Periodische Funktionen, Fourier Reihen

Kapitel 1: Periodische Funktionen, Fourier Reihen 1.1 Grundlegende Begriffe Periodische Funktionen Definition: Eine Funktion f : R R oder f : R C) heißt periodisch mit der Periode T, falls für alle t R gilt: ft + T ) = ft) Hauptresultat dieses Kapitels: Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourier Reihe ft) = a + [a k coskωt) + b k sinkωt)] Grundschwingungen: cosωt), sinωt) Oberschwingungen: coskωt), sinkωt), k =, 3,... 146 Bemerkungen: 1) Ist T eine Periode von ft), so auch kt, k Z, eine Periode. Sind T 1 und T Perioden, so ist auch k 1 T 1 + k T, k 1, k Z, eine Periode. Man sagt: Die Menge aller Perioden bildet einen Z Modul. ) Existiert eine kleinste positive Periode T >, so ist die Menge der Perioden gegeben durch kt, k Z. Jede nichtkonstante, stetige und periodische Funktion besitzt eine solche kleinste Periode. 3) Sind ft) und gt) T periodisch, so ist auch αf + βg T periodisch. 4) Ist ft) T periodisch und integrierbar über kompakten Intervallen), so gilt für beliebige a R: ft) dt = a+t a ft) dt 147

Definition: Eine Funktion gt), t [, T ] bzw. t [, T/] läßt sich zu einer T periodischen Funktion f : R R fortsetzen. Gebräuchlich sind dabei die folgenden Vorgehensweisen: 1) Direkte Fortsetzung: ft) := gt kt ), kt t < k + 1)T ) Gerade Fortsetzung: Sei gt) auf [, T/] gegeben: ) ) k 1 k + 1 ft) := gt kt ), T t < T wobei g zunächst an der y Achse gespiegelt wird: gt) := g t), T t < 3) Ungerade Fortsetzung: Wie bei ), aber Spiegelung am Ursprung: gt) := g t), T t < 148 Definition: 1) Eine Reihe der Form ft) = a + [a k coskωt) + b k sinkωt)] mit a k, b k R/C heißt Fourier Reihe oder trigonometrische Reihe); dabei sei ω = π T >. ) Die zugehörigen Partialsummen f n t) = a + n heißen trigonometrische Polynome. [a k coskωt) + b k sinkωt)] 149

Komplexe Schreibweise der Fourier Reihe: Formel von Euler e ix = cos x + i sin x Damit gilt: cos x = 1 e ix + e ix ) sin x = 1 e ix e ix) i Trigonometrische Polynome: n f n t) = Fourier Reihe: ft) = lim k= n n n k= n γ k e ikωt γ k e ikωt 15 Umrechnung der Koeffizienten a k, b k und γ k : f n t) = a + n = a + n [ ak = a + n = n k= n Damit ergibt sich: [a k coskωt) + b k sinkωt)] γ k e ikωt e ikωt + e ikωt) + b k e ikωt e ikωt)] i [ ak ib k e ikωt + a ] k + ib k e ikωt γ = 1 a γ k = 1 a k ib k ) γ k = 1 a k + ib k ) a = γ a k = γ k + γ k b k = iγ k γ k ) 151

Satz: 1) Die Funktionen e ikωt, k Z, ω = π, bilden ein Orthonormalsystem T bezüglich des Skalarprodukts: u, v := 1 T ) Konvergiert die Fourier Reihe lim n n k= n ut)vt) dt γ k e ikωt auf [, T ] gleichmäßig gegen eine Funktion ft), so ist diese stetig und es gilt: γ k = 1 T ft)e ikωt dt, k Z 15 Bemerkung: 1) Reelle Orthogonalitätsrelationen: coskωt) coslωt) dt = sinkωt) sinlωt) dt = : k l T/ : k = l T : k = l = { : k l T/ : k = l sinkωt) coslωt) dt = 153

Bemerkung: ) Reelle Fourier Koeffizienten: a k = T b k = T 1. Fourier Reihen Definition: ft) coskωt) dt k ft) sinkωt) dt, k > 1) Eine Funktion f : [a, b] C heißt stückweise stetig bzw. stückweise stetig differenzierbar, falls ft) bis auf endlich viele Stellen t < t 1 <... < t m in [a, b] stetig bzw. stetig differenzierbar ist und in diesen Ausnahmepunkten die einseitigen Grenzwerte vn ft) und f t) existieren. 154 Definition: Fortsetzung) ) Für eine stückweise stetige Funktion f : [, T ] C werden die Fourier Koeffizienten von ft) definiert durch: γ k := 1 T a k := T b k := T ft)e ikωt dt, k Z Dabei ist ω = π/t die Kreisfrequenz. ft) coskωt) dt k ft) sinkωt) dt, k > 155

Definition: Fortsetzung) 3) Die mit den obigen Koeffizienten gebildete Reihe F f t) = γ k e ikωt = a + heißt die Fourier Reihe von ft). [a k coskωt) + b k sinkωt)] Bei der Definition verwendet man die direkte Fortsetzung der Funktion f : [, T ] C zu einer T periodischen Funktion. Satz: Sei ft) eine stückweise stetige, T periodische Funktion. ft) gerade a k = 4 T T/ ft) ungerade a k = b k = 4 T ft) coskωt) dt b k = T/ ft) sinkωt) dt 156 Beispiel: Die Sägezahnfunktion: : t =, t = π St) := 1 π t) : < t < π Die Funktion ist ungerade, also gilt beachte ω = 1): a k = b k = π Damit lautet die Fourier Reihe: π π t sinkt) dt = 1 k St) sin t + sint) + sin3t) +... 3 Approximation der Sägezahnfunktion durch 1. Partialsumme S 1 t) = 1 sinkt) k 157

