Differentialgeometrie

Manuskript zur Vorlesung Differentialgeometrie gehalten an der U n i v e r s i t ä t R o s t o c k von Prof. Dr. Dieter Neßelmann Rostock, April 2006 Fassung vom 0. April 2006

Inhaltsverzeichnis Grundlagen aus der Analysis 2 Frenet-Kurven im R n 5 3 Kurven im R 2 und R 3 0 4 Hauptsatz der lokalen Kurventheorie 7 5 Reguläre Flächenstücke,. Fundamentalformen 2 6 Reguläre Funktionen auf Flächen, Orientierung 3 7 Gauß-Abbildung und Krümmungen von Flächen 37 8 Drehflächen und Regelflächen 50 9 Minimalflächen 63 0 Die innere Geometrie von Flächen 66

Grundlagen aus der Analysis Sei E n - euklidischer n-dimensionaler Punkt-raum über R n 2 und R n - n-dimensionaler Vektorraum über R n-tupel-raum {x,..., x n x,..., x n R} Fixieren wir die Anfangspunkte aller Vektoren des R n im Ursprung, so werden aus den Vektoren Ortsvektoren und R n damit ein Punktraum. Wir identifizieren im folgenden E n mit R n. Wir betrachten Abbildungen f : R m R n, wobei f f,..., f n mit Funktionen f i : R m R, f i f i x,..., x m. Praktisch sind dieses Parametrisierungen von Kurven, Flächen, usw. Beispiel: Schraubenkurve/ linie f : R R 3 mit ft a cos t, b sin t, c t a, b, c 0. Skalarprodukt im R n Sei x, y R n, x x,..., x n, y y,..., y n x, y : n x i y i Wir schreiben auch x y für x, y. Es gilt x, y ist linear in x und y 2 x, y y, x 3 x R n mit x 0 gilt x, x > 0 i Mit x x, x bezeichnen wir die Norm von x. Ist x, y R n, x, y 0, dann gilt nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung x i y i 2 x i y i, also x, y x y und daher x x, y. y Folglich gibt es genau einen Winkel ϕ mit 0 ϕ < π, so dass x cos ϕ x, y x, y y x y. Damit wird R n zu einem metrischen Raum.

2 Topologie im R n Die ε-umgebung eines Punktes x R n wird folgendermaßen definiert: U ε x {y R n : x y < ε}. Eine Teilmenge O R n heißt offen, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: x O U ε x, so dass U ε x O. Diese offenen Mengen erfüllen die beiden charakteristischen Eigenschaften, um eine Topologie in R n zu definieren: O: Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist wieder eine offene Menge. O2: Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist wieder eine offene Menge. Eine Menge A R n heißt abgeschlossen : R n \ A ist offen. und R n sind offen und abgeschlossen. Differentiation im R n Im R gilt bekanntlich: Eine Funktion y fx ist differenzierbar an der Stelle x 0 Df ϕξ c : fx 0 + ξ fx 0 + c ξ + ϕξ mit lim 0 ξ < ε. ξ 0 ξ Es ist dann c f x 0. Ist F : R n R m eine auf einer offenen Menge U R n erklärte Abbildung, dann heißt F differenzierbar in x 0 U : lineare Abbildung A x0 : R n R m und eine Abbildung ϕ : R n R m, so dass F x 0 + ξ F x 0 + A x0 ξ + ϕξ mit lim ξ 0 ϕξ ξ 0. Wird A x0 durch die Matrix A x0 a ij a... a n. a m... a mn. gegeben und ist F F,..., F m, dann ist a ij F i F i, also A x0 x j x j x0 x0 J x0 F.

3 J x0 F heißt die Funktional- oder Jacobi-Matrix von F. Es ist dann F F x... x0 x n x0 ξ A x0 ξ... F m F m... ξ n x x n x0 Der Rang der Abbildung F im Punkt x 0 wird definiert als der Rang der zugehörigen Jacobi- Matrix J x0 F. Der wichtigste Fall im Sinn der Differentialgeometrie ist, wenn F differenzierbar x U und J x F stets maximalen Rang hat reguläre Abbildung; in diesem Fall heißt F eine Immersion, falls n m Einbettung, injektiv bzw. Submersion, falls n m surjektive Abbildung. Satz über implizite Funktionen Eine implizite Funktion wird gegeben durch eine Gleichung F x, y 0. Will man y als Funktion von x oder x als Funktion von y auffassen, so gelingt dieses in der Regel nur lokal, wie man schon leicht am Beispiel x 2 + y 2 erkennt. z.b. F y x, y 0 in x 0, y 0 y gx : F x, gx 0, hier F y 2y, also F y x, y 0 für y 0 0. Es seien U R k und U 2 R n offene Mengen und F : U U 2 R n eine stetig differenzierbare Abbildung: x, y F x, y für x U und y U 2. Es sei x0 a, b U U 2 ein Punkt, so dass F a, b 0 und die quadratische Matrix F Fi y : a,b y j i,j,...,n a,b invertierbar ist. Dann gibt es offene Umgebungen V U von a und V 2 U 2 von b sowie eine stetig differenzierbare Abbildung g : V V 2, so dass für alle x, y V V 2 die implizite Gleichung F x, y 0 genau dann erfüllt ist, wenn die explizite Gleichung y gx erfüllt ist.. Satz über die Umkehrabbildung Sei U R n eine offene Menge und f : U R n y fy eine stetig differenzierbare fi a Abbildung und etwa für einen gewissen Punkt a U die Jacobi-Matrix J a f y j invertierbar. Sei fa b.

