3. Biegung 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 1
Einfeldträger (poitive Biegung / «agging») + MM yyyy 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I
Kragarm (negative Biegung / «hogging») MM yyyy 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 3
Durchlaufträger (poitive und negative Biegung) MM yyyy + MM yyyy 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 4
Unterzugytem bei Hochbaudecke + MM yyyy Sytem von Einfeldträgern, mittiger Querträger auf zwei Längträgern gelagert (vereinfacht al einfache Balken modelliert) 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 5
Zug- und Druckgurt Zuggurt + MM yyyy Angetrebte Bruchart (duktil): Betonbruch während Stahlflieen: εε cccccc εε 4.10.017 6
Biegebeanpruchung Allgemeine [1], Seite.1 Reine oder vorherrchende Biegung: kommt in der Praxi ehr häufig vor Annahmen bei Querchnittanalye für Tragicherheitnachwei (SIA 6, 4.3..3): Querchnitte bleiben eben und enkrecht zur Stabache. Bewehrung überträgt nur Zug- und Druckkräfte in ihrer Richtung. Zugfetigkeit de Beton wird beim Bruchwidertand vernachläigt. (Zugverteifung im Gebrauchzutand analog Normalkraft) σ-ε-diagramme werden gemä SIA 6, Fig. 1 und Tab. 8 (Beton) owie Fig. 16 und Tab. 9 (Betontahl) angenommen. 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 7
Biegebeanpruchung Allgemeine Beton, σ-ε-diagramm und Bemeungwert der Druckfetigkeit SIA 6, Fig. 1 iehe auch Vorleung Materialverhalten! εε ccccc = 3 0.15 3 = 0.45 εε ccccc = SIA 6,.3..3 Bemeungwert der Betondruckfetigkeit f cd η = η fc t ck γ c f 1.5 SIA 6, 4..1./4..1.3 Normalfall η fc = η t = 1.0 SIA 6, Tab. 3 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 8
Biegebeanpruchung Allgemeine Betontahl, σ-ε-diagramm und Bemeungwert der Fliegrenze SIA 6, Fig. 16 iehe auch Vorleung Materialverhalten! SIA 6,.3..5 Bemeungwert der Fliegrenze von Betontahl f d = f γ k SIA 6, Tab. 5 (Normalfall: f k = 500 MPa f d = 435 MPa) 1.15 SIA 6 Tab. 9 (Normalfall: B500B εε uudd = 45 ) 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 9
Rechteckquerchnitte - Kontruktive Durchbildung [1], Seite.ff, SIA 6, Ziff. 5; Platten Ziff. 5.5.3 (z.b. Decken ) Platten üblicherweie orthogonal bewehrt in 4 Lagen, Haupttragrichtung = 1./4. Lage ( maximaler Hebelarm; nicht immer eindeutig). Dicke Platten (h > 400 mm) verbügeln. Stablänge < 1000 Ø (Handling); bei Groprojekten u.u. Abklärung Lagerlängen groer Ø Stöe in Zonen geringer Beanpruchung, Stolänge ca. 50Ø (SIA 6, 5..5/5..6) d' x 4. Lage 3. Lage. Lage 1. Lage y Ø x z x x d x c nom h h: Plattentärke d: tatiche Höhe d = h c nom Ø/ d = h d D max : Grötkorn (Einflu auf v Rd beachten) Ø c nom Stabdurchmeer (Querchnitttabelle): (6,8), 10, 1,, 0,, 6, 30, (34, 40) mm Stababtand (iehe SIA 6, 5..3/5.5.3): üblich (75), 100, 15, 150, 00, 50, (300) mm Bewehrungüberdeckung (SIA 6, 5..): ca. 0.60 mm (je nach Expoitionklae) 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 10
Rechteckquerchnitte - Kontruktive Durchbildung [1], Seite.ff, SIA 6, Ziff. 5; Balken Ziff. 5.5.3 (z.b. Unterzüge ) Balken ind zu verbügeln. Bügel (Abtand < 5Ø) müen Längzugbewehrung umfaen. Stöe (Bügel und Längbewehrung): Stolänge (ca. 50Ø, iehe SIA 6, 5..5). y b x z h d Ø y x z c nom Bügelbewehrunggehalt ρ w min. ca. 0.%, zweichnittige Bügel: π Ø ρ w = 0.% b NB: nach SIA 6 (013) ind Bügelbewehrunggehalte von ca. 0.1% aureichend: fck 500 ρw 0.1% 30 f bei Neubauten in der Regel nicht innvoll (Robutheit) k d: tat. Höhe d = h c nom Ø/ Bügel Haupt(biege)bewehrung (Tragicherheit) Kontruktive Längbewehrung 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 11
Rechteckquerchnitte - Kontruktive Durchbildung Alternative Bügelformen ([1], Seite.4) («zweichnittige» Bügel: zwei Bügeläte im Querchnitt) l bd,net Steckbügelpaar + einfache Montage Längbewehrung, keine Bewehrung im Weg, beide Bügel gleiche Poition - Stolänge nur mit kleinen Ø gewährleitet (viele Bügel) - Arbeiticherheit (wenn unterer Bügel alleine teht) U-Bügel mit Endhaken + Arbeiticherheit (wenn unterer Bügel alleine teht) ± gleich wie Steckbügelpaar, aber evtl. Platzprobleme (Haken) bei Stöen / groen Bewehrunggehalten Gechloene Bügel, mit 135 Endhaken + optimale tatiche Wirkung (Verankerung) - Längbewehrung mu eingefädelt werden, bei langen Balken und dicker Bewehrung fat unmöglich bechränkt praxitauglich 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 1
Biegewidertand Rechteckquerchnitte [1], Seite.4, Keine Bewehrung auf Biegedruckeite (Normalfall für den Tragicherheitnachwei in der Praxi) d h 0.85x b fcd ωd =0.85 x, iehe SIA 6, Fig. 1 A : Querchnittfläche Bewehrung M Rd : Bemeungwert Biegewidertand ω: mechanicher Bewehrunggehalt = A f d /(b d f cd ) M Rd b Af Iterative Ermittlung der Bewehrung: M d 1. Annahme z. B. z i 0.9d A, erf 0.9 d fd. Bewehrung A,eff > wählen (Anzahl, Ø) A, eff fd 3. Kontrolle z = eff d, MRd A, eff fd zeff b f = cd Iteration fall M Rd < M d d Exakte Ermittlung von M rd rep. ω erf : Gleichgewicht der Längkräfte: A fd = ω d b fcd Hebelarm der inneren Kräfte = d (1-ω/): («Biegenachwei») ω ω M = A f d (1 ) = f bd ω (1 ) M Rd d cd d Aufgelöt nach ω: M d 1 1 f ω = erf b d cd 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 13
Biegewidertand Beipiel Stahlbetonplatte [1], Seite.5 d = 40 0 16/ = 1 mm - Stahlbetonplatte, h = 40 mm 1 40 - Beton C5/30 f cd = 16.5 MPa - Betontahl B500B f d = 435 MPa - c nom = 0 mm 0 Ø16 150 Genaue Berechnung de Biegewidertande: a Ø π 16 π = = = 4 4 0.15 1340 mm /m a 1340 ρ= = = 0.63% d 1 1000 a fd 1340 0.435 583 kn/m ω = = = = 0.167 d f 0.1 16.5 3.498 MN/m cd m f d Rd = cd ω ω = = (1 / ) 16.5 1 0.167 (1 0.084) 113.3 knm/m 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 14
Biegewidertand Beipiel Stahlbetonplatte [1], Seite.5 0 Ø16 150 Vereinfachte Berechnung de Biegewidertande: d = 40 0 16/ = 1 mm 1 40 - Stahlbetonplatte, h = 40 mm - Beton C5/30 f cd = 16.5 MPa - Betontahl B500B f d = 435 MPa - c nom = 0 mm Annahme Hebelarm der inneren Kräfte z 0.9d rep. 1-ω/ 0.9 (in der Regel konervativ) m a f 0.9 d = 1340 0.435 0.9 0.1 = 111. knm/m Rd d a fd 1340 0.435 583 kn/m 0.85 x = = = = 35.3 mm f 16.5 16.5 MN/m cd z = 1 35.3 / = 194.4 mm > 0.9 1 = 190.8 mm OK 111./113.3 = 0.98 Fehler < % (ichere Seite) Kontrolle der Annahme z = 0.9d 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 15
