Karolina Stoiber Aileen Wolf Ferienkurs Analysis 2 für Physiker SS 26 A Probeklausur Allgemein Hinweise: Die Arbeitszeit beträgt 9 Minuten. Falls nicht anders angegeben, sind alle en ausführlich und nachvollziehbar zu begründen. Schreiben Sie bitte nicht mit Bleistift und auch nicht in roter oder grüner Farbe. Zum Erreichen der Note 4, sind mindestens 5% der Punkte nötig. Stetigkeit [7 Punkte] Sei X, metrischer Raum, zusammenhängend und f : X R lokal konstant d.h. zu jedem x X exisitiert eine Umgebung x U X so dass f U konstant. Zeige: f ist konstant. Geben Sie zudem ein Gegenbeispiel an, für den Fall, dass X nicht zusammenhängend ist (eine lokal konstanten Funktion an, die nicht konstant ist). Sei z X und A = {x X f(x) = f(z)}. Nach Voraussetzung ist f lokal konstant, also ist A offen. Die Menge B := X \ A = {x X f(x) f(z)} = {x X f(x) < f(z)} {x X f(x) > f(z)} ist auch offen und es gilt X = A B. Da X nach Voraussetzung zusammenhängend ist, muss gelten A = oder B =. Da aber z A B = f konstant. Als Gegenbeispiel wählen wir X = R \ {}. Diese Menge ist nicht zusammenhängend. Die Funktion f : R \ {} R, x sgn(x) ist dann lokal konstant, aber nicht global konstant. 2 Differenzierbarkeit [ Punkte] Die Funktion f : R 2 R sei definiert durch { xy } f(x, y) = +y (x, y) 2 (x, y) = (, ) Man zeige (a) f ist partiell differenzierbar (b) f ist nicht stetig (c) f ist nicht total differenzierbar (d) Wie lautet die Richtungsableitung in Richtung v = (v, v 2 ) R 2 im Punkt (, )? (a) Für (x, y) (, ) ist f als Komposition differenzierbarer Funktionen insbesondere auch partiell differenzierbar. Betrachte also den Fall (x, y) = (, ) f(h, ) f(, ) f(h, ) x f(, ) (h,) (,) h (h,) (,) h (h,) (,) h =
und analog y f(, ) =. f ist also auch in (, ) partiell differenzierbar und damit ist f partiell differenzierbar. [3 Punkte] (b) Für (x, y) (, ) ist f als Komposition stetiger Funktionen stetig. Wir können also nur die Unstetigkeit am Nullpunkt zeigen. Wir benutzen dafür Polarkoordinaten (x, y) = (r sin φ, r cos φ). Dann ist lim f(x, y) f(r, φ) (x,y) (,) r r r 2 sin φ cos φ r 2 r sin φ cos φ Es gibt φ für die der Grenzwert = f(, ) ist f ist nicht stetig in (, ). [3 Punkte] (c) Da f in (, ) nicht stetig ist, ist f dort auch nicht differenzierbar also f nicht differenzierbar. [ Punkt] (d) Außerhalb von (, ) ist f differenzierbar. Wir berechnen zunächst den Gradienten für (x, y) f(x, y) = ( y(y ) 2 ) ( +y 2 ) 2. x( y 2 ) ( +y 2 ) 2 Dann lässt sich die Richtungsableitung einfach berechnen. [3 Punkte] v f(, ) = f(, ) v v = = v 2. 3 Taylor und Extrema [ Punkte] Sei f : R 2 R zweimal stetig differenzierbar mit f(, ) =, f hat bei (, ) einen stationären Punkt und 4 H f = 4 Beweisen Sie, es existiert eine Umgebung U von (, ), sodass für alle (x, y) U gilt f(x, y) + y 2 (Tipp: Taylor-Entwicklung). v 2 2