4 Wir betrachten F : R n U R n mit F x, y : x fy. Dann ist F b, a 0 und J a F J a f invertierbar. Daher gibt es Umgebungen V von b b V R n und V von a a V U und genau eine stetig differenzierbare Abbildung g : V V, so dass x V : F x, gx x fgx 0. Sei V : V f V {y V : fy V } - offen. Daher ist f : V V bijektiv, x fgx x V und daher g f : V V. Wegen f g id V gilt J a f J b g, also J b g J a f. Damit haben wir den Satz über die Umkehrabbildung: Sei U R n eine offene Menge und f : U R n y fy eine stetig differenzierbare Abbildung, so dass für einen festen Punkt a U die Jacobi-Matrix J a f fi a y j invertierbar ist. Dann gibt es eine Umgebung V von a, a V U, so dass J x f invertierbar x V und damit auch f V : V fv invertierbar ist, d.h. f V ist ein Diffeomorphismus invertierbare stetig differenzierbare Abbildung. Der Satz über die Umkehrabbildung wird im wesentlichen benötigt, um Eigenschaften bei unterschiedlichen Parameterdarstellungen von Kurven und Flächen zu beschreiben und gegebenenfalls ihre Invarianz zu zeigen.

5 2 Frenet-Kurven im R n Definition 2.: Eine parametrisierte differenzierbare Kurve ist eine differenzierbare Abbildung eines offenen Intervalls I R in R n. c : I R n Beispiel : ct a cos t, a sin t, b t, a 0 c : t a cos t, a sin t, b t, t R I. Schraubenlinie auf dem Zylinder x 2 + y 2 a Besonderheit: ċt a sin t, a cos t, b, ċt a 2 + b 2 0 t c ist eine reguläre parametrisierte Kurve. Beispiel 2: ct t 2, t 3 - differenzierbare Abbildung Neilsche Parabel. Es ist ċt 2t, 3t 2, ċt 4t 2 + 9t 4, ċ0 0. c ist an der Stelle t 0 nicht regulär ; die Kurve hat dort eine Spitze. Dieses führt zu Definition 2.2: Eine parametrisierte differenzierbare Kurve c : I R n heißt regulär oder reguläre parametrisierte Kurve : t I ist ċt 0. Der Vektor ċt 0 d c heißt Tangentialvektor an c in t 0, die Gerade d t tt0 heißt die Tangente an c in t 0. Ist x x. x n c t 0 : ct 0 + t ċt 0 : I R n, dann ist x ct 0 + t ċt 0 die Parameterdarstellung der Tangente. Definition 2.3: reguläre Parametertransformationen Sei ϕ : Ĩ I bzw. ϕ : [α, β] [a, b], stetig differenzierbar und ϕ t > 0 t [α, β] ϕ ist bijektiv und orientierungserhaltend. ϕ heißt eine reguläre Parametertransformation auf [α, β]. Definition 2.4: a Zwei parametrisierte reguläre Kurven c und c ϕ, die durch eine reguläre orientierungserhaltende Parametertransformation ϕ auseinander hervorgehen, heißen äquivalent. Offenbar ist hiermit eine Äquivalenzrelation definiert. b Eine Äquivalenzklasse parametrisierter regulärer Kurven heißt eine reguläre Kurve.

6 Verschiedene Repräsentanten einer regulären Kurve haben eine Reihe invarianter Eigenschaften, z.b. die Kurvenlänge. Definition 2.5: Sei c : I R n mit I [a, b] eine reguläre parametrisierte Kurve. Dann heißt s die Kurvenlänge. b a d c dt dt s ist tatsächlich die Bogenlänge: Ersetzen wir den Kurvenbogen durch ein Polygon mit den Eckpunkten ct i i 0,,..., n, dann ist die Länge lp dieses Polygonbogens: lp n ct i ct i i n xti xt i 2 + yt i yt i 2 +, i falls ct xt, yt,... mit stetig differenzierbaren Funktionen xt, yt,... Wegen xt i xt i ẋτ i t i t i,... mit τ i t i, t i ergibt sich lp n ct i ct i i n t i t i ẋτ i 2 + i und als Grenzwert lim n ẋτi 2 + t b i a ċt dt Satz 2.6: s b a d c dt ist invariant unter regulären orientierungserhaltenden Parametertransformationen. dt Beweis: Sei ϕ : Ĩ I, Ĩ [α, β], t ϕ t, ϕ t > 0. Dann ist s b a d ct dt dt β α d cϕ t d t d t dt ϕ t d t. Weiterhin ist ct cϕ t c t, dt ϕ t d t und daher d t dt ϕ t > 0. qed. s β α d c t d t d t, Damit kann man jeder regulären Kurve eine Bogenlänge s zuordnen und es gilt Lemma 2.7: Jede reguläre Kurve kann man nach der Bogenlänge s parametrisieren. In dieser Parametrisierung hat der Tangentenvektor an jeder Stelle die Länge. Beweis: Sei c : I R n b und l d ct dt, wenn I [a, b], die Gesamtlänge. a dt

