Informationen für Lehrpersonen und Lernende GLF-Prüfung Mathematik TALS Juli 017 (inkl. Nachtermin) Für die Note 6 müssen nicht alle Aufgaben gelöst werden. Der Notenschlüssel wird nach der Prüfung festgelegt. Die Reihenfolge der Aufgabennummern entspricht nicht der Reihenfolge der Aufgabennummer in der Prüfung. GLF Teil 1 Die GLF-Prüfung TALS Teil 1 enthält 8 Aufgaben à 3 Punkten. 1. Aufgabe vom Typ 1, Bruchrechnen. Aufgabe vom Typ, Gleichungen quadratische Gleichung, inkl. Parameter, ohne Fallunterscheidung 3. Haupttermin: Aufgabe vom Typ 3, Geraden Nachtermin: stückweise definierte Funktion 4. Aufgabe vom Typ 4, Parabel 5. Aufgabe vom Typ 5, Trigonometrische Gleichung 6. x Gleichungssystem mit Parameter, im Nachtermin mit Fallunterscheidung 7. Planimetrie: Spezielle Dreiecke bzw. Vierecke mit 30 /45 /60 8. Variables Thema aus Algebra, Funktionenlehre, Datenanalyse oder Planimetrie, jedoch ohne Ungleichung, ohne Wurzelgleichung, ohne Umkehrfunktion und ohne stückweise definierte Funktion. GLF Teil Die GLF-Prüfung TALS Teil enthält 6 Aufgaben à 4 Punkten. 1. Aufgabe vom Typ 6, Sinus- und / oder Cosinussatz - sequentiell, d.h. Schritt für Schritt, Längen und/oder Winkel berechnen - mit einem Gleichungssystem lösbar. Aufgabe vom Typ 7, Parameter bestimmen 3. Haupttermin: Aufgabe vom Typ 7, Parameter bestimmen Nachtermin: Geometrie im Koordinatensystem 4. Extremwertaufgabe mit nicht quadratischer Zielfunktion 5. Aufgabe mit variablem Thema aus Algebra, Funktionenlehre, Datenanalyse oder Planimetrie jedoch ohne Ungleichung, ohne Umkehrfunktion, ohne stückweise definierte Funktion und ohne trigonometrische Funktionsgraphen. 6. Aufgabe mit variablem Thema aus Algebra, Funktionenlehre, Datenanalyse oder Planimetrie jedoch ohne Ungleichung, ohne Umkehrfunktion, ohne stückweise definierte Funktion und ohne trigonometrische Funktionsgraphen. Informationen GLF-Prüfung Mathematik TALS vom Juli 017 1/8
Nachfolgend finden Sie zu den verschiedenen Typen einige Beispiele; es ist keine abschliessende oder vollständige Sammlung. GLF Teil 1 Typ 1: Bruchrechnen Typ 1 1. Vereinfachen Sie so weit wie möglich. 1 6 x x x 3 x 4 x + 3 x 1 7x Typ 1. Vereinfachen Sie so weit wie möglich. x + 1 x + x 1 x 1 x + x x x + 1 Typ 1 3. Vereinfachen Sie so weit wie möglich. 5 x + 5 1 3 x 5 x x 5 Typ 1 4. Vereinfachen Sie so weit wie möglich: 1 5a a 4 + 1 a 5a + 4 4 a a 1 1 1 a 4a Typ : quadratische Gleichung mit Parameter Typ 5. Lösen Sie die Gleichung für x in Abhängigkeit von k mit Fallunterscheidung für alle Parameterwerte k R. k x x + 3 x = Typ 6. Berechnen Sie die Lösung für x in Abhängigkeit des Parameters t. Eine Fallunterscheidung ist nicht verlangt. ( t x + ) t x = 3 x 1 Typ 7. Gegeben ist die Gleichung k x + k x + k = x. Berechnen Sie k R so, dass die Gleichung nur eine einzige Lösung besitzt. Berechnen Sie auch die dazugehörende Lösung für x in G = R. Informationen GLF-Prüfung Mathematik TALS vom Juli 017 /8
