REGELUNGSTECHNIK augeführt am Fachhochchul-Studiengang Automatiierungtechnik für Beruftätige von Chritian Krachler Graz, im April 4
Inhaltverzeichni INHALTSVERZEICHNIS a Bodediagramm... 4 Rechnen mit dem Bodediagramm... 8 3 Analye von betehenden Reglern... 4 Kenndaten eine gechloenen Regelkreie... 3 4. Kenndaten de gechloenen Regelkreie im Frequenzbereich und deren Zuammenhang mit den Gütemaßen im Zeitbereich... 3 4. Kenndaten de offenen Regelkreie im Frequenzbereich und deren Zuammenhang mit den Gütemaßen de gechloenen Regelkreie im Zeitbereich... 6 4.. Beipiel der Übertragungfunktion eine gechloenen Regelkreie... 8 5 Analye von gechloenen Regelkreien... 6 Reglerynthee nach dem Frequenzkennlinienverfahren... 6. Schritt - Ermittlung von urchtrittfrequenz, Phaenreerve und Kreivertärkung... 6.. Löung: Betimmen der Kreivertärkung... 3 6. Schritt - Entwurf de Regler... 3 6.. Löung Teil : Betrieb al reine P-Glied... 4 6.. Löung Teil : a P-Glied wird um phaenanhebende Glied erweitert... 5 6..3 Löung Teil 3: Erweiterung de offenen Regelkreie um phaenabenkende Glied... 7 6.3 Schritt Überprüfung de ermittelten Ergebnie... 3 6.3. Löung Teil : Berechnung Amplitudenüberhöhung und Bandbreite... 3 6.3. Löung Teil : Einetzen der Frequenzkennlinien... 3 6.3.3 Graphiche Überprüfen de Ergebnie... 33 7 Übungen... 35 7. Beipiel eine Bodediagramm (Abbildung )... 35 7. Bodediagramm eine RC-Tiefpae (Abbildung 3)... 35 7.3 Beipiel eine I-Gliede (Abbildung 4)... 35 7.4 Beipiel eine P-Gliede (Abbildung 5)... 35 7.5 Summierung im Bodediagramm (Abbildung 6)... 36 7.6 Beipiel eine Bodediagramm; Überchwingweite und Bandbreite (Abbildung 7)... 36 7.7 Eigenchaften im Zeitbereich; (Abbildung 8)... 37 7.8 Maximale Überchwingweite (Abbildung 9)... 37 7.9 Antiegzeit (Abbildung )... 38 7. Beipiel eine Bodediagramm; Phaenrand und urchtrittfrequenz (Abbildung )... 38 7. Berechnung der Übergangfunktion im Zeitbereich; Möglichkeit : Manuell... 39 7. Berechnung der Übergangfunktion im Zeitbereich; Möglichkeit : Invere Laplace Tranformation... 39 7.3 Berechnung der Übergangfunktion im Zeitbereich; Möglichkeit 3: Simulink... 4 7.4 Betrieb de Regler al reine P-Glied (Abbildung 5)... 4 7.5 Betrieb de Regler al P-Glied erweitert mit Lead-Glied (Abbildung 7)... 4 7.6 Übertragungfunktion de offenen Regelkreie (Abbildung 9)... 4 II
7.7 Bodediagramm de gechloenen Regelkreie (Abbildung )... 4 7.8 Sprungantwort de gechloenen Regelkreie (Abbildung )... 4 III
AS BOEIAGRAMM Al Bode-iagramm bezeichnet man die getrennte artellung de Logarithmu de Amplitudenverhältnie G(j) und de Phaenwinkel () in Abhängigkeit von der Kreifrequenz. abei wird halblogarithmiche Einteilung verwendet, und die Frequenz wegen der Größe der auftretenden Werte auf der logarithmichen Skala aufgetragen. Nach Aufpaltung de Frequenzgange in Real- und Imaginärteil laen ich Amplitudenverhältnie und Phaenwinkel betimmen. Bode-iagramme eignen ich beonder zur Frequenzgangdartellung von