7 Sei [α, β] : [0, l] und Lt definiert die Abbildung st : Lt t a d cτ dτ dτ. und es gilt Daher ist d s dt d L dt L : [a, b] [0, l] t st d ct dt 0 t [a, b]. ϕ : L : [0, l] [a, b], t ϕs, eine reguläre Parametertransformation, die eindeutig bis auf Verschiebungen s s + s 0 ist. Es ist ct cϕs cs oder: [0, l] ϕ c [a, b] R n, also c c ϕ c L. Folglich ist qed. d c ds d c dt d t ds, da d s dt d c dt, Für die Untersuchung der lokalen Eigenschaften sind zwei Aspekte von Bedeutung: Eine geeignete Darstellung in der Umgebung eines jeden Punktes finden; 2 ein geeignetes lokales Bezugssystem anzugeben. zu Sei c cs und P c0 der betrachtete Punkt, was durch Verschiebung stets erreichbar ist. Die Taylor-Entwicklung an der Stelle s 0 führt zu Tangente: x c0 + s c 0 cs c0 + s c 0 + s2 2 c 0 + s3 6 c 0 + os 3. Schmiegparabel: x c0 + s c 0 + s2 2 c 0, falls c 0 0. Sie liegt in der von c 0, c 0 aufgespannten Ebene ebene Parabel. Es gilt sogar s : c s c s, denn d ds c s, c s 0 2 c s, c s. }{{} Definition 2.8: Sind zwei Kurven c s und c 2 s nach der Bogenlänge parametrisiert, dann sagt man, sie berühren sich von k-ter Ordnung an der Stelle s 0 : c 0 c 2 0, c 0 c 20,..., c k 0 ck 2 0, ck+ 0 c k+ 2 0

8 falls c, c 2 mindestens k+-mal stetig differenzierbar sind. Kurve + Tangente haben Berührung. Ordnung, falls c 0 0; Kurve + Schmiegparabel haben Berührung 2. Ordnung, falls c 0 0. zu 2 - Bezugssystem: Sei c cs nach der Bogenlänge parametrisiert c s, c s sind schon vorteilhafte Richtungen an der Stelle s, da sie orthogonal sind und Tangente und Schmiegparabel in dieser Ebene liegen. Sind c s,..., c n s linear unabhängig, so kann man mit dem Orthonormierungsverfahren ein begleitendes n-bein Frenet-n-Bein konstruieren. Definition 2.9: c cs sei eine reguläre Kurve im R n, n-mal stetig differenzierbar und nach der Bogenlänge parametrisiert. cs heißt eine Frenet-Kurve, falls s c s,..., c n s linear unabhängig sind. Das begleitende Frenet-n-Bein e s,..., e n s ist durch folgende Bedingungen eindeutig bestimmt: e s,..., e n s ist orthonormiert und positiv orientiert; 2 für jedes k,..., n ist Line,..., e k Linc s,..., c k s lineare Hülle; 3 c k e k > 0 für k,..., n. Offenbar erhält man e s,..., e n s durch das Schmidtsche Orthonormierungsverfahren: e : c e 2 : c / c / e 3 : c c, e e c, e 2 e 2. e k :. e n : k c k c k, e j e j / j n 2 c n c n, e j e j / j e n ist dann durch eindeutig bestimmt. Aus ergibt sich e k, e k e k, c k k c k, e j e j / k c k, e k c k c k, e j e j > 0 für k,..., n. j j

9 n2 : Jede ebene reguläre Kurve ist eine Frenet-Kurve. n3 : cs ist eine Frenet-Kurve, falls c s 0 s keine Wendepunkte - Krümmung 0 Gerade ist keine Frenet-Kurve.

0 3 Kurven im R 2 und R 3 Kurven im R 2 Sei c : I R 2 eine ebene reguläre parametrisierte Kurve, Parameter s Bogenlänge, c : 2-mal stetig differenzierbar, c s d c ds,... e e s c s - Tangentenvektor e 2 c, e, e 2 positiv orientiert c c s κ e 2, κ κs κ heißt die Krümmung von c und ist im R 2 vorzeichenbehaftet! κ ist ein Maß für die Änderung der Tangentenrichtung: κ c d ds c 2 κ 0 /κ ist genau der Radius des Kreises, der mit der Parabel Es gilt: c c0 + s c 0 + s2 2 c 0 an der Stelle s 0 eine 4-punktige Berührung hat Übungsaufgabe! e c κ e 2 e 2 κ e, denn: e 2 α e + β e 2 e 2 e α und e 2 e 2 β aus e e 2 e e 2 + e e 2 κ + e e 2 0 folgt α κ und aus e 2 e 2 0 2 e 2 e 2 folgt β 0. e e 2 0 κ κ 0 e e 2 Frenet-Gleichungen 86-900 Satz 3.: Eine Frenet-Kurve im R 2 hat genau dann konstante Krümmung κ, wenn sie entweder Teil eines Kreises vom Radius /κ falls κ 0 oder Teil einer Gerade falls κ 0 ist. Beweis: Sei κ 0 κs 0 0, κ κs und r s cs + κ 0 e 2 s Wegen κ 0 e 2 s e 2 s κ 0 ist κ 0 r s Ps r s cs + κ 0 e 2 s const. r 0 cs P s beschreibt eine Kreislinie um den Mittel-Punkt r 0 vom Radius / κ 0 0 d ds r 0 d cs + e 2 s c s + e ds κ 0 κ 2s e κ e κκ0 e 0 κ 0 κ κ 0 s

