Brückenkurs Mathematik. Jörn Steuding (Uni Würzburg), 25. November 2017

Brückenkurs Mathematik Jörn Steuding (Uni Würzburg), 25. November 2017

unser Programm 11. November: 1. Zahlen und einfache Gleichungen Zahlen, Rechengesetze, lineare u. quadratische Gleichungen, Dezimalbrüche, ein wenig Geometrie 25. November: 2. Folgen und Grenzwerte Konvergenz und Divergenz, geometrische Reihe 9. Dezember: 3. Funktionen Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrale 23. Dezember: Evaluation & Weihnachtsfeier Das Haus vom Nikolaus, Königsberger Brückenproblem 13. Januar: 4. Graphen Euler-Kreise, Planarität, Färbbarkeit 27. Januar: 5. Vektoren und Gleichungssysteme Addition, Vektorräume, explizites Lösen von Gleichungssystemen 10. Februar: 6. Wahrscheinlichkeitstheorie & Abschluss Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsräume, Laplace-Experimente

2. Folgen und Grenzwerte 3 3,1 3,14 3,141 3, 1415 3, 14159 3, 141592 3, 1415926 3, 14159265 3, 141592653 3, 1415926535 3, 14159266358

ein paar Beispiele... Eine Folge reeller Zahlen a n ist eine Liste a 1, a 2, a 3,..., a n,... und wir notieren sie als (a n ) n. Die a n heißen Folgeglieder. Beispiele: die Folge der ungeraden natürlichen Zahlen 1, 3, 5, 7, 9,... mittels a n = 2n 1 für n N. die Folge der Primzahlen 2,3,5,7,11,...; hier gibt es keine einfache Formel. die Folge der Zehnerpotenzen 10, 100, 1000,..., also a n = 10 n.

Beschreibe die Folge! 2, 4, 6, 8, 10,..., 20,... 1, 4, 9, 16, 25,..., 100,... 2, 4, 8, 16, 32,..., 1024,... 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... Was ist das Bildungsgesetz? Wie beschreibt man die Glieder a n?

... weitere Beispiele die Folge 1,2,3,4,5,... der natürlichen Zahlen selbst; die Folge ihrer Kehrwerte: 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5,...; polynomielle Folgen: a n = n b wie etwa die Quadratzahlen 1 2,2 2,3 2,...; exponentielle Folgen: a n = b n wie etwa die Zweierpotenzen 2 1,2 2,2 3,... Bei unendlichen Folgen interessieren wir uns insbesondere dafür, ob die Folge einen Grenzwert besitzt oder nicht... Z.B. werden die natürlichen Zahlen beliebig groß; hingegen streben deren Kehrwerte gegen null: 1, 1 2 = 0,5, 1 3 = 0,3, 1 4 = 0,25, 1 5 = 0,2, 1 = 0,16,... 0. 6

eine alte indische Legende Der Erfinder des Schachspiels (vielleicht Sissa ibn Dahir im 3. oder 4. Jhd.) hatte bei seinem König als Belohnung einen Wunsch frei. Er wünschte sich, dass das Schachbrett mit Reiskörnern gefüllt werden sollte, nämlich ein Korn auf dem ersten Feld, zwei auf dem zweiten, vier auf dem dritten, usw. (d.h. auf einem Feld doppelt so viele Reiskörner wie auf dem vorangegangenen). Der König, verwundert über diesen seltsamen Wunsch, stimmte zu. War das weise? Wieviele Reiskörner liegen auf dem Schachbrett?

unendlich Zwei Dinge sind unendlich, das Universum und die menschliche Dummheit, aber bei dem Universum bin ich mir noch nicht ganz sicher. soll Albert Einstein gesagt haben. Der Begriff des Unendlichen wird in Theologie, Philosophie, Physik und der Mathematik behandelt. Es ist ein schwieriger Begriff! Beispielsweise gibt es unendlich viele natürliche Zahlen, denn zu jedem n N existiert mit n+1 auch eine größere. In der Mathematik notieren wir unendlich mit dem Symbol. Dies steht nicht für eine Zahl!

Warum die liegende Acht? Eine Illustration für Unendlich: eine Endlosschleife von Nicola Oswald als frei interpretierte Nachahmung eines berühmten Bildes von Maurits Cornelis Escher (1898-1972).

