Tutorium 1 Hydromechanik I und II

Tutorium 1 Hydromechanik I und II WS 2017/2018 15.01.2018 Prof. Dr. rer. nat. M. Koch Vorgelet von: Ehsan Farmani 1

Aufgabe 01 F ist die Normalkraft auf der Fläche A. Unter Berücksichtigung eines keilförmigen Elements vom Fluid sind die auf das Element einwirkenden Kräfte die Oberflächenkraft und die Gewichtskraft. Das Fluid ist im Gleichgewicht (ein statischer Zustand). Beweisen Sie, dass der Druck an einem beliebigen Punkt in allen Richtungen eine gleiche Magnitude hat. Hinweis: An jeder Stelle in einem statischen Fluid gibt es einen bestimmten Druck, der wie folgt definiert wird: = lim F = F A A A 2

Aufgabe 01 - Lösung = lim F = F A A A F = A F = A Die einwirkenden Kräfte: F = A ; F = A sin α ; F = A cos α Kräftregleichgewicht in x-richtung: F sin α F = A sin α A sin α = = (I) 3

Aufgabe 01 - Lösung Gewichtskraft: = g = g = γ i i h = γ = γ cos α sins α Kräftregleichgewicht in z-richtung: F cos α F = A cos α + A cos α + Division durch: c s α si s α γ cos α sins α = => cos α + cos α + cos α + γ cos α sin α = indem man das Element zu einem Punkt verkleinert, bekommt man: γ cos α sin α cos α + cos α = = (II) 4

Aufgabe 01 - Lösung analog wie x-richtung; Kräftregleichgewicht in y-richtung: = (III) Da α ein beliebiger Winkel ist und unter Berücksichtigung (I), (II) und (III): = = = d.h. Der Druck hat an einem beliebigen Punkt in allen Richtungen eine gleiche Magnitude. Schlussfolgerung: Der Druck ist skalar, nicht ein vektorielle Größe. 5

Aufgabe 02 Ein hydraulischer Wagenheber hat die angegebene Abmessung. Welche Last (F ) kann der Wagenheber tragen, wenn man eine Kraft von F = N auf den Griff des Wagenhebers ausübt. Das Gewicht des Hebers ist zu vernachlässigen. 6

Aufgabe 02 - Lösung Momentengleichgewicht um den Punkt C:, N, F = F =,, F = A = N = N = F A = D =, =,, Da der kleine Kolben im Gleichgewicht ist, ist dieser Druck im Kolben gleich dem Druck in der Flüssigkeit. Folglich ist dieser Druck gleich dem Druck im großen Kolben: = = F A F = A F = A = =,, =, N, KN 7

Aufgabe 03 Ein zylindrisches Fluidelement ist als ein Kontrollvolumen gemäß Zeichnung so isoliert, dass seine Längsachse parallel zu einer beliebigen Richtung (l-richtung) ausgerichtet ist. Die Länge des Elements ist und die Querschnittsfläche ist A. Das Element wird in einem beliebigen Winkel α zur Horizontalen geneigt. Zeigen Sie, dass der Druck sich nur mit der Höhenänderung innerhalb des Fluids ändert. Hinweis: Schreiben Sie die Kräftegleichgewicht in l-richtung unter Berücksichtigung der Druckkraft und der Schwerkraft. 8

Aufgabe 03 - Lösung Die Kräftegleichgewicht in l-richtung: F = A + A γ A sin α = + γ sin α = ; dividiert durch A = γ sin α sin α = = γ sin α Wenn gegen Null geht, stellt sich die folgende Relation (differentiell) dar: = γ = γ = γ 9

Aufgabe 04 Wie viel ist der Druck in der Tiefe von 35 m im Behälter? Hinweis: Die Dichte von Waseer in 25 C ist 997,04 kg/m³. 10

Aufgabe 04 - Lösung Die Wichte von Wasser in 25 C: γ = g =, kg/ ³, g =, Druckgleichung: = γ wenn die Dichte und ebenso die Wichte des Fluids konstant sind (d.h. Bei der Flüssigkeiten), stellt sich die sogenannte piezometrische Druckgleichung dar: + γ = + = ; dividiert durch γ ; γ Das ist die sogenannte Piezometerhöhe: + γ d.h. bei den zwei beliebigen Punkten in der Flüssigkeit: γ + = γ + 11