Beispiel: Die Rechteckschwingung: : t =, t = π, t = π Rt) := 1 : < t < π 1 : π < t < π Die Funktion ist ungerade, also gilt: a k = b k = π : k gerade sinkt) dt = 4 π kπ : k ungerade Die Fourier Reihe lautet daher: Rt) 4 sin t π 1 + sin3t) + sin5t) ) +... 3 5 158 Beispiel: Sei ft) = t, π < t < π mit π periodischer Fortsetzung. Die Funktion ist gerade, damit folgt a k = π π t coskt) dt = Damit ergibt sich als Fourier Reihe π : k = 3 1) k 4 : k = 1,,... k ft) π 3 4 cos t 1 + 4 cost) +... 159

Rechenregeln für Fourier Reihen: f, g : R C stückweise stetig, T periodisch mit 1) Linearität ft) γ k e ikωt, gt) δ k e ikωt αft) + βgt) αγ k + βδ k )e ikωt ) Konjugation ft) γ k e ikωt 3) Zeitumkehr f t) γ k e ikωt 16 Rechenregeln für Fourier Reihen: Fortsetzung) 4) Streckung fct) γ k e ikcω)t 5) Verschiebung ft + a) γk e ikωa) e ikωt, a R e inωt ft) γ k n e ikωt, n Z 161

Rechenregeln für Fourier Reihen: Fortsetzung) 6) Ableitung Ist ft) stetig und stückweise differenzierbar, so gilt: f t) = ikωγ k )e ikωt 7) Integration Gilt a = γ = T ft)dt =, so folgt: ωkb k coskωt) a k sinkωt)) t fτ) dτ 1 T tft) dt bk kω coskωt) a ) k kω sinkωt) 16 Satz: Konvergenzsatz) Sei f : R C T periodisch, stückweise stetig differenzierbar. Betrachte die zugehörige Fourier Reihe F f t) = a + a k coskωt) + b k sinkωt)) 1) Die Reihe konvergiert punktweise und für alle t R gilt: F f t) = 1 ft + ) + ft ) ) ) In allen kompakten Intervallen [a, b], in denen ft) stetig ist, ist die Konvergenz gleichmäßig. Bemerkung: Stetigkeit von ft) reicht für die Konvergenz der Fourier Reihe nicht aus. 163

Beispiel: Die Sägezahnfunktion : t =, t = π St) := 1 π t) : < t < π Fehlerfunktion: Definiere für < t < π Es gilt: Integration: t π R n t) := 1 sint) t π) + sin t + +... + sinnt) n sin [ n + 1 )t] sint/) 1 + cos t +... + cosnt) = sin [ n + 1 )t] sint/) dt = t π) + sin t + sint) +... + sinnt) n 164 Daraus folgt: R n t) = und daher t π sin [ n + 1 )t] dt sint/) p.i. = cos [ n + 1 )t] n + 1) sint/) + 1 n + 1 MWS = cos [ n + 1 )t] n + 1) sint/) + cos [ n + 1 ) t ] n + 1) Ist t, π) fest, so gilt: R n t) t π n + 1) sint/) cos n + 1 ) d )τ dτ ) 1 sint/) 1 1 sinτ/) ) dτ R n t) t 165

Satz: Approximationsgüte) 1) Approximation im quadratischen Mittel Sei f : R C eine T periodische, stückweise stetige Funktion, und seien S n t) := a + n a k coskωt) + b k sinkωt)) die Partialsummen der zugehörigen Fourier Reihen. Für den Teilraum von CR) der trigonometrischen Polynome { } 1 T n := Spann, cosωt),..., cosnωt), sinωt),..., sinnωt) mit dem Skalarprodukt u, v = T ut)vt) dt 166 Satz: 1) gilt dann Fortsetzung) φ T n : f S n f φ d.h. S n t) ist von allen Funktionen aus dem Teilraum T n die beste Approximation von ft) im quadratischen Mittel. ) Es gilt die Besselsche Ungleichung a + n a k + b k ) T ft) dt Hieraus folgt insbesondere die Konvergenz der Reihen a k und b k 167

Satz: Fortsetzung) ) und damit auch Riemannsches Lemma) Bemerkung: lim a k und lim b k k k Unter geeigneten Bedingungen an f : R R/C lassen sich die Koeffizienten γ k der Fourier Reihe abschätzen: Beispiel: γ k C km+1, k = ±1, ±,... Rechteckschwingung F f t) = 4 π sin t 1 + sin3t) + sin5t) ) +... 3 5 Die Koeffizienten γ k konvergieren mit 1/k gegen Null! 168 Bemerkung: über, i.e. Für n geht die Besselsche Ungleichung in Gleichheit a + a k + b k ) = T ft) dt Diese Beziehung nennt man die Parsevalsche Gleichung. Beispiel: Es gilt Wieder Rechteckschwingung und da a k =, k =, 1,... T ft) dt = b k = 16 π 1 1 + 1 3 + 1 5 +... ) = 16 π π 8 = 169