2 κs κ 0 0 s c s 0 s c s c 0 - konst. cs c 0 + s c - Gerade, qed. Definition 3.2: a Sei cs eine reguläre Kurve und κs 0 0. Dann berührt der Kreis mit dem Mittelpunkt M cs 0 + κs 0 e 2s 0 vom Radius /κs 0 die Kurve in s 0 von 2. Ordnung und heißt Schmiegkreis in s 0. b Die Kurve, die aus den Mittelpunkten der Schmiegkreise s cs + κs e 2s c s gebildet wird, heißt Evolute oder Brennkurve von c. Behauptung 3.3: Die Evolute c s von cs ist die Hüllkurve der Kurvennormalen von cs, wenn κs 0 s. Beweis: Wir zeigen: Die Normale in cs ist Tangente in c s; der Berührpunkt ist obiger Schmiegkreismittelpunkt. 2 Der Schnitt zweier benachbarter Normalen im Grenzfall ist ein Kurvenpunkt von c s. zu Tangentenvektor an der Stelle s von c s: d ds c s c s + κs e 2s κ 2 κ e 2 s κ 2 κ e 2 s Tangentenvektor an der Stelle s von cs : zu 2 Normalen in c s c s e s d ds c s κ 2 κ e s e 2 s 0. s : β t cs + t e 2 s s 2 : β 2 τ cs 2 + τ e 2 s 2 Schnittpunkt: β t β 2 τ cs 2 cs s 2 s t e 2s τ e 2 s 2 s 2 s e s lim s 2 s cs 2 cs s 2 s e s c s e s τ e 2 s 2 lim e s lim τ e 2s 2 e 2 s e s lim τ e s 2 s s 2 s s 2 s s 2 s s 2 s 2s e s }{{} κs τ κs τ κs,

2 da insbesondere t e 2 s e s 0 τ e 2 s e s. Qed. Ist umgekehrt c s gegeben, so schneidet cs die Tangenten von c s orthogonal. cs heißt auch Evolvente von c s. Kurven im R 3 cs : I R 3 sei 3-mal stetig differenzierbar, c s 0 s, also c eine Frenet-Kurve. Dann gilt: e : c s Tangente e 2 : c s c s Hauptnormale e 3 : e e 2 Binormale Die Funktion κ κs : c s heißt Krümmung von c und ist nach Voraussetzung stets positiv. Frenet-Gleichungen: Beachtet man für einen Vektor x α e + α 2 e 2 + α 3 e 3 x e α, x e 2 α 2, x e 3 α 3, dann folgt e c s κ e 2 sowie e 2 e 2 e e + e 2 e }{{} 2 e 2 + e 2 e 3 e 3 0 0 e 2 e e 2 e + e 2 e e 2 e e 2 e κ. τ : e 2 e 3 heißt die Torsion. Es ergibt sich e 2 κ e + τ e 3 e 3 e 3 e e + e 3 e 2 e 2 + e 3 e }{{} 3 e 3 0 e 3 e e }{{} e 3 e 2e }{{} 2 0 τ τ e 2. Hieraus ergeben sich die Frenet-Gleichungen e 0 κ 0 e 2 κ 0 τ 0 τ 0 e 3 e e 2 e 3. Die Frenet-Gleichungen bewirken, dass eine Frenet-Kurve bis auf ihre Lage im Raum eindeutig durch Krümmung und Torsion bestimmt ist.

3 Behauptung 3.4: Eine Frenet-Kurve cs : I R 3 ist eben τs 0. Beweis: τs 0 e 3 0 e 3 const. Qed. Lokale Eigenschaften einer Frenet-Kurve Wir betrachten cs : I R 3 an der Stelle s 0: cs c0 + s c 0 + s2 2 c 0 + s3 6 c 0 + os 3 3.A und bestimmen c, c, c aus den Frenet-Gleichungen: Einsetzen in 3.A ergibt: c e c e κ e 2 c κ e 2 κ e 2 + κ e 2 κ e 2 + κ κ e + τ e 3. cs c0 + s e + s2 2 κ e 2 + s3 6 κ e 2 κ 2 e + κ τ e 3 + os 3 c0 + s κ2 6 s3 e + κ 2 s2 + κ 6 s3 e 2 + κ τ 6 In. Näherung erhält man eine Kurve cs c0 + s e + κ 2 s2 e 2 + κ τ 6 Dieses ist eine Raumkurve 3. Ordnung mit den Projektionen in: e - e 2 - Ebene: Schmiegebene s 3 e 3 c,2 s c0 + s e + κ 2 s2 e 2 Parabel s 3 e 3 + os 3 2 e 2 - e 3 - Ebene: Normalebene c 2,3 s c0 + κ 2 s2 e 2 + κ τ 6 s 3 e 3 Neilsche Parabel 3 e - e 3 - Ebene: rektifizierende Ebene c,3 s c0 + s e + κ τ 6 s 3 e 3 glatte Kurve 3. Ordnung Schmiegkugel Satz 3.5: Sei cs : I R 3 eine Frenet-Kurve. Dann gilt: τs 0 0 die Kugeloberfläche S um den Punkt cs 0 + κs 0 e κ s 0 2s 0 τs 0 κ 2 s 0 e 3s 0, die durch den Punkt cs 0 geht, berührt die Kurve c in s 0 von 3. Ordnung. S ist durch diese Eigenschaft eindeutig bestimmt und heißt Schmiegkugel von c in s 0.