Mit den gegebenen Informationen schreiben wir die Taylorreihe bis zur zweiten Ordnung hin f(x, y) = + (, )(x, y) T ( + 2 4 + 4y 2 xy yx ) + θ(3) ( 4 + 4y 2 2xy ) + θ(3) = 2 Damit gilt (x, y) R 2 \ {(, )} wegen + y 2 2xy 2xy y 2 f(x, y) 2 (4x2 + 4y 2 y 2 ) + θ(3) = ( + y 2 ) 4 Implizite Funktionen [2 Punkte] 3 2 + θ(3) +y 2 Zeigen Sie, dass es eine Umgebung U R 3 von (,, ) gibt, in der das Gleichungssystem sin(x y 2 + z 3 ) cos(x + y + z) + = sin(y + z 3 ) + cos(x y) = eindeutig nach (x, y) aufgelöst werden kann (d.h. (x, y) = h(z) mit einer geeigneten Funktion h). Berechnen Sie weiterhin die Ableitung von h im Nullpunkt. Wir betrachten die stetig differenzierbare Funktion f : R 3 R 2 sin(x y (x, y, z) 2 + z 3 ) cos(x + y + z) + sin(y + z 3 ) + cos(x y) Es gilt f(,, ) = (, ), der Punkt ist also eine Nullstelle. Nun berechnen wir das partielle Differential cos(x y D xy f(,, ) = 2 + z 3 ) + sin(x + y + z) 2y cos(x y 2 + z 3 ) + sin(x + y + z) 2x cos(y + z 3 ) sin(x y) cos(y + z 3 ) sin(x y) = Offensichtlich ist die Einheitsmatrix invertierbar, also können wir nach dem Satz über implizite Funktionen die Gleichung an der Stelle (,, ) entsprechend auflösen mit einer eindeutig bestimmten Funktion h(z), die sogar differenzierbar ist. Die Ableitung berechnen wir ebenfalls nach dem Satz über implizite Funktionen h () = [D xy f(, h())] D z f(, h()) Das partielle Differential D z f(x, y, z) lautet 3z D z f(,, ) = 2 cos(x y 2 + z 3 ) + sin(x + y + z) 3z 2 cos(y + z 3 ) = 3
und damit erhalten wir für die Ableitung h () = ( =. ) 5 Extrema mit Nebenbedingungen [4 Punkte] Man bestimme die Extrema der Funktion f(x, y, z) = 2xz y 2 auf der Menge K = {(x, y, z) R 3 + y 2 + z 2 } wie folgt: (a) Wie lauten der Gradient und die Hesse-Matrix von f? (b) Besitzt f einen stationären Punkt im Inneren von K? (c) Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode der Lagrange-Multiplikatoren die Kandidaten für Extremwerte von f auf dem Rand K. (d) In welchen Punkten liegen die globalen Maxima und Minima von f K? (a) f = 2z 2y H f (x, y, z) = 2 2 2x 2 [2 Punkte] (b) Aus f(x, y, z) = folgt x =, y =, z =. f hat also im Inneren von K einen stationären Punkt. [2 Punkte] (c) Der Rand von K wird beschrieben durch die Nullstellen von g(x, y, z) = + y 2 + z 2. Wegen g(x, y, z) = (2x, 2y, 2z), ist g im Ursprung nicht regulär, auf K dagegen schon. Wir können also den Satz über die Lagrange-Multiplikatoren anwenden. Extremwerte auf dem Rand erfüllen die Gleichungen f(x, y, z) = λ g(x, y, z) und g(x, y, z) =. Damit haben wir vier Unbekannte und vier Gleichungen 2z = 2λx () 2y = 2λy (2) 2x = 2λz (3) + y 2 + z 2 =. (4) 4
Wir machen eine Fallunterscheidung.. Fall: Aus Gleichung und 3 erh lt man λ =. Eingesetzt in die zweite Gleichung muss dann y = sein. Wir setzen dies und x = z in die Nebenbedingung ein. Man erhält die beiden Kandidaten ( p = 2,, 2 ), q = ( 2,, 2 ). In beiden Fällen nimmt f den Funktionswert an. 2. Fall: Die zweite Gleichung wird durch λ = erfüllt für alle y R. Das heißt y ist frei wählbar. Aus Gleichung und 3 erhält man die Bedingung x + z =. Kombiniert man das mit der Nebenbedingung erhält man als Kandidaten alle Punkte S = { (x, y, z) R 3 x + z =, + y 2 + z 2 = }. Die Funktion nimmt überall den Wert an. Dazu ersetzt man y 2 durch die Nebenbedingung und