Reihenchaltungen einzelner Übertragungglieder. Für alle Einzelübertragungyteme laen ich Amplituden- und Phaenverlauf in halb-logarithmiche Papier einzeichnen. ie Geamtübertragungfunktion ergibt ich al Addition der einzelnen Übertragungfunktionen. er Frequenzgang G(j) ergibt ich au der Übertragungfunktion G(), unter der Berückichtigung j+ j ie Übertragungfunktion G() it mehr eine abtrakte, nicht mebare Bechreibung eine Sytem, während der Frequenzgang G(j) unmittelbar phyikalich interpretiert und auch gemeen werden kann. azu wird der Fequenzgang al komplexe Größe mit Imaginärteil und Realteil dargetellt. Xa( j) G ( j ) Re[ G( j)] + j Im[ G( j)]... Xe( j) Augangignal Eingangignal G( j) A( ) e jϕ ( ) Wobei da Eingangignal im Zeitbereich eine Sinufunktion it: x( t) xˆ in( t) er geamte Frequenzgang G(j) für alle Frequenzen von bi bechreibt ähnlich wie die Übertragungfunktion G() oder die Übergangfunktion h(t) da Übertragungverhalten eine linearen zeitinvarianten kontinuierlichen Sytem volltändig. Zwichen Zeit- und Frequenzbereich betehen folgende Zuammenhänge: Mit Hilfe der Grenzwertätze der Laplace-Tranformation ermittelt man die beiden wichtigen Beziehungen zwichen der Übertragungfunktion G() bzw. dem zugehörigen Frequenzgang G(j) und der Übergangfunktion h(t). 4
lim h( t) lim H ( ) limg( ) t + lim h( t) lim H ( ) limg( ) t H ( ) G( ) lim G( j) j lim G( j) j Vorauetzung für die Anwendung dieer Grenzwertätze it allerding die Exitenz der entprechenden Grenzwerte im Zeitbereich. Beim Bodediagramm wird der Frequenzgang in zwei Betandteile, nämlich den Betrag und die Phae aufgeteilt. Stellt man diee beiden Funktionen in geeigneter Weie über der f- bzw. -Ache al Kurven dar, o erhält man die Betragkennlinie (Amplitudengang) und die Phaenkennlinie (Phaengang), die gemeinam al Frequenzkennlinie (oder Bode-iagramm) bezeichnet werden. abei wird die Betragkennlinie im dekadichen Logarithmu dargetellt. ieer "Kuntgriff" führt zu einfachen und leicht handzuhabenden Betragkennlinien wie auch da folgende Beipiel zeigen oll. E it üblich, log G noch mit dem Maßtabfaktor zu verehen und in db auzudrücken. Amplitude: A db log( Re[ G( j)] + Im[ G( j)] ) Im[ G( j)] Phae: ϕ arctan Re[ G( j)] Abb. Beipiel eine Bodediagramm 5
Erklärung der Begriffe: : Grenzfrequenz, Eck- oder Knickfrequenz Grenzfrequenz bei einer Abchwächung von -3dB Beipiel eine Bodediagramm: Anhand de Beipiel eine PT -Gliede (Verzögerungglied.Ordnung) oll da Bodediagramm veranchaulicht werden: a PT -Glied it in dieem Beipiel al RC-Tiefpa aufgebaut: Abb. RC-Tiefpa Herleitung der Übertragungfunktion: U E ( ) U R + U U A E C ( ) ( ) R + ( ) A C C C + RC ie Übertragungfunktion eine PT -Gliede lautet allgemein: K R G( ) + T Betimmen von K R und T: 6
7 + + T K T K C R T K j R R R ie Übertragungfunktion eine PT -Gliede ergibt folgende Bodediagramm (K R und T): Abb.3 Bodediagramm eine RC-Tiefpae urch Anpaung der Parameter K R und T kann man den Verlauf der Kurven ändern.
