Name: Seite: Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Lösungen Test - Lineare Algebra Dozent: R. Burkhardt Büro: 4. Klasse:. Studienjahr Semester: Datum: HS 8/9 Bemerkung Alle Aufgaben werden ohne elektronische Hilfsmittel gelöst, beliebige schriftliche Unterlagen sind zugelassen. Jede Aufgabe wird mit Punkten bewertet, zusätzlich werden maximal 8 Punkte ( Punkte/Aufgabe) für gute Notation und saubere Darstellung angerechnet.. Aufgabe Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem: x x x + x + ax c x + ax a (a) Schreibe das lineare Gleichungssystem in Matrizenschreibweise (Ax b) und bestimme die Koeffizientenmatrix und die erweiterte Koeffizientenmatrix. (P) Gleichungssystem in Matrizenschreibweise: a x x c a x a Erweiterte Koeffizientenmatrix: a c a a (b) Für welche Parameterwerte ist das lineare Gleichungssystem regulär? Gib für diesen Fall die Lösungsmenge an. (4P) Determinante: det (A) a ++a +8 a a a 8 (a 4) (a +) Das System ist regulär, wenn die Determinante ungleich Null ist - also a R\{, 4} Lösungsmenge: Gauss-Elimination: a c a c + a a a 4 a a c + a 8 ac a +4 Berechnung: a 8 ac a +4 x ac a +4 x (a 4) (a +) ac a +4 x +(a ) (a 4) (a +) c + x a 4a 4c (a 4) (a +). Studienjahr Lösungen Test - Lineare Algebra HS 8/9
Name: Seite: ac a +4 x (a 4) (a +) x a 4a +ac (a 4) (a +) Lösungsmenge: a L (x,x,x ) R 4a +ac : (a 4) (a +), 4a 4c (a 4) (a +), ac a +4 (a 4) (a +) (c) Für welche Parameterwerte hat das lineare Gleichungssystem eine unendliche bzw. eine leere Lösungsmenge? (P) Das System wird für a oder a 4singulär: a : c 4 c + 4 4 4 c + c Für c stimmen die Ränge überein und das System hat unendlich viele Lösungspunkte und für c ist der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix grösser als derjenige der Koeffizientenmatrix, d.h. das System hat eine leere Lösungsmenge! a 4: 4 c c + 4 4 4 4 c + c Für c stimmen die Ränge überein und das System hat unendlich viele Lösungspunkte und für c ist der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix grösser als derjenige der Koeffizientenmatrix, d.h. das System hat eine leere Lösungsmenge! (d) Bestimme für den Fall, dass das System eine unendliche Lösungsmenge besitzt die Lösungsmenge. (P) a und c : 4 4 L (x,x,x ) R :(+x, +x,x ) a 4und c : L. Aufgabe Gegeben seien die Matrizen A (a) Bestimme A. (P) (x,x,x ) R : +x, x,x ; B λ λ λ λ. Studienjahr Lösungen Test - Lineare Algebra HS 8/9
Name: Seite: A 4 8 4 8 8 4 4 4 4 (b) Bestimme die Inverse der Matrixen A und B. (P) Inverses von A (Gauss-Jordan-Verfahren): (A E 4 ) 4 A 4 4 E 4 A Inverse von B (Adiunkten-Methode): B C T C C C C C det (B) C C C λ C C C C C C λ C C C λ λ M M M ++ λ M M M + λ M M M λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ. Studienjahr Lösungen Test - Lineare Algebra HS 8/9
Name: Seite: 4 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ (c) Bestimme die Determinante von A. (P) Z.B. mit Laplace schem Entwicklungssatz: det (A) ( ( )) 4 (d) Für welche Werte von λ wird die Matrix B regulär? (P) Die Matrix B ist regulär, wenn die Determinante der Matrix ungleich Null ist: det (B) λ λ λ λ ++ λ + λ λ + λ λ (λ ) (λ +) Die Determinante wird für λ {,, } gleich Null! Also ist die Matrix B für alle anderen Werte (λ R\{,, }) regulär!. Aufgabe Auf dem Graphen einer kubischen Funktion y x + x + a x + a liegen die vier Punkte P (, ), P (, ), P (, ) und P 4 (, 5). (a) Setze die vier Punkte in der Funktionsgleichung ein und bestimme so das lineare Gleichungssystem für die vier Parameter a, a, und der kubischen Funktion. Stelle das lineare Gleichungssystem mit Matrizen (Aa b)dar.(p) Gleichungssystem: 8 4 erweiterte Koeffizientenmatrix: a a 8 4 5 (b) Löse das lineare Gleichungssystem mit dem Gauss-Jordan-Verfahren. Beschreibe dabei jeden Umformungsschritt durch Multiplikation mit einer Umformungsmatrix Z (also Aa b ZAa Zb). (P) 5. Studienjahr Lösungen Test - Lineare Algebra HS 8/9
Name: Seite: 5 Erster Schritt: Z Zweiter Schritt: Z Dritter Schritt: Z 8 4 9 Z Z 9 Vierter Schritt: Z 4 Z Z 4 8 a a a a Z a a a a Z a a a a Z a a a a Z 4 5. Studienjahr Lösungen Test - Lineare Algebra HS 8/9
Name: Seite: Fünfter Schritt: Gesuchtes Polynom: Z 5 a a a a a a y x + x (c) Bestimme mittels gefundener Umformungsmatrizen Z, Z,... die Inverse der Koeffizientenmatrix A. (P) A Z 5 Z 4 Z Z Z Z 5 Z 4 Z Z 5 Z 4 Z 5 8 4. Aufgabe (a) Bestimme alle Matrizen B, so dass das Produkt AB die Nullmatrix ergibt. (P) A Ansatz: B b b b b b b b b b. Studienjahr Lösungen Test - Lineare Algebra HS 8/9
Name: Seite: 7 Einsetzen: AB b b b b b b b b b Ergibt die drei Gleichungssysteme: b b b b b b b b b Mit der super erweiterten Koeffizientenmatrix: 8 Die Gleichungssysteme sind regulär und es gibt (homogene Systeme) nur die Nulllösung: B (b) Bestimme alle Matrizen B, so dass das Produkt AB die Nullmatrix ergibt. Gib zudem an, für welche Parameterwerte a es nur eine solche Matrix gibt. (P) a A Ansatz: b b B b b Einsetzen: a AB Ergibt die zwei Gleichungssysteme: a a b b b b b b b b. Studienjahr Lösungen Test - Lineare Algebra HS 8/9
Name: Seite: 8 Mit der super erweiterten Koeffizientenmatrix: a a a 4 4 4 Die Gleichungssysteme ist für 4singulär, also a ±. Ista R\{, } ist das System regulär und es gibt (homogene Systeme) nur die Nulllösung: B Sonderfälle: a : b b b b b b B b b a : b b b b b b B b b. Studienjahr Lösungen Test - Lineare Algebra HS 8/9