4 2 Sei τs 0 s. Dann liegt c auf einer Sphäre τ κ κ τ κ 2 3 Eine parametrisierte Kurve cs liege auf einer Einheitssphäre S 2 R 3 und J Js : detc, c, c detcs, c s, c s. Dann ist cs eine Frenet-Kurve mit κ + J 2 und τ J / + J 2. J 0 : Großkreis J konst. : Kleinkreis. Beweis: zu Angenommen, die Kugel S 0 mit dem Mittelpunkt ms 0 sei eine Kugel mit größtmöglicher Berührung: m 0 ms 0 cs 0 + α e s 0 + β e 2 s 0 + γ e 3 s 0 bzw. m 0 cs 0 α e s 0 + β e 2 s 0 + γ e 3 s 0. Gleichung für die Kugel vom Radius R mit dem Mittelpunkt m 0 ms 0 : S 0 : x m 0 x m 0 R 2 0. Es gilt: cs S 0 rs : cs m 0 cs m 0 R 2 0. An der Stelle s 0 gibt es: einen ν-fachen Schnittpunkt r s 0 r ν s 0 0, r ν s 0 0 bzw. eine ν-fache Berührung r s 0 r ν s 0 0, r ν+ s 0 0. Für die Ableitungen von rs gilt: Daher ist r s 2cs m 0 c s 2cs m 0 e s r s 2c s c s + 2cs m 0 c s 2 + 2cs m 0 κ e 2 s r s 2cs m 0 c s, da c s c s 0 2cs m 0 κ e 2 κ 2 e + κ τ e 3 r s 0 0 cs 0 m 0 c s 0 cs 0 m 0 e s 0 0 α 0 das bedeutet, m 0 liegt in der Normalebene! r s 0 0 + cs 0 m 0 κ e 2 s 0 β κ 0 β κs 0 r s 0 0 cs 0 m 0 κ e 2 κ 2 e + κ τ e 3 α κ 2 + β κ + γ κ τ 0 κ s 0 γ κ 2 s 0 τs 0.

5 zu 2 c cs liegt auf einer Sphäre ms const. ms 0 s m s 0, d.h. cs hat in jedem Punkt dieselbe Schmiegkugel. Es ist m d s cs + ds κs e κ s 2s κ 2 s τs e 3s c s κ κ 2 e 2s + κ s κ s κ e 2s κ 2 e 3 s s τs κ 2 s τs e 3s [ τ κ κ s ] κ 2 e 3 s 0 nach den Frenet-Formeln s τs τ κ κ s κ 2 s τs Bemerkung: Dieses ist eine Differentialgleichung nur zwischen κ und τ, anhand der man diese Eigenschaft testen kann ohne die Lage der Sphäre tatsächlich zu kennen. zu 3 cs liege auf einer Einheitssphäre S 2 und daher c s in der Tangentialebene von S 2 s : cs c s und cs c s Daher ist cs, c s, cs c s ein orthonormales Dreibein. c s c c }{{} c c cs + c c }{{} 0 c c d dt c c 0 2c c. Daher ist c s + c c c c c }{{} detc, c, c J c s cs + J c c und folglich κ 2 c c + J 2 > 0. Berechnung von τ: Es gilt e 2 κ c s, e 3 e e 2 κ c c s und c c 0 denn: c c 0 0 d ds c c c c+c c c c+ 0 d ds c c+ c c+c} {{ c } c c 0 Aus e 3 τ e 2 folgt τ e 3, e 2 κ c c, κ c κ 2 c c, c + κ κ 3 c c, c }{{} 0 κ 2 c c, cs + J c c κ 2 c c, c }{{} J da wegen c c auch c c c c. Beachte: J detc, c, c detc, c, c + detc, c, c + detc, c, c und }{{}}{{} 2 c c, c c 0 nach der Lagrange-Identität. Nun ist 0 0 J κ 2, J J 0 const. τ 0 c ist eben auf der Kugel c ist Kreislinie

6 und J J 0 0 c, c, c linear abhängig, und, da c c und c c c c Schmiegebene geht durch den Mittelpunkt Ebene durch cs und e c s, e 2 κ c s, qed.

7 4 Hauptsatz der lokalen Kurventheorie Satz 4. Frenet-Gleichungen im R n : Sei c : I R n eine Frenet-Kurve im R n, d.h. c s,..., c n linear unabhängig s, und e,..., e n eine Frenet-n-Bein. Dann gibt es Funktionen κ,..., κ n mit κ,..., κ n 2 > 0, so dass jedes κ i n i-mal stetig differenzierbar ist und gilt. e e 2. e n e n 0 κ 0 0 κ 0 κ 2.. 0 κ 2 0.. 0.......... κn 0 0 κ n 0 e e 2. e n e n κ i heißt die i-te Frenet-Krümmung und obige Gleichungen heißen die Frenet-Gleichungen. Beweis: Da e,..., e n orthonormiert sind, gilt n e i e i, e j e j. j Nach Konstruktion der e i gilt e i Lin{c, c,..., c i } i,..., n, wenn Lin{...} die lineare Hülle bezeichnet, also e i Lin{c, c,..., c i+ } Lin{e,..., e i+ } und daher e i e i+2 e i e n 0 und e i e i+ > 0 für i,..., n 2. Letzteres sieht man folgendermaßen: Nach dem Orthonormierungsverfahren ergibt sich e i e i i α j c j i ci + α j c j j ci+ + i j j α j c j ci+ + i β j e j j Daher ist e i, e i+ ci+, e i+ > 0 i,..., n 2 nach den Überlegungen zu Definition 2.9, 3. Wir setzen κ i : e i, e i+ für i,..., n κ,..., κ n 2 > 0. Die Matrix ist schiefsymmetrisch wegen qed. 0 e i, e j e i, e j + e i, e j, also e i, e j e i, e j für i j, Folgerung 4.2: Eine Frenet-Kurve liegt genau dann in einer Hyperebene, wenn κ n 0.

