2. Mengen Wozu Mengen? 2.3 Beziehungen zischen Mengen In der Mathematik u dem Mengenbegri kann man die gesamte Mathematik aubauen: Mengen, Relationen, bbildungen, In der Inormatik Deinition: Ein lphabet ist eine endliche, nichtleere Menge von Symbolen. Deinition: Ein endlicher utomat ist ein System = (Σ, S, δ, s 0, F). Dabei ist Σ das Eingabealphabet und S die Zustandsmenge von, s 0 S ist der Startzustand, F S die Menge der Endzustände und die bbildung δ:s Σ S die Zustandsüberührungsunktion von. 2. Mengen GM 2-1 2. Mengen GM 2-2 Beispiele ür Mengen Cantorsche Deinition einer Menge - Die Menge der Studierenden der Hochschule Trier - Die Menge der natürlichen Zahlen zischen 5 und 10: {6, 7, 8, 9} - Die Menge mit den Elementen Liebe, Gesetz und Schornsteineger - Die Menge der Symbole eines lphabets - Die Menge der Zustände eines utomaten - Die Menge der Endzustände eines utomaten - Die Menge aller olsterarben, die sich mit der Lackarbe Tieseeblau kombinieren lassen Lackarbe Glutrot Floraviolett Kaskadenblau Oasengrün Schneeeiß Vulkanrot Tieseeblau Dschungelgrün Meteorgrau Mondsilber Unter einer Menge verstehen ir jede Zusammenassung M von bestimmten ohlunterschiedenen Objekten unserer nschauung oder unseres Denkens (elche Elemente von M genannt erden) zu einem Ganzen. 2. Mengen olsterarbe Schieergrau Blauviolett etrol Ziegelrot GM 2-3 2. Mengen GM 2-4 1
Deinition 2.1.1: Leere Menge Beschreibung durch uzählung ihrer Elemente: M = { 5, 3, 11, 14 } N = { Liebe, Gesetz, Schornsteineger } O = { 1, blau, 2 } Ø = { x x x } heißt die leere Menge. { 1, 3, 8 } = { 3, 8, 1 } 11 { 5, 3, 11, 14 } 12 { 5, 3, 11, 14 } Beschreibung durch eine charakteristische Eigenschat: M = { x x hat die Eigenschat E } x M genau dann, enn x die Eigenschat E hat. Beispiele: M = { x x =3 oder x=5 } (es gilt dann M = { 3, 5 } M = { x x IN und x>8 } IN = { 0, 1, 2, 3, } bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen. Statt M = { x x IN und x>8 } schreiben ir auch einacher M = { x IN x>8 } Mengen können auch Mengen als Element enthalten: = { 0, 1} B = { 1, 2, 3 } C = {, B } D = {, Ø, 5 } GM 2-5 GM 2-6 Russelsche ntinomie Wen rasiert der Dorbarbier? M = { x x x } Dann ist x M genau dann, enn x x. Gilt M M? D.h. ist x=m auch in M als Element enthalten? Barbier: Ich rasiere alle die Leute im Dor, die sich nicht selber rasieren. Mathematiker: Rasieren Sie sich selbst? Barbier: Ja. Mathematiker: Das kann nicht sein, denn Sie rasieren nur die, die sich nicht selber rasieren. Dann äre M M genau dann, enn M M. Widerspruch! GM 2-7 Barbier: lso nein. Mathematiker: Das kann auch nicht sein, denn Sie rasieren alle Beohner des Dores, die sich nicht selber rasieren. Widerspruch! GM 2-8 2
