(4) Mathematik der Farben Vorlesng CV-Integration S. Müller Draft Diese Folien enthalten neröffentlichte Ergebnisse nd sind daher bitte nr für den internen Gebrach z erwenden. Seziell die Zahlenwerte sind teilweise noch nicht gegengerechnet! KOBENZ ANDAU
Motiation Die hotometrischen Grndlagen sind qasi schwarzweiß In der rais rechnen wir mit rgb In der hotorealistischen Comtergrahik geben wir ns sehr iel Mühe, icht z simlieren, möglichst hysikalisch gena. Es ist überraschend, dass die Berücksichtigng der Farbe eine so ntergeordnete Rolle sielt, zmal sie in Bezg af die Simlationstree nd die iselle Wahrnehmng mindestens genaso wichtig ist. KOBENZ ANDAU S. Müller - 2 -
Bilder, denen wir ertraen können KOBENZ ANDAU S. Müller - 3 -
Von der Seite KOBENZ ANDAU S. Müller - 4 -
2 Fragestellngen M Kamera RGB XYZ 1 M Monitor hotometrisch nd farbmetrisch konsistente Simlation RGB Asgabe nd Eingabe KOBENZ ANDAU Das Qietscheentchenroblem S. Müller - 5 -
Farbe Farbe ist letztendlich eine Emfindng nd als Begriff misserständlich. Es gibt keine Farbe ohne einen Betrachter. Die farbmetrischen Grndbegriffe sind klar definiert (DIN 5033, eil 1). Das roblem: sie erbergen die dahinterliegenden mathematischen rinziien nd sie fnktionieren für die Bildbearbeitng ( Normlicht, Betrachte Bild mit D50-ame, erzege gleichen Farbeindrck af dem Monitor, so dass der Asdrck af einer itfaßsäle wieder den gleichen Farbeindrck erzegt). Für die CG nicht brachbar, da wir beliebige ichtqellensektren haben können. Zgang hier: die Mathematik KOBENZ ANDAU S. Müller - 6 -
Grndsätzliches KOBENZ ANDAU S. Müller - 7 -
Motiation: Räme y O' O Der gezeigte feil skizziert einen 1D Ram als die Menge aller nkte, die af der in beide Richtngen erlängerten Geraden liegen. Ist ein Ursrng nd eine ängeneinheit gegeben, kann jeder nkt drch eine Koordinate (ein Skalar) räzise angegeben werden. KOBENZ ANDAU O Beide 2D-Koordinatensysteme sannen den gleichen Ram af (hier die Ebene des Bildschirms/aiers). Obwohl der nkt in jedem Koordinatensystem andere Koordinaten hat, beschreiben diese den gleichen nkt in diesem Ram. Mit Hilfe affiner ransformationen können wir die Koordinaten on einem System in das andere mrechnen. S. Müller - 8 -
Motiation: Räme e 2 1 2 3 1 2 3 O O e 1 2 3 3 e 1 Das gleiche gilt ach für den 3D-Ram, wobei nser ieblings -Koord.system as drei senkrecht afeinander stehende Einheitsektoren besteht. Dies wäre eine andere Art der Darstellng für ein 3-er el (, y, z) In dieser Darstellng ist die Erweiterng m weitere Dimensionen sehr einfach. Frage: Was ist hier die Bedetng der ängenheit zwischen den Werten? e KOBENZ ANDAU S. Müller - 9 -
Motiation: n-dim. Räme f ( λ) 1 0 360 830 KOBENZ ANDAU λ[ nm] Erweitert man das ganze af nendlich iele Dimensionen, so erhält man eine Fnktion. Diskrete Räme (z.b. r, b, g) sind qasi nr eine Untermenge on Fnktionen (z.b. sektrale Fnktionen) nd mathematisch sehr ähnlich z behandeln S. Müller - 10 -
Skalarrodkt (für Vektoren) Bislang kennen wir das Skalarrodkt für Vektoren, bei dem das rodkt der jeweiligen Koordinaten afaddiert wird. o n i1 i Das Skalarrodkt bestimmt ns ach den Winkel zwischen zwei Vektoren o KOBENZ ANDAU i cosα Noch wichtiger ist: das Skalarrodkt berechnet ns drch die senkrechte rojektion eine Koordinate in einer Basis Denn cosα α Eingesetzt: o 1 o bzw. (falls ) S. Müller - 11 -