Konvergenz und Divergenz Eine Folge (a n ) n heißt konvergent mit Grenzwert a, falls zu jeder Zahl ǫ > 0 ein N N existiert, so dass a n a < ǫ für alle n N. Im Falle der Konvergenz schreiben wir lim a n = a oder einfach a n a n und sagen a n strebt gegen a bei n. Hierbei steht das Symbol lim für Limes, was das lateinische Wort für Grenze ist. Geometrisch bedeutet dies, dass für alle hinreichend großen Indizes n alle Folgeglieder a n beliebig nahe beim Grenzwert a liegen, also die Terme a n gegen a streben. Ansonsten heißt die Folge divergent.

Konvergenz oder Divergenz? Die Folge der Zweierpotenzen 2,4,8,...,2 n,... divergiert; die Folge der Potenzen von 1 2 ist 1 2, 1 4, 1 8,... und konvergiert gegen null; die Folge der Quadratzahlen 1, 4, 9, 16,... divergiert; die Folge der Kehrwerte 1, 1 4, 1 9,... der Quadratzahlen konvergiert mit Grenzwert Und ganz ähnlich lim n lim n (3+ 1n 2 ) 1 n 2 = 0. 1 = 3+ lim n n 2 = 3.

Konvergenz oder Divergenz? Die Folge der a n = 5n2 4n 3n 2 + 1

Konvergenz oder Divergenz? Die Folge der konvergiert mit Grenzwert lim a n = lim n n a n = 5n2 4n 3n 2 + 1 n 2 (5 4 n ) n 2 (3+ 1 n 2 ) = lim n 5 4 n 3+ 1 n 2 = lim n (5 4 n ) lim n (3+ 1 n 2 ) = 5 3. Mit den Grenzwerten konvergenter Folgen kann man fast wie mit Zahlen rechnen! Das Rechnen mit Folgen und Grenzwerten benötigt praktische Erfahrung, also unbedingt die Übungsaufgaben bearbeiten!

Notationen Wir benutzen abkürzende Schreibweisen für Summen und Produkte m a j = a 1 + a 2 +...+a m j=1 m a k = a 1 a 2... a m. k=1 Oft benennen wir die Indizes j,k auch anders und lassen andere Schranken zu. Also gilt zum Beispiel 3 j=1 k=j 3 k = 1 2 3+2 3+3 = 15.

die endliche geometrische Reihe Für beliebiges x definieren wir x 0 = 1. Sei x eine reelle Zahl. Dann heißt m x n = 1+x + x 2 +...+x m n=0 die zugehörige endliche geometrische Reihe. Für x 1 gilt Zum Beispiel: m n=0 x n = 1 xm+1. 1 x 10 n=0 2 n = 1+2+4+...+1024 = 1 211 1 2 = 211 1 = 2047.

Formel für die endliche geometrische Reihe Und so geht der Beweis der Formel für die endliche geometrische Reihe: Wir multiplizieren (1 x)(1+x + x 2 +...+x m ) = 1+x + x 2 +...+x m x x 2... x m x m+1 und addieren die Terme der rechten Seite zu 1 x m+1, womit bzw. (1 x)(1+x + x 2 +...+x m ) = 1 x m+1 1+x + x 2 +...+x m+1 = 1 xm+1 1 x nach Division von 1 x (was ungleich null ist). Und was ist m n=0 xn im Fall x = 1...?

die unendliche geometrische Reihe Aber was ist, wenn wir alle unendlich vielen weiteren Potenzen x n hinzunehmen? Wenn x > 1 addieren wir jeweils mehr als 1, womit die Summe beliebig groß wird. Für kleine x ist die Situation anders: Ist 1 < x < 1, so gilt für die unendliche geometrische Reihe n=0 x n = 1 1 x. Z.B.: ( 1 2 )n = 1+ 1 4 + 1 8 +... = 1 n=0 1 1 2 = 2.

Formel für die unendliche geometrische Reihe Für den Beweis berechnen wir den Grenzwert der endlichen geometrischen Reihe: n=0 x n = lim m x n m n=0 = lim m 1 x m+1 1 x = 1 lim m x m+1 1 x = 1 0 1 x, denn lim m x m+1 = 0 für x zwischen 1 und +1.

Dreiecke anmalen... Dieser Beweis ohne Worte stammt von Rick Mabry im Mathematics Magazine, vol. 72, no. 1 (Feb. 1999).

