Mathematik W18 Mag. Christina Sickinger Berufsreifeprüfung v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 1 / 41
Das Problem v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 2 / 41
Wir wollen das Problem lösen! Wir sind nun Mathematiker und wollen der Landjugend von Steinberg dabei helfen, dass sie zumindest nächstes Jahr den höchsten Maibaum aufstellen können. v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 3 / 41
Die Lösung Wiederholung: Definition (Ähnlichkeit) Zwei Figuren sind zueinander ähnlich, wenn sie in ihrer Form übereinstimmen. In ähnlichen Figuren sind entsprechende Winkel gleich groß und die Längen entsprechender Seiten haben dasselbe Verhältnis. v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 4 / 41
Die Lösung Wiederholung: Definition (Ähnlichkeit von Dreiecken) Stimmen zwei Dreiecke in allen drei Winkeln überein, so nennt man die beiden Dreiecke zueinander ähnlich. v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 5 / 41
Die Lösung Aus dem Satz Satz (Winkelsumme von Dreiecken) Im Dreieck ist die Summe der Innenwinkel gleich 180. und der vorherigen Definition kann man folgern Satz Stimmen zwei Dreiecke in zwei Winkeln überein, so stimmen sie auch im dritten Winkel überein, und sind somit ähnlich. v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 6 / 41
Die Lösung Satz (Strahlensatz) In ähnlichen Figuren sind die Verhältnisse entsprechender Seiten gleich. Somit gilt in ähnlichen Dreiecken: a : a = b : b = c : c v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 7 / 41
Angabe Angenommen die Höhe des Kursraumes entspricht der Höhe des Baumes, der für das Maibaumfest gefällt werden soll. Wir wollen nun mit unserem Wissen diese Höhe H des Kursraumes berechnen! Siehe Arbeitsblatt! v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 8 / 41
Beschriftungen im rechtwinkligen Dreieck Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck: Wir müssen nun die einzelnen Teile des Dreiecks beschriften, damit wir alle einheitliche Begriffe verwenden und jeder weiß wovon man redet. v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 9 / 41
Beschriftungen im rechtwinkligen Dreieck Zuerst beschriften wir die Ecken: v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 10 / 41
Beschriftungen im rechtwinkligen Dreieck Danach beschriften wir die Seiten: v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 11 / 41
Beschriftungen im rechtwinkligen Dreieck Nun können wir die sogenannte Hypotenuse einzeichnen. Definition (Hypotenuse) Als Hypotenuse bezeichnet man die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 12 / 41
Beschriftungen im rechtwinkligen Dreieck Außerdem können wir die Katheten einzeichnen. Definition (Kathete) Als Kathete wird jede der beiden kürzeren Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet. Die Katheten sind also die beiden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks, die den rechten Winkel bilden. v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 13 / 41
Beschriftungen im rechtwinkligen Dreieck Einzeichnen der Winkel. v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 14 / 41
Beschriftungen im rechtwinkligen Dreieck Bezeichnung der Katheten in Bezug auf den Winkel α. v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 15 / 41
Beschriftungen im rechtwinkligen Dreieck Bezeichnung der Katheten in Bezug auf den Winkel β. v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 16 / 41
Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens im rechtwinkligen Dreieck In allen ähnlichen Dreiecken bleibt das Verhältnis zweier Seiten erhalten. Diese Verhältnisse liefern uns folgende Definition: Definition (Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens) sin(α) = Gegenkathete Hypothenuse cos(α) = Ankathete Hypothenuse tan(α) = Gegenkathete Ankathete cotan(α) = Ankathete Gegenkathete v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 17 / 41
Merksatz Merksatz: GAGA Hühnerhof AG v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 18 / 41
Merksatz GAGA Hühnerhof AG v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 19 / 41
Merksatz Übung Buch S. 208/209: 9.067, 9.068, 9.072, 9.077, 9.080 v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 20 / 41
tan(α) = sin(α) cosα Satz tan(α) = sin(α) cos(α) v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 21 / 41
