Transport Einführung

Transport Einführung home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/deckblatt.tex Seite 1 von 24. p.1/24

1. Einführung 2. Transportgleichung 3. Analytische Lösung Inhaltsverzeichnis 4. Diskretisierung der Transportgleichung Es wird die folgende Annahme getroffen: ρ = const, d.h. alle betrachteten Fluide werden als inkompressibel behandelt. A. Herleitung der analytischen Lösung der Transportgleichung B. Stabilitätsanalyse des zentralen Differenzenschemas für die Transportgleichung home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/inhalt_8.tex Seite 2 von 24. p.2/24

Materielle / Substantielle Ableitung Du }{{} Dt 1 = u }{{} t 2 + (vu) }{{} 3 = u t + v u + u v = 0 (Konti-Gleichung) 1 : substantielle Beschleunigung 2 : lokale Beschleunigung 3 : konvektive Beschleunigung mit v 0 Eulersche Betrachtungsweise v = 0 Lagrangesche Betrachtungsweise (Bewegung relativ zum System) home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/subst_beschl.tex Seite 3 von 24. p.3/24

Navier-Stokes Gleichung (u = v) Die Navier-Stokes Gleichung kann als Transportgleichung für Geschwindigkeiten interpretiert werden. L(v,p) := ρ v t + ρv v σ + f = 0. Die Oberflächenkräfte σ setzen sich aus dem hydrostatischen Druck p und den viskosen Spannungen τ zusammen. Letztere sind bei den newtonischen Fluiden proportional zum Gradienten der Geschwindigkeit und der Viskosität. σ = τ pi τ xx = 2µ v x x. f sind die Volumenkräfte, d.h hier die Schwerkraft. home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/navier_stokes.tex Seite 4 von 24. p.4/24

Transport Gleichung (u = c) Die klassische Transportgleichung ist ein skalare Gleichung für beispielsweise eine Konzentration L(c) := c t + v } {{ c } (D c) + r = 0. }{{} Advektion Diffusion Die dimensionlose Zahl die das Verhältnis von Advektion zu Diffusion beschreibt ist die Pecletzahl. Pe = Advektion Diffusion Pe = v L D [ ] (Pecletzahl) L ˆ= charakteristische Länge, z.b. Länge des Gebiets home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/transp_eqn.tex Seite 5 von 24. p.5/24

Transporteigenschaften Typische Transporteigenschaften in diversen Hydrosystemen V D M,D L Pe = vl D X s [m] t Fluss 1 [m/s] 25 [m 2 /s] 2 50 50 [s] Ästuar 0.05 [m/s] 10 [m 2 /s] 0.25 6.25 125 [s] Grundwasser 1 [m/d] 50 [m 2 /d] 1 25 70 [d] V ˆ= Typische Transportgeschwindigkeit D M ˆ= Typischer longitudinaler Diffusionskoefficient Pe ˆ= Konvection-Diffusionsverhältnis X s ˆ= Verteilungsbreite t ˆ= Zeit bis zur vollständigen Durchmischung home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/comparison.tex Seite 6 von 24. p.6/24

1D - Transportgleichung Wir betrachten eine repräsentative Modellgleichung, hier die instationäre Advektions-Diffusionsgleichung u +v u }{{} t }{{} x x D u }{{ x} 1 2 3 = 0 1 : Speicherterm 2 : Advektionsterm 3 : Diffusionsterm u ist eine Funktion von (x, t), v ist die Geschwindigkeit und D der hydrodynamische Dispersionstensor. home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/1d_transp_eqn.tex Seite 7 von 24. p.7/24

Analytische Lösung Die Pecletzahl ist Pe = vh D Die analytische Lösung für eine stationäre Transportgleichung d.h. u = 0 ist t u u i = exp(pe x) 1 { h u = u i for x i = 0, u j u i exp(pe) 1 u = u j for x j = h Die Lösung dieser Gleichung ist auf der nächsten Folie für verschiedene Pecletzahlen grafisch dargestellt. Wie man auf diese Lösung kommt wird im Anhang gezeigt. home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/analyt_sol.tex Seite 8 von 24. p.8/24