Skalarrodkt (für Vektoren) y Drch das Skalarrodkt erreichen wir eine Abbildng in diesem Beisiel on dem 2D Ram af den 1D Ram der Geraden. sannt dabei den Bildram af (mit Dimension 1). Alle nkte, die af der gestrichelten inie liegen, werden af abgebildet. y sannt dabei den Kern der Abbildng af, ach Nllram genannt (hier ebenfalls mit Dimension 1). KOBENZ ANDAU α Eine ollständige Rekonstrktion des nkte erreichen wir nr, wenn die Dimensionen des Originalrams nd des Bildrams identisch sind, also kein Nllram eistiert. S. Müller - 12 -
y Skalarrodkt (für Vektoren) Das Beisiel zeigt 2 nterschiedliche, orthonormale Basen mit gleichem Ursng des gleichen Rams Wir gehen daon as, dass die Vektoren nd (z.b. Kamerakoordinatensystem) in dem y-system (z.b. Weltkoordinatensystem) gegeben sind. y ; y O Für einen Vektor y in Weltkoordinaten können wir die -Koordinaten berechnen drch o ; y o y KOBENZ ANDAU S. Müller - 13 -
Koord.ransformation Definieren wir ns eine 22 Matri M as den beiden Basisektoren nd, ( ) y y, M O y KOBENZ ANDAU so können wir die Koordinatentransformation ach so schreiben Umgekehrt erhalten wir y drch inearkombination der -Koordinaten mit den Basisektoren nd S. Müller - 14 - y y o o M y y y y y + + + M
Skalarrodkt 1 1 o 1 2 λ λ ma ( λ) ( λ) 1 min 2 dλ 0 360 830 Eigentlich ist das Skalarrodkt allgemeiner nd für Fnktionen definiert. Vorstellng: hier wird ebenfalls das rodkt der jeweiligen Werte afaddiert KOBENZ ANDAU 2 λ[ nm] Das Resltat ist ein Skalar die Koordinate in der jeweiligen Basis (hier: echtdichte drch rojektion af V(λ)) Konkret: es entsricht der Fläche nter der resltierenden Kre (rodkt der beiden Kren) S. Müller - 15 -
Skalarrodkt (ne) l l 2,1 2, 2 l 2,3 l 2,n l 1,2 l1,3 l 1, n O l 1,1 λ 5nm 380 385 390 830 KOBENZ ANDAU λ[ nm] Im diskreten Fall ersetzt ein n-dim. Vektor die Fnktion Das Skalarrodkt berechnet sich mit: n 1o 2 l1, i l2, (!) i 1 i λ O e 1 1 2 3 Das bisher gelernte Skalarrodkt ist also nr ein Sonderfall Eine geschickte ösng ist, für diesen Sonderfall die Achsen afsteigend z nmmerieren. n n 1o 2 l1, i l2, i i 1 e S. Müller - 16 -
Die Mathematik der Farbe KOBENZ ANDAU S. Müller - 17 -
Sektrale Fnktionen Ohne Beschränkng der Allgemeinheit betrachten wir die Strahldichte (λ) Formal bildet die Menge aller sektralen Fnktionen on λ min bis λ ma einen Hilbertram, den Ram der sektralen Fnktionen: ein nendlich-dimensionaler Vektorram (den brachen wir, da es m Fnktionen geht), für den ein Skalarrodkt definiert ist (das brachen wir, für eine ransformation on nd in diesen Ram). Das Skalarrodkt zwischen zwei sektralen Fnktionen 1 (λ) nd 2 (λ) liefert eine reelle Zahl KOBENZ ANDAU o 1 2 λ λ ma ( λ) ( λ) 1 min 2 dλ S. Müller - 18 -
Sektralram nd Sektren In der rais sielt dieser Ram keine Rolle. Die Werte liegen als diskrete Werte or, wobei der sichtbare Wellenlängenbereich drch n äqidistante nkte im Abstand λ diskretisiert wird. Dies ist ein n-dimensionaler Unterram des Hilbertrams (Sektralram). Die n-dimensionalern Vektoren nennen wir Sektren. As dem Skalarrodkt wird n o 1 2 1, i 2, i λ i 1 KOBENZ ANDAU S. Müller - 19 -
