Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Prais Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap = Die Verfasser: Kurt Bohner Oberstudienrat Dipl.-Phys. Dr. Peter Ihlenburg Oberstudienrat Roland Ott Oberstudienrat Fast alle in diesem Buch erwähnten Hard- und Softwarebezeichnungen sind eingetragene Warenzeichen. Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 5a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. * * * * * 9. Auflage 016 009 by MERKUR VERLAG RINTELN Gesamtherstellung: MERKUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. KG, 31735 Rinteln E-Mail: info@merkur-verlag.de lehrer-service@merkur-verlag.de Internet: www.merkur-verlag.de ISBN 978-3-810-0495-4
Prüfungsvorbereitung Informationen zur Prüfung der Fachschulreife an Berufsfachschulen und Berufsaufbauschulen 1. Prüfungsdauer: 10 Minuten. Anzahl der dem Schüler vorgelegten Aufgaben: 3 3. Auswahl: Lehrer/-in wählt aus 5 Aufgaben 3 aus. Alle Schüler/-innen bearbeiten folglich 3 Aufgaben. 4. Punkteverteilung: Jede Aufgabe enthält die gleiche maimal zu erreichende Punktzahl (je 0 Punkte). 5. Inhalt: Alle Lehrplaninhalte, z. B. Terme, Gleichungen, Sprache, Anwendung, Geometrie, Geraden und Parabeln können in unterschiedlichen Anteilen in allen Aufgaben vorkommen. Den Schülern und Schülerinnen wird eine vom Kultusministerium zusammengestellte Formelsammlung zur Verfügung gestellt. Hilfsmittel: ein nichtgrafikfähiger Taschenrechner. Gliederung des Buches Das vorliegende Prüfungsvorbereitungsbuch gliedert sich in Teile. 1. Hauptprüfung zur Fachschulreife ab 010. Zusatzaufgaben für BAS ab 010 5
Prüfung zur Fachschulreife 010 Hauptprüfung 010 Aufgabe 1 Punkte A. Die folgenden Gleichungen gehören zu den Abbildungen 1 bis 3: (I) y = 6 + (II) y = 3 + 6 3 (III) y = 4 + 1 y 5 4 3 1 1 1 3 4 5 1 3 Abb. 1 1. Geben Sie an, zu welchem Schaubild die jeweilige Gleichung gehört und begründen Sie Ihre Antwort durch Angabe einer Eigenschaft. 3. Eine Parabel p hat die Gleichung y = 6 +. Berechnen Sie ihre Schnittpunkte mit der -Achse. 3 3. Welche der Parabeln wird von der Geraden g mit y = 6 geschnitten? Begründen Sie ohne weitere Rechnung. 1 B. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem: 5 3 4 y = 1 4 + 6y = 1 4 C. Die Punkte A( 1), B(4 1) und C(4 4) bilden ein Dreieck im Koordinatensystem. Abb. Abb. 3 y 3 1 4 3 1 1 1 3 4 5 6 1. Fertigen Sie ein Schaubild an (1LE = 1 cm). 1. Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks. 3. Berechnen Sie alle Innenwinkel des Dreiecks. 3 D. Lösen Sie die Gleichung nach b auf: 4a + b : c 8 = 8 3 0 y 7 6 5 4 3 1 4 3 1 1 1 3 6