8 Beweis: κ n 0 e n 0, also e n const. s. Lemma 4.3: Die Frenet-Krümmungen und das Frenet-n-Bein sind invariant unter euklidischen Bewegungen. Beweis: Sei B : R n R n mit B x A x + b, A orthogonal, eine euklidische Bewegung. Dann müssen wir zeigen B c ist eine Frenet-Kurve; 2 wenn e,..., e n ein Frenet-n-Bein für c ist, dann ist A e,..., A e n ein solches von B c; 3 c und B c haben dieselben Frenet-Krümmungen. Es ist B c A c, B c A c,..., B c n A c n. zu c s,..., c n linear unabhängig A c,..., A c n linear unabhängig { i j zu 2 Ae i Ae j e T i AT Ae j e T i e j 0 i j zu 3 A e A e Aκ e 2 A e i A e i A κ i e i +κ i e i+ κ i A e i +κ i A e i+ für i 2,..., n 2 A e n A e n A κ n e n κ n A e n sind die Frenet-Gleichungen, qed. Satz 4.4: Hauptsatz der lokalen Kurventheorie: Gegeben seien die C Funktionen κ,..., κ n : a, b R mit κ,..., κ n 2 > 0. Für einen festen Parameter s 0 a, b sei ein Punkt q 0 R n und ein n-bein e 0,..., e0 n gegeben. Dann gibt es genau eine nach der Bogenlänge s parametrisierte C Frenet-Kurve c : a, b R n mit cs 0 q 0 ; 2 e 0,..., e0 n ist das Frenet-n-Bein in q 0 ; 3 κ,..., κ n sind die Frenet-Krümmungen von c. Bemerkung: Es reicht auch aus, wenn κ i κ i s n i-mal stetig differenzierbar ist für i,..., n c wird n-mal stetig differenzierbar. Beweis: Wir machen folgenden Ansatz: X Xs e s,..., e n s T

9 sei eine matrixwertige Funktion, Xs orthogonal s und 0 κ s 0 0 κ s 0 κ 2 s. Ks. 0 κ 2 s 0.. 0.......... κn s 0 0 κ n s 0. Dann ist X s Ks Xs ein System linearer Differentialgleichungen. Ordnung. Wir erinnern an den Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Systeme linearer Differentialgleichungen. Ordnung vgl. [3], 2: Sei At a t,..., a n t. a n t,..., a nn t., t Unbestimmte eine stetige Abbildung y At : I R n n, I R offenes Intervall, und y. y n eine stetige Funktion. Dann heißt und b b t. b n t y At y + bt ein System linearer Differentialgleichungen. Ordnung. : I Rn Existenz- und Eindeutigkeitssatz: Zu jedem t 0 I und c R n gibt es genau eine differenzierbare Abbildung ϕ : I R n als Lösung von y At y + bt mit der Anfangsbedingung ϕt 0 c. Zur Anfangsbedingung Xs 0 e s 0,..., e n s 0 T gibt es nun nach dem Existenzund Eindeutigkeitssatz genau eine Lösung F s. F s 2 Behauptung: F s. ist eine orthogonale Matrix, d.h. F F T E. F n s F F T F F T + F F T F F T + F F T KF F T + F KF T KF F T + F F T K T

20 ist ebenfalls ein System linearer Gleichungen. Ordnung mit der Anfangsbedingung F s 0 F s 0 T Xs 0 Xs 0 T E, da e 0,..., e0 n ein orthonormiertes Dreibein ist. Daher gibt es genau eine Lösung, die dieser Anfangsbedingung genügt, z.b. E : E 0 K + K T, da K schiefsymmstrisch. Also ist E die Lösung, d.h. s : F s F s T E. 3 Wie erhält man hieraus nun cs? Aus der Lösung F s erhält man e s c s. Zusammen mit der Voraussetzung cs 0 q 0 ergibt sich daher s cs q 0 + e t dt. Behauptung: cs ist eine Frenet-Kurve, d.h. c s,..., cn s sind linear unabhängig, und für deren Krümmungen κ,..., κ n gilt κ i s κ is für i,..., n. Seien also κ,..., κ n die Krümmungen von cs und e s,..., e ns deren begleitendes Dreibein. Dann ist s 0 c s e s c s e s κ e 2 c s e 2s e 2 e 2 und κ c s κ > 0 c s κ e 2 κ 2 e + κ e 2 + κ κ 2 e 3 κ 2 e + κ e 2 + κ κ 2 e 3 nach den Frenet-Gleichungen für cs κ 2 e + κ e 2 + κ κ 2 e 3 e 3 e 3 und κ 2 κ 2 > 0 allgemein: c i Line,..., e i + κ κ i 2 κ i e i Line,..., e i + κ κ i 2 κ i e i e i e i und κ i κ i > 0 i 2,..., n Wegen κ,..., κ n > 0 sind c s,..., cn s linear unabhängig sowie e n e n und κ n e n, e n κ n, qed.

2 5 Reguläre Flächenstücke,. Fundamentalformen Wir gehen bei der Definition der Flächen wie bei der Einführung von Kurven vor und definieren anschließend die Fundamentalformen als wichtigste Invarianten, mit denen die Flächentheorie aufgebaut wird. Definition 5.: Sei U R 2 eine offene Menge. Ein parametrisiertes Flächenstück ist eine Immersion f : U R 3 f f u, v, f 2 u, v, f 3 u, v, f, f 2, f 3 stetig differenzierbare Funktionen, Rang J q f 2 maximal für alle q u, v U. Wir setzen auch einfach f xu, v, yu, v, zu, v und haben für ein reguläres Flächenstück die Abbildung u, v x, y, z R 3. Beispiel: Einheitssphäre S 2 R 3 ; S 2 {x, y, z R 3 : x 2 + y 2 + z 2 } Lokale Parametrisierungen: u, v u, v, ± u 2 v 2 u 2 + v 2 < Der Äquator wird gesondert behandelt! 2 ϕ, ϑ cos ϕ cos ϑ, sin ϕ cos ϑ, sin ϑ 0 < ϕ < 2π, π 2 < ϑ < π 2 Regularität: zu f u, v u, v, u 2 v 2 u 2 + v 2 < 0 J q f 0 2u 2 2v u 2 v 2 2 u 2 v 2 q u, v, u 2 + v 2 < ist Rang J q f 2. zu 2 q ϕ, ϑ, f cos ϕ cos ϑ, sin ϕ cos ϑ, sin ϑ 0 < ϕ < 2π, π 2 < ϑ < π 2 J q f sin ϕ cos ϑ cos ϕ cos ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ 0 cos ϑ 2-reihige Unterdeterminaten sind: sin ϑ cos ϑ, cos 2 ϑ sin ϕ und cos 2 ϑ cos ϕ Für π 2 < ϑ < π 2 ist cos 2 ϑ 0 Rang J q f 2 q ϕ, ϑ.