Analytische Lösung II u j Pe = Pe << 1 Pe = 1 Pe =0 Pe = 1 u i i v + Pe = 0 j u j u i x i = 0 Pe >> 1 x u i x j = h v v = 0 i j u j h home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/analyt_sol_2.tex Seite 9 von 24. p.9/24

Diskretisierung der Transportgleichung c t + {vc D c} q = 0 Eine Möglichkeit, diese Gleichung zu diskretisieren, besteht darin, den Advektions- und den Diffusionsterm zu separieren. c t + v c + c v (D c) q = 0. Der dritte Term ist null; er stellt die Kontinuitätsgleichung dar. c t + v c (D c) q = 0. Bemerkung: Diese Art der Diskretisierung ist nicht sehr gut für IFDM/FVM geeignet. home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/discr_transp_1.tex Seite 10 von 24. p.10/24

Diskretisierung der Transportgleichung c t + {vc D c} q = 0 Die zweite Möglichkeit besteht darin die Gleichung in einer integralen Form zu schreiben G c t dg + G {vc D c} dg und dann den Satz von Gauss anzuwenden G c t dg + Γ (vc D c) ndγ G G q dg = 0, q dg = 0. Bemerkung: Dies ist die konservative Form der Bilanzgleichung. home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/discr_transp_2.tex Seite 11 von 24. p.11/24

Diskretisierung der Transportgleichung Die erste Art der Diskretisierung ist sehr gut für die Finite Differenzen Methode geeignet, weil die Differentialgleichung direkt in eine Differenzengleichung überführt werden kann. Zum Beispiel: implizite Zeitdiskretisierung und ein zentrales Differenzenverfahren im Ort c n+1 i c n i t + v cn+1 i+1 cn+1 i 1 2 x D cn+1 i+1 2cn+1 i + c n+1 i 1 q x 2 i = 0. Bemerkung: In diesem Fall kann es zu Instabilitäten kommen, wenn der Prozess advektionsdominiert ist (siehe Erläuterung und Herleitung im Anhang B). home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/discr_transp_3.tex Seite 12 von 24. p.12/24

Diskretisierung der Transportgleichung Die zweite Art der Diskretisierung ist sehr gut für IFDM und FVM geeignet, da hier die Flüsse über die Grenzflächen approximiert werden. G c n+1 i c n i t dg + Γ ( vc n+1 Dcn+1 i 1 i+1 cn+1 i 1 2 x ) dγ q i dg = 0. Bemerkung: In diesem Fall wird der advektive Term nicht mehr als Konzentrationsgradient approxomiert. Die richtige Konzentration muss nun, abhängig von der Fließrichtung ausgewählt werden. (Annahme hier: Fluss von links nach rechts.) home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/discr_transp_4.tex Seite 13 von 24. p.13/24

Diffusive and advektive Flüsse Diffusive Flüsse führen zu diagonal dominierten Matrizen mit positiven Einträgen Das resultierende Gleichungssystem kann ohne Stabilitätsprobleme gelöst werden (Beispiel: Laplace-Gleichung). Advektive Flüsse müssen durch die Wahl der richtigen Diskretisierungsmethode korrekt beschrieben werden. Der Differentialoperator, der die Konvektion beschreibt ist nicht symmetrisch und z.b. bei der Navier-Stokes-Gleichung auch nicht linear. home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/diff_adv_flux.tex Seite 14 von 24. p.14/24

Anhang A Herleitung der analytischen Lösung der stationären Transportgleichung home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/anhang_a.tex Seite 15 von 24. p.15/24

Herleitung der analytischen Lösung Betrachten wir die stationäre Transportgleichung v du dx Dd2 u dx 2 = 0. Zur Lösung wählen wir den folgenden Ansatz u = e λx. Eingesetzt ergibt sich vλe λx Dλ 2 e λx = 0. Wir lösen nun das Eigenwertproblem (vλ Dλ 2 )e λx = 0 λ 0 = 0 λ 1 = v D. home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/derivation.tex Seite 16 von 24. p.16/24