Aufgabe Punkte A. Ihr alter Kühlschrank ist defekt. Die Reparatur soll 00 kosten. Die Stromkosten für das alte Gerät betragen pro Jahr 65. Ein neuer Kühlschrank kostet 400 und verursacht jährliche Stromkosten von 5. 1. Stellen Sie die Gleichungen für die Kosten für das alte zu reparierende Gerät und für das neue Gerät auf (y in und in Jahren). 3. Zeichnen Sie die zugehörigen Schaubilder in ein Koordinatensystem. (1 Jahr 1 cm; 100 1 cm) 3 3. Nach wie viel Jahren sind die Kosten in beiden Fällen gleich hoch? 1 B. Gegeben sind die Parabel p und die Gerade g durch die Gleichungen: p: y = ( 3 ) 1 g: y = 3 1. Stellen Sie rechnerisch fest, ob die Parabel p von der Geraden g geschnitten wird. Bestimmen Sie gegebenenfalls die Koordinaten der Schnittpunkte auf zwei Stellen nach dem Komma. 5. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Parabel p mit der y-achse. 1 C. Aus den Daten des Fahrtenschreibers eines Lastwagens ergibt sich nebenstehendes Schaubild. Machen Sie Aussagen über die y Geschwindigkeit in km/h 60 40 0 Zeit in s Höhe der Geschwindigkeit in 0 0 40 60 80 100 den ersten 80 Sekunden. 3 D. Um einen Baumstamm von 80 cm Durchmesser soll eine kreisringförmige Gartenbank mit einer Sitzfläche aus Holz gebaut werden. Der äußere Durchmesser der Bank beträgt 1,80 m. Zwischen Baum und Bankinnenkante soll ein Zwischenraum von 5 cm freigelassen werden. Fertigen Sie eine Skizze an und berechnen Sie die Kosten für die Sitzfläche, wenn 1 m Holz 8 kostet. 4 0 7
Aufgabe 3 Punkte A. Die Gerade g verläuft im Koordinatensystem durch die Punkte P( 6) und Q(3 9). 1. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g rechnerisch. 3. Die Gerade h verläuft parallel zu g und durch R(0 3). Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden h. B. Ein Würfel hat die Kantenlänge a = 8 cm. Der Würfel wird entlang der schraffierten Fläche durchgeschnitten. a 1. Berechnen Sie den Umfang und den Flächeninhalt der schraffierten Fläche. 4. Wie groß ist der Winkel, den die Raumdiagonale mit der Flächendiagonalen einschließt? 3 a a _ 1( y ) C. Vereinfachen Sie folgenden Term: 8( 3 y ) D. Bernd und Sabine sind jetzt zusammen 30 Jahre alt. Vor 6 Jahren war Sabine doppelt so alt wie Bernd. 1. Welche der folgenden Gleichungen können zur Berechnung des aktuellen Alters benutzt werden? (I) y = 4 (II) + y = 30 (III) y = + 30 (IV) 6 = y 6 (V) ( 6) = y 6. Lösen Sie das zugehörige Gleichungssystem und geben Sie an, wie alt Bernd und Sabine jetzt sind. 4 0 8
Aufgabe 4 Punkte A. Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung y = 1_ + 1. Von der Geraden h ist die folgende unvollständige Wertetabelle bekannt. 1 0 1 4 y 6 4 1. Zeichnen Sie die Geraden g und h in ein Koordinatensystem (1 LE = 1 cm). Übertragen und vervollständigen Sie die Tabelle. 3. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden h. 3. Zeigen Sie rechnerisch, dass sich die Geraden g und h im Punkt S( 0) schneiden. 4. Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks, das aus den beiden Geraden und der y-achse gebildet wird. 3 B. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die längere Kathete um 4 cm größer als die kleinere Kathete und um 4 cm kleiner als die Hypotenuse. Berechnen Sie die Seitenlängen des rechtwinkligen Dreiecks. Machen Sie zunächst eine Skizze. 6 C. Auf einem Würfel mit der Kantenlänge a = 6 cm wird auf jede Seitenfläche eine Pyramide geklebt. Die Seitenflächen des Würfels und die Grundflächen der Pyramiden sind deckungsgleich. Für die Höhe der Pyramiden gilt: h = a. Das Gesamtvolumen der zusammengesetzten Figur beträgt 648 cm 3 und kann mit einer der folgenden Formeln berechnet werden. I) V g = 18 a II) V g = a 3 + 6 a 3 III) V g = 1_ 3 a 3 + a 3 IV) V g = 3 a 3 Welche Formel ist hier richtig und warum? 4 0 9