22 Definition 5.2: Zwei Parametrisierungen f : U R 3 und f : Ũ R 3 heißen äquivalent : Diffeomorphismus ϕ : Ũ U mit f f ϕ. ϕ Ũ U f f R 3 Diffeomorphismus: ϕ stetig differenzierbar und wenn ϕ ϕ ũ, ṽ, ϕ 2 ũ, ṽ u, v, dann ist ϕ, ϕ 2 ũ, ṽ u, v 0 ũ, ṽ ũ, ṽ Definition 5.3: Ein unparametrisiertes Flächenstück ist eine Äquivalenzklasse parametrisierter regulärer Flächenstücke. Im Beispiel: u cos ϕ cos ϑ, v sin ϕ cos ϑ für die obere Halbsphäre, also 0 < ϑ < π 2 der Nordpol ist bei Polarkoordinaten ausgenommen u, v ϕ, ϑ sin ϕ cos ϑ cos ϕ cos ϑ falls 0 < ϑ < π 2. cos ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ sin2 ϕ+cos 2 ϕ cos ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ 0, Im R n n > 3 bietet sich zur Untersuchung mit diesen Hilfsmitteln noch die Hyperfläche an: U R n, f : U R n. Mannigfaltigkeiten zwischen Kurven und Hyperflächen sind erheblich aufwendiger zu untersuchen und werden hier nicht behandelt. Singuläre Punkte: Ein Punkt fq 0 heißt singulär, wenn Rang J q0 f nicht maximal ist. In diesem Fall ist f keine Immersion und wir müssen aus differentialgeometrischer Sicht um fq 0 herum gehen. Beispiel: Kreiskegel {x, y, z R 3 : x 2 + y 2 z 2 0} Parametrisierung f : r, ϕ r cos ϕ, r sin ϕ, r, 0 < ϕ < 2π, a < r < a a > 0 f r cos ϕ, sin ϕ,, f ϕ r sin ϕ, r cos ϕ, 0 f ϕ 0, ϕ 0 Für r 0 Kegelspitze liegt keine Immersion vor.

23 Differential einer Abbildung und Tangentialebene an ein Flächenstück S Sei x R n, dann ist T x R n : {x} R n der Tangentialraum von R n in x. T x R n wird wie folgt zu einem Vektorraum über R: x, w, x, w 2 T x R n, α, β R α x, w +β x, w 2 : x, α w +β w 2 T x R n Ist y fx,..., x n eine differenzierbare Funktion, dann wird klassisch das Differential von f als ein Ausdruck d f n i f x i dx i angegeben. Entsprechend definieren wird das Differential einer differenzierbaren Abbildung f f x,..., f n x : R k R n, x x,..., x k als D f x : T x R k T fx R n mit x, w fx, J x fw. Motivation hierfür ist die Differenzierbarkeit bzw. Richtungsableitung: fx + w fx + J x fw + ow }{{} Bild von x,w w x J x fw fx 3 Damit wird D f x eine lineare Abbildung des Vektorraumes T x R k in den Vektorraum T fx R n, die im wesentlichen bestimmt wird durch die Jacobi-Matrix J x f : w J x fw. Da im folgenden nur mit diesem differentiellen Anteil gearbeitet wird, können wir auch vereinfacht schreiben D f x : R k R n mit w J x fw, Ein Flächenstück S wird gegeben durch f : U R 3, wobei q u, v p fq. Die Tangentialebene von f in p fq ist T q f : D f q T q U T fq R 3, d.h. Punkt + bel. Tangentenrichtung, wobei T q U {q} R 2, T fq R 3 {p fq} R 3

24 und nach obiger Bemerkung f u D f q J q f. f 3 u Ist q u 0, v 0 und w T q U beliebig, etwa w w, w 2 u u 0, v v 0, dann ist f D f q w p, u w + f q v w 2 q oder einfacher D f q w f u w + f q v w 2 f q u u 0, v 0 u u 0 + f v u 0, v 0 v v 0. Damit ergibt sich die klassische Form der Tangentialebene der Fläche S im Punkt p zu x T p S : y p + f u w + f q v w 2 q z f v. f 3 v. Man kann natürlich auch die einfache differentielle Schreibweise benutzen: df f u du + f q v dv f u q du + f v q dv q Beispiel: f x, y, hx, y, d.h. z hx, y und u, v x, y spezieller Punkt: q u 0, v 0 x 0, y 0 f u f x, 0, h xx, y, f v f y 0,, h yx, y w x x 0, w 2 y y 0 Tangentialebene in fq x 0, y 0, hx 0, y 0 : fq, J q fw {fq} R 3 bzw. in vektorieller Form: x y fq+j qfw z x 0 y 0 + hx 0, y 0 0 x x 0+ h x x 0, y 0 0 h y x 0, y 0 y y 0 Damit erhält man die bekannte Darstellung der Tangentialebene: z hx 0, y 0 + h x x 0, y 0 x x 0 + h y x 0, y 0 y y 0.