Herleitung der analytischen Lösung Die allgemeine Lösung lautet: u(x) = M 1 e λ0x + M 2 e λ 1x = M 1 + M 2 e v D x Mit Hilfe der Randbedingungen können M 1 und M 2 bestimmt werden. u(0) = u i M 1 + M 2 = u i u(l) = u j M 1 + M 2 e v D L = u j M 1 = u i M 2 u i M 2 + M 2 e v D L = u j M 2 = u j u i e v D L 1 M 1 = u i u j u i e v D L 1 home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/derivation2.tex Seite 17 von 24. p.17/24

Herleitung der analytischen Lösung Damit erhalten wir die folgende Lösung u(x) = u i u j u i e v D L 1 + u j u i e v D L 1 e v D x. Durch Umformung erhalten wir dann die vorgestellte Lösung u u i u j u i = 1 e v D L 1 + = e v D x 1 e v D L 1 = epe x L 1 e Pe 1. e v D x e v D L 1 home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/derivation3.tex Seite 18 von 24. p.18/24

Anhang B Erläuterungen zur Stabilität des zentralen Differenzenschemas bei der stationären Transportgleichung home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/anhang_b.tex Seite 19 von 24. p.19/24

Stabilität Wir betrachten den stationärer Transport v c i+1 c i 1 D c i+1 2c i + c i 1 = 0 2 x x 2 v x D (c i+1 c i 1 ) 2(c i+1 2c i + c i 1 ) = 0 v x mit D = Pe (Pe 2)c i+1 + 4c i (Pe + 2)c i 1 = 0 Randbedingungen: c 0 = 1; Knoten ist.) c Nx = 0, (wobei N x die Anzahl der home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/stability.tex Seite 20 von 24. p.20/24

Stabilität Wir ersetzen nun c i mit dem exponentiellen Ansatz e λih (Pe 2)e λ(i+1)h + 4e λih (Pe + 2)e λ(i 1)h = 0 (Pe 2)e 2λh + 4e λh (Pe + 2) = 0 (Pe 2) ( e λh) 2 + 4e λh (Pe + 2) = 0 (Pe 2)β 2 + 4β (Pe + 2) = 0 : e λ(i 1)h ;e λh = β und lösen die quadratische Gleichung für β mit der Mitternachtsformel. home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/stability2.tex Seite 21 von 24. p.21/24

Stabilität β 1/2 = b± b 2 4ac 2a = 4± 16 + 4(Pe 2)(Pe + 2) 2Pe 4 = 4± 16 + 4Pe 2 16 2Pe 4 = 4±2Pe 2Pe 4 = 2±Pe Pe 2 2 Pe β 1 = β Pe 2 2 = 2+Pe Pe 2 β 1 = (Pe+2) Pe 2 β 2 = 1 home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/stability3.tex Seite 22 von 24. p.22/24

Stabilität Wir berechnen nun M 1 und M 2 in der allgemeinen Lösung c i = M 1 β i 1 + M 2 mit den Randbedingungen. c i (x = 0) = 1 = M 1 + M 2 M 2 = 1 M 1 c i (N x ) = 0 = M 1 β N x 1 + M 2 Löse nach M 1 : 0 = M 1 β N x 1 + 1 M 1 1 = M 1 (β N x 1 1) M 1 = 1 β N x 1 1 und M 2 : M 2 = 1 + 1 β N x 1 1 = βn x 1 β N x 1 1 home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/stability4.tex Seite 23 von 24. p.23/24

Daraus ergibt sich die Lösung Stabilität c i = βi 1 β N x 1 1 + β = βn x 1 β i 1 β N x β N x N x 1 1 1 i N x 1 1 1 = 1 β 1 β N x 1 = 1 β (N x i) 1 1 β N x 1. Betrachten wir nun die Lösung, dann stellen wir fest, dass β 1 negativ wird, wenn die Pecletzahlen größer als 2 sind. Da der Exponent N x i abwechselnd gerade und ungerade sein wird, wird der Beitrag des Wertes abwechselnd positiv und negativ sein. Dies führt zu Oszillationen, das System wird instabil. Nur wenn die Pecletzahl kleiner als zwei ist, wird es eine stabile Lösung geben. home/lehre/vl-mhs-1/inhalt/folien/vorlesung/8_transport/stability4.tex Seite 24 von 24. p.24/24