Zuläige Nutzlat Beipiel Stahlbetonplatte Siehe [1], Seite.6 - Einfeldrige Stahlbetonplatte, h = 300 mm, l = 7.5 m - Beton C5/30 f cd = 16.5 MPa - Betontahl B500B, Ø18/150 f d = 435 MPa - c nom = 30 mm, d = h - c nom - Ø/ = 61 mm - Geucht: Zuläige Nutzlat q adm Löung: Ø π 18 π a = = = 1696 mm /m 4 4 0.15 af = 0.435 1696 = 737.8 kn/m d m a f 0.9 d = 173.3 knm/m Rd d af d 737.8 fd a x = = = 53 mm, ω= = 0.171 0.85 f 0.85 16.5 f d m Rd cd = ω (1 ω / ) = 176.1 knm/m d fc Querchnitttabelle (Webite) NB: x/d = 53/61 = 0. < 0.35 Duktilität i.o. cd g d = 1.35 0.3 5 = 10.13 kn/m q d = 1.5 q adm g Stahlbeton m d (q d + gd ) l (1.5 qadm + gd ) l md,max = = 8 8 8 mrd md max = mrd qadm = ( g d ) /1.5 l 8 173.3 q adm = 10.13 /1.5 = 9.7 kn/m 7.5 Näherung (konervativ) 8 176.1 q adm = 10.13 /1.5 = 9.9 kn/m 7.5 «exakte» Löung 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 16
Biegung Mindetbewehrung [1], Seite.10 - h/ 0.85x b fcd ωd = 0.85x z d b M r Mindetbewehrunggehalt für Biegung allgemein (Vermeidung eine Sprödbruch bei Ribildung): M Analytiche Löung für Rechteckquerchnitte bh h 1. 3 fctm M r = 1.3 fc tm ω min = 1 1, ρ min = ω 6 3d f Näherung für Rechteckquerchnitte mit cd Rd z 0.9d 0.8h eff M r + 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 17 h/ A f fctk 0.95 = 1.3 fctm = 1.3 0.3 f ck bh bh 1.3 bh f h f f M r = 1.3 fc tm, M Rd = 0.9dA fd = 1.3 fctm A, = 0.4, 6 6 6 0.9 min f f cd d = ρbdf d d ctm ctm ctm ρmin 0.3 ω min 1/ 3 dfd d f d fd fc k /3 Beton C0/5 C30/37 C50/60 d = 0.8 h d = 0.9 h Näherung 0.057 0.0017 0.045 0.0014 0.050 0.0015 0.050 0.003 0.040 0.0018 0.043 0.000 0.051 0.0039 0.040 0.0031 0.037 0.008 0. 135
Geometrie Biegung Veragenarten Dehnungebene (mittlere Dehnungen) Spannungen am Riquerchnitt d h Grundätzlich ind folgende Veragenarten möglich: Sprödbruch bei Ribildung: (ehr pröd, keine Vorankündigung) Bewehrung reit, bevor Beton bricht: (duktil, Ankündigung durch breite Rie) Beton bricht, während Bewehrung fliet: (duktil, Ankündigung durch Rie) Beton bricht, bevor Bewehrung fliet: (pröd, geringe Ankündigung) ε c χ x M ε m M Rd < ε =ε M r ud ε c <ε c d f E ε <ε ε =ε d r ud c ε < f ε =ε cd cd r r d c E 0.85x Aσ = AEε r r Krümmung bei Bruch (Ma für Duktilität): εm εc εm εc χ= = = d d x x (wegen Verbund it ε m < σ r / E, Ermittlung von ε m Zuggurtmodell) unbedingt vermeiden ( Mindetbewehrung) bei kleinen ρ und Ø rep. gutem Verbund, ok häufigte Bruchart, in der Regel antreben vermeiden (Abmeungen erhöhen, ggf. Umchnürung) 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 18
Biegung Veragenarten Bewehrung reit, bei Ribildung Bewehrung reit, bevor Beton bricht ε <ε χ χ Beton bricht, während Bewehrung fliet ε =ε χ c c cd ε ( f E ε <ε ) m d r ud Beton bricht, bevor Bewehrung fliet ε =ε c cd cd χ ε ( ε < f E ) m r d εm( ε r =εud ) SIA 6: Vermeidung von Sprödbrüchen durch Mindetbewehrung (für normale Verhältnie: ρ min 0. 0.3%) Bewehrunggehalt nimmt zu Höhe der Druckzone nimmt zu Stahldehnung nimmt ab Bruchkrümmung nimmt ab Duktilität nimmt ab SIA 6: Gewährleitung aureichender Duktilität durch Begrenzung der Druckzonenhöhe: x/d 0.35 (ρ max 1.4 %) x/d 0.50 (ρ max.0 %) (ρ max : normale Verhältnie) 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 19
Biegung Duktilität Momenten-Krümmung-Diagramme (M-χ) für Beipiel. au [1] mit verchiedenen Bewehrunggehalten Veragen durch Betonbruch begrenzt die Duktilität Mit Begrenzung x/d < 0.35 rep. x/d < 0.50 fliet Bewehrung noch, bevor der Beton bricht Veragen durch Reien der Bewehrung nicht unterucht (bei Mindetbewehrung zu erwarten); Berückichtigung erfordert Beziehung σ r (ε m ) Zuggurtmodell ω = 0.45 x/d = 0.50 ω = 0.98 x/d = 0.35 ω = 0.171 x/d = 0.0 ([1] Bp..) ω min = 0.04 x/d = 0.05 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 0
Biegung Duktilität Begrenzung der Druckzonenhöhe nach SIA 6 ε cd = 0.003 d h χ x = 0.35d x = 0.50d ε m Af d 0.85x = ωd 0.85 0.35d = 0.98d ω 0.98 ( ε m = 0.65 / 0.35 εcd 5.6 omit ε f / E ) r d 0.85 0.50d = 0.45d ω 0.45 ( ε m = 0.5 / 0.5ε cd = 3.0 o mit ε > f / E ) r d Maximaler Bewehrunggehalt und Biegewidertand nach SIA 6, Ziffer 4.1.4.: (für vorwiegend auf Biegung beanpruchte Bauteile) x/d 0.35: Schnittgröenumlagerungen ohne Nachwei de Verformungvermögen x / d 0.35 ω 0.98 M bd f ω (1 ω ) = 0.53 bd f Rd cd cd 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 1
Begrenzung der Druckzonenhöhe nach SIA 6 ε cd = 0.003 x 0.35d d h χ ε m Biegung Duktilität m cd = x = 0.50d Af d 0.85x = ωd 0.85 0.35d = 0.98d ω 0.98 ( ε = 0.65 / 0.35ε 5.6 omit ε f / E ) r d 0.85 0.50d = 0.45d ω 0.45 ( ε m = 0.5 / 0.5ε cd = 3.0 omit ε > f / E ) r d Maximaler Bewehrunggehalt und Biegewidertand nach SIA 6, Ziffer 4.1.4.: (für vorwiegend auf Biegung beanpruchte Bauteile) 0.35 x/d 0.5: Schnittgröenumlagerungen mit Nachwei de Verformungvermögen x / d 0.50 ω 0.45 M bd f ω (1 ω ) = 0.335 bd f Rd cd cd 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I
Biegung Duktilität Begrenzung der Druckzonenhöhe nach SIA 6 ε cd = 0.003 d h x > 0.50d 0.85x = ωd χ ε m Af d Maximaler Bewehrunggehalt und Biegewidertand nach SIA 6, Ziffer 4.1.4.: (für vorwiegend auf Biegung beanpruchte Bauteile) x/d > 0.50: it zu vermeiden 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 3
Biegung Duktilität Begrenzung der Druckzonenhöhe nach SIA 6 d h χ x x = = 0.35d 0.50d χ x x = = 0.35d 0.50d χ x > 0.50d Maximaler Bewehrunggehalt und Biegewidertand nach SIA 6, Ziffer 4.1.4.: (für vorwiegend auf Biegung beanpruchte Bauteile) x/d 0.35: Schnittgröenumlagerungen ohne Nachwei de Verformungvermögen x / d 0.35 ω 0.98 M bd f ω (1 ω ) = 0.53 bd f Rd cd cd 0.35 x/d 0.5: Schnittgröenumlagerungen mit Nachwei de Verformungvermögen x / d 0.50 ω 0.45 M bd f ω (1 ω ) = 0.335 bd f Rd cd cd x/d > 0.50: it zu vermeiden 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 4