Aufgabe 04 - Lösung Bei der Höhe von 250 m ist der Druck 0 (der relative Druck; Luftdruck): γ + = γ + + = γ + = => γ =, =, oder Pa => =, P oder 12

Aufgabe 05 Gegeben ist ein Manometer mit zwei Behältern, die mit Wasser gefüllt sind. Im Rohr befindet sich eine Flüssigkeit mit s Öl = 0,80. Gegeben sind ebenso h 1 = 300 mm, h 2 = 200 mm und h 3 = 600 mm. Die Wichte von Wasser beträgt γ W = 10 kn/m³. Bestimmen Sie die Druckdifferenz zwischen den Pnkten A und B. 13

Aufgabe 05 - Lösung Wir wissen: P = h γ und s Flüssigkeit = γ Flüssigkeit γ W P A h 1. γ W h 2. γ Öl + h 3. γ W = P B P A P B = h 1. γ W + h 2. γ Öl - h 3. γ W und γ Öl = s Öl. γ W P A P B = h 1. γ W + h 2 S Öl γ W - h 3. γ W = γ W ( h 1 + h 2 S Öl - h 3 ) P A P B = 10000 N/m³ ( 0,3 + 0,2. 0,80-0,6 ) = 10000 N/m³. ( - 0,14 m) P A P B = - 1400 N/m 2 = - 1400 Pa 14

Aufgabe 06 Gegeben ist ein Manometer mit zwei Behältern, die mit Wasser gefüllt sind. Im Rohr befindet sich eine Flüssigkeit mit s Öl = 0,80. Gegeben sind ebenso h 1 = 300 mm, h 2 = 200 mm und h 3 = 600 mm. Die Wichte von Wasser beträgt γ W = 10 kn/m³. Bestimmen Sie die Druckdifferenz zwischen den Pnkten A und B. 15

Aufgabe 06 - Lösung Wir wissen: P = h γ und s Flüssigkeit = γ Flüssigkeit γ W P A + h 1. γ W h 2. γ Öl - h 3. γ W = P B P A P B = - h 1. γ W + h 2. γ Öl + h 3. γ W und γ Öl = s Öl. γ W P A P B = - h 1. γ W + h 2 S Öl γ W + h 3. γ W = γ W ( - h 1 + h 2 S Öl + h 3 ) P A P B = 10000 N/m³ ( - 0,3 + 0,2. 0,80 + 0,6 ) = 10000 N/m³. ( 0,46 m) P A P B = 4600 N/m 2 = 4600 Pa 16

Aufgabe 07 Das Rohr ist mit Öl gefüllt. Bestimmen Sie den Druck an A und B in Meter von Wasser. 17

Aufgabe 07 - Lösung Wir haben das Bezugsniveau so ausgewählt, dass es freie Luft am Bezugsniveau gibt. Wir wissen: P = γ. h = γ W. h W = γ Öl. h Öl und s Flüssigkeit = γ Flüssigkeit γ W h W = γ Öl γ. h Öl = S Öl. h Öl W Somit: h W, A = S Öl. h Öl, A und h W, B = S Öl. h Öl, B h W, A = 0,85. ( - 0,5 2,0 ) = -2,125 Und h W, B = 0,85. ( - 0,5 ) = -0,425 18

Aufgabe 08 Der Behälter enthält Wasser und Luft. Bestimmen Sie den Druck an den Punkten A, B, C und D. Die Wichte von Wasser ist γ W = 9806 N/m 3. 19

Aufgabe 08 - Lösung Pnkt A: P A = γ W h = 9806 N/m 3. (0,30 + 1) m = 12747,8 N/m 2 12,75 KPa Punkt B: P A - γ W h = P B P B = P A - γ W ( 1 + 0,3 + 0,3 ) P B = 12747,8 N/m 2 9806 N/m 2 (1,6) m P B = - 2941,8 N/m 2-2,94 KPa Punkt C: Im Behälter gibt es Luft von B bis C. Deshalb ist Druck im B und C gleich. P C = P B = - 2941,8 N/m 2-2,94 Kpa Punkt D: P C - γ W h = P D P D = P C - γ W ( 0,30 + 0,30 + 1 ) P D = - 2941,8 N/m 2-9806 N/m 2 (1,6) m = -18631,4 N/m 2-18,63 Kpa 20