RECHNEN MIT EM BOEIAGRAMM Bodediagramme bilden Syteme im Bildbereich ab. Verknüpfungen von Sytemen können einfach berechnet werden. Schaltung Zeitbereich Frequenzbereich Hintereinanderchaltung Faltung Multiplikation g t) g ( t) g ( ) G( ) G( ) G ( ) ( t Frequenzbereich Multiplikation Bode-iagramm Addition G ) G ( ) G ( ) A j) A ( j) A ( j ) ( db ( db + db ϕ( j ) ϕ( j) + ϕ ( j) er Geamtfrequenzgang einer Hintereinanderchaltung folgt omit durch Addition der einzelnen Frequenzkennlinien. a it durch die logarithmiche artellung de Frequenzgange möglich. Wegen der gewählten doppellogarithmichen artellung bzw. einfachlogarithmichen Maßtäbe für A() bzw. () lät ich näherungweie der Verlauf von A() durch Geradenabchnitte und () in Form einer Treppenkurve dartellen. iee Näherunggeraden" ermöglichen durch einfache geometriche Kontruktionen die Analye und Synthee von Regelytemen. Sie tellen ein ehr wichtige Hilfmittel für den Regelungtechniker dar. Beipiel der Berechnung eine Bodediagramm: I-Glied: z.b.: T I 3 a I-Glied hat folgende Übertragungfunktion: GI ( ) T I 3 ie urchtrittfrequenz ergibt ich au: T I,3 I 3 8
Abb.4 Bodediagramm eine I-Gliede P-Glied: z.b.: T I,75 K R 4 log (4) db a P-Glied hat folgende Übertragungfunktion: GP ( ) K R ( + T ) K R + K R T 4 + 3 ie Grenzfrequenz ergibt ich au 4 T 3 9
Abb.5 Bodediagramm eine P-Gliede Addition der Übertragungfunktionen: Nun werden da I-Glied und da P-Glied hintereinander gechaltet. ie Geamtübertragungfunktion it da Produkt der einzelnen Syteme. G( ) G ( ) G ( ) P I G( ) K R ( + T T I ) Im Bodediagramm ergibt ich die Geamtübertragungfunktion au der Addition der einzelnen Übertragungfunktionen.
Abb.6 Summierung im Bodediagramm
3 ANALYSE VON BESTEHENEN REGLERN Für die Analye von Reglern gibt e Möglichkeiten: ie Analye de Sytem erfolgt durch da Anlegen eine definierten Eingangignal (Sprung, irac, Sinuchwingung). urch Meung de Augangignal (z.b. Sprungantwort) und durch eine Fourier-Analye de Eingang- und Augangignal kann man die Übertragungfunktion und da Modell bilden. iee Verfahren wird eingeetzt, wenn der Aufbau de Sytem nicht bekannt it (Black- Box). Al Eingangignale für die Analye werden gewöhnlich Sprung und Impul verwendet. Auch durch da Anlegen von Schwingungen unterchiedlicher Frequenzen kann man ein Sytem analyieren. Jedoch it diee Form der Analye aufwendiger, da man je nach gewünchter Genauigkeit de Ergebnie entprechend viele Augangignale auwerten mu. In dieem Beipiel handelt e ich um ein PT-Glied, da mit einem Sprung analyiert wird. Aufgrund de Aufbau und phyikalicher Geetze ergibt ich ein mathematiche Modell de Sytem (z. B. ifferential- und ifferenzengleichungen). Eine Modellvereinfachung (z. B. Lineariierung) gehört al ganz weentlicher Betandteil zur Modellbildung hinzu. iee Verfahren wird eingeetzt, wenn der Aufbau de Regler bekannt it (Schaltplan bzw. Kontruktionplan vorhanden).