Farbram nd Normfarbram Wichtig sind noch 3-dimensionale Unterräme, die z.b. drch die drei Sensorantwortkren einer Kamera festgelegt werden (allgemein: Farbram). Besonders wichtig ist der Normfarbram, der drch die Normsektralwertfnktionen der CIE festgelegt ist, wobei der Normfarbram as dem Verhalten des Ages beim Farbensehen abgeleitet wrde. Oft notiert als: λ, y λ, z λ ( ) ( ) ( ) Die Striche weisen daraf hin, dass ein konstantes Einheitssektrm den Ermittlngen z Grnde lag. Bei mir:, y, z KOBENZ ANDAU S. Müller - 20 -
CIE Normbasisektoren Die 3 Vektoren sind linear nabhängig nd bilden damit eine Basis des Normfarbrams (CIE- Normbasisektoren, krz CIE-Normbasis) KOBENZ ANDAU S. Müller - 21 -
CIE-Normbasis KOBENZ ANDAU S. Müller - 22 -
XYZ-Koordinaten Berechnet man das Skalarrodkt zwischen der CIE- Normbasis nd einem beliebigen Sektrm so entsricht dies einer rojektion des Sektrms in den Normfarbram. Das Ergebnis sind die 3D-Koordinaten des Sektrms im Normfarbram (Farbmetrik: Normfarbalenz) : X o XYZ Y o y B mit B ( y z ) Z o z Wichtig: Skalarrodkt bedetet Mltilikation mit λ KOBENZ ANDAU S. Müller - 23 -
Normfarbram Wir könnten ihn ach als den Farbram der on farbnormalsichtigen Menschen wahrgenommenen Farben bezeichnen. Betrachten wir die Basis: B y z ( ) so liefert jede inearkombination der Basisektoren mit reellen Zahlen wieder eine Basis dieses Farbrams, insofern die neen Basisektoren linear nabhängig sind. Dies erreichen wir drch die Mltilikation mit einer nicht-singlären, linearen 33 Matri M. KOBENZ ANDAU S. Müller - 24 -
Basistransformation Jede Basis liefert ein eigenes Koordinatensystem, wobei sie den gleichen Vektorram afsannen (die lineare Hülle ist identisch). Beim Übergang on der einen Basis z einer anderen Basis erändern sich aber die Koordinaten der Vektoren. Beisiel: XYZ M rgb KOBENZ ANDAU S. Müller - 25 -
Fazit 2 Fragestellngen Im Kontet eines 3-dimensionalen Farbrams geht es orrangig m einen konsistenten Farbeindrck für einen menschlichen Betrachter. Den n-dimensionalen Sektralram benötigen wir, m sektrale Fnktionen möglichst gt z aroimieren. Für eine Simlation benötigen wir beide Betrachtngen nd wir werden sehen, warm der 3- dimensionale Farbram für eine Simlation nicht genügt, obwohl hetztage fast alle Renderingmethoden (inkl. der GU) daraf afbaen. KOBENZ ANDAU S. Müller - 26 -
Dale Basis nd rimärsektren Wie rekonstriere ich ein Sektrm? KOBENZ ANDAU
Fragestellng 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 360 595 830 XYZ λ[ nm] 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 X o Y o y B Z o z z y B ( y z ) 360 830 Wie machen wir as den XYZ-Werten wieder ein Sektrm? Die inearkombination mit B + y + z B ist leider falsch X Y Z XYZ λ [ nm] KOBENZ ANDAU S. Müller - 28 -
Begründng Wenn es eine gültige ösng wäre, erwarten wir, dass eine ernete rojektion wieder die rsrünglichen XYZ-Werte liefert. Rekonstriertes Sektrm: XYZ Z Y X z y + + B KOBENZ ANDAU Ernete rojektion (Beisiel: X-Wert) Ergebnis: die Identität lässt sich nr bei orthonormalen Basen erreichen S. Müller - 29 - XYZ Z Y X z y + + B ( ) z y z y Z Y X Z Y X X o o o o o + + + +