Aufgabe 5 Punkte A. Die Scheitelpunkte der beiden Parabeln liegen im Koordinatensystem punktsymmetrisch zum Ursprung. 1. Zeichnen Sie entsprechend die Koordinatenachsen in das Schaubild ein. 1. Wie heißen die Koordinaten der Scheitelpunkte? 1 3. Berechnen Sie den Abstand 1 Kästchen = 1 LE der Scheitelpunkte. B. Gegeben ist die Gleichung: ( + 3) + ( + 5)( 3) = ( 5)( + 3) 1. Lösen Sie die Gleichung. 5. Machen Sie die Probe. C. Die Mantelfläche einer Pyramide besteht aus 4 gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge a = 6 cm. 1. Wie groß ist die Mantelfläche der Pyramide? 3. Berechnen Sie die Höhe h der Pyramide. 3 D. Vereinfachen Sie den Term soweit wie möglich. _ _ 8 y 4 18 y 3 4y 3 9 y + _ 144 y 7 36 y 5 3 0 10
Berufsaufbauschule (BAS) gewerblich-technische Richtung Zusatzaufgabe Punkte A. Die Gemeinde Astadt verfügt über einen Hochwasserbehälter, der aus einem zylindrischen Teil mit aufgesetztem Kegel besteht. Der Zylinder steht auf 4 Stützen, deren Fußpunkte die Eckpunkte eines Quadrates bilden. Vorderansicht 80 1,00 m 5,50 m Draufsicht a 10,00 m 1. Welches Volumen fasst der Behälter, wenn der Zylinder 5,50 m hoch ist und der Kegel halb so hoch wie der Zylinder ist? 3. Berechnen Sie den Abstand und die Seitenlänge a des Quadrats. 4 3. In Bestadt steht ein ähnlicher Behälter. Wenn der zylindrische Teil dieses Behälters zu 5 7 gefüllt ist, enthält er 15 % weniger Wasser als der zylindrische Teil des Behälters von Astadt. Welchen Durchmesser hat der Behälter von Bestadt, wenn die Zylinder gleich hoch sind? Falls A 1. nicht gelöst wurde, rechnen Sie mit 400 m 3 Zylindervolumen von Astadt. 4 B. Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Gleichung: _ 1 = 1 4 15 11
Lösungsvorschlag Aufgabe 1 A. 1. Abb. 1: Parabel III mit y = 4 + 1 Begündung: Schnittpunkt mit der y-achse: S y (0 1) Oder: Es handelt sich um eine verschobene Normalparabel (a = 1). Abb. : Parabel II mit y = 3 + 6 3 Begründung: Schnittpunkt mit der y-achse: S y (0 3) Oder: Die Parabel ist enger (a = 3 > 1) als die Normalparabel, bzw. es handelt sich um eine in y-richtung gestreckte Parabel. Abb. 3: Parabel I mit y = 6 + Begründung: Schnittpunkt mit der y-achse: S y (0 ) Oder: Die Parabel ist nach unten geöffnet (a = < 0).. Schnittpunkte mit der -Achse Bedingung: y = 0 6 + = 0 _ 6 _ ± 36 4 ( ) _ 6 ± 5 Lösung mit der a,b,c-formel: 1 = ( ) = 4 6 + 5 6 5 Lösungen: 1 = 4 3,3; = 4 0,3 Schnittpunkte mit der -Achse: N 1 ( 3,3 0); N (0,3 0) 3. Die Gerade g schneidet die Parabel in Abb. 3, d. h. die Parabel mit der Gleichung (I). Bei den Parabeln mit den Gleichungen (II) und (III) verläuft die Gerade g unterhalb der Scheitelpunkte. Dies kann man erkennen, wenn man die Gerade g in die Abbildungen einzeichnet. B. LGS auflösen mit dem 5 3 4 y = 1 0 Additionsverfahren: 4 + 6y = 1 _ 8 15y = 40 4 + 6y = 1 ( ) 8 15y = 40 8 1y = 4 Eine Gleichung in y: 7y = 16 y = 8 + _ 1