Weihnachtsbastelei Wir starten mit einem gleichseitigen Dreieck und kleben auf dem mittleren Drittel jeder Kante passende gleichseitige Dreiecke an (siehe Bild). So entsteht ein sechszackiger Weihnachtsstern. Wir führen diese Iteration fort und...

die Kochsche Insel (Schneeflocke)... und nennen diese Objekte K 0,K 1 und K 2 entsprechend der Anzahl der durchgeführten Iterationen; also steht K n für das Gebilde, welches durch Anwenden der Iteration auf jede Kante von K n 1 entsteht. So ähnlich wie eine wirkliche Insel durch angespülten Sand wächst, entsteht die Kochsche Insel als Grenzwert der K n bei n. Wie viel Fläche hat die Kochsche Insel? Und wie lang ist ihre Küste?

erstaunliche Antworten Weil wir die Kochsche Insel in einen größeren Kreis einschließen können, ist ihre Fläche endlich. Bei jedem Iterationsschritt verlängert sich die Küstenlinie um einen Faktor 4 3 = 1,3, also ist der Rand unendlich.

Fraktale Die Kochsche Insel (oder Schneeflocke) ist ein Beispiel eines Fraktals, d.h., eines bei unterschiedlicher Skalierung sich selbstähnelndem Objekt. Ein berühmtes Fraktal ist das Apfelmännchen. Neben ihrer Bedeutung in der Mathematik spielen Fraktale auch eine Rolle in der Informatik, der Biologie und den Wirtschaftswissenschaften...

eine alte indische Legende - zweiter Teil Die Formel für die endliche geometrische Reihe liefert für x = 2: 1+2+4+...+2 n = n k=0 2 k = 1 2n+1 1 2 = 2 n+1 1. Speziell für die Reiskorn-Schach-Aufgabe ergibt sich die Anzahl der Reiskörner auf dem Schachbrett somit als 2 64 1 = 18446744073709551615. Obwohl ein Reiskorn nicht viel wiegt, hätte der Reis auf dem Schachbrett ein Gewicht, welches weit über der jährlich weltweit produzierten Reismenge läge! Im Jahr 2010 betrug die weltweite Reisproduktion ca. 672 Millionen Tonnen. Gehen wir von einem durchschnittlichen Gewicht eines Reiskorns von 0, 025 Gramm aus, so wiegt der Reis auf dem Schachbrett ca. 461 Milliarden Tonnen, was etwa 686 Jahresproduktionen entspricht.

und noch einmal Dezimalbrüche... Vor zwei Wochen: Mit der unendlichen geometrischen Reihe berechnen wir 0,9 = 0,999999999999... = 9 ( 1 10 +( 1 10 )2 +( 1 10 )3 +...) = 9 1 10 (1+ 1 10 +( 1 10 )2 +...) = 9 1 10 1 = 1,0 = 1. 1 1 10

Fortpflanzung Leonardo da Pisa, gennant Fibonacci, stellte in seinem Buch liber abaci von 1227 u.a. eine Frage zur Größe einer Kaninchenpopulation. Ein Bauer hält ein Paar Kaninchen und beobachtet: Jedes Paar von Kaninchen bringt jeden Monat ein neues Paar auf die Welt und diese gebären erstmals im zweiten Monat nach ihrer Geburt ein neues Paar von Kaninchen. Nach dem ersten Monat sind also zwei Paare da und nach dem zweiten Monat drei Paare. Wieviele Paare von Kaninchen gibt es nach zehn Monaten, nach einhundert Monaten bzw. ganz allgemein nach n Monaten?

eine rekursiv definierte Folge Die Fibonacci-Zahlen sind rekursiv definiert durch: F 0 = 0, F 1 = 1, F n+1 = F n + F n 1 für n = 1,2,3,..., also der Reihe nach 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... Wie lautet die einhundertste Fibonacci-Zahl F 100?

die Binetsche Formel Mittels Induktion kann man zeigen, dass {( ) n F n = 1 ) n } 5+1 5 1 (, 5 2 2 womit F 100 = 3,54224848179261915075000000000000000000000565... 10 20, bzw. wegen der Ganzzahligkeit der F n also F 100 = 354224848179261915075. 5+1 Die Zahl φ := 2 = 1,6180339887... heißt goldener Schnitt, ist die positive Lösung der quadratischen Gleichung x 1 = 1 x 1 und spielt eine wichtige Rolle...

...in Architektur, Kunst, Biologie und natürlich Mathematik! Die Folge der Quotienten F n+1 F n gegen den golden Schnitt: von Fibonacci-Zahlen konvergiert 1, 2, 3 2 = 1,5, 5 3 89 = 1,6,..., = 1,618,... 55 5+1 = 1,61803... 2

Bitte bearbeiten Sie die Übungsaufgaben und alles Gute bis in zwei Wochen!