Aufgabe 09 Klausuraufgabe SS 2015 Bei einer Temperatur von 25 C sind 200 g Luft in einem Zylinder mit einem Volumen von V zyl. = 20L eingeschlossen. (a) Wie groß ist der Druck im Zylinder? (b) Wie groß ist die Dichte der Luft? Gegeben: allgemeine Gaskonstante R=8,31 /. o 21

Aufgabe 09 - Zur Erinnerung Die algemeine Gaskonstante R ist die Unterschied der Wärmekapazität eines Gases bei gleichem Druck C P zur Wärmekapazität bei gleichem Volumen C V, bezogen auf die Stoffmenge Mol: R = C P(mol) C V(mol) [ J/mol.K] Ebenso R = N A. K B Avogadro-Konstante: N A 6,0221415. 10 23 J/K Boltzmann-Konstante: K B 1,38064852. 10-23 J/K R = 8,31 [ J/mol.K] Ebenso R = R S. M R S : spezifische (individuelle) Gaskonstante M : molare Masse ; M = = M Luft 0,029 kg/mol, M Wasser 18,01528 g/mol 0,018 kg/mol => R S,Luft = R, J/ ol.k M = = 286,55 J/K.kg, kg/ ol 22

Aufgabe 09 - Zur Erinnerung Allgemeines Gasgesetz: P = ρ R S T, ρ = P = R S T P V = V R S T P V = m R S T bzw. P V = n R T R S = R Umrechnung von Kelvin in Grad Celsius: T K = 273,15 + T C 23

Aufgabe 09 - Lösung a) P V = m R S T R S,Luft = R, J/ ol.k M = = 286,55 J/K.kg, kg/ ol V zyl. = 20L = 20. 10-3 m 3 = 0,02 m 3 T = 25 C = ( 273,15 + 25 ) K = 298,15 K P = R, S T =,. 286,55 J/K.kg. 298,15 K = 854348,825 Pa b) ρ =, =, = 10 kg/ m 3 24

Aufgabe 10 Klausuraufgabe WS 2014/2015 a) Bei welcher Temperatur in C nimmt ein Gas unter konstantem Druck das doppelte Volumen ein, wenn das Gas eine Anfangstemperatur von 15 C hat? b) Für den Fall, dass es sich bei dem Gas um Stickstoff (N2) handelt, wie groß ist seine Dichte bei dieser Temperatur unter normalen atmosphärischen Bedingungen? Gegeben: Allgemeine Gaskonstante R=8,31 /. o 25

Aufgabe 10 - Lösung a) Allgemeines Gasgesetz: P V = m R S T => P V / T = m R S => P V = P V T T P = konstant => T V = T V => T = V. T V und V = 2, V T = 15 C = 273,15 + 15 = 288,15 K => T =. T = 2. 288,15 K = 576,3 K = 303,15 C b) P V = n R T, M = => n = M => P V = M R T => R T = V => ρ = R T M N2 = 2. 14,007 = 28,014 g/mol 0,028 kg/mol Bei den normalen atmosphärischen Bedingungen: P Luft 101 300 Pa = 101,3 Kpa Pa., kg/ ol Somit: ρ T1 = = 1,184 kg/m 3, /. o., K Pa., kg/ ol ρ T2 = = 0,592 kg/m 3, /. o., K 26

Aufgabe 11 Klausuraufgabe WS 2014/2015 Ein Fluid mit einem Kompresssionsmodul K von 2000 MPa wird in einem Zylinder komprimiert. Es nimmt bei einem Druck von 10 MPa ein Volumen von 1000 cm³ ein. a) Wie hoch ist der Druck, wenn das Fluid auf ein Volumen von 995 cm³ komprimiert wird? b) Wie groß ist die Kompressibilität κ des Fluids? 27