Biegung Duktilität Rotationbedarf Θ pu,req (Näherung, Beipiel Zweifeldträger) Allgemein ind Verformungvermögen und Verformungbedarf gekoppelt. Nur für moderate Umlagerungen kann die Wechelwirkung vernachläigt werden. l q l q g h Zuätzliche Vereinfachungen: Biegeteifigkeit kontant M-Θ tarr-ideal platich (keine Verfetigung im platichen Gelenk) Damit entpricht der Rotationbedarf Θ pu,req de Gelenk beim Zwichenauflager dem Auflagerdrehwinkel der beiden Trägerhälften, die nach dem Erreichen von M ay (bei q = q y ) al einfache Balken betrachtet werden können: M EI h 1 χh M a M ay k = 0 Θ ap Θ = pu, req ( q q ) 3 y l 1EI M by M g M ay Schlulinie M ( g + q) (Zweifeldträger, erte platiche Gelenk beim Zwichenauflager, Verformungbedarf für Volllat) 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 5
Biegung Duktilität Rotationbedarf Beipiel Zweifeldträger q = g + q = 100kN m A d d d ' A A B C A L = 16.00 L = 16.00 1. 0.6 0. 0.8 0. A = 8 6 ' A = 8 6 Kraftmethode Af M d = 8 530 0.435 = 1848 kn = z Af 1848 knm ± Rd d M Rd M Bd M + Rd Moment über Zwichenauflager ql d 8 M = 1 B 1 GS + ÜG M 0 M 1 M M ql L ql EI 8 3EI 1EI 3 0 1 d d Θ B0 = = = + + M1 L L Θ B1 = = 11 = EI 3 EI 3 EI Θ =Θ + M Θ = 0 B B0 B B1 Θ ql EI q L ql d M B = = = Θ 8 8 8 Da meit EI B0 d d α + r B1 EI < EI + (i.d.r.) it (Ribildung beginnt über B) findet ein Teil der Schnittkraftumlagerungen bereit vor Fliebeginn tatt (dadurch wird der platiche Rotationbedarf reduziert güntig!) 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 6
Biegung Duktilität Rotationbedarf Beipiel Zweifeldträger q = g + q = 100kN m A d d d ' A A B C A L = 16.00 L = 16.00 1. 0.6 0. 0.8 0. A = 8 6 ' A = 8 6 Af M d = 8 530 0.435 = 1848 kn = z Af 1848 knm ± Rd d EI II (gerien) ε c σ = E ε c c c M x/3 x x d χ A ε σ = E ε b h-d x ε M (hier vereinfachend ε M = AE ε d, χ= = m = ε r angenommen, mit II 3 d x EI ε m < ε r reultiert ein kleinerer Rotationbedarf) II M I EI = = AE ( d x 3)( d x) 0.9AE z = 0.9 440 05'000 1 = 780 MNm ( EIi = 350 MNm ) χ z 0.9z 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 7
Biegung Duktilität Rotationbedarf Beipiel Zweifeldträger Fliebeginn ql 8M 1 8 1848 α = = = r d Rd MRd qdy 8 αrl αr 56 1-1 d dy 100 57.8 4. knm ( r 1.0) αr ( q q y ) B, req d d 1 = 57.8 knm α 1 q q = knm = α = Θ = M 3 L 1EI r -1-1 7.8 knm ( r 0.8) = α = 3 4. 16 knm = 3 1 780 10 knm = 18.5 mrad ( α = 1) = 1. mrad ( α = 0.8) Nach Erreichen von Rd : zwei Einfeldträger für Zuatzbelatung qd qdy mit entprechender Relativverdrehung der Trägerenden über B (iehe GS+ÜG in Folie 8) r r q dy A B C A B q d Θ B = q dy 0 Θ B, req ( q q ) Θ =Θ B, req B0 d dy C elatich (gerien) Umlagerung = platich 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 8
Biegung Duktilität Beipiel: Detaillierte Unteruchung de Verformungvermögen (iehe SB III) Platicher Gelenkwinkel in Funktion von ω; Duktilitätklaen Betontahl A-C (003) Θ pu [rad] B500C (Reien der Bewehrung mag.) Betonbruch (Biegedruckzone) B500B Reien der Bewehrung B500A ω [-] ω = 0.98 (x/d = 0.35): Verformungvermögen deutlich geringer al bei kleinen ω 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 9
Biegung Duktilität Rotationvermögen Θ pu vereinfacht (iehe auch [1], p. -3ff) Bechränkung der platichen Rotation infolge Betontahl (Reien der Bewehrung): L ε εmy d x d x mu Θ pu = pl Krümmung bei Fliebeginn Krümmung beim Reien der Bewehrung Rotation pro Ri: εmrm Θi d x Platiche Gelenkrotation = Summe der platichen Rotationen aller Rie ab Fliebeginn Bechränkung der platichen Rotation infolge Beton (Erreichen Bruchtauchung): ε ε cd my Θ puc = Lpl x d x L pl ε mu ε my Krümmung bei Fliebeginn Krümmung bei Betonbruch Platiche Gelenklänge, abhängig von Belatungkonfiguration und Geometrie: Bereich, in welchem die Gurtbewehrung fliet ( Gurtkraftverlauf i.a. au Spannungfeld ermitteln) Näherung: L, genauere Ermittlung iehe Stahlbeton III pl d Mittlere Stahldehnung beim Erreichen von ε r =εud σ r = f εr εm t f Zuggurtmodell Mittlere Stahldehnung beim Erreichen von ε r = σ r = f E 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 30
Biegung Duktilität Rotationbedarf Rotationvermögen vereinfacht Beipiel Zweifeldträger C30/37: f cd = 0 MPa, f ctm =.9 MPa 1. A = 440 mm ' d 1.1 m, A ' f = 1848 kn 1848 x = = 181 mm 0.85 0.6 0 d x= 919 mm d 0. 0.8 0. d x x ε m Rotation im Bruchzutand ε ε cu my Θ puc = Lpl x d x ε ε mu my Θ pu = Lpl d x d x 0.60 εmy mit = Krümmung bei Fliebeginn, Lpl = platiche Länge = ca. d x f E =.3 mrad m d x d 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 31
Biegung Duktilität Rotationbedarf Rotationvermögen vereinfacht Beipiel Zweifeldträger Rotation im Bruchzutand Betonbruch ε εmy cu 0.003 mrad Θ puc = Lpl 1.10 0.003 14.3. m 31.4 mrad x d = = x 0.181 m Θ >Θ OK puc B, req Stahlreien grobe Annahme:.5 ( B500B) εmu 0.5ε ud = 3.5 ( B500C) (gechätzte Abminderung der Bruchdehnung infolge Zugverteifung iehe hinten) 0.05 mrad 1.10 0.003 =.. m = 48.8 mrad ( B500B) my 0.919 m ε ε mu Θ pu = Lpl = d x d x 0.035 mrad 1.10 0.003 = 33.1. m = 7.7 mrad ( B500 C) 0.919 m Θ >Θ OK pu B, req Damit wäre der Nachwei de Verformungvermögen erbracht. Aber: It die Annahme von L pl, ε mu in Ordnung? iehe Stahlbeton III 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 3
Verhalten unter Biegung Duktilität Verbügelung (tatich / Mindetbewehrung), damit keine vorzeitigen Schubveragen auftreten! Die Bemeung erfolgt in der Regel auf Bai de unteren Grenzwertatze der Platizitättheorie, obchon weder Beton noch Bewehrung ideal platich ind. Bemeung und kontruktive Durchbildung müen daher eine aureichende Duktilität gewährleiten. Nur dann können bei der Ermittlung de Tragwidertand Zwängungen vernachläigt werden, und e kann von einem duktilen Veragen (Verformungen, Ankündigung augegangen werden). unter Einhaltung betimmter Regeln ind Schnittkraftumlagerungen nach SIA 6 ohne weitere zuläig (andernfall it eine Kontrolle der Verformungvermögen erforderlich, iehe Stahlbeton III) für Biegung inbeondere zu beachten: ρ min au Bedingung M Rd > M r (kein Sprödbruch bei Ribildung) ρ max au Bedingung, da der Stahl fliet, bevor die Betondruckzone veragt 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 33
Auzug au Norm SIA 6, 4.1.4. Duktilität Verhalten unter Biegung Duktilität 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 34
Verhalten unter Biegung Verformungvermögen Duktilität = platiche Verformungvermögen bei richtiger Bemeung und kontruktiver Durchbildung ehr gro Veruchträger von Dr. Viktor Sigrit (Direktor der Hochchule Luzern Technik & Architektur) in der Bauhalle HIF Reubrücke Waen Unwetter 1987 Unterkolkung Stütze groe Verformungen kein Kollap erfolgreich repariert (iehe z. Bp. Beiträge im SIA, Heft 5/1989) 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 35
