5.3 Darstellungsmatrizen affiner Abbildungen Definition 5.3.1. Seien A und B endlich-dimensionale ARs mit dim A n, dim B m und KS E : (p 0,..., p n ) von A und KS F : (q 0,..., q m ) von B. Sei α : A B eine affine Abbildung. Seien ferner T (t ij ) M m n (K) und S (s i ) K m mit α( p 0 p j ) m i1 t ijq 0 q i q 0 α(p 0 ) m i1 s iq 0 q i (siehe auch 5.2.7). Die Darstellungsmatrix von α bzgl. der KS E und F ist definiert als ( ) T S MF E (α) : M (m+1) (n+1) (K) (hierbei sei also 0 ein Zeilenvektor bestehend aus n Nullen). Satz 5.3.2. Seien A, B, C endlich-dimensionale ARs mit KS E von A, KS F von B und KS G von C. Seien α : A B und β : B C affine Abbildungen. Dann gilt: M E G (β α) M F G (β)m E F (α). Bemerkung und Definition 5.3.3. (i) Die Matrix T in obiger Definition ist nichts anderes als die Darstellungsmatrix (im Sinne von Kapitel 3.2) der linearen Abbildung α : V A V B bzgl. der Vektorraumbasen Ê : p 0 p 1,..., p 0 p n und F : q 0 q 1,..., ( ) T q 0 q m : T M Ê F ( α). Sei nun entsprechend MG F (β) S mit T M FĜ ( β). Dann gilt: ( T MG E S (β α) ) ( T S ) ( ) T T T S + S Mittels β α β α erhält man so auch M ÊĜ ( β α) M ÊĜ ( β α) T T M FĜ ( β)m Ê F ( α), dies ist also nichts anderes als die Formel für Produkte von Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen, die natürlich schon aus 3.2.1 bekannt ist. Man könnte also sagen, dass die Formel in 3.2.1 für Produkte von Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen aus der obigen Formel für Produkte von Darstellungsmatrizen affiner Abbildungen folgt. (ii) Wir definieren die affinen (m + 1) (n + 1)-Matrizen als {( ) } T S AM m n (K) : T M m n(k), S K m M (m+1) (n+1) (K) 1
Seien A, B endlich-dimensionale ARs mit dim A n, dim B m und fest gewählten KS E von A und KS F von B. Nach 5.2.7 ist die Zuordnung {affine Abbildungen A B} AM m n (K) α MF E(α) eine Bijektion. Unter dieser Bijektion enspricht nach 5.3.2 die Verknüpfung affiner Abbildungen auf der linken Seite der Matrizenmultiplikation auf der rechten Seite. Satz 5.3.4. Wir übernehmen die Notationen aus 5.3.1 und 5.3.2(i), wobei wir zusätzlich noch annehmen, dass n m, Insbesondere also M Ê F ( α) T ( ) T S M n (K) und MF E(α) AM n (K). Dann gilt det MF E(α) det M Ê F ( α) und folgende Aussagen sind äquivalent: (i) α ist bijektiv; (ii) α ist bijektiv; (iii) M Ê F ( α) GL n (K); (iv) M E F (α) GL n+1(k). In diesem Fall gilt M F E (α 1 ) M E F (α) 1 ( T 1 T 1 S ). Definition und Satz 5.3.5. (i) Sei {( ) } T S AGL n (K) : T GL n (K), S K n GL n+1 (K). Dann ist AGL n (K) eine Untergruppe von GL n+1 (K). Wir nennen sie die allgemeine affine Gruppe in Dimension (oder vom Grad) n über K. (ii) Sei A ein affiner Raum mit 0 dim A n < und sei E ein fest gewähltes KS von A. Dann ist die Abbildung ein Gruppenisomorphismus. ϕ A,E : Aff(A) AGL n (K) : α M E E (α) 2
Definition 5.3.6. Seien A und B ARs und α : A A, β : B B affine Abbildungen. Wir nennen α konjugiert zu β, in Zeichen α β, falls es eine bijektive affine Abbildung ϕ : A B gibt mit α ϕ 1 β ϕ. Bemerkung. (i) Damit α β überhaupt möglich ist, muss natürlich notwendigerweise dim A dim B gelten. (ii) α ϕ 1 β ϕ bedeutet, dass das folgende Diagramm kommutiert: A α A ϕ B β B Satz 5.3.7. Seien A und B ARs mit dim A dim B n <, und seien α : A A, β : B B affine Abbildungen. Dann gilt α β genau dann, wenn es C AGL n (K) gibt mit M E E (α) C 1 M F F (β)c. Ein generelles Ziel ist nun, affine Abbildungen bis auf Konjugation zu klassifizieren. Im Wesentlichen entspricht dies dem Problem, ein Koordinatensystem so zu wählen, dass die Darstellungsmatrix einer affinen Abbildung bzgl. dieser Basis eine gewisse Normalform annimmt, wobei diese Normalformen die Eigenschaft haben sollen, dass affine Abbildungen genau dann konjugiert sind, wenn ihre Normalformen in gewisser Weise übereinstimmen. Dies ist also ganz in Analogie zu unserem früheren Versuch, Normalformen für lineare Abbildungen zu finden (Stichwort: Jordansche Normalform). Wir erinnern uns daran, dass wir dazu bei linearen Abbildungen