4 KENNATEN EINES GESCHLOSSENEN REGELKREISES 4. Kenndaten de gechloenen Regelkreie im Frequenzbereich und deren Zuammenhang mit den Gütemaßen im Zeitbereich Eigenchafen im Frequenzbereich: Ein Regelkrei beitzt gewöhnlich einen Frequenzgang G(j) mit einer Amplitudenüberhöhung, der ich qualitativ im Bode-iagramm dartellen lät. Zur Bechreibung diee Verhalten eignen ich die folgenden Kenndaten: Reonanzfrequenz Amplitudenüberhöhung A() max db Bandbreite b Phaenwinkel b ( b) Abb.7 Eigenchaften im Frequenzbereich 3
Eigenchaften im Zeitbereich: Im Zeitbereich ind die maximale Überchwingweite e max und die Antiegzeit T a,5 wichtige Kenndaten: Abb.8 Eigenchaften im Zeitbereich Maximale Überchwingweite ie Maximale Überchwingweite it die maximale Regelabweichung. Sie wird zumeit in Prozent de Endwerte angegeben. e max e π ie Maximale Überchwingweite it eine Funktion der ämpfung. 4
Abb.9 Maximale Überchwingweite Antiegzeit T a,5 Sie it definiert al die Zeit die benötigt wird, um von. y(t) auf.9 y(t) zu gelangen. y(t) it da Augangignal im eingechwungenen Zutand. T a,5 t 5 in( t 5 e ) π t 5 in( t 5 e ) max wobei t 5 die Zeit it, bei der 5% de tationären Werte erreicht ind. it die Reonanzfrequenz. a Produkt * t 5 it eine Funktion der ämpfung. ie Antiegzeit it eine Funktion der ämpfung. 5
Abb. Antiegzeit 4. Kenndaten de offenen Regelkreie im Frequenzbereich und deren Zuammenhang mit den Gütemaßen de gechloenen Regelkreie im Zeitbereich Ein Regelkrei beitzt ein Verzögerungverhalten und zur Bechreibung de Frequenzgange G(j) werden folgende Kenndaten verwendet: urchtrittfrequenz Phaenrand (oder Phaenreerve) ϕ 8 + ϕ( ) arctan( ) bei A R db R er Phaenrand it eine Funktion von ämpfung und urchtrittfrequenz Amplitudenrand (oder Amplitudenreerve) A R db G ( ) db bei ϕ 8 6
Abb. Beipiel eine Bodediagramm Amplitudenrand und Phaenrand ind Stabilitätkriterien. Je größer Amplitudenrand und Phaenrand ind, deto tabiler it da Sytem. Wenn beide gegen gehen, beginnt ein rückgekoppelte Sytem zu chwingen, da die Führunggröße um 36 phaenverchoben (in Phae) und ungedämpft oder vertärkt an den Eingang de Regler zurückgeführt wird. Amplitudenrand und Phaenrand ind abhängig von der urchtrittfrequenz und der ämpfung. Zuammenhang von Zeit und Frequenzbereich: Phaenrand und maximale Überchwingweite ind begrenzt: ϕ R[ ] + emax[%] 7 Ein chnelle Auregeln von Änderungen der Führunggröße oder Störgröße und die Stabilität de Sytem beeinfluen ich gegeneitig, da da Überchwingen im Zeitbereich unmittelbar mit der Phaenreerve im Frequenzbereich zuammenhängt. Amplitudenrand und Antiegzeit hängen voneinander ab. Je kürzer die Antiegzeit it deto höher it die maximale Überchwingweite und deto geringer it auch der Amplitudenrand. In der Praxi wird oft auch der Zuammenhang von urchtrittfrequenz und Antiegzeit verwendet: e [%] (,5 ) 5 max T a,5 7
8 4.. Beipiel der Übertragungfunktion eine gechloenen Regelkreie ie Übertragungfunktion de gechloenen Regelkreie mit PT -Verhalten W () G + + it der Augangpunkt. ie dazugehörende Sprungantwort lautet: () H W + + E gibt nun drei Möglichkeiten um die Übergangfunktion im Zeitbereich hw(t) zu betimmen: Händich berechnen: Schritt : Partialbruchzerlegung: ) ( ) ( ) ( ) ( () H W + + + Schritt : Invere Laplace-Tranformation: ) ( ) in( ) co( (t) h W t t t e t δ + Ergebni: iehe Übungen In Matlab Inver Laplace Tranformieren: Ergebni: iehe Übungen Simulink durch Einetzen der Tranfer Function: azu müen die Grenzfrequenz (w) und die ämpfung (.7) in Matlab geetzt werden Ergebni: iehe Übungen