Verhalten unter Biegung Verformungvermögen Veruch Dr. Viktor Sigrit 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 36
Verhalten unter Biegung Verformungvermögen Reubrücke Waen (Baujahr 197) im Juli 1987 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 37
Beipiel au der Praxi Reubrücke Waen Reubrücke Waen Schäden infolge Hochwaer (4./5. Augut 1987) 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 38
Beipiel au der Praxi Reubrücke Waen Reubrücke Waen Schäden infolge Hochwaer (4./5. Augut 1987) 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 39
Beipiel au der Praxi Reubrücke Waen Reubrücke Waen Reparaturarbeiten 4.10.017 40
Beipiel au der Praxi Reubrücke Waen Reubrücke Waen Reparaturarbeiten 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 41
Siehe auch [1], Seite.4ff Biegewidertand Berückichtigung Druckbewehrung - Die Bewehrung auf Biegedruckeite wird bei der Vorbemeung normalerweie nicht berückichtigt (Einflu auf Tragwidertand für normale Verhältnie gering). - Die Berückichtigung it im Auführungprojekt bei groen Bewehrunggehalten innvoll. Heute it die mit Querchnittprogrammen einfach möglich (Handrechnung it relativ aufwändig, die früher eingeetzten Tabellenwerke ind nicht mehr zeitgemä). - In der Regel wird nur eine kontruktive Bewehrung auf der Druckeite vorgeehen, keine eigentliche Druckbewehrung (unwirtchaftlich: Beton it güntiger (mehr al Verhältni f d / f cd ), zudem wird f d auf Höhe der Druckbewehrung oft nicht erreicht). - In peziellen Fällen (z. Bp. begrenzte Bauhöhe verfügbar) it eine Druckbewehrung innvoll. Sie it gegen Auknicken zu ichern (Bügel). - Eine Umchnürungbewehrung it wirkamer al eine Druckbewehrung. Zudem kann damit auch die Bruchdehnung de Beton erhöht werden güntig für Duktilität. - Eine kontruktive Bewehrung auf der Biegedruckeite it innvoll, um die Langzeitverformungen zu begrenzen (Beton entzieht ich durch Kriechen der Lat, Druckkräfte werden auf Bewehrung umgelagert, dadurch geringere Zunahme der Verformungen al ohne Druckbewehrung). 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 4
Biegewidertand Berückichtigung Druckbewehrung Beipiel, Platte mit Bewehrung auf Biegedruckeite 1. Abchätzung m Rd ohne Berückichtigung der Druckbewehrung (iehe Folie 14-15) Stahlbetonplatte h = 40 mm 1 40 Beton C5/30 Betontahl B500B f cd = 16.5 MPa E cm = 3 GPa f d = 435 MPa E = 05 GPa 0 c nom = 0 mm Ø16 150 a Ø π 16 π = = = 1340 mm /m 4 4 0.15 Konervativ (ichere Seite) da 0.9d = 0.191 < z eff = 0.194 m m a f 0.9 d = 1340 0.435 0.9 0.1 = 111. knm/m (Abchätzung, ohne Druckbewehrung) Rd d m f d ω (1 ω / ) 16.5 1 0.167 (1 0.084) 113.3 knm/m ("genaue" Löung, ohne Druckbewehrung) Rd = cd = = 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 43
Biegewidertand Berückichtigung Druckbewehrung Beipiel, Platte mit Bewehrung auf Biegedruckeite. Starr-ideal platiche Berechnung (keine Dehnungbegrenzung) d' f = 46 kn/m cd d = 8 mm Lage der Neutralache auf der a ' σ ' Höhe von a m Rd af = 583 kn/m d 184 mm ' Starr-ideal platich, omit fd σ fd a' σ ' = 583 46 = 11 kn/m (GGW) m Rd 0.08 0.184 583 + 46 = 113.7 knm/m 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 44
Biegewidertand Berückichtigung Druckbewehrung Beipiel, Platte mit Bewehrung auf Biegedruckeite 3. Berechnung nach SIA 6 (mit Dehnungbegrenzung) 0.003 ε' χ x ε d m Rd 0.85x f cd af = 583 kn/m d d = 8 mm a ' σ' d 184 mm 0.003 d ' χ=, ε' = 0.003 (1 ) x x GGW : af 0.85 x f a' Eε ' = 0 d cd (Annahme: d' x) GGW ergibt quadratiche Gleichung für x x = 3.9 mm ( > d', Annahme i.o.) darau ε ' = 0.44, σ ' = 91 MPa, σ ' a' = 1 kn/m, ε = 16.4 0.85 0.033 mrd = 0.1 583 0.08 1 461= 113.7 knm/m Duktilitätbedingung: x / d = 0.16 < 0.35 i.o. 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 45
Biegewidertand Berückichtigung Druckbewehrung Beipiel, Platte mit Bewehrung auf Biegedruckeite Vergleich: 1. Abchätzung m Rd ohne Berückichtigung der Druckbewehrung. Starr-ideal platiche Berechnung (keine Dehnungbegrenzung) 3. Berechnung nach SIA 6 (mit Dehnungbegrenzung) "Genaue" Reultat mit Berückichtigung der Druckbewehrung: m Rd,3 = 113.7 knm/m aufwändig zu rechnen, i.a. mit Querchnittprogrammen m m = 111. knm/m = 0.98 m kleine Abweichung, für Praxi i.a. aureichend Rd,1 Rd,3 = 113.7 knm/m m Annahme tarr-ideal platiche Verhalten unüblich Rd, Rd,3 Fat gleich, weil neutrale Ache ehr nahe der für ideal-platiche Verhältnie angenommenen (bei d ), i.a. gröere Unterchiede! NB: Fall Druckbewehrung für Tragicherheit notwendig Abmeungen zu knapp gewählt, nur in Aunahmen innvoll. NB: Bewehrung auf Biegedruckeite kann auch auf Zug belatet ein. Da it der Fall, wenn x<d (iehe [1], Seite.8). 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 46
Biegung im Aufri gekrümmter Träger Umlenkkräfte Beipiel: Tunnelgewölbe unter poitivem Ringbiegemoment z M + M + F t F = M / z + F t c u = F / r σ = u / b ct, u t u u r b u gemä SIA 6, (106) Bei poitivem Moment (Zug auf Inneneite) beteht die Gefahr, da die innere Bewehrung augerien wird, da die Zugbewehrung (F t ) Umlenkkräfte (u) erzeugt Aufnahme durch Überdeckungbeton Zugpannungen im Beton (σ c,u ) Nachwei gemä SIA 6, Ziff. 5..7.1: wenn nicht erbracht Verbügelung NB: Bei negativen Ringbiegemomenten erzeugen die Umlenkkräfte Querdruck σ ct, u 1 3 f ctk,0.05 γ c 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 47
Elatiche Querchnittverhalten Elatiche Querchnittverhalten im Zutand I und II (früher: «elatiche Fetigkeitlehre», «n-theorie») Biegeteifigkeit kann mit der Theorie der au linear elatichen Werktoffen aufgebauten Verbund-querchnitte betimmt werden (iehe Bautatik) η η ci O E-Modul jeder Faer de Querchnitt über Wertigkeit n auf E-Modul de Beton bezogen In Zutand I genügt meit die näherungweie Berückichtigung de reinen Betonquerchnitt (Erhöhung durch Bewehrung ca. 10 0%) Allgemeine Ermittlung der Querchnittwerte: η n da ζ n da Schwerpunkt in ( ηζ, ): η ci =, ζ ci = Ai Ai Eyz (, ) Wertigkeit und ideelle Querchnittfläche: n( y, z) =, A = n da, i Ec (, ) Iη i n da, Iζ i n da, Cηζ i Flächenträgheitmomente in η ζ : = ζ = η = ηζ n da Cηζ i Hauptrichtungen ( yz, ) mit Cyzi = 0: tan ϕ= I I η i ζ i Flächenträgheitmomente de ideellen Querchnitt: I = z n da, I = y n da yi zi η ϕ y C i ζ z ζ ci ζ 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 48