Typ 3: Gerade Typ 3 8. In einem kartesischen Koordinatensystem mit gleich skalierten Achsen ist das Dreieck ABC mit den Punkten A ( 1 ), B( 5 1 ) und C( 1 7 ) gegeben. a) Berechnen Sie die Gleichung der Geraden, auf der die Schwerlinie sa liegt. b) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Seite b mit der Geraden g: y = x. Typ 3 9. Gegeben ist ein kartesisches Koordinatensystem mit gleich skalierten Achsen sowie die Punkte gemäss Skizze. Berechnen Sie den Flächeninhalt des markierten Dreiecks ABS. Typ 3 10. Gegeben ist ein Dreieck ABC mit A ( 6 3 ), B( 0 6) und C( 0 3 ). a) Berechnen Sie die Gleichung der Geraden h, auf der die Höhe hc liegt. b) Berechnen Sie die Gleichung der Geraden s, auf der die Schwerlinie (Seitenhalbierende) sb liegt. c) Berechnen Sie den Schnittpunkt S von h und s. Typ 4: Parabel Typ 4 11. Eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S( 0 ) berührt die Gerade g mit der Gleichung y = 7 x 10.5. Berechnen Sie die Gleichung der Parabel in der Grundform. Typ 4 1. Gegeben ist ein kartesisches Koordinatensystem mit gleich skalierten Achsen sowie die Parabel p: y = x 5 x + 3 und die Gerade t: y = a x 5. a) Berechnen Sie a so, dass die Gerade t die Parabel p berührt. b) Berechnen Sie die Koordinaten von einem der beiden Berührungspunkte. Informationen GLF-Prüfung Mathematik TALS vom Juli 017 3/8
Typ 4 13. A 1, B 1 Eine Parabel p verläuft durch die drei Punkte ( ) Berechnen Sie die Gleichung der Parabel p. 5 und C( 7). Typ 4 14. Gegeben ist eine Parabel p mit der Gleichung y = x 16 x + 34. Diese wird an ihrem Scheitelpunkt gespiegelt. Berechnen Sie die Gleichung der gespiegelten Parabel in der Grundform. Typ 5: Trigonometrische Gleichungen Typ 5 15. Typ 5 16. Berechnen Sie die Lösung für x [ 0 ; π] : π 3 π sin x + = 3 sin x 4 Typ 5 17. Berechnen Sie alle x [ 0; [ π π, für die gilt: cos x + = 0.5 9. Die Resultate sind im Bogenmass anzugeben. Gleichungssystem mit Parameter: 18. Berechnen Sie die Lösung für (x y) in Abhängigkeit von k: x + k y = 1 k x + 3 y = 19. Berechnen Sie die Lösung für (x y) in Abhängigkeit von a mit Fallunterscheidung für alle Werte ax + y = des Parameters a R : x + y = a Informationen GLF-Prüfung Mathematik TALS vom Juli 017 4/8
GLF Teil Um die Lösungen vom Teil zu finden, kann in der Regel mit einem einzigen Gleichungssystem gearbeitet werden. Dies ist einfacher, als Zwischenresultate zu speichern und wieder abzurufen. Ausnahmen: Berührungsaufgaben (Diskriminante kopieren) und Extremwertaufgaben. Typ 6: Sinus- und / oder Cosinussatz Typ 6 0. Von der abgebildeten Figur ist Folgendes gegeben: AB = 10cm AC = 30cm β = DBA = 50 α = CAD = 8 D γ C a) Berechnen Sie den Winkel φ = BAC. b) Berechnen Sie die Länge der Strecke AD. α c) Berechnen Sie die Länge der Strecke CD. φ β d) Berechnen Sie den Winkel γ = DCA. B Geben Sie die Resultate auf 3 signifikante Stellen gerundet an. Es sind alle Gleichungen, die zur Lösung führen, zwingend zu notieren. Typ 6 1. Gegeben ist ein Parallelogramm ABCD mit folgenden Massen: Seite AB = 15.0 cm Winkel β = 6 Diagonale AC = 13.5 cm Winkel γ > 90 Berechnen Sie die Länge der Diagonalen BD. Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an. Typ 6. Von einem Dreieck ist gegeben: a = 14 cm hb = 1.3 cm α = 55 Berechnen Sie die Länge der Seite b. Eine Lösung genügt. Typ 6 3. Berechnen Sie im Dreieck ABC die Seite c aus: a + b = 75 α = 50 β = 70 Vgl. auch Frommenwiler 141. 144. Informationen GLF-Prüfung Mathematik TALS vom Juli 017 5/8