Allgemein Der nkt ist sowohl drch die Koordinaten (, y), als ach drch die Koordinaten (, ) eindetig definiert. Sind die -Koordinaten bekannt, so berechnet sich (, y) drch: y + KOBENZ ANDAU Mit Afgabe: konstriere die - Koordinaten S. Müller - 30 - y y + ( ) B ( ) y y y y + + B,,,,,,,,
Konstrktion KOBENZ ANDAU S. Müller - 31 -
Konstrktionsbasis/rimärbasis KOBENZ ANDAU S. Müller - 32 - ( ) y y ( ) E
Basisektoren nd -fnktionen Im Allgemeinen Fall brachen wir zwei Sätze on Basisfnktionen (dale Basis) Eine rojektions- oder Konstrktionbasis Eine Rekonstrktionsbasis Ein gtes Beisiel in diesem Zsammenhang ist eine Kamera nd ein Dislay Mit Hilfe der Kamera (Sensorantwortkre) transformieren wir ein eingehendes Sektrm af den rgb-wert eines iels. Mit Hilfe des Dislays (Sektren der iel, sog. rimaries) rekonstrieren wir as rgb wieder ein Sektrm. KOBENZ ANDAU S. Müller - 33 -
rojektionsbasis Beisiel Kamera: wir haben die Sensorantwortkren r(λ), g(λ), b(λ) (in der Regel als diskrete Werte). ( ) b g r g r rgb o o R R ; KOBENZ ANDAU S. Müller - 34 - b rgb o i i i r r r λ o Wichtig:
Rekonstrktionsbasis Der Bildschirm lechtet mit den rimaries r (λ), g (λ), b (λ) (die Rekonstrktionsbasis wird drch ein wie rimaries gekennzeichnet) ~ r r + g g + bb R ; R r g b rgb ( ) Das rekonstrierte Sektrm ist i. d. Regel om Originalsektrm erschieden: ~ KOBENZ ANDAU S. Müller - 35 -
rimärsektren Aber ein ernetes Foto on diesem rekonstrierten Sektrm soll den gleichen rgb-wert ergeben ~ rgb R Einsetzten: ~ rgb R rgb R R Daras folgt: R R E 33 rgb KOBENZ ANDAU S. Müller - 36 -
Orthonormale Basissätze Im Kontet der Farbe ist eine wichtige Forderng die Möglichkeiten einer farbkonsistenten Abbildng Daras leitet sich die Anforderng an die dale Basis, dass die beiden Basissätze orthonormal zeinander sind. KOBENZ ANDAU S. Müller - 37 -
Die Inerse Im Kontet der Farbe haben wir aber n3 Matrizen, wobei n die Anzahl der Samles ist, mit der das Sektrm diskretisiert wrde. Hier gilt: 3n R n3 R 3n R n3 R E 33 Aber: n3 R 3n R n3 3n R R E nn Ach dieses rodkt ist sehr wichtig (z.b. zr Berechnng der fndamentalen Metamere), was säter noch gezeigt wird. KOBENZ ANDAU S. Müller - 38 -
Berechnng der sedo-inersen n3 R R n3 33 R ( R R) ( ) 1 R R R 3n n3 1 Denn: E R R ( R ) 1 R R R Die rimärbasis ist damit die sedo-inerse der Konstrktionsbasis Konstrktions- nd rimärbasis bilden eine dale Basis. KOBENZ ANDAU S. Müller - 39 -
Identischer Farbeindrck KOBENZ ANDAU S. Müller - 40 -
Color Matching (identischer Farbeindrck) Wir srechen on einem identischen Farbeindrck (color match), wenn für zwei erschiedene Sektren nd gilt: B B XYZ wobei B die CIE XYZ Color Matching Fnktionen (Normsektralwertkren) sind. Haben 2 Sektren die gleichen XYZ- Koordinaten, dann liefern sie für einen Normalbeobachter ach einen identischen Farbeindrck. Sektren mit identischem Farbeindrck nennen wir Metamere KOBENZ ANDAU
2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 CIE: Konstrktions- nd Rekonstrktionsbasis z y B λ [ nm ] 360 830 CIE XYZ 1931, 5 nm, 2 deg, 360-830 nm htt://www.crl.org/ XYZ B y z 30 25 20 15 10 5 0 360 830-5 -10-15 -20 6 10 KOBENZ ANDAU S. Müller - 42 - z B y ~ B ( B ) 1 B B XYZ B λ[ nm]