Alle drei Möglichkeiten liefern da gleiche Ergebni, wobei die in Simulink durchgeführte die einfachte it. Abb. Übergangfunktion hw(t) de gechloenen Regelkreie mit PT -Verhalten 9
5 ANALYSE VON GESCHLOSSENEN REGELKREISEN ie Analye eine Regelkreie erfolgt über den offenen Regelkrei. ie allgemeine Form der Führungübertragungfunktion von gechloenen Regelkreien lautet: G W G R () GS() () + G () G () R S Im erten Schritt wird die Übertragungfunktion de offenen Regelkreie G () ermittelt: Abb.3 Offener Regelkrei G () G R () G S () Abb.4 Gechloener Regelkrei Mit der Führungübertragungfunktion de gechloenen Regelkreie: G W G R () GS() () + G () G () R S ergibt ich: G W G () () + G ()
6 REGLERSYNTHESE NACH EM FREQUENZKENNLINIENVERFAHREN Für Syteme mit einem dominanten Poolpaar gibt e ein Syntheeverfahren im Frequenzbereich. Augangpunkt diee Verfahren it die artellung de Frequenzgange G O (j) de offenen Regelkreie im Bode-iagramm. ie zu erfüllenden Spezifikationen de gechloenen Regelkreie werden durch die Kenndaten de offenen Regelkreie formuliert. ie eigentliche Syntheeaufgabe beteht dann darin, durch Wahl einer geeigneten Reglerübertragungfunktion G R () den Frequenzgang de offenen Regelkreie o zu verändern, da er die geforderten Kenndaten erfüllt. Beim Frequenzkennlinienverfahren werden Amplituden- und Phaengang unter Hinzufügen von Korrekturgliedern für jeden Schritt gezeichnet, die entprechenden Entwurfparameter betimmt und mit den gegebenen Spezifikationen verglichen. iee Spezifikationen werden im Allgemeinen in Form von Phaenrand und urchtrittfrequenz zur Charakteriierung de Übertragungverhalten und in der Form der Vertärkung zur Charakteriierung de bleibenden Regelfehler bechrieben. Im Folgenden werden die drei Möglichkeiten zur Anpaung und deren artellung im Bode-iagramm behandelt: Vertärkungglied Phaenanhebende Glied (Lead) Phaenabenkende Glied (Lag) Gegeben it folgende Regeltrecke: G S ( ) ( + ) ( + ) 3 Folgende Vorgaben ollen erfüllt werden: Antiegzeit: T a,5.7 Überchwingweite: e max 5 % Bei rampenförmigem Eingangignal w ( t) w * σ ( t) * t oll der gechloene Regelkrei die bleibende Regelabweichung e beitzen.
6. Schritt - Ermittlung von urchtrittfrequenz, Phaenreerve und Kreivertärkung Im Allgemeinen ind bei einer Syntheeaufgabe die Kenndaten für da Zeitverhalten de gechloenen Regelkreie, alo die maximale Überchwingweite e max, die Antiegzeit T a,5 und die bleibende Regelabweichung e vorgegeben. Aufgrund dieer Werte werden folgende Werte de offenen Regelkreie berechnet: urchtrittfrequenz: ie urchtrittfrequenz wird nur näherungweie betimmt. emax[ %] (,5 ) (,5,) T a,5 5,7 Phaenrand: ϕ R [ ] + e [ ] 7 ϕ [ ] 7 e [%] 45 max % R max Vertärkungfaktor: K K r K er Vertärkungfaktor K wird anhand nachtehender Tabelle ermittelt. Aufgrund der bleibenden Regelabweichung für verchiedene Sytemtypen wird der Vertärkungfaktor betimmt. Sytemtyp von G () Einganggröße X e () Bleibende Regelabweichung e k (verzögerte P-Verhalten) Sprung Rampe x e x e + K x e Parabel x e 3 k (verzögerte I-Verhalten) Sprung x e Rampe x e K x e
