1 KT I SCF UE03 Aufgabe

1 KT I SCF UE03 Aufgabe 1 KT I SCF UE03 Aufgabe 1. Leiten Sie ausgehend vom Kugelwellenansatz für den Schalldruck p(r, t) = A r e j k r e +j ω t (1) mit dem linearisierten akustischen Trägheitsgesetz einen Ausdruck für die Schallschnelle v sowie die Schallfeldimpedanz Z her. A...beliebiger Amplitudenbetrag in Pa m r...abstand zur Quelle in m k...wellenzahl in 1/m ω...kreisfrequenz in rad/s t...zeit t in s c...schallausbreitungsgeschwindigkeit in m/s es gilt weiterhin 1 = j, k = ω c 2. Geben Sie Näherungen für Z sowie die Proportionen p,v zu r für die Grenzfälle Fernfeld und Nahfeld an. 3. Berechnen Sie für die kugelförmige Volumenquelle mit Radius a und der Bedingung k a << 1 den Schalldruckverlauf. Hinweis: Benutzen Sie dazu auch den Volumenfluss Q a = 4 π a 2 v a (2), um auf die sehr gebräuchliche Näherung für Monopolquellen zu schließen. 1

2 KT I SCF UE03 Lösung - Volumenquelle, Kugelwelle 2.1 Herleitung Es wird der Ansatz p(r, t) = A r e j k r e +j ω t (3) gemacht, der die Wellengleichung p = 1 c 2 2 p t 2 (4) in Kugelkoordinaten mit dem sich ergebenden Laplaceoperator (unabhängig von φ und θ) p = 2 p r 2 + 2 r erfüllt. Desweiteren folgt mit der Annahme, dass A nicht von r bzw. t abhängt und dem linearisierten akustischen Trägheitsgesetz p r (5) v(r, t) t = 1 ρ 0 p(x, t) x (6) v(r, t) = 1 ρ 0 p(x, t) t x (7) der Schnelleverlauf allgemein v(r, t) = Aus 3 und 8 folgt weiterhin A ρ 0 c r ( 1 j 1 ) e j k r e +j ω t (8) k r v(r, t) = p(r, t) ρ 0 c ( 1 j 1 ) k r (9) 2

Für die Schallfeldimpedanz Z gilt dann allgemein Z = p v = 2.2 Näherungen: Fern- vs. Nahfeld Mit r erhält man den bekannten Zusammenhang ρ 0 c ( ) (10) 1 j 1 k r v(r, t) = p(r, t) ρ 0 c (11) für ebene fortschreitende Wellen, da bei unendlichem Radius die Krümmung der Kugel so gering ist, dass von einer ebenen Wellenfront gesprochen werden kann. Für ebene Wellen (r ) gilt dann Z 0 = p v = ρ 0 c (12) In der Akustik ist es immer auch interessant, wie sich Sachverhalte bezogen auf k r verhalten. Ausgehend von 10 kann man zwei Grenzfälle unterscheiden. Erster Fall: 1 >> 1 1, zweiter Fall: 1 <<. Im ersten Fall muss k r gegen 0 gehen. Für eine j k r j k r gegebene Wellenlänge λ würde hier (mit k = 2 π = ω) also r >> 1 bzw. wenn man λ c k 2 π noch vernachlässigt r >> λ gefordert. Dieser sogenannte Fernfeldgrenzfall ist charakterisiert durch Z = p v = ρ 0 c p 1 r v 1 r (13) Man sieht: Im Fernfeld sind wegen reeller Schallfeldimpedanz Druck und Schnelle in Phase, die Volumenquelle strahlt im Fernfeld eine ebene Welle ab. Für den zweiten Fall muss k r gelten, dies wird offensichtlich der Fall, wenn r << λ Dieser sogenannte Nahfeldgrenzfall ist charakterisiert durch Z = p v = ρ 0 c j k r p 1 r v 1 r 2 (14) Man sieht: Im Nahfeld sind wegen imaginärer Schallfeldimpedanz Druck und Schnel- 3