Aufgabe 11 - Zur Erinnerung Kompressionsmodul: K = -V Δ Δ Kompressionsmodul beschreibt, welche allseitige Druckänderung nötig ist, um eine bestimmte Volumenänderung hervorzurufen (dabei darf kein Phasenübergang auftreten). Kompressibilität: κ = K Der Kehrwert des Kompressionsmoduls ist die Kompressibilität. 28

Aufgabe 11 - Lösung a) K = -V Δ Δ ΔP = - K Δ ΔV = V 1 V 0 = 955 cm 3-1000 cm 3 = -5 cm 3 ΔP = - 2000 MPa. = 10 Mpa P 1 = P 0 + ΔP P 1 = 10 Mpa + 10 Mpa = 20 Mpa b) Kompressibilität: κ = K = 1/(2000 Mpa) = 0,0005 MPa-1 = 0,5 GPa -1 29

Aufgabe 12 - Klausuraufgabe WS 2012/2013 Der bekannte Bergsteiger Reinhold Messner befindet sich mal wieder auf Himalaya Tour und mochte einen weiteren 8000-er Berg bezwingen. In einem Basiscamp in einer Höhe von etwa 7000 m kocht er sich noch einen Tee. Frage: Bei welcher Temperatur beginnt in dieser Höhe sein Wasser zu kochen? Gegeben: Formel für die Sättigungsdampfdruckkurve (Magnus-Formel) e S (T) = e 0. exp (,., + ) [hpa], T in C e 0 = 6,112 hpa R i = individuelle Gaskonstante der Luft = 289,6 /. g Hinweis: Berechnen Sie erst den isothermen (bei mittleren 0 C über die gemittelte Höhe) Standardluftdruck im Basiscamp mittels der barometrischen Höhenformel. 30

Aufgabe 12 Zur Erinerrung Der Sättigungsdampfdruck (auch Gleichgewichtsdampfdruck) eines Stoffes ist der Druck, bei dem der gasförmige Aggregatzustand sich mit dem flüssigen oder festen Aggregatzustand im Gleichgewicht befindet. Der Sättigungsdampfdruck ist von der Temperatur abhängig. Der Sättigungsdampfdruck für Wasserdampf kann mit Hilfe der Magnus- Formel berechnet werden. Über ebenen Wasseroberflächen: e S (T) = e 0. exp (,., + ) [hpa], T in C e 0 = 6,112 hpa; für -45 C < T < +60 C Über ebenen Eisoberflächen: e S (T) = e 0. exp (,., + ) [hpa], T in C e 0 = 6,112 hpa; für -65 C < T < +0,01 C In den Magnus-Formeln ist zu beachten, dass für T die Temperatur in Grad Celsius und nicht in Kelvin einzutragen ist. 31

Aufgabe 12 - Lösung Wasser kocht, wenn der Sättigungsdampfdruck e s gleich dem externen Luftdruck P in der jeweiligen Höhe h ist: e s = P(h) Die barometrische Höhenformel lautet: P(h) = P 0. exp [( g. h) / (R i.t)] R i = individuelle Gaskonstante der Luft = 289,6 /. g T = 0 C = 273,2 K, 273,2 K, g = 9,81 m/s 2 P 0 = 1013,25 hpa P(7000) = 1013. exp[ 9,81. 7000) / (289,6. 273,2) ] e s = P(7000) = 425,275 hpa 32

Aufgabe 12 - Lösung e S (T) = e 0. exp ( e 0 = 6,112 hpa,., + ) [hpa], T in C 425,275 = 6,112. exp ( 425,275 / 6,112 = exp ( 69,58 = exp ( Iteration:,., + ),. ), +,., + ),. Annahme: T = 80 C => exp ( ) = 78,45, +,. T = 60 C => exp ( ) = 32,71, +,. T = 75 C => exp ( ) = 63,70, +,. T = 77,1 C => exp ( ) = 69,57 69,58, + => T = 77,1 C 33

