kapital in der Cobb-Douglas Funktion: f (x, y) = x 1 2 y 1 4, maximieren sie die Produktion wenn insgesamt b Euro für die Produktionsfaktoren zur Verfügung stehen.

Satz von Kuhn-Tucker - Beispiel Beispiel: Prüfe, ob der Punkt P = (4, 3) ein lokaler (der globale) Minimizer des gegebenen Problems ist: (4x + 3y) 2 max! x 2 + y 2 25 2x + y 4 Satz: Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Bereich definierte stetige Funktion besitzt einen globalen Maximizer und einen globalen Minimizer.

Satz: Wenn ein konkaves Programm (P) im Punkt x ein lokales Maximum besitzt, so besitzt es in x bereits ein globales Maximum. Satz: Wenn ein konvexes Programm (P) im Punkt x ein lokales Minimum besitzt, so besitzt es in x bereits ein globales Minimum.