tan(α) = sin(α) cosα Satz tan(α) = sin(α) cos(α) Beweis. sin(α) cos(α) = Gegenkathete Hypothenuse Ankathete Hypothenuse = Gegenkathete Hypothenuse Hypothenuse = Ankathete Gegenkathete Ankathete = tan(α) v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 22 / 41
sin(α) 2 + cos(α) 2 = 1 Satz sin(α) 2 + cos(α) 2 = 1 v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 23 / 41
sin(α) 2 + cos(α) 2 = 1 Satz sin(α) 2 + cos(α) 2 = 1 Beweis. sin(α) 2 + cos(α) 2 = ( Gegenkathete Hypothenuse )2 + ( Ankathete Hypothenuse )2 = Gegenkathete2 Hypothenuse 2 + Ankathete2 Hypothenuse 2 = Gegenkathete2 + Ankathete 2 Hypothenuse 2 = Hypothenuse2 Hypothenuse 2 = 1 v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 24 / 41
Bemerkung Wir wissen: sin(α) = Gegenkathete Hypothenuse cos(α) = Ankathete Hypothenuse weiters wissen wir, dass die Gegenkathete und die Ankathete immer kleiner als die Hypothenuse ist. Daraus folgt nun: Satz sin(α) und cos(α) sind reelle Zahlen zwischen 0 und 1. v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 25 / 41
Sinus, Cosinus, Tangens Umkehrfunktionen Sind die Längen in einem Dreieck gegeben, und man möchte den Winkel berechnen braucht man die Umkehrfunktionen Arcussinus (arcsin, sin 1 ) Arcuscosinus (arccos, cos 1 ), und Arcustangens (arctan, tan 1 ). v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 26 / 41
Sinus, Cosinus, Tangens Umkehrfunktionen Problem: Eine 4 m hohe Leiter ist an einer Mauer angelehnt. Sie steht am Boden 2 m von der Mauer entfernt. Wie groß ist der Winkel α zwischen Leiter und Mauer? v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 27 / 41
Sinus, Cosinus, Tangens Umkehrfunktionen sin(α) = Gegenkathete Hypothenuse = 2 4 = 1 2 α = arcsin( Gegenkathete Hypothenuse ) = arcsin(1 2 ) = 30 v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 28 / 41
Sinus, Cosinus, Tangens Umkehrfunktionen Von einem rechtwinkeligen Dreieck sind die Hypotenuse c = 49, 4cm und die Ankathete a = 30, 6cm von α gegeben. Berechnen Sie die Größe des Winkels α. v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 29 / 41
Sinus, Cosinus, Tangens Umkehrfunktionen cos(α) = Ankathete Hypothenuse = 30, 6 49, 4 α = arccos( Ankathete Hypothenuse ) = arccos(30, 6 ) = 51, 73 49, 4 v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 30 / 41
Sinus, Cosinus, Tangens Umkehrfunktionen Barbara möchte wissen, unter welchem Höhenwinkel sie die Spitze eines 42,21 m hohen Kirchturms betrachten muss, wenn sie 65 m vom Kirchturm entfernt steht v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 31 / 41
Sinus, Cosinus, Tangens Umkehrfunktionen tan(β) = Gegenkathete Ankathete = 42, 21 65 β = arctan( Gegenkathete 21 ) = arctan(42, Ankathete 65 ) = 32.999 v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 32 / 41
Sinus, Cosinus, Tangens Umkehrfunktionen Eine Klasse geht ins Einkaufszentrum. Dort gibt es eine Rollband das 3,8 m lang ist und eine Höhe von 2,9 m überwindet. Berechnen Sie den Winkel zwischen Boden und Rollband. Berechnen Sie den Winkel zwischen Mauer und Rollband. v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 33 / 41
Sinus, Cosinus, Tangens Umkehrfunktionen Die Schafbergbahn überwindet auf einer Länge von 5,8 km einen Höhenunterschied zwischen St. Wolfgang (52 m) und Schafbergspitze (1732 m). Berechnen Sie den Anstiegswinkel. v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 34 / 41
Sinus, Cosinus, Tangens Umkehrfunktionen sin(α) = Gegenkathete Hypothenuse = 1190 5800 α = arcsin( Gegenkathete Hypothenuse ) = arcsin(1190 ) = 11, 84 5800 v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 35 / 41
Steigung im Straßenverkehr v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 36 / 41
Steigung im Straßenverkehr v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 37 / 41
Steigung im Straßenverkehr α =? v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 38 / 41
Steigung im Straßenverkehr tan(α) = Gegenkathete Ankathete = 12 100 = 0, 12 tan 1 (0, 12) = α = 6.84 v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 39 / 41
Steigung im Straßenverkehr Beispiel Wir berechnen die Steigung der linearen Funktion : k = 10 50 = 0, 2 v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 40 / 41
Steigung im Straßenverkehr Beispiel Somit gilt: Auf 100 m haben wir somit eine Höhe von 20 m überwunden. Die Steigung liegt somit bei 20 %. v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 41 / 41
Steigung im Straßenverkehr Übung Beispiele... v 0 Mag. Christina Sickinger Mathematik W18 42 / 41