Aufgabe 13 - Klausuraufgabe WS 2011/2012 In einem vertikalen Glaszylinder stehen 900 ml Wasser bei 20 C 90 cm hoch. Dann wird der Zylinder und das Wasser auf 80 C erhitzt. Wie hoch steht dann das Wasser im Zylinder? Gegeben: thermischer (linearer) Ausdehnungskoeffizient von Glas: α = 3,5. 10-6 / C; von Wasser: γ = 0.21. 10-3 / C. 34

Aufgabe 13 - Lösung Lä ge ausdeh u gskoeffizie t α, Rau ausdeh u gskoeffizie t γ Grundfläche des Zylinders bei 20 C: A = V h =. = 0,001 m. 2 Radius des Zylinders bei 20 C: R 20 = ( A )0,5 = 0,01784 m Radius des Zylinders bei 80 C: R 80 = r 20. ( 1 + α T = 0.01784. ( 1 + 3,5. 10-6. 60 ) = 0,01784375 Fläche des Zylinders bei 80 C: A 80 =.r 80 2 =. 0.01784375 ) 2 = 0,001000281 m 2 Volumen des Wassers bei 80 C: V 80 = V 20. ( 1 + γ T ) =.. ( 1 + 0.21. 10-3. 60 ) = 0,00091134 m 3 Standhöhe bei 80 C: h 80 = V A = 0,00091134 / 0,001000281 = 0.911084 m 35

Aufgabe 14 Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Scheitelpunkt in der freien Oberfläche einer Flüssigkeit. Bestimmen Sie die Kraft auf einer Seite durch Integration. 36

Aufgabe 14 - Lösung da = x. dy Wir wissen: P = F A => F = P. A df = P. da und P = γ. y df = γ. y. x. dy Die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke: = => x =. Y h h F = F = γ. h F = γ. h γ. y. h. y. dy y dy [ h ] h F = ⅓. γ.. h 2 37

Aufgabe 15 Gegeben ist ein Behälter gemäß Zeichnung mit konstanter Breite b. Der hydrostatische Druck wirkt stets aus der Flüssigkeit senkrecht auf das betrachtete seitliche Wandelement. Die Wichte der Flüssigkeit beträgt γ. a) Bestimmen Sie das wirkende Moment M OO auf das seitliche Wandebene. b) Wie ändert sich die hydrostatische Druckkraft bei einer Höhenzunahme um 20 Prozent und gleichzeitig einer Reduktion der Breite um 20 Prozent. 38

Aufgabe 15 - Lösung a) P O = γ h F = ½. γ h. h. b = ½ γ h 2 b M OO = F x r = (½ γ h 2 b) x (h/3) => M OO = (1/6) γ h 3 b b) Die Druckkraft ist proportional zu der Breite, der Wichte und dem Quadrat der Höhe: F = ½ γ h 2 b Hinweis: F = V Prisma h 2 = 100 % h 1 + 20 % h 1 = 120 % h 1 = 1,2 h 1 b 2 = 100 % b 1 20 % b 1 = 80 % b 1 = 0,8 b 1 F 2 / F 1 = ( b 2 / b 1 ). ( h 2 / h 1 ) 2 = ( 0,8 b 1 / b1 ). ( 1,2 h 1 / h 1 ) 2 F 2 / F 1 = 0,8. 1,44 = 1,152 F 2 = 1,152 F 1 39

Aufgabe 16 Gegeben ist ein Behälter gemäß Zeichnung mit konstanter Breite b, der mit der Flüssigkeit gefüllt ist. Der hydrostatische Druck wirkt stets aus der Flüssigkeit senkrecht auf das betrachtete seitliche Wandelement ABCD. Die Wichte der Flüssigkeit beträgt γ. Bestimmen Sie die wirkende hydrostatische Kraft auf das seitliche Wandebene ABCD. 40

Aufgabe 16 - Lösung P A = γ h 1 P D = γ h 2 F = ½. ( γ h 1 + γ h 2 ). h 2. b => F = ½. γ(h 2 + h 1 ). h 2. b 41

Aufgabe 17 Gegeben ist ein Behälter gemäß Zeichnung mit konstanter Breite b = 1m. Die Wichte der Flüssigkeit beträgt γ = 10 kn/m 3. Bestimmen Sie Moment M A im Fußpunkt A. 42