Lösungsvorschlag Aufgabe 1 B. Einsetzen von y = 8 in eine der Gleichungen z. B. 4 + 6y = 1: 4 + 6 ( 8) = 1 Nach auflösen: = 15 Lösung des LGS: = 15; y = 8 C. 1. Schaubild. AB _ = 6 _ BC = 5 Berechnung von _ AC (Satz des Pythagoras) _ AC _ = AB _ + BC = 6 + 5 = 61 AC = 61 7,81 u = 6 + 5 + 7,81 = 18,81 Der Umfang beträgt 18,81 LE. 3. tan α = 5 6 ergibt α = 39,8 β = 90 γ = 180 90 α = 90 α = 50, y 5 4 3 1 γ C α 1 1 3 β4 5 1 A B D. Gleichung: 4a + b : c 8 = 8 b : c 8 entspricht b 8 b c 4a + 8 c = 8 Vereinfachen: 4a + 4b c = 8 c Nach b auflösen: 4ac + 4b = 8c : 4 ac + b = c ac b = c ac 13
Prüfung zur Fachschulreife 010 Aufgabe A. 1. Kosten für das alte zu reparierende Lösungsvorschlag 700 600 k 500 Gerät: y = 65 + 00 (h) 400 Kosten für das neue Gerät: y = 5 + 400 (k) 300 00 100 in Jahren. Schaubilder 0 1 3 4 5 6 7 8 3. Nach 5 Jahren sind die Kosten in beiden Fällen gleich hoch. Die Geraden schneiden sich in = 5. B. 1. Schnittpunkte von p und g Bedingung: Gleichsetzen ( 3 ) 1 = 3 Binom ausmultiplizieren: 6 + 9 1= 3 Nullform: 7 + 11 = 0 (*) Bedingung für Schneiden: D = b 4ac 0 Mit a = 1, b = 7 und c = 11: D = ( 7 ) 4 1 11 = 49 44 = 5 > 0 p und g schneiden sich. Lösungen der Gleichung (*) 7 ± 5 1 = Lösungen (Schnittstellen): 1 = 7 + 5 _ 7 5 4,6; =,38 Durch Einsetzen der -Werte in eine der Ausgangsgleichungen erhält man die zugehörigen y-werte: y 1 = 1 3 = 4,6 3 = 1,6; y = 0,6 Schnittpunkte von p und g: S 1 (4,6 1,6); S (,38 0,6). Schnittpunkt von p mit der y-achse Bedingung: = 0 y = (0 3 ) 1 = 9 1 = 8 Schnittpunkt: S y (0 8) C. Bis zur 40. Sekunde wird die Geschwindigkeit gleichmäßig von 0 auf 60 km/h erhöht (beschleunigen). Von der 40. bis zur 70. Sekunde ist die Geschwindigkeit konstant 60 km/h. Von der 70. bis zur 80. Sekunde wird die Geschwindigkeit gleichmäßig von 60 km/h auf 40 km/h verringert (abbremsen). D. Radien in m: r 1 = 0,9; r = 0,4 + 0,05 = 0,45 Kreisring: A = π r 1 π r = π 0, 9 π 0,4 5 = 1, 91 Der Kreisring hat eine Fläche von 1,91 m. Kosten für die Sitzfläche: K = 1,91 m 8 _ m = 15,8 y y in Baum Bank h r 1 r 14
Lösungsvorschlag Aufgabe 3 A. 1. Gerade g durch P( 6) und Q(3 9) Steigung: m = y y 1 _ 9 ( 6) 1 m = 3 ( ) = 15 5 = 3 Hauptform: y = m + b y = 3 + b Punktprobe mit Q(3 9): 9 = 3 3 + b => b = 0 Geradengleichung von g:. g und h sind parallel, d. h. sie haben die gleiche Steigung: m h = m g = 3 Gleichung von h: h verläuft durch R(0 3). Der y-achsenabschnitt von h ist b = 3. y = 3 (Ursprungsgerade) y = 3 + b Gleichung von h: y = 3 3 B. 1. e = a + a = a e = a (siehe auch Formelsammlung) Umfang u u = a + e = a + a Einsetzen der Werte u = 8 + 8 38,63 e a Der Umfang beträgt 38,63 cm. A = a e = a a = 8 8 = 64 90,51 α a e a Der Flächeninhalt beträgt 90,51 cm.. tan α = a_ e = a a = _ 1 0,707 α 35,6 α Raumdiagonale e a 15