Mehrdeutigkeiten bei und und oder Heiner ist krank und es regnet. Heiner urde krank und der rzt verordnete eine Medizin. Wahrheitserte Logische Verknüpungen Tautologien Quantoren Der rzt verordnete eine Medizin und Heiner urde krank. Hände hoch, oder ich schieße! Die usuhr von Gold oder Edelsteinen ist verboten. Welche olsterarben lassen sich mit der Lackarbe Tieseeblau oder Dschungelgrün kombinieren? Lackarbe Glutrot Floraviolett Kaskadenblau Oasengrün Schneeeiß Vulkanrot Tieseeblau Dschungelgrün Meteorgrau Mondsilber GM 2-9 olsterarbe Schieergrau Blauviolett etrol Ziegelrot GM 2-10 nendung ormaler Logik Deinition 2.2.1: Logische Verknüpungen ussagen können die Wahrheitserte (ahr) oder (alsch) annehmen. Durch olgende Wahrheitstaeln deinieren ir Verknüpungen von ussagen und Q: Wissensbasierte Systeme Negation (nicht ) Konjunktion ( und Q) Disjunktion ( oder Q) Q Q Q Q Wissensbasis Inerenzmaschine Benutzungsschnittstelle Shell Übungsaugabe 2.2.1 Implikation (enn, dann Q) Äquivalenz (Q genau dann, enn ) Q Q Q Q GM 2-11 GM 2-12 3
Deinition 2.2.2: Tautologie Satz 2.2.1: Tautologien Eine aussagenlogische Formel mit den ussagenvariablen, Q, R,... heißt allgemeingültig (oder Tautologie), enn bei jeder Zuordnung (Belegung) von Wahrheitserten zu, Q, R,... die Formel den Wahrheitsert annimmt. Es seien, Q und R ussagenvariablen. Dann sind die olgenden aussagenlogische Formeln allgemeingültig: a) ( Q) b) ( Q) c) (( Q) (Q R)) ( R) (modus barbara) d) ( ( Q)) Q (modus ponens) e) (( Q) Q) (modus tollens) ) (( Q) ) ( Q) (indirekter Beeis) Übungsaugabe 2.2.2 GM 2-13 GM 2-14 Deinition 2.2.3: Äquivalenz von Formeln Satz 2.2.2: Gesetze der ussagenlogik Es gelten olgende Äquivalenzen aussagenlogischer Formeln: Zei aussagenlogische Formeln mit den ussagenvariablen, Q, R,... heißen äquivalent, enn bei jeder Zuordnung (Belegung) von Wahrheitserten zu, Q, R,... beide Formeln den gleichen Wahrheitsert haben. Wir drücken dies durch das Zeichen aus. Q Q Q Q (Q R) ( Q) ( R) (Q R) ( Q) ( R) Kommutativität Distributivität neutrale Elemente Komplement Übungsaugabe 2.2.3 GM 2-15 GM 2-16 4
Satz 2.2.3: eitere Gesetze der ussagenlogik Deinition 2.2.4: ussageorm und Quantoren Es gelten olgende Äquvalenzen aussagenlogischer Formeln: Idempotenz Ersetzt man in einer ussage irgendeine Konstante durch eine Variable x, so entsteht eine ussageorm (x). ( Q) ( Q) (Q R) ( Q) R (Q R) ( Q) R ( Q) Q ( Q) Q ( ) bsorption ssoziativität De Morgansche Gesetze Die ussage Für alle x M gilt (x) ist ahr genau dann, enn (x) ür alle x M ahr ist. bkürzend schreibt man ür diese ussage x M: (x) Die ussage Es gibt ein x M, sodass (x) ist ahr genau dann, enn (x) ür mindestens ein x M ahr ist. bkürzend schreibt man ür diese ussage x M: (x) GM 2-17 GM 2-18 Satz 2.2.4: Rechenregeln ür Quantoren Beschreibung der Eigenschaten einer Menge Für usageormen (x) und Q(x) gelten olgende Äquvalenzen: x: (x) x: (x) x: (x) x: (x) ( x: (x) x: Q(x)) x: (x) Q(x) ( x: (x) x: Q(x)) x: (x) Q(x) Mit den Verknüpungen der Formalen Logik können ir die Eigenschaten der Elemente einer Menge präziser ormulieren: Beispiele: M = { x x=3 x=5 }= { 3, 5 } M = { x x IN x>8 } = { 9, 10, 11, 12, } M = { x IN x<8 (x=5) } = { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7 } M = { x IN y IN: x=3y } = { 0, 3, 6, 9, } Übungsaugabe 2.2.4 Übungsaugaben 2.2.5 bis 2.2.9 GM 2-19 GM 2-20 5
2.3 Beziehungen zischen Mengen Deinition 2.3.1: Teilmenge Teilmengen Gleichheit von Mengen otenzmengen Es seien und B Mengen. heißt Teilmenge von B, geschrieben B, alls ür alle x gilt: x x B. B x Übungsaugabe 2.3.1 2.3 Beziehungen zischen Mengen GM 2-21 2.3 Beziehungen zischen Mengen GM 2-22 Deinition 2.3.2: Gleichheit von Mengen Deinition 2.3.3: Echte Teilmenge Es seien und B Mengen. und B sind gleich, geschrieben =B, alls B und B. Für (=B) schreiben ir ie üblich B. Es seien und B Mengen. heißt echte Teilmenge von B, geschrieben B, alls B und B. Übungsaugabe 2.3.2 Übungsaugaben 2.3.3 und 2.3.4 2.3 Beziehungen zischen Mengen GM 2-23 2.3 Beziehungen zischen Mengen GM 2-24 6
Deinition 2.3.4: otenzmenge Es sei M eine Menge. (M) = { M } heißt otenzmenge von M. Vereinigung Durchschnitt Dierenz Komplement Übungsaugabe 2.3.5 2.3 Beziehungen zischen Mengen GM 2-25 GM 2-26 Deinition 2.4.1: Vereinigung Satz 2.4.1: Gesetze der Vereinigung Seien und B Mengen. B = { x x x B } heißt Vereinigung von und B. Seien und B Mengen. Dann gilt: a) B = B (Kommutativität) b) Ø = c) B d) B B = B B B Übungsaugabe 2.4.1 GM 2-27 GM 2-28 7
Deinition 2.4.2: Durchschnitt Satz 2.4.2: Gesetze des Durchschnitts Seien und B Mengen. B = { x l x x B } heißt Durchschnitt von und B. Seien und B Mengen. Dann gilt: a) B = B (Kommutativität) b) Ø = Ø c) B d) B B = B B Übungsaugaben 2.4.2 und 2.4.3 GM 2-29 GM 2-30 Satz 2.4.3: Distributivgesetze Deinition 2.4.3: Dierenz Seien, B und C Mengen. Dann gilt: a) (B C) = ( B) ( C) b) (B C) = ( B) ( C) Seien und B Mengen. \B = { x l x x B } heißt Dierenz von und B oder auch ohne B. \B B Übungsaugabe 2.4.4 Übungsaugabe 2.4.5 GM 2-31 GM 2-32 8
Deinition 2.4.4: Komplement Satz 2.4.4: Komplement G Sei Teilmenge der Grundmenge G. = G \ heißt Komplement von bezüglich G. Sei Teilmenge der Grundmenge G. Dann gilt: a) = Ø b) = G Übungsaugabe 2.4.6 GM 2-33 GM 2-34 Satz 2.4.5: Gesetze der Mengenoperationen Satz 2.4.6: eitere Gesetze der Mengenoperationen Es seien, B und C Teilmengen der Grundmenge G. Dann gilt: Es seien, B und C Teilmengen der Grundmenge G. Dann gilt: B = B B = B (B C) = ( B) ( C) (B C) = ( B) ( C) G = Ø = = Ø = G Kommutativität Distributivität neutrale Elemente Komplement = = Ø = Ø G = G ( B) = ( B) = (B C) = ( B) C (B C) = ( B) C B = B B = B = Idempotenz bsorption ssoziativität De Morgansche Gesetze Ø = G G = Ø GM 2-35 GM 2-36 9