Aufgabe 17 - Lösung Lösungsweg 1: Druck senkrecht zur gedrückten Fläche P A = γ h F = ½ γ h. ( h/sin α) b M A = F x r = ½ γ h. ( h/sin α). ⅓ h/si α) M A = ½. 10 kn/m 3.,, /si.. ⅓., /si M A = 142,917 kn.m 43

Aufgabe 17 - Lösung Lösungsweg 2: Aufteilung in horizontale und vertikale Komponenten P A = γ h F H = ½ γ h. h H. b = ½. 10 kn/m 3. 3,50 m. 3,50 m. 1 m = 61.25 kn h V = h H. tan (45) = h H. 1 = 3,50 m F V = ½ γ h. h V. b = ½. 10 kn/m 3. 3,50 m. 3,50 m. 1 m = 61.25 kn a H = ⅓ h H, a V = ⅓ h V M = F H a H + F V a V = ⅓ F H h H + ⅓ F V h V = ⅓ F H h H + F V h V ) M = ⅓ 61,25 kn. 3,50 m + 61,25 kn. 3,50 m ) = ⅔ 61,25 kn. 3,50 m = 142,917 kn.m 44

Aufgabe 17 - Lösung Lösungsweg 3: Axiales Flächenträgheitsmoment z S = ½. h = ½. 3,50 m = 1,750 m, A = ( h/sin α) b = ( 3,50/sin45) m. 1 m = 4,950 m 2 P = γ h F W = ½ γ h. ( h/sin α) b = ½. 10 kn/m 3. 3,50 m. ( 3,50/sin45) m. 1 m = 86,621 kn. h/si α., /si I S, = = = 10,106 m 4 r S = z S =, = 2,475 m i α i e = I S,, = A r S,., = 0,825 m, M = F W a = 86,621 kn. 1,65 m = 142,9 kn.m a = ( h/2.sin α) e = ( 3,50/2.sin45) - 0,825 = 1,65 m 45

Aufgabe 18 Gegeben ist eine rechteckige Platte mit einer Drehangel am oberen Ende. Um Wasser vom linken ins rechte Becken einleiten zu können, muss die Platte über einen Motor gegen den Wasserdruck gehoben werden. Die Betreiber der Anlage haben von einem Motorhersteller Kräfteangaben in kn für verschiedene Motortypen erhalten, mit denen die Platte entgegen des Wasserdrucks gehoben werden kann. Ihre Aufgabe ist es die nötige Motorkraft (F Motor ) zu berechnen, die am Ende der Platte überschritten werden muss, damit sich die Platte entgegen des Wasserdrucks heben lässt. Gegeben: Fläche der Platte = Breite x Lange = 3 m x 4 m; α = 50 ; h 1 = 8 m, Das Gewicht der Platte ist zu vernachlässigen. 46

Aufgabe 18 - Lösung 47

Aufgabe 18 - Lösung Position des Schwerpunkt; vertikaler Abstand von Wasseroberfläche: Z = h (4/2). sin α = 8 2 sin(50) = 6,468 m Position des Schwerpunkt: Z s = (h/sinα) = (8/sin50) = 8,44 m Kraft F auf Platte: P = F A P = γ W. Z s => F = γ W. Z s. A P = 9810. 6,468. ( 3. 4 ) 761413 N 48

Aufgabe 18 - Lösung Position des Druckmittelpunks: Z d = Z s + A. Z s.a A. Z s ist Ausmittigkeit. I = = 16 m4, A P = a b = 4. 3 =12 m 2 => Z d = Z s + A P. Z = 8,44 + = 8,6 m s.,. = I 1-1 = I 2-2 =.a. 49

Aufgabe 18 - Lösung Position des Motordrehpunkts: h si α h si α si sin α = => k = si α = si 50 Momentengleichgewicht am Motor: F x (Z d k) - F motor x a = 0 761413 N. ( 8,6-6,4433 ) m F motor. 4 m = 0 F motor = 410535 N 410,5 kn = 6,4433 m 50

Vielen Dank für Ihre Aufmersamkeit 51