Elatiche Biegeteifigkeit Elatiche Querchnittverhalten im Zutand I und II ε c σ = E ε c c c M x/3 x x d χ A ε σ = E ε b Ermittlung im Zutand II analog Zutand I, aber Wertigkeit de Beton in der Zugzone = 0 Für allgemeine Querchnitte umtändlich Querchnittprogramme (früher wurden umfangreiche Tabellenwerke dafür verwendet, nicht mehr zeitgemä) Für Rechteckquerchnitte mit und ohne Druckbewehrung können die Steifigkeit im Zutand I und Zutand II owie die Spannungen in Beton und Bewehrung gechloen angegeben werden (im Zutand II it eigentlich σ r > E ε m teifere Verhalten Zuggurtmodell) Querchnittteifigkeit unabhängig von Beanpruchung (d.h. effektiv Querchnittwerte) Anwendung: Ermittlung von Spannungen für Ermüdungnachweie (und Gebrauchzutand) h d ε σ 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 49
Elatiche Biegeteifigkeit Elatiche Querchnittverhalten im Zutand II, ohne Druckbewehrung ε c σ = E ε c c c M x/3 x x d χ A ε σ = E ε b h d ε σ d x E ( d x) Ebenbleiben, linear elatiche Verhalten: ε = εc, σ = σc x Ec x x ( d x) E x ( d x) Druckzonenhöne (au N = 0): b A b d n d x n d x n d 0 σ c = σ =ρ σc = ρ + ρ ρ = x Ec x n ρ+ 4 n ρ + 8 n ρ x A E x= d =ξ= n ρ + n ρ n ρ mit ρ=, n= d bd E c 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 50
Elatiche Biegeteifigkeit Elatiche Querchnittverhalten im Zutand II, ohne Druckbewehrung ε c σ = E ε c c c M x/3 x = ξd x = ξd d χ A ε σ = E ε b h d ε σ M M 1 M M σ ξ Spannungen: σ = =, σ ( ) c = = = x ( ) bd ξ x A (1 ) b x ( ) bd ξ (1 ) n 1 d ρ d ξ ξ 3 3 3 3 M (Vergleich: Beton-Randpannungen im ungerienen Zutand: σ c = 6 ) bd ε x x Krümmung und Biegeteifigkeit: χ=, M = A σ ( d ) = AE ( d x)( d ) χ d x 3 3 II x ξ x EI = AE ( d x)( d ) = AE d (1 ξ)(1 ) mit ξ = = nρ + n ρ n ρ 3 3 d 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 51
Elatiche Biegeteifigkeit Elatiche Querchnittverhalten im Zutand II, mit Druckbewehrung x/3 ε c A d' M ε x = ξd σ = E ε c c c σ = E ε A d χ ε σ = E ε d b h d ε Analoge Herleitung wie ohne Druckbewehrung (Annahme x> d' ), iehe [1] Seite.15: σ x d Druckzonenhöne (au N = 0 ): =ξ= [ n ρ+ρ ( n 1) ] + n ( n 1) [ n ( n 1) ] d ρ+ ρ ρ+ρ d M 1 ξ d / d σ ξ Spannungen: σ =, σ =σ, σ c = bd ξ ξ d ξ d / d ρ (1 ) +ρ ( )( ) 1 ξ n 1 ξ 3 3 d 1 ξ 3 b xe A A E Biegeteifigkeit: EI = AE ( d x) + A ( E Ec)( x d ) + mit ρ=, ρ =, n = 3 bd bd E II c 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 5 c
Elatiche Biegeteifigkeit M-χ-Diagramm Elatiche Querchnittverhalten Momenten-Krümmung-Verhalten M [knm] I II III 1 EI II M Rd 1 EI I M r χ [mrad/m] 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 53
Elatiche Biegeteifigkeit Beipiel ([1],.13f), Biegeteifigkeit einer Platte (ohne Berückichtigung der Druckbewehrung) 1 40 - Stahlbetonplatte, h = 40 mm - E c = 30 GPa - E = 05 GPa Zutand I 0 Ø16 150 I 05 Ideelle Querchnittfläche: Ai = 40 1000 + 1340 ( -1) = 47 '817 mm /m 30 10 40 1000 + 1 7 ' 817 Schwerpunkt: ζ C = = 1.9 mm 47 '817 3 I 40 1000 Trägheitmoment: I yi = + + = 1 I EI = E I = 36.6 MNm /m c yi 40' 000 (1.9 10) 7 ' 817 (1.9 1) 1. Zum Vergleich: I 9 4 I = 1.15 10 mm /m yc I I = 1.06 I yi 10 I yc 9 4 mm / m 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 54
Elatiche Biegeteifigkeit Beipiel ([1],.13f), Biegeteifigkeit einer Platte (ohne Berückichtigung der Druckbewehrung) ε c σ = E ε c c c m x/3 x Zutand II ε a h-d ε σ 1340 Geometricher Bewehrunggehalt: ρ= = 0.63 % 1 1000 Druckzonenhöhe: x d = + χ 1 ( (0.0063 6.83) 0.0063 6.83 0.0063 6.83) = 53.8 II M x 53.8 EI = = ae( d x)( d ) = 1340 05' 000 (1 53.8) (1 ) = 8. MNm /m 0. EI χ 3 3 σ = E ε mm I (d - x) = ε /χ Hebelarm der inneren Kräfte 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 55
Elatiche Biegeteifigkeit M-χ-Diagramm Beipiel ([1],.13f), Elatiche Querchnittverhalten Momenten-Krümmung-Diagramm m [knm/m] I II EI I = 36.6 MNm /m EI II = 8. MNm /m III 1 EI II m Rd = 1340 435 (1-0.85 41.6/) = 113.3 knm/m EI I 1 m r = EI I χ r = 36.6 0.74 = 7.1 knm/m χ r = f ctm / (E c (h-z c )) =.6 / (30 117.1) = 0.74 mrad/m χ [mrad/m] 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 56
Elatiche Biegeteifigkeit Zugverteifung [1], Seite.16f x d h Zugverteifung bei Biegebeanpruchung analog zu Verhalten unter reinem Zug: bei Erreichen de Rimoment M r enttehen Rie im Abtand r, dazwichen wirkt Beton auf Zug noch mit mittlere Stahldehnung und omit mittlere Krümmung reduziert σ cc Mittlere Dehnungreduktion (iehe Kap. 3.1): σ λ ff cccc n λ f ct ε = λ fct (1 ρt ) ρ E t rr / rr / σ λ f ct (1 ρt ) ρ t Mittlere Krümmungreduktion (analog): ε ε λ fct (1 ρt ) χ= χ= = ( d x) ( d x) ρ E ( d x) t 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 57
Elatiche Biegeteifigkeit Zugverteifung [1], Seite.16f M [knm] I II λ fct (1 ρt ) χ = ρ E ( d x) t 0.5 λ 1.0 M Rd III Minimaler Riabtand Maximaler Riabtand χ M r χ [mrad] 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 58
Elatiche Biegeteifigkeit Zugverteifung [1], Seite.16f x d h Setzt man die Stahlpannung am Ri Mr( d xe ) σ r 0 = II EI beim Erreichen von M r gleich der Spannung σ cc λ ff cccc 1 σ r 0 = fct + n 1 ρt σ rr / rr / σ n λ f ct λ f ct (1 ρt ) ρ t beim Reien eine Zuggurtelement, reultiert der äquivalente Bewehrunggehalt ρ t : 1 ρ t = Mr( d xe ) II f EI ct + 1 n 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 59
Elatiche Biegeteifigkeit Zugverteifung [1], Seite.16f x d h Krümmungreduktion (ρ t in Formel unten recht auf Folie 57 rückeingeetzt): λ fct (1 ρt ) λ M r f ct χ = = II ρte( d x) EI Ec( d x) σ cc Riabtände: λ ff cccc =λ, = r r0 r0 Ø (1 ρt ) 4 ρ t σ rr / rr / σ n λ f ct λ f ct (1 ρt ) ρ t Ribreiten: w mit λ ( σ λ σ ) = ( σ σ ) r 0 r r 0 r r r 0 E 1 ρ t = Mr( d xe ) II f EI ct + 1 n 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 60
Elatiche Biegeteifigkeit Zugverteifung Beipiel ([1],.17), Stahlbetonplatte, h = 40 mm 1 40 Krümmungreduktion: λ m r fct χ = = II EI Ec ( d x) 0.69 mrad/m, λ=0.5 = 1.38 mrad/m, λ=1.0 Ø16 150 0 Äquivalenter Bewehrunggehalt: ρ =.83 % t 1 σ r0 =.6( + 6.83 1) = 107 MPa λ r 0( σr λ σr 0) wr = ( σr σr 0) 0.08 E r 0 16 (1 0.08) = = 137 mm 4 0.08 σ =σ 0.03 mm w 0.04 mm r r 0 r σ = f 0.14 mm w 0.5 mm r d r 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 61