Lösungsvorschlag Aufgabe 3 _ 1( y ) 1 _ ( y ) C. 8( 3 y = ) 8 ( y ) = 3 D. 1. Bernd ist jetzt Jahre alt und Sabine ist jetzt y Jahre alt. Bernd und Sabine sind jetzt zusammen 30 Jahre alt. + y = 30 Alter vor 6 Jahren Sabine: y 6 Bernd: 6 Sabine ist doppelt so alt wie Bernd, somit ist der Wert des Terms (y 6) doppelt so groß wie der Wert des Terms ( 6). Um eine Gleichung aufzustellen, muss man den kleineren Wert ( 6) mit multiplizieren, um den größeren Wert (y 6) zu erhalten. Gleichung: ( 6) = y 6 Antwort: Die Gleichungen (II) und (V) können zur Berechnung des aktuellen Alters benutzt werden.. Gleichungssystem: + y = 30 ( 6) = y 6 + y = 30 Ausmultiplizieren: 1 = y 6 y + 1 + y = 30 Variablen auf eine Seite bringen: y = 6 + 3 = 36 = 1 Einsetzen von = 1 in eine der Gleichungen z. B. + y = 30 ergibt: 1 + y = 30 y = 18 Antwort: Bernd ist jetzt 1 und Sabine ist jetzt 18 Jahre alt. 16
Aufgabe 4 Lösungsvorschlag A. 1. Die Gerade h verläuft durch die gegebenen Punkte P 1 ( 1 6) und P (4 4) (siehe Wertetabelle). Aus der Zeichnung: 1 0 1 4 y 6 4 4. Geradengleichung: y = m + b Mithilfe des Steigungsdreiecks erhält man: 1 1 1 3 4 10 5 m = 10 5 = 3 Punktprobe mit P (4 4) ergibt: 4 = 4 + b 4 4 = b 5 P 1 Einsetzen von m = und b = 4 6 5 in y = m + b ergibt y = 4. Ergebnis: Die Gleichung der Geraden h lautet y = 4. g y 4 3 1 h P 3. Punktprobe mit S( 0) in g: 0 = 1 + 1 wahr in h: 0 = 4 wahr Ergebnis: Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt S( 0). 4. Berechnung der Innenwinkel des Dreiecks tan α = 1 ergibt α = 63,43 tan β = _ 4 ergibt β = 6,57 γ = 180 (α + β) = 90 Ergebnis: Die Innenwinkel des Dreiecks betragen 63,43, 6,57 und 90. y 1 1 LE 1 4 LE α LE 1 γ 3 β 4 17
Aufgabe 4 Lösungsvorschlag B. Skizze: längere Kathete kürzere Kathete ( 4) Hypotenuse ( + 4) Mit dem Satz des Pythagoras erhält man: ( 4) + = ( + 4) Ausmultiplizieren und zusammenfassen: 8 + 16 + = + 8 +16 16 = 0 Ausklammern: ( 16) = 0 Satz vom Nullprodukt: = 0 oder = 16 Lösung: ( = 0 ist unbrauchbar) = 16 Ergebnis: Die längere Kathete ist 16 cm, die kürzere Kathete ist 1 cm und die Hypotenuse ist 0 cm lang. C. Das Volumen des Würfels mit der Kantenlänge a beträgt: V = a 3 Das Volumen einer Pyramide berechnet sich aus: V = 1 3 G h Mit der Grundfläche G = a und der Höhe h = a erhält man: V = 1_ 3 a a = 1 3 a 3 Das Gesamtvolumen (Würfel + 6 Pyramiden auf 6 Seiten) beträgt: V g = a 3 + 6 1_ 3 a 3 V g = 3 a 3 Ergebnis: Die Formel IV) ist richtig. 18
Aufgabe 5 A. 1. Zeichnung Lösungsvorschlag S 1 y 7 6 5 4 3 1. Die Koordinaten der Scheitelpunkte liest man aus dem Schaubild ab. S 1 ( 3 4); S (3 4) 3. Mit dem Satz des Pythagoras erhält man: d = 8 + 6 d = 8 + 6 = 100 d = 10 Ergebnis: Der Abstand der Scheitelpunkte beträgt 10 LE. B. 1. Gleichung: ( + 3) + ( + 5)( 3) = ( 5)( + 3) Ausmultiplizieren + 6 + 9 + + 15 = 15 Nullform: + 10 + 9 = 0 7 6 5 4 3 1 1 1 3 4 5 6 7 8 3 4 5 S 6 7 _ b ± b Lösung mit der a,b,c-formel: 1 = 4 a c a 1 = _ 10 ± 100 4 1 9 _ 10 ± 8 = Die Gleichung hat zwei Lösungen: 1 = 1; = 9 8 S 1 6 d S. Probe mit 1 = 1: + 4 ( 4) = ( 6) 4 16 = 1 w. A. Probe mit = 9: ( 6) + ( 4) ( 1) = ( 14) ( 6) 36 + 48 = 84 w. A. 19