Parabel x e 3 k (verzögerte I -Verhalten) Sprung x e Rampe x e Parabel x e 3 K x e 6.. Löung: Betimmen der Kreivertärkung Für diee Sytem oll für ein rampenförmige Eingangignal eine bleibende Regelabweichung e enttehen. arau wird der Sytemtyp und ermittelt. k (verzögerte I-Verhalten) e K x e arau ergibt ich: e K x e Somit beträgt die Kreivertärkung K R für x e w 6. Schritt - Entwurf de Regler In dieem Schritt wird durch Einfügen geeigneter Übertragungglieder die im vorigen Schritt ermittelte 3
urchtrittfrequenz und Phaenrand R bei dem gewählten K ermittelt. er Regler wird dabei al ein reine P-Glied gewählt, um K einzuhalten. Bei der urchtrittfrequenz fällt dabei die Amplitude G (j) db mit etwa db/ekade ab. ie zuätzlichen Übertragungglieder de Regelkreie werden in Reihenchaltung mit den übrigen Regelkreigliedern angeordnet. 6.. Löung Teil : Betrieb al reine P-Glied G R () K R, artellung de offenen Regelkreie mit der Übertragungfunktion: G O ( ) GR( ) G ( ) 3 ( + ) ( + ) + + + 3 3 3 Abb.5 Betrieb de Regler al reine P Glied Um die geforderten Kenndaten zu erfüllen ϕ Ziel ϕ 45 R 8 + ϕ 8 + 45 35 R müte: - die Phae von Go(j) bei Ziel um 53 Grad erhöht werden und - der Betrag von Go(j) bei Ziel um db geenkt werden 4
Um die erte Forderung zu erfüllen, erweitert man da P Glied de Regler um ein phaenanhebende Übertragungglied; bei der urchtrittfrequenz mu die Phaenverchiebung 35 Grad betragen, d.h.: eine Anhebung um 53 Grad it erforderlich. Um die zweite Forderung zu erfüllen, it ein phaenabenkende Glied erforderlich, zuätzlich wird daher beim phaenanhebenden Glied eine Reerve von 6 Grad einbezogen ( unbeabichtigte und nicht vermeidbare Phaenabenkung durch da phaenabenkende Übertragungglied bei Ziel ). 6.. Löung Teil : a P-Glied wird um phaenanhebende Glied erweitert E it Aufgabe von phaenanhebenden Gliedern, einen guten Kompromiß zwichen dem erzielbaren Phaenwinkel und der akzeptierbaren Vertärkung de höherfrequenten Rauchen zu finden. ie Erfahrungen haben gezeigt, daß ein einzelne Lead-Glied eine maximale Phaenanhebung von 6 erzeugen kann. Benötigt man eine größere Phaenanhebung, o müen mehrere Lead-Glieder hintereinander gechaltet werden. Abb.6 Phaenanhebung Betimmung der oberen und unteren Eckfrequenz untere Eckfrequenz: 5
Ermittlung de Frequenzverhältnie m h au obigem iagramm bei einer Phaenanhebung von 59 Grad (53 de phaenanhebenden Gliede + 6 Reerve) Z,6 m h obere Eckfrequenz: 7, N Z m h Ermittlung der Übertragungfunktion de phaenanhebenden Gliede: G R ( j) K O + j Z + j N Eretzen von j +,6 ergibt G R ( ) + 7, arau ergibt ich die Übertragungfunktion de offenen Regelkreie mit G +,6 ( ) GR( ) G ( ) ( + ) ( + ) ( + ) 3 7, O 6
Graphiche artellung: Abb.7 Betrieb de Regler al P-Glied erweitert mit Lead-Glied 6..3 Löung Teil 3: Erweiterung de offenen Regelkreie um phaenabenkende Glied Für viele Fälle it e wichtig, die Bandbreite klein und die tationäre Regelabweichung gering zu halten bzw. die Amplitude bei hohen Frequenzen abzuenken. Hierfür it e erforderlich, phaenabenkende Übertragungglieder in den Regelkrei zu integrieren. Um eine Betragenkung zu erhalten, erweitert man den offenen Regelkrei um ein phaenabenkende Übertragungglied, o da eine gewünchte Betragenkung bezogen auf die Übertragungfunktion der Strecke von db bei Ziel - erreicht wird. urch da hinzugekommene phaenanhebende Übertragungglied hat ich unbeabichtigterweie auch die Betragkennlinie G O () geändert. E mu daher im nächten Schritt die Betragkennlinie für Ziel nicht um db ondern um db abgeenkt werden. Ermittlung de Frequenzverhältnie m au nachtehender Funktion: log( m ) db m S S,6 Mit ϕ -6 und m,6 erhält man au nachtehendem Phaendiagramm ein Verhältni / N 5 7