Elatiche Biegeteifigkeit Einflu de Kriechen [1], Seite.18f, SIA 6, Ziff. 3.1..6 Spannung kontant Zunahme der Verformung bei kontanter Spannung σ c ε ( t) =ε +ϕ( t) c (1 ), = 0 ct Normalfall: φφ tt= 1.5.5 ε c t Abchätzung de Kriecheinflue über eine Abminderung de E-Modul: Ect=, 0 Eca = 1 +ϕ t ( ) ϕ(t) ε c,t=0 Berückichtigung nach Theorie der Verbundquerchnitte groer Einflu im Zutand I, weniger im Zutand II (aber nicht vernachläigbar für z.b. Durchbiegungberechnungen) ε c,t=0 t 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 6
Elatiche Biegeteifigkeit Einflu de Kriechen Beipiel ([1],.18f), Stahlbetonplatte, h = 40 mm (ohne Berückichtigung Druckbewehrung) 1 40 Abchätzung de Kriecheinflue für ϕ = E ca Ect, = 0 30 = = = 10 GPa 1+ϕ 1+ ( t) 0 Ø16 150 Zutand I 05 Ideelle Querchnittfläche: Ai = 40 1000 + 1340 ( -1) = 66'130 mm / m 10 10 40 1000 + 1 6'130 Schwerpunkt: ζ C = = 19.0 mm 66'130 3 40 1000 40'000 (19 10) 6'130 (19 1) Trägheitmoment: I yi = + + = 1.35 10 1 I I EI = E I = 13.5 MNm / m = 0.37 EI a ca yi 9 4 mm / m 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 63
Elatiche Biegeteifigkeit Einflu de Kriechen Beipiel ([1],.18f), Stahlbetonplatte, h = 40 mm (ohne Berückichtigung Druckbewehrung) 1 40 Abchätzung de Kriecheinflue für ϕ = E ca Ect, = 0 30 = = = 10 GPa 1+ϕ 1+ ( t) 0 Ø16 150 Zutand II 1340 05 Geometricher Bewehrunggehalt: ρ= = 0.63 %, n = = 0.5 1 1000 10 Druckzonenhöhe: x = + 1 ( (0.0063 0.5) 0.0063 0.5 0.0063 0.5) 83.8 II M x 83.8 EIa = = ae( d x)( d ) = 1340 05' 000 (1 83.8) (1 ) = 6.5 MNm / m = 0.79 EI χ 3 3 (d - x) = ε /χ Hebelarm der inneren Kräfte = mm II 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 64
Elatiche Biegeteifigkeit Einflu de Kriechen Beipiel ([1],.18f), Momenten-Krümmung-Diagramm m [knm/m] I 1 I EI a I a 1 II II EI a II a EI EI EI EI I II I a II a = 36.6 MNm / m = 8 = =. MNm / m 13.5 MNm / m = 0.3 6.5 MNm / m = 0 7 EI.79 EI I II EI I 1 EI II 1 m Rd III Einflu im Zutand I gröer al im Zutand II m r χ [mrad/m] 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 65
Elatiche Biegeteifigkeit Einflu de Schwinden [1], Seite.19f, SIA 6, Ziff. 3.1..7 ( t) (t) (t) ε =ε +ε c cd ca Beton chwindet, Bewehrung chwindet nicht: Eigenpannungen in Stahlbetonbauteilen, bei tatich unbetimmten Sytemen (innere) Zwängungen i.a. ergibt ich darau eine initiale Krümmung (Verchiebung der Geraden I und II im M-χ-Diagramm) Verkleinerung de Rimoment wegen Eigenpannungen Beipiel iehe [1], Seite.0 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 66
Elatiche Biegeteifigkeit Einflu de Schwinden [1], Seite.19f, SIA 6, Ziff. 3.1..7 m [knm/m] I I II II III m Rd Verkleinerung de Rimoment initiale Krümmung m r m r χ [mrad/m] 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 67
Elatiche Biegeteifigkeit Einflu von Ribildung, Zugverteifung, Kriechen und Schwinden 1. Grenzzutand der Gebrauchtauglichkeit Im Gebrauchzutand ind Ribildung, Zugverteifung, Kriechen und Schwinden grundätzlich zu berückichtigen. Sie beeinfluen die Steifigkeit im Zutand I (ungerien) und II (gerien-elatich). Mit einer Bewehrung auf der Biegedruckeite können die Kriechverformungen und der Schwindeinflu im Zutand I und II reduziert werden. Durchbiegungberechnungen chlaff bewehrter Bauteile erfolgen in der Praxi, mit aureichender Genauigkeit, unter Annahme eine gerienen Querchnitt, unter Berückichtigung de Kriechen (abgeminderter E-Modul). Die Zugverteifung und da Schwinden werden dabei meit vernachläigt.. Grenzzutand der Tragicherheit Der Biegewidertand (Zutand III) it von Ribildung, Zugverteifung, Kriechen und Schwinden weitgehend unabhängig (infolge Kriechen reultiert grundätzlich auch im Grenzzutand der Tragicherheit eine gröere Druckzonenhöhe = reduzierter Hebelarm = kleinerer Biegewidertand unter tändigen Laten. Auer bei ehr hohem Anteil tändiger Laten und groen Bewehrunggehalten kann die jedoch vernachläigt werden). 3. Grenzzutand der Ermüdung Ermüdungnachweie erfolgen auf Bai der Spannungen in Beton und Bewehrung im Zutand II (bei ungerienen Querchnitten nicht magebend). 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 68
Ermüdungnachweie [1], Seite.35ff, SIA 6, Ziff. 4.3.8 Bei Bahnbrücken, Fahrbahnplatten von Straenbrücken, Kranbahnträgern, Machinenfundamenten etc. können Ermüdungprobleme auftreten. Ab 50 000 Spannungwecheln it ein Ermüdungnachwei für Beton und Bewehrung zu führen. Ermüdungnachweie erfolgen auf Bai der Spannungen in Beton und Bewehrung im Zutand II (bei ungerienen Querchnitten nicht magebend). Gegebenenfall it da nichtlineare Verhalten de Beton durch Anpaung der Wertigkeit n zu berückichtigen. Bei der kontruktiven Durchbildung ermüdunggefährdeter Bauteile ind folgende Punkte zu beachten: Schweiungen vermeiden (tarke Reduktion der Ermüdungfetigkeit inbeondere durch Punktchweiungen von Bewehrungkörben!) Gechraubte Stöe vermeiden; wenn unumgänglich, reduzierte Ermüdungfetigkeit beachten (Bahnbrücken: Zulaung durch SBB, ehr tiefe Dauerfetigkeiten) Verankerungen und Kupplungen in Bereichen geringer Spannungwechel anordnen Querkraftbewehrung in Platten mu Längbewehrung umfaen (Überdeckung beachten) Bei Neubauten oll der Nachwei in der Regel aufgrund der Dauerfetigkeit erfolgen. Bei Bedarf kann eine genauere Unteruchung unter Berückichtigung von Betrieblatfaktoren λ erfolgen ([1], Seite.35ff). 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 69
Ermüdungnachweie [1], Seite.35ff, SIA 6, Ziff. 4.3.8 Der Nachwei der Ermüdungfetigkeit der Bewehrung erfolgt auf Bai der ermüdung-relevanten Spannungdifferenzen σ Q = σ Q σ Q, in der Form ( ),max ( ),min ( ) ( Q fat ) 0.8 d, fat d d ( Q fat ) d, fat d fat d fat d fat σ σ σ = λ σ σ (Dauerfetigkeit) rep. (Betriebfetigkeit, mit Betrieblatfaktor λ) In der Norm SIA 6, Tab. 13 finden ich Angaben zur rechnerichen Ermüdungfetigkeit σ d,fat. Auwahl (Werte bei gebogenen Stäben in Funktion de Biegeradiu abzumindern): - gerade Stäbe Ø 0 mm: σ d, fat = 145 MPa - gerade Stäbe 0 Ø 40 mm: σ d, fat = 10 MPa - vertikale Bügel Ø 16 mm: σ (Biegeradiu d 3 ) d, fat = 135 MPa - gechweite Längtöe: σ d, fat = 55 MPa - mechaniche Stabverbindungen: σ (SBB: nochmal tiefere Werte!) d, fat = 55 MPa Die Ermüdungfetigkeit de Beton (aufnehmbare Schwingbreite) nimmt mit zunehmender Mittelpannung ab. Der Nachwei erfolgt daher aufgrund der maximalen und minimalen Spannungen ( σcd, σ max cd min ) unter ermüdungrelevanten Laten (inkl. tändige Laten!) in der Form (Dartellung im Goodman-Diagramm iehe [1], Seite.39): σ 0.5 k f + 0.45 σ 0.9 k cd max c cd cd min c cd f 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 70