le nicht in Phase (sondern 90 phasenverschoben). Beachte: Die Grenze zwischen Nah- und Fernfeld ist eine frequenzabhängige Größe. 2.3 Näherung zur Volumenquelle Für die kugelförmige Volumenquelle mit Radius a wird Dann wird v(r = a) = v a = A ρ 0 c a ( 1 j 1 ) e j k a (15) k a A = v a ρ 0 c a 1 j 1 e +j k a (16) k a Für k a 0 (bzw. k a << 1, d.h. λ >> a) kann die 1 im Nenner von A vernachlässigt werden, außerdem folgt dann e +j k a 1, und man kann mit k c = ω vereinfachen zu Der Druckverlauf wird also bei λ >> a zu A = j v a ρ 0 ω a 2 (17) p(r, t) = j v a ρ 0 ω a 2 e j k r e +j ω t (18) r Es ist sinnvoll Volumenquellen mit dem Volumenfluss bzw. Volumenstrom (Volumen pro Zeiteinheit) Q (gerne bezeichnet auch als V ) [Q] = m 3 /s zu beschreiben. Speziell für Gase gilt mit der Strömungsgeschwindigkeit v und der durchströmten Fläche ds Q = S v ds (19) Für den Volumenfluss durch die Kugelfläche der Volumenquelle gilt mit v a und Radius a Dies kann man zunächst einsetzen in 18 p(r, t) = j ρ 0 ω Q a Q a = 4 π a 2 v a (20) e j k r e +j ω t = j ρ 0 ω Q a e +j(ω t k r) (21) 4

Mit k = ω/c und der Definition τ = r/c folgt p(r, t) = j ρ 0 ω Q a e +j ω(t r/c) = j ρ 0 ω Q a e +j ω(t τ) (22) Den Term j ω Q a e +j ω(t τ) kann man im Bildbereich als harmonische Größe des Volumenflusses mit Amplitude Q a interpretieren. Für den Zeitbereich folgt dann mit j ω d/dt der Druckverlauf im Zeitbereich(!) p(r, t) = ρ 0 dq(t τ) dt = ρ 0 Q(t τ) (23) Der resultierende Schalldruck entsteht also aus der zeitlichen Differentation des Volumenflusses der Quelle! 5

Literaturverzeichnis Literaturempfehlungen: [Mös07], [Kut07] (oder [Kut04]), [Kut00], [KFCS00], [BX08], [Fah00], [Vor08], [ZZ03], [Wei08] Frank Schultz (MKT 07), schueinh@mailbox.tu-berlin.de, +49 175 15 49 763 kompiliert: 06.07.2008, 0.00 Literaturverzeichnis [BX08] [Fah00] Blauert, Jens ; Xiang, Ning: Acoustics for Engineers. Berlin Heidelberg : Springer, 2008 Fahy, Frank: Foundations of Engineering Acoustics. Oxford : Elsevier Ltd., 2000 [KFCS00] Kinsler, Lawrence ; Frey, Austin ; Coppens, Alan ; Sanders, James: Fundamentals of Acoustics, Fourth Edition. John Wiley & Sons, Inc., 2000 [Kut00] Kuttruff, Heinrich: Room Acoustics 4th Ed. London New York : Taylor&Francis, 2000 [Kut04] Kuttruff, Heinrich: Akustik, Eine Einführung. Stuttgart : Hirzel, 2004 [Kut07] Kuttruff, Heinrich: Acoustics, An Introduction. London New York : Taylor&Francis, 2007 [Mös07] Möser, Michael: Technische Akustik, 7.Auflage. Berlin Heidelberg : Springer, 2007 [Vor08] Vorländer, Michael: Auralization: Fundamentals of Acoustics, Modelling, Simulation, Algorithms and Acoustic Virtual Reality. Berlin Heidelberg : Springer, 2008 [Wei08] Weinzierl, Stefan: Handbuch der Audiotechnik. Berlin Heidelberg : Springer, 2008 6

Literaturverzeichnis [ZZ03] Zollner, Manfred ; Zwicker, Eberhard: Elektroakustik, 3. Auflage, 2. korrigierter Nachdruck. Berlin Heidelberg : Springer, 2003 7