Definition 3.8 Eine Reihe n=1 a n heißt absolut konvergent, wenn die Reihe konvergent ist. a n n=1 Beispiel 3.9 Die alternierende harmonische Reihe aber nicht absolut konvergent. n=1 ( 1)n 1 n ist zwar konvergent, Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2017 175 / 545
Dreiecksungleichung für absolut konvergente Reihen Satz 3.10 Eine absolut konvergente Reihe n=1 a n ist auch konvergent und für die Grenzwerte gilt die Dreiecksungleichung a n a n. n=1 n=1 Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2017 176 / 545
Beweis. Reihen a n ist konvergent n=1 S n := n a k ist eine Cauchy-Folge k=1 ɛ > 0 n 0 N m n n 0 : S m S n < ɛ m ɛ > 0 n 0 N m n n 0 : a k k=n+1 m k=n+1 a k < ɛ. Also ist auch T n := n k=1 a k eine Cauchy-Folge und damit konvergent. Aus der Dreiecksungleichung folgt auch T n S n für alle n N und mit Satz 2.15 (v) und Satz 2.22 n=1 a n = lim n T n lim n S n = a n. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2017 177 / 545 n=1
Beispiel 3.11 Wir betrachten die Reihe mit ( 1 n v n. 2) n=0 { 1 wenn n keine Primzahl ist, v n = 1 sonst. Da diese Reihe absolut konvergent ist, ist sie auch konvergent. Den zugehörigen Grenzwert kennen wir für diese Reihe aber nicht. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2017 178 / 545
Majoranten- und Minorantenkriterium Satz 3.12 Es seien (a n ) und (b n ) zwei Folgen mit a n b n für alle n N. (i) Wenn n=1 b n absolut konvergent ist, dann ist auch die Reihe n=1 a n absolut konvergent. (ii) Wenn die Reihe n=1 a n divergent ist, dann ist auch die Reihe n=1 b n divergent. Aussage (i) ist das sogenannte Majorantenkriterium und Aussage (ii) das Minorantenkriterium. Die beiden Aussagen sind semantisch äquivalent. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2017 179 / 545
Beweis. Es seien S n := n a k und T n := k=1 n b k. und ɛ > 0 beliebig. N.V. ist die Reihe n=1 b n absolut konvergent. Damit ist (T n ) ist eine Cauchy-Folge und es existiert ein n 0 N, so dass für alle m n n 0 m Tm Tn = b k < ɛ gilt. Wegen a k b k folgt S m S n = m k=n+1 k=n+1 a k m k=n+1 k=1 b k < ɛ. Also ist auch (S n ) eine Cauchy-Folge und damit konvergent. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2017 180 / 545
Beispiel 3.13 Die Reihe ist absolut konvergent. 3 n + ( 2) n n=0 Begründung: 3 n + ( 2) n 4 n 3n + 2 n 4 n 3n + 3 n ( ) 3 n 4 n = 2 4 und 2 n=0 ( ) 3 n = 2 4 4 n ( ) 3 n 4 n=0 }{{} =4 ist absolut konvergent (geometrische Reihe). = 8 Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2017 181 / 545
Beispiel 3.14 Die Reihen sind für k 2 absolut konvergent. Begründung: Für k 2 und n 1 gilt 1 n k 1 n 2. Die Reihe n=1 1 ist konvergent (siehe Folie 166) und damit auch n 2 absolut konvergent. Also können wir n=1 1 als Majorante nutzen und mit dem n 2 Majorantenkriterium folgt, dass n=1 1 absolut konvergent ist. n k n=1 1 n k Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2017 182 / 545
Quotientenkriterium Satz 3.15 Es sei (a n ) eine Folge in K mit a n 0 für alle n n 0. Weiterhin gebe es eine Zahl θ R mit 0 < θ < 1, so dass für alle n n 0 die Ungleichung a n+1 a n θ erfüllt ist. Dann konvergiert die Reihe n=1 a n absolut. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2017 183 / 545
Beweis. Beweisidee: Wir nutzen die geometrische Reihe als Majorante. N.V. existiert ein n 0 N, so dass a n+1 θ a n für alle n n 0 gilt. Damit folgt für alle n n 0 Es folgt für n n 0 : a n θ a n 1 θ 2 a n 2 θ n n 0 a n0. S n := n n a k = a 1 + + a n0 1 + a k k=n 0 k=1 a 1 + + a n0 1 + a n0 n k=n 0 θ k n0 Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2017 184 / 545
Fortsetzung Beweis. Es sei = a 1 + + a n0 1 + a n0 n n 0 k=0 { ak für k < n b k := 0 a n0 θ n 0 k für k n 0 θ k }{{} absolut konvergent Dann ist n=1 b n absolut konvergent und eine Majorante von ( a n b n für alle n N). Also konvergiert n=1 a n nach dem Majorantenkriterium absolut. n=1 a n Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2017 185 / 545