Ermüdungnachweie Zutand II, elatich ( fat ) < ( ) (N.B. In Regel gerien, obwohl M Q M, da M Q > M Rie bleiben betehen) r max Druckzonenhöne: x = n ρ + n ρ n ρ d Bewehrung: Dauerfetigkeit 0.8 mit wenn linear elatich im geamten Bereich bi r M M Spannungen: σ =, σ c = x x A ( d ) bx( d ) 3 3 σ( Q fat ) σ d, fat σ d ( Qfat ) = σ ( GQ, fat ) σ ( GQ, fat ) ( GQ, fat ) max dann Selten zutreffend, evtl. bei Bauteilen mit hoher Vorpannung oder Druckkraft! σ max min ( Q ) ( Q ) ( Q ) σ = σ σ d fat fat max fat min Goodman-Diagramm Beton: σ 0.5 k f + 0.45 σ 0.9 k cd max c cd cd min c cd f σ cd max σ m mit σ σ = σ ( GQ, ) ( GQ, ) cd max c fat = σ cd min c fat max min 0.9 k c f cd 0.5k c f cd σ σ 0.9 k c f cd 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 71 σ cd min
Biegung allgemeiner Querchnitte Allgemeine Verallgemeinerung auf allgemeine, unymmetriche Querchnitte Überlegungen laen ich ohne weitere auf allgemeine Querchnitte übertragen Ermittlung de Trag- und Verformungverhalten analog wie für Rechteckquerchnitte, in der Praxi mit Querchnittprogrammen Im allgemeinen Fall reultiert chiefe Biegung Die tatiche Berechnung erfolgt in der Regel mit den Hauptachen de Betonquerchnitt (ev. ideeller Querchnitt) Beipiel: Vorfabrizierte Balkonplatte mit Brütung (einfacher Balken unter vertikaler Lat = Eigengewicht und Nutzlaten), verformt ich nicht vertikal nach unten, ondern auch in Querrichtung: M M u u z (M y, EI y ) y η ϕ M C M z M y u y (M z, EI z ) ζ z 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 7
Biegung allgemeiner Querchnitte Tragicherheit Tragicherheitnachwei bei allgemeiner Biegebeanpruchung und allgemeinen Querchnitten Grundätzlich kann der Biegewidertand für eine beliebige Richtung de Momentenvektor analog wie für einfache Biegung ermittelt werden Tragicherheitnachwei erfolgt zweckmäigerweie mit M y -M z -Interaktiondiagrammen Querchnittprogramme genaue Interaktiondiagramm (Fliekurve in M y -M z -Ebene) Berechnung von Hand: einzelne einfach zu betimmende Punkte berechnen, linear verbinden unterer Grenzwert der Tragicherheit für konvexe Fliebedingung M z M Rd : effektive Fliefigur Y(M y, M y ) = 0, konvex x M d Näherung für M Rd (einzelne Punkte, linear verbunden = unterer Grenzwert) Nachwei: M d (M yd, M zd ) < M Rd M y 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 73
Biegung allgemeiner Querchnitte Tragicherheit Beipiel Interaktiondiagramm, [1], Seite. Quadratquerchnitt, Beton C5/30, Bügel Ø8/100, Längbewehrung 4Ø16 Einachige Biegung um Hauptachen (M Ryd = M Rzd ): 53.3 iehe [1],. (Bügel mit Biegeradiu d3 = 4Ø) A = 40 mm y ' z x, N A = 40 mm 300 M Ryd 0.1 kn d 0.85x/ A σ = 7. kn A f = 174.9 kn ε = 3 300 53.3 x N = x x A = A x = 0.85 48 MRyd = MRzd = 174.9 (300 53.3) + 7. 53.3 0.1 = 40.5 knm c ε ε = χ [ ] ' 0 : 0.85 300 16.5 0.003 05' 000 435 48 mm ' ' x 0.33 ε = 1.4 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 74
Biegung allgemeiner Querchnitte Tragicherheit Beipiel Interaktiondiagramm, [1], Seite. Schiefe Biegung um 45 (M y,rd = M z,rd ) y z M = Rd = 46. knm iehe [1],. (Bügel mit Biegeradiu d3 = 4Ø) (0.85 ) 198.6 kn x f cd = 0.85x 3 ε = 3 c x = 19.06 mm 75.4 y z x, N 0.85x 45 y z M = Rd A σ ( f ) = 48.1 kn ' ' cd A σ = 159. kn '' '' ε = 1.47 χ ε = 1.931 '' 75.4 A f = 87.5 kn d ε = 5.109 N ε [ ] (0.85x ) x 75.4 150 x = 0 : 16.5 + 8 π 0.003 05'000 16.5 = 8 π 435 + 0.003 05'000 x x x = 19.1 mm NB: Bewehrungkräfte: A E ε, in der Druckzone A f cd (da Betonkraft ohne Abzug von A gerechnet wurde) 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 75
Biegung allgemeiner Querchnitte Tragicherheit Beipiel Interaktiondiagramm, [1], Seite. Schiefe Biegung um 45 (M y,rd = M z,rd ) y z M = Rd = 46. knm iehe [1],. (Bügel mit Biegeradiu d3 = 4Ø) (0.85 ) 198.6 kn x f cd = 0.85x 3 ε = 3 c x = 19.06 mm 75.4 y z x, N 0.85x 45 y z M = Rd A ( σ f ) = 48.1 kn ' ' cd A σ = 159. kn '' '' ε = 1.47 χ ε = 1.931 '' 75.4 A f = 87.5 kn d ε = 5.109 ε [ ] y z M = Rd = 87.5 (300 75.4) + 159. 150 48.175.4 198.6 0.85 19.06 = 46. knm 3 NB: Für Handrechnung it tarr-ideal platiche Idealiierung (leicht auf unicherer Seite) weentlich einfacher, iehe [1] Seite.3 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 76
Biegung allgemeiner Querchnitte Tragicherheit Beipiel Interaktiondiagramm, [1], Seite. M z [knm] MRyd = MRzd = 40.5 knm y z M = = 46. knm = 3.6 knm Rd 40.5 3.6 Näherung von M Rd (unterer Grenzwert) (effektive Interaktiondiagramm) 3.6 40.5 M y [knm] 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 77
Elatiche Biegeteifigkeit Plattenbalken [1], Seite.4ff, Plattenbalken b ε c σ = E c c χx ' A d h x d h χ A ε σ = E χ( d x) b w ε σ Plattenbalken kommen in Praxi häufig vor (Unterzüge im Hochbau, Platte = Flanch): Steg mit Breite b w und Flanch mit Breite b > b w Zutand I: analog Rechteckquerchnitt Zutand II: für x h analog Rechteckquerchnitt (Regelfall) Zutand II: mit x > h : Formel für x und EI II iehe [1],.4 (im Bruchzutand oll die Druckzone 0.85x ganz im Flanch liegen, iehe Biegewidertand; Druckzone im Steg wird ont aufgrund kleiner Breite chnell ehr gro, Hebelarm der inneren Kräfte nimmt ab reduzierter Biege- und Querkraftwidertand) 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 78
Plattenbalken Mitwirkende Breite SIA 6, Ziff. 4.1.3.3. und 4.1.3.3.3 Mitwirkende Plattenbreiten Vom Steg weiter entfernte Flanchbereiche entziehen ich der Mitwirkung («hear lag») Berückichtigung durch Anatz von mitwirkenden Plattenbreiten (Werte in Anlehnung an Elatizitättheorie fetgelegt): b = b + b b eff eff, i w b = 0.b + 0.1l 0.l eff, i i 0 0 ( l : Abtand der Momentennullpunkte) 0 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 79