setzt zudem x = z ein. 3. Fall: λ ±. Es gibt keine Punkte, die die Bedingungen erfüllen. [7 Punkte] (d) Da K kompakt ist, muss die Funktion f darauf ein globales Maximum und Minimum annehmen. Die Kandidaten sind oben aufgelistet, hinzu kommt noch der stationäre Punkt (,, ) im Inneren von K mit Funktionswert. Damit sieht man, dass es sich bei p und q um die (globalen und lokalen) Maxima handeln muss und bei den Punkten auf der Kreislinie S um die (globalen und lokalen) Minima. [3 Punkte] 6 Parametrisierung auf Bogenlänge [4 Punkte] Geben Sie explizit eine Parametrisierung auf Bogenlänge, γ : R R 2, der Kettenlinie γ : R R 2, γ(t)( t, cosh t). s(t) = t + sinh 2 t dt = t cosh t dt = sinh t. [2Punkte] Mit der Umkehrfunktion t(s) = arsinh(s) = sinh (s) [Punkt] ist γ(s) = γ( t(s)) = ( arsinh(s), cosh(arsinh(s))) = ( arsinh(s), + sinh(arsinh(s)) 2 ) [ Punkt] 7 Wegintegrale [7 Punkte] Berechnen Sie das Wegintegral γ f(x)dx: f(x, y, z) = (2z + y 2, z, z 2 ) = ( arsinh(s), + s 2 )., γ(t) = (t cos(t), t sin(t), t), t, 2π 5
γ f(x, y, z)d(x, y, z) = t cos(t)dt + mit partieller Integration t sin(t)dt + cos(t) t sin(t) (2t t, t, t 2 ) sin(t) + t cos(t) dt = t 2 cos(t)dt 8 3 π3 + 4π 2 + 2π 8 Trennbare Differentialgleichung [8 Punkte] t 2 sin(t)dt + (a) Finden Sie auf ganz R definierte en von yy = x( y 2 ) mit y() = y, y R \ {} (b) Wie viele konstante en gibt es? (c) Wie viele auf ganz R definierte en mit y() = gibt es? (a) Wir lösen durch Separation der Variablen. Für eine y(x) mit y() = y muss gelten y(x) y ydy y 2 = x t 2 dt x dx, also 2 ln y(x)2 + 2 ln y2 = 2 x2. Da die Integration über die Singularitäten y = ± nicht möglich ist, müssen y 2 und y(x) 2 für alle x das gleiche Vorzeichen haben. Somit ergibt beidseitiges exponenzieren y(x) 2 = e x2 ( y 2 ). Die rechte Seite ist immer kleiner als. Damit y(x) stetig ist, muss also gelten: { e ( y 2 y(x) = ), falls y >, e x2 ( y 2), falls y < denn der Radikant ist in beiden Fällen immer positiv. (b) Die rechte Seite der Differentialgleichung ist Null für alle x, genau dann, wenn y = ± ist. Somit sind y(x) = ± genau zwei konstante en. (c) Für y = sind y ± (x) = ± e x2 die einzigen zwei en auf R\{} mit lim y ± (x) =. Für kleine x gilt y ± (x) ± = ± x. Somit gibt es genau zwei en y + (x) für x > y (x) = für x = und y 2 (x) = y (x), y (x) für x < die auf ganz R differenzierbar und en der Differentialgleichung mit y() = sind. 6
9 Vektorfelder [8 Punkte] (a) Zeigen Sie: für f : R 3 R, v : R 3 R 3, jeweils stetig partiell diferenzierbar, dass (fv) = f v + f v. (b) Berechnen Sie w(x) für x mit w(,, ) = a) w = fv ist das Vektorfeld mit den Komponenten w(x) =. f(x)v (x) f(x)v 2 (x) f(x)v 3 (x). Mit der Produktregel ist 2 w 3 3 w 2 ( 2 f)v 3 + f 2 v 3 ( 3 f)v 2 f 3 v 2 rotfv = rotw = 3 w w 3 = ( 3 f)v + f 3 v ( f)v 3 f v 3 w 2 2 w ( f)v 2 + f v 2 ( 2 f)v f 2 v ( 2 f)v 3 ( 3 f)v 2 f 2 v 3 f 3 v 2 = ( 3 f)v ( f)v 3 + f 3 v f v 3 ( f)v 2 ( 2 f)v f v 2 f 2 v = f 2 f v v 2 + frotv = gradf v + frotv. 3 f b) Es ist grad = x und rot v 3 = rotw(x) = gradf(x) = ( ) ( ) 2 = = =. Somit ist. 7