Typ 7: Parameter bestimmen Typ 7 4. Gegeben ist die Parabel p: y = x x und die Gerade g: y = mx. Die Schnittpunkte der beiden Graphen und ihre Achsenschnittpunkte bilden die Eckpunkte eines Dreiecks. a) Erstellen Sie eine qualitative Skizze der beiden Graphen für m=. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks für m=. c) Berechnen Sie m so, dass der Inhalt der Dreiecksfläche 10 Flächeneinheiten beträgt. Geben Sie das Resultat auf 3 sign. Stellen gerundet an. Typ 7 5. In einem kartesischen Koordinatensystem mit gleich skalierten Achsen sind die Eckpunkte eines Dreiecks gegeben: A ( 0 3 ), B( 3p 0 ) und C( p p ), mit p >. a) Tragen Sie im nachfolgenden Koordinatensystem das Dreieck für p = 4 ein. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks aus p. c) Für welchen Wert des Parameters p beträgt der Flächeninhalt 60? Informationen GLF-Prüfung Mathematik TALS vom Juli 017 6/8
Typ 7 6. In einem kartesischen Koordinatensystem mit gleich skalierten Achsen sind zwei Parabeln gegeben: p 1 : f1( x) a x x, a 0 ( ) = + >, Scheitelpunkt S1 ( x 1 y 1) p : f x = a x 8 x + 0, a > 0, Scheitelpunkt S ( x y ) Die beiden Scheitelpunkte bilden zusammen mit den Punkten ( 1 ) ein Trapez. A x 0 und B( x 0 ) a) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes für a = 1. Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an. y p b) Für welchen Wert von a so, dass der Flächeninhalt des Trapezes 0 beträgt. Geben Sie das Resultat auf 3 signifikante Stellen gerundet an. S1 S Die Aufgabe kann auch als Extremwertaufgabe gelöst werden. A p 1 B Typ 7 7. Gegeben sind die Geraden g: y = x 3 und h: y = m x + 4 a) Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden in Abhängigkeit von m. b) Die beiden Geraden bilden zusammen mit der x-achse ein Dreieck. Berechnen Sie alle Steigungen m, bei denen der Flächeninhalt des Dreiecks 40 Flächeneinheiten beträgt. Typ 7 8. Gegeben ist ein kartesisches Koordinatensystem mit gleich skalierten Achsen, sowie zwei Geraden, die sich in S( 7 ) schneiden. Der Gerade g 1: y = m1 x + q1 schneidet die x-achse in A und die Gerade g : y = m x + q schneidet die x-achse in B. Die Gerade g 1 hat einen Steigungswinkel von 55. Berechnen Sie die Gleichung von g so, dass AB = 10 ist. Typ 7 9. Die Parabel p: y = x 4 schneidet die positive x-achse im Punkt B. Punkt A liegt im dritten Quadranten auf der Parabel p. Die Vertikale durch A schneidet die negative x-achse im Punkt C. Berechnen Sie A so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks ABC 3 Flächeneinheiten misst. Runden Sie Ihr Resultat auf 3 signifikante Stellen. C A y B p Die Aufgabe kann auch als Extremwertaufgabe gelöst werden. Informationen GLF-Prüfung Mathematik TALS vom Juli 017 7/8
30. Aus einem Stamm mit kreisförmigem (Durchmesser = 40 cm) Querschnitt soll ein rechteckiger Balken geschnitten werden. Berechnen Sie, wie gross die Rechtecksseiten gewählt werden müssen, damit der Querschnitt des Balkens möglichst gross ist? Runden Sie Ihr Resultat auf 3 signifikante Stellen. Informationen GLF-Prüfung Mathematik TALS vom Juli 017 8/8