Plattenbalken Mitwirkende Breite SIA 6, Ziff. 4.1.3.3. und 4.1.3.3.3 Mitwirkende Plattenbreiten Vom Steg weiter entfernte Flanchbereiche entziehen ich der Mitwirkung («hear lag») Berückichtigung durch Anatz von mitwirkenden Plattenbreiten (Werte in Anlehnung an Elatizitättheorie fetgelegt): b = b + b b eff eff, i w b = 0.b + 0.1l 0.l eff, i i 0 0 0 ( l : Abtand der Momentennullpunkte) Anwendung mitwirkender Breiten nach SIA 6, Ziff. 4.1.3.3: Fetlegung der Steifigkeiten (Stabtatikprogramme), Berechnungen im Gebrauchzutand, inbeondere Durchbiegungen Anhaltpunkt für im Grenzzutand der Tragicherheit anzuetzende Plattenbreite (Breite nach unterem Grenzwertatz grundätzlich frei wählbar, Kraftaubreitung beachten) 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 80
Plattenbalken Schubanchlu der Flanchplatten SIA 6, Ziff. 4.3.4.1 Krafteinleitung in die Gurte (Schubanchlu) Im Grenzzutand der Tragicherheit it der Schubanchlu der Flanchplatten an den Steg zu berückichtigen Einleitung von Zug-/Druckkräften in die Flanche (Gurte) erzeugt Schubkräfte im Übergang zwichen Steg und Flanch, owie Querzug- und Druckkräfte in den Flanchen Siehe Kapitel Fachwerkmodelle und SIA 6, 4.3.4.1 α f Druckflanch: 5 < α f < 45 Zugflanch: 35 < α f < 50 α f 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 81
Plattenbalken Tragicherheit [1], Seite.4ff, Plattenbalken b ε = 0.85 x b fcd cd 3 ' A d h x 0.85x d h χ A ε Af d b w Biegewidertand von Plattenbalkenquerchnitten: Für 0.85 x h analog Rechteckquerchnitt (Regelfall), wobei der mechaniche Bewehrunggehalt ω auf die Flanchbreite zu beziehen it Die Biegedruckzone oll im Bruchzutand volltändig im Flanch liegen (Fall 0.85 x > h vermeiden). Andernfall kann der Schubwidertand tark beeinträchtigt werden, da ich da Druckpannungfeld (iehe Querkraft) nicht über die ganze Steghöhe aubilden kann (relevant auch bei Hohlkatenträgern, inbeondere im Bereich von Zwichenauflagern bei Durchlaufträgern)! 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 8
Plattenbalken Biegebemeung Beipiel [1], Seite.6ff Plattenbalken überpannt al einfacher Balken 16 m, zuätzlich zu Eigengewicht wirken eine Auflat von g a,k = 1 kn/m und eine Nutzlat von q k = 3 kn/m Geometrie Abmeungen in [m] 5.00 0.18 Bautoffe Beton C5/30 f cd = 16.5 MPa Betontahl B500B f d = 435 MPa c nom = 30 mm 0.40 4.60 0.40 1.0 Einwirkungen Eigengewicht g k mit γ Beton = 5 kn/m 3 Auflat g a,k = 1 kn/m Nutzlat q k = 3 kn/m N.B.: typichen Schlankheiten: Platten h l /5 (hier Querrichtung: 4.6/0.18 l /5.6) Träger h l /1 (hier Längrichtung: 16/1. l /13.3) 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 83
Plattenbalken Biegebemeung Beipiel [1], Seite.6ff Platte in Querrichtung (pannt al Durchlaufträger zwichen den Balken) Einwirkungen g k = 0.18 5 = 4.5 kn/m g a,k = 1 kn/m q k = 3 kn/m g d,platte + q d, Platte = 1.35 (4.5+1)+1.5 3 = 11.9 kn/m m = = d, tot 11.9 5.0 / 8 37. knm/m 0.18 1.0 ql m d, tot = 8 0.40 4.60 0.40 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 84
Plattenbalken Biegebemeung Beipiel [1], Seite.6ff Platte in Querrichtung (pannt al Durchlaufträger zwichen den Balken) Widertand Wahl: Plattenbewehrung 4 Lagen Ø10/00, 1. und 4. Lage in Querrichtung, c nom = 30 mm + a fd 393 435 mrd = a fd ( d ) = 393 435 (145 ) = 3.9 knm/m f 1000 16.5 m = m m = 37. 3.9 = 13.3 knm/m + Rd, erf d, tot Rd cd 0.18 1.0 m d, tot m = m + Rd Rd, aber: Obere Querbewehrung mu neben neg. Moment auch Querzug au Schubanchlu aufnehmen Superpoition der Kräfte ergibt erforderliche Bewehrung (iehe päter) 0.40 4.60 0.40 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 85
Plattenbalken Biegebemeung Beipiel [1], Seite.6ff Plattenbalken in Längrichtung - Einfacher Balken, l = 16 m Einwirkungen g d + q d = 5.00 (g d,platte + q d, Platte )+1.35 0.4 1.0 5 = 73.4 kn/m M d = 73.4 16 /8 = 349 knm ( V d = 73.4 16/ = 587 kn) Mitwirkende Plattenbreite b = b = 0.b + 0.1l = 0..3 + 0.1 16 =.06 m eff,1 eff, 1 0 b = b + b =.06 + 0.4 = 4.5 m (< b = 5.00 m) eff eff, i w 0.18 1.0 0.40 b 1 = 4.60 b w = 0.40 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 86
Plattenbalken Biegebemeung Beipiel [1], Seite.6ff Plattenbalken in Längrichtung - Einfacher Balken, l = 16 m Abchätzung der erforderlichen Längbewehrung d 1100 mm (Annahme : Lagen Längbewehrung) z 0.95 d 1050 mm (0.95 antatt 0.9 da bei Plattenbalken viel breitere Druckzone) A, erf 6 M d ' 349 10 = = = 5140 mm 7Ø30 4950 mm 5140 mm z f 1050 435 d b eff = 4.5 0.18 z 1.0 A b w = 0.40 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 87
Plattenbalken Biegebemeung Beipiel [1], Seite.6ff Plattenbalken in Längrichtung - Einfacher Balken, l = 16 m Effektiver Biegewidertand (Nachwei Biegetragicherheit) 5 55 + 115 d = 100 = 118 mm 7 Af d 4950 435 MRd = Af d ( d ) = 4950 435 (118 ) = 398 knm Md =349 knm b f 450 16.5 eff cd 0.85x/ Abtandhalter Ø30 z b eff = 4.5 0.18 1.0 A = Bügel Ø10 4950 mm (7Ø30) 55+ 30 = 115 mm 30+10+30/ = 55 mm A b w = 0.40 (400 55)/4 = 7.5 mm 30+10+30/ = 55 mm 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 88
Plattenbalken Biegebemeung Beipiel [1], Seite.6ff Plattenbalken in Längrichtung - Einfacher Balken, l = 16 m Weitere erforderliche Nachweie (iehe päter) Querkrafttragicherheit der Platte (SIA 6, Ziff. 4.3.3.) Querkrafttragicherheit de Plattenbalken (mittel Spannungfeld, SIA 6, Ziff. 4.3.3.3) Schubanchlu Krafteinleitung in die Gurte (SIA 6, Ziff. 4.3.4.1) 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 89
Plattenbalken Biegebemeung Beipiel [1], Seite.31ff Durchbiegung de behandelten Plattenbalken Geriene Steifigkeit kurzfritig Annahme : Geriene Steifigkeit langfritig A 4950 ρ= = = 0.097 % b d 450 118 eff E = 3 GPa, E = 05 GPa ρ n= 0.006 c x < h', nur Hauptbewehrung 7Ø30 berückichtigt II x = 119.0 mm < h ' = 180 mm EI = 1115 MNm Annahme : x > h', nur Hauptbewehrung 7Ø30 berückichtigt 05 3 ϕ= Ec = 10.7 GPa, n= = 19. 3 II x = 198.6 mm > h ' = 180 mm EI = 100 MNm a Bei der Berückichtigung de Einflue de Kriechen hat die Druckbewehrung einen poitiven Einflu. Mit einer entprechenden Bewehrung können die Langzeitverformungen etwa reduziert werden. Bei Verwendung von Ø10/150 im Flanch: = 1014 MNm II EI a 4.10.017 ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton I 90