ad b) Phaenabenkung Abb.8 Phaenanhebung Betimmung der unteren und oberen Eckfrequenz für Ziel - untere Eckfrequenz: Ziel N,6 5 5 obere Eckfrequenz: Z N m,6,6, ergibt +, G ( R 3 ) +,6 8
ie Übertragungfunktion de endgültigen Regler it damit gegeben durch: G R ( j) GR G R3 + j + + j Z Z j + j N N Eretzen von j owie Einetzen der ermittelten Werte ergibt ergibt + + G,6, ( ) R + 7, +,6 arau ergibt ich die Übertragungfunktion de offenen Regelkreie mit G O ( ) G R ( ) G ( + ) ( + ),,6 ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ),6 3 7, Graphiche artellung: Abb.9 Übertragungfunktion de offenen Regelkreie 9
6.3 Schritt Überprüfung de ermittelten Ergebnie ie Überprüfung, ob da ermittelte Ergebni tatächlich den geforderten Spezifikationen entpricht, erfolgt entweder durch Rechnerimulation, bei der direkt die Ermittlung der Größen e max, T a,5 und e herangezogen wird, oder indirekt durch Berechnung der Amplitudenüberhöhung A max und der Bandbreite b, wobei diee Werte werden anhand der Frequenzkennlinien de gechloenen Regelkreie überprüft: G W GO ( j) ( j) + G ( j) O 6.3. Löung Teil : Berechnung Amplitudenüberhöhung und Bandbreite Berechnung der Amplitudenüberhöhung: A( ) max Abb. Überchwingweite al Funktion de ämpfunggrade 3
Bei gefordertem e max (maximale Überchwingweite) von 5% ergibt ich au der vorigen Graphik ein ämpfunggrad von.38. arau folgt: A( ).38.38 max.45 urch Approximation der Abhängigkeit der Kenngröße b T a,5 vom ämpfunggrad de gechloenen Regelkreie mit PT -Verhalten it für,3 < <,8 folgender Zuammenhang gegeben: b T a,5 ~,3 ie Bandbreite it omit: b ~,3 / Ta,5 b ~,3 /.7 3.86 ^- 3
6.3. Löung Teil : Einetzen der Frequenzkennlinien a Ergebni der Berechnung wird durch Einetzen der Werte de offenen Regelkreie: G O ( + ) ( + ),,6 ( ) G3( ) G ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ),6 3 7, in die Beziehung G W GO ( j) ( j) + G ( j) O und damit der Berechnung der Frequenzkennlinien de gechloenen Regelkreie überprüft. ( + ) ( + ) (+ ) (+ ),,6,,6 G W ( j) ( )/( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) (+ ) (+ ) (+ ) (+ ),6 3 7,,6 3 7, 3
6.3.3 Graphiche Überprüfen de Ergebnie Ergebni im Frequenzbereich: Abb. Bodediagramm de gechloenen Regelkreie Ermittelte Werte au iagramm: A() max ~,35dB entpricht Forderung b ~ 3rad/ec entpricht Forderung 33
Ergebni im Zeitbereich: Abb. Sprungantwort de gechloenen Regelkreie Ermittelte Werte au iagramm: e max ~ 5% entpricht Forderung T a,5 ~,7 entpricht Forderung ie au den iagrammen ermittelten Werte timmen mit den Forderungen überein. 34
7 ÜBUNGEN 7. Beipiel eine Bodediagramm (Abbildung ) clear all; cloe all; bode (, [ ]) grid on; 7. Bodediagramm eine RC-Tiefpae (Abbildung 3) clear all; cloe all; bode (, [ ]) grid on; 7.3 Beipiel eine I-Gliede (Abbildung 4) clear all; cloe all; bode (, [3 ]) grid on; 7.4 Beipiel eine P-Gliede (Abbildung 5) clear all; cloe all; bode ([3 4],) grid on; 35