in der Lage waren, vorausgesetzt, ihre charakteristischen Polynome zerfielen in Linearfaktoren. Für affine Abbildungen ist das Problem noch ein bisschen schwieriger. Definition 5.3.8. (i) Für einen affinen Raum A definieren wir AEnd(A) : {affine Abbildungen α : A A}. Wir nennen die Elemente in AEnd(A) auch affine Endomorphismen von A. (ii) Wir nennen zwei Matrizen L 1, L 2 AM n (K) affin ähnlich, in Zeichen L 1 a L 2, wenn es C AGL n (K) gibt mit L 1 C 1 L 2 C. Bemerkung 5.3.9. (i) Konjugation definiert eine Äquivalenzrelation auf AEnd(A). (ii) Affine Ähnlichkeit definiert eine Äquivalenzrelation auf AM n(k). (iii) Falls dim A n <, α, β AEnd(A), E, F zwei KS auf A, dann gilt ϕ 1 α β M E E (α) a M F F (β) 3
Insbesondere gilt: M E E (α) a M F F (α). Sind fernen Ê und F die zu E bzw. F gehörende Basen von V A, so gilt: Sind α und β konjugiert dann sind M ÊÊ ( α) und M F F ( α) ähnlich zueinander im Sinne von 3.2.9, d.h. es gibt C GL n (K) mit M ÊÊ ( α) C 1 M F F ( α)c. Die Umkehrung gilt i.a. nicht. (iv) Falls dim A n <, α AEnd(A), dann sind äquivalent: (a) α ist Translation; ( (b) Es gibt ein KS E von A sodass ME E(α) In S S K n ; ) für ein geeignetes (c) Für jedes KS E von A hat ME E (α) die Gestalt wie in (b) (mit von E abhängigem S). Falls in (b) das KS E durch (p 0,..., p n ) gegeben ist, und S (s i ) K n, so ist der Translationsvektor gegeben durch n i1 s ip 0 p i. (v) Falls dim A n < (, α ) AEnd(A), und E : (p 0,..., p n ) ein KS von T 0 A, dann gilt: ME E(α) für ein geeignetes T M n (K) genau dann wenn p 0 Fixpunkt von α ist. ( (vi) Sei dim ) A n < und seien E, F zwei KS von A und MF E(id A) T S, die Koordinatensystemtransformationsmatrix von E nach F. Es gilt sicher ( ) ( ) ( ) T S In S T 0 Gilt ebenfalls für T M n (K) und S K n, dass ( ) ( ) ( ) T S In S T 0 dann gilt notwendigerweise T T und S S. ( ) T 0 Die Matrix entspricht hierbei nach (v) einer KS-Transformation vom ( ) KS E zu einem KS E In S, die den Ursprung p 0 festlässt, und die Matrix entspricht hierbei einer Translation ( Verschiebung ) vom KS E zum KS F. 4
Jede KS-Transformation lässt sich also auf eindeutige Weise zerlegen in zwei Schritte, wobei im ersten Schritt eine KS-Transformation durchgeführt werden soll, die den Ursprung festlässt, und im zweiten Schritt eine Translation durchgeführt werden soll. Man vergleiche diese Aussage mit Satz 5.2.11! Definition und Lemma 5.3.10. Sei A ein nicht-leerer AR, α AEnd(A). Man definiert Fix(α) {p A α(p) p}, die Menge aller Fixpunkte von α. Es gilt: Fix(α) ist ein AUR von A. Satz 5.3.11. Seien A und B ARs, α AEnd(A), β AEnd(B). Angenommen α und β sind konjugiert zueinander, d.h. es gibt eine bijektive affine Abbildung ϕ : A B mit α ϕ 1 β ϕ. Dann gilt ϕ(fix(α)) Fix(β). Insbesondere ist ϕ Fix(α) : Fix(α) Fix(β) eine bijektive affine Abbildung und dim Fix(α) dim Fix(β). Bemerkung 5.3.12. Sei A ein AR mit dim A n, E : (p 0,..., p n ) ein KS auf A, und sei α AEnd(A). Wir wollen die Fixpunkte von α bestimmen. Mit anderen Worten, wir wollen die Koordinaten (bzgl. E) der Punkte q A bestimmen für die α(q) q. Sei zunächst q A ein beliebiger Punkt mir Koordinaten x 1,..., x n, d.h. p 0 q n i1 x ip 0 p i. Seien ferner y 1,..., y n die Koordinaten von α(q): p 0 α(q) n i1 y ( ) T S ip 0 p i. Sei ferner ME E(α) AM n (K) die zu α gehörende Darstellungsmatrix bzgl. E. Sei X : x 1. x n und Y : y 1. y n. Nach 5.2.7 gilt dann: Y T X + S. Dies lässt sich auch als Matrizenmultiplikation ausdrücken: ( ) ( ) ( ) Y T S X 1 1 (auch hier muss man die Koordinatenvektoren X, Y um eine 1 erweitern, damit die Multiplikation funktioniert). Damit gilt für q A mit Koordinatenvektor X: q ist Fixpunkt T X + S X (T I n )X S X ist Lösung des LGS (T I n S). Für endlich-dimensionale ARs liefert dieses Argument zusammen mit 5.1.17 einen neuen Beweis, dass Fix(α) ein AUR ist. 5
Außerdem folgt aus der Theorie der LGS (insbesondere 2.2.4 und 2.5.8): Falls α einen Fixpunkt hat, d.h. falls das LGS (T I n S) eine Lösung hat, so gilt: dim Fix(α) n Rang(T I n ). 6