Beispiel 3.16 Wir untersuchen die Reihe n=1 mit dem Quotientenkriterium auf (absolute) Konvergenz. Es ist a n+1 (n+1)2 a n = 2 n+1 n 2 Für n 3 gilt dann 2 n = n 2 2 n (n + 1)2 2 n+1 2n n 2 = 1 2 a n+1 a n 1 2 ( n + 1 n ( ) 4 2 = 8 3 9 < 1. ) 2 = 1 ( 1 + 1 ) 2. 2 n Mit θ = 8 9 ist das Quotientenkriterium erfüllt. Also ist die Reihe absolut konvergent. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2017 186 / 545
Beispiel 3.17 Wir betrachten wieder die harmonische Reihe n=1 1 n. Wir wissen, dass die Reihe divergiert. Für den Quotienten gilt a n+1 a n = n n + 1 < 1. Wegen n lim n n + 1 = 1 gibt es aber kein θ und kein n 0, so dass a n+1 a n θ < 1 für alle n n0 gilt. Wir sehen daran, dass die Bedingung a n+1 a n θ < 1 wesentlich ist. Nur < 1 reicht nicht aus. a n+1 a n Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2017 187 / 545
Beispiel 3.18 Wie wir von Folie 166 wissen, konvergiert die Reihe n=1 1 (absolut). n 2 Aber auch für diese Reihe gilt lim a n+1 n a n = 1. Damit existiert auch hier kein θ wie im Quotientenkriterium gefordert. Dies zeigt, dass das Quotientenkriterium nur hinreichend aber nicht notwendig für absolute Konvergenz ist. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2017 188 / 545
Folgerung 3.19 Existiert der Grenzwert dann gilt: θ := lim a n+1 n a n, (i) Für θ < 1 ist die Reihe n=1 a n absolut konvergent. (ii) Für θ > 1 ist die Reihe n=1 a n divergent. (iii) Für θ = 1 ist keine Aussage über Konvergenz möglich. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2017 189 / 545
Wurzelkriterium Satz 3.20 Es sei (a n ) eine Folge in K. Weiterhin gebe es eine Zahl θ R mit 0 < θ < 1, so dass für alle n n 0 die Ungleichung n an θ erfüllt ist. Dann konvergiert die Reihe n=1 a n absolut. Beweis. Die Bedingung n a n θ ist äquivalent zu a n θ n. Damit können wir ab n 0 die geometrische Reihe als Majorante nutzen. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2017 190 / 545
Lemma 3.21 Es gilt lim n n n = 1. Beweis. Setze b n := n n 1. Wir zeigen, dass (b n ) eine Nullfolge ist. n = ( n n ) ( ) n n = (1 + bn ) n 1 + bn 2 2 ergibt sich durch die binomische Formel und weglassen der Summanden, ausgenommen für k = 0 und k = 2. Es folgt b 2 n n 1 ( n 2 ) = n 1 n(n 1) 2 = 2 n 0. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2017 191 / 545
Beispiel 3.22 Wir untersuchen die absolut konvergente Reihe n=1 1. Es gilt n k n 1 n = n 1 1. n Für festes k 2 folgt damit n 1 n k = ( 1 n n ) k 1. Wir sehen, dass auch das Wurzelkriterium nur ein hinreichendes, aber kein notwendiges Kriterium für absolute Konvergenz ist. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2017 192 / 545
Folgerung 3.23 Existiert der Grenzwert dann gilt: n θ = lim an n (i) Für θ < 1 ist die Reihe n=1 a n absolut konvergent. (ii) Für θ > 1 ist die Reihe n=1 a n divergent. (iii) Für θ = 1 ist keine Aussage über Konvergenz möglich. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2017 193 / 545
Cauchy-Produkt Definition 3.24 Es seien (a n ) und (b n ) Folgen in K. Dann heißt die Reihe k a j b k j+1 k=1 j=1 das Cauchy-Produkt der Reihen n=1 a n und n=1 b n. Bemerkung: Wenn die Reihen mit n = 0 beginnen, dann lautet das Cauchy-Produkt der Reihen n=0 a n und n=0 b n k a j b k j. k=0 j=0 Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2017 194 / 545
Cauchy-Produkt und das Produkt von Reihen Satz 3.25 Wenn die Reihen n=0 a n und n=0 b n absolut konvergent sind, dann ist auch deren Cauchy-Produkt absolut konvergent und es gilt ( ) a n b n = a n b m n=1 m=1 = = n=1 m=1 ( ) a n b m m=1 n=1 k a j b k j+1 k=1 j=1 Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2017 195 / 545