7.5 Summierung im Bodediagramm (Abbildung 6) % Anzeige von 3 Kurven % I-Glied "i" % P-Glief "pd" % Summe au I- und P-Glied "pid" % ie Kurven werden durch tranfer-function definiert (tf) cloe all; clear all; itf(, [3 ]) pdtf([3 4],) pid tf([3 4],[3 ]) bode(i,'g',pd,'b',pid,'r') grid on; legend ('I-Glied','P-Glied','PI-Glied'); 7.6 Beipiel eine Bodediagramm; Überchwingweite und Bandbreite (Abbildung 7) clear all; cloe all; bode([],[ ]) grid on; 36
7.7 Eigenchaften im Zeitbereich; (Abbildung 8) clear all; cloe all; wym(); ym(.5); Time[:.:.5]; N5; ym(.5); for i :N, t Time(i); F(i) eval(w^*(/w^+/(4*^*w^-4*w^)^(/)*(/(- *w+/*(4*^*w^-4*w^)^(/))*exp((-*w+/*(4*^*w^-4*w^)^(/))*t)- /(-*w-/*(4*^*w^-4*w^)^(/))*exp((-*w-/*(4*^*w^- 4*w^)^(/))*t)))); end; plot(time,f); axi([..]) YLABEL('y(t)'); XLABEL('t'); legend('.5, w') grid on; 7.8 Maximale Überchwingweite (Abbildung 9) clear all; cloe all; [:.:]; N; for I :N, emax(i)exp(-((i)*pi)/qrt(-power((i),))); end; plot(, emax); ylabel('emax'); xlabel(''); 37
7.9 Antiegzeit (Abbildung ) clear all; cloe all; wt.9; [:.:.9]; for i :, ta(i)(qrt(-power((i),))) / (exp(-(i)*wt) * in( qrt(- power((i),)) *wt)); end plot(,ta); ylabel('wta,5'); xlabel(''); 7. Beipiel eine Bodediagramm; Phaenrand und urchtrittfrequenz (Abbildung ) clear all; cloe all; bode([ ], [ 5 5 ]) grid on; 38
7. Berechnung der Übergangfunktion im Zeitbereich; Möglichkeit : Manuell cloe all; clear all; wym(); ym(.9); Time[:.:.5]; N5; for i :N, t Time(i); %Händich berechnet: FT(i) eval(-exp(-*w*t)*(co(w*qrt(-^)*t)+/qrt(- ^)*in(w*qrt(-^)*t))); end; ubplot(,,); plot(time,ft); YLABEL('hw'); XLABEL('wt'); ubplot(,,); bar(::,[eval() ],.5); YLABEL('ämpfung'); 7. Berechnung der Übergangfunktion im Zeitbereich; Möglichkeit : Invere Laplace Tranformation Siehe: Berechnung der Übertragungfunktion im Zeitbereich; Möglichkeit : Manuell Autauch von FT(i): FT(i) eval(w^*(/w^+/(4*^*w^-4*w^)^(/)*(/(-*w+/*(4*^*w^- 4*w^)^(/))*exp((-*w+/*(4*^*w^-4*w^)^(/))*t)-/(-*w- /*(4*^*w^-4*w^)^(/))*exp((-*w-/*(4*^*w^-4*w^)^(/))*t)))); 39
7.3 Berechnung der Übergangfunktion im Zeitbereich; Möglichkeit 3: Simulink 7.4 Betrieb de Regler al reine P-Glied (Abbildung 5) clear all; cloe all; P tf ([], [/3 4/3 ]) bode (P) legend ('Go() reine P-Glied') grid on; 7.5 Betrieb de Regler al P-Glied erweitert mit Lead-Glied (Abbildung 7) clear all; cloe all; P tf ([], [/3 4/3 ]) P tf ([/.6 ], [/.6./.6 3.8/.6 ]) bode (P, P); legend ('Go() reine P-Glied', 'Go() P-Glied erweitert mit Lead Glied', ); grid;grid on; 4
7.6 Übertragungfunktion de offenen Regelkreie (Abbildung 9) clear all; cloe all; P tf ([], [/3 4/3 ]) P tf ([/.6 ], [/.6./.6 3.8/.6 ]) P3 tf ([/. 6/..4/.], [/.3456.6/.3456 3.979/.3456.88/.3456 ]) bode (P, P, P3) legend ('Go() reine P-Glied', 'Go() P-Glied erweitert mit Lead Glied','Go()') grid on; 7.7 Bodediagramm de gechloenen Regelkreie (Abbildung ) 7.8 Sprungantwort de gechloenen Regelkreie (Abbildung ) clear all; cloe all; P tf ([], [/3 4/3 ]) P tf ([/.6 ], [/.6./.6 3.8/.6 ]) P3 tf ([/. 6/..4/.], [/.3456.6/.3456 3.979/.3456.88/.3456 ]) bode (P, P, P3) legend ('Go() reine P-Glied', 'Go() P-Glied erweitert mit Lead Glied','Go()') grid on; 4
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