25. Fundamentalform Definition 5.4: Sei, das Skalarprodukt auf dem R 3 und jedem Tangentialraum T p R 3. Die. Fundamentalform I eines Flächenstücks S ist die Einschränkung von, auf alle Tangentialebenen T q f, d.h. IX, Y : X, Y, X, Y T q f T p S. I ist eine symmetrische Bilinearform auf T q U: T q U T q U V, W D f q V, D f q W Konkret haben wir folgende Situation: Sei f : U R 3, etwa f f u, v, f 2 u, v, f 3 u, v, V v, v 2, W w, w 2 T q U, q u, v. Dann ist und entsprechend D f q V f u f 2 u f 3 u f v f 2 v f 3 v v v 2 D f q W f u w + f v w 2 Y. f u v + f v v 2 X Hieraus ergibt sich für die Fundamentalform folgende Darstellung: Setzen wir IX, Y X, Y f u v + f v v 2, f u w + f v w 2 v, v 2 v, v 2 f u f u f v f u I f u, f u I f v, f u f u f v f v f v f I u, f w v f I v, f v w 2 w w 2. E Eu, v : I f u, f u, F F u, v : I f u, f v, G Gu, v : I f v, f v, dann wird E F Offenbar ist F G E F w IX, Y v, v 2. F G w 2 g ij eine positiv definite symmetrische Matrix: Spur E F F G E + G > 0

26 2 det E F F G E G F 2 f u f v 2 > 0 nach der Lagrange-Identität Lagrange-Identität: a b 2 a 2 b 2 a b 2 > 0, falls a b 0. g ij heißt auch Maßtensor. Für die Fundamentalform sind auch andere Darstellungen üblich: du Wenn wir V W setzen, erhalten wir für das Bogenelement: dv ds 2 E du 2 + 2F du dv + G dv 2. Dieses resultiert aus folgenden Überlegungen: 2 Auf S betrachten wir eine Kurve ct fut, vt f ut, vt, f 2 ut, vt, f 3 ut, vt dc dt f u u t + f v v t also ċt f u u + f v v ċt 2 f u, f u u 2 + 2 f u, f v u v + f v, f v v 2 E u 2 + 2F u v + G v 2 und ċt ds. Als Differential geschrieben ergibt sich die Darstellung bzw. dt ds E du 2 + 2F du dv + G dv 2 Wir betrachten Parametertransformationen ϕ : Ũ U, Ũ, U Rk und zeigen Satz 5.5: Sei f : U R k R n eine stetig differenzierbare Abbildung, ϕ : R k R k eine Abbildung, so dass die Einschränkung von ϕ auf Ṽ ein Diffeomorphismus ϕ V e : Ṽ V ist, wobei Ṽ, V Rk, V U R k. Dann gilt x Ṽ, x ϕ x und f f ϕ: fx f x und 2 D f ex D f x D ϕ ex. d.h. das Differential ändert sich bei Parametertransformationen nicht.

27 Wir haben folgendes kommutative Diagramm: ϕ x R k R k ϕ x x f ϕ f f R n Beweis: Der Beweis ist eine einfache Anwendung der Kettenregel. fx f x folgt nach Konstruktion von f und der Wahl von x ϕ x: f x f ϕ x fϕ x fx. Sei ϕ ϕ,..., ϕ k. Dann ist ϕ x ϕ x,..., ϕ k x x,..., x k. Aus der Kettenregel folgt für f x f x,..., x k,..., f n x,..., x k f ϕ x,..., ϕ k x,..., f n ϕ x,..., ϕ k x die Beziehung f l x j k i In Matrizenschreibweise ergibt sich: f l x i ϕ i x j l,..., n; j,..., k. J ex f Jx f J ex ϕ. Tangentialvektoren werden bei einem Diffeomorphismus in Tangentialvektoren abgebildet: D ϕ ex ṽ J ex ϕṽ v. Hieraus folgt J ex fṽ Jx f J ex ϕṽ J x fv, qed. Wenn der Bezug auf die Stelle x bzw. x nicht erforderlich ist, schreiben wir einfach D f statt D f x bzw. D ϕ statt D ϕ x. Lemma 5.6: Sei f f ϕ eine Parametertransformation und D ϕ die Funktionalmatrix. Dann gilt g ij D ϕ T g ij D ϕ. Beweis: Offenbar ist D f f u, f v J q f und damit g ij D f T D f sowie g ij D f T D f.

28 Aus der Kettenregel ergibt sich nun g ij D f T D f D f D ϕ T D f D ϕ D ϕ T D f T D fd ϕ D ϕ T g ij D ϕ, qed. Obige Beziehung lässt sich auch direkt ausrechnen: Wegen f eu f u ϕ eu + f v ϕ 2 eu und fev f u ϕ ev + f v ϕ 2 ev ist Ẽ f eu f eu E ϕ eu ϕ eu + 2F ϕ eu ϕ 2 eu + G ϕ 2 eu ϕ 2 eu F f eu f ev E ϕ eu ϕ ev + F ϕ eu ϕ 2 ev + ϕ ev ϕ 2 eu + G ϕ 2 eu ϕ 2 ev G f ev f ev E ϕ ev ϕ ev + 2F ϕ ev ϕ 2 ev + G ϕ 2 ev ϕ 2 ev oder in Matrizenform Ẽ F ϕ eu ϕ 2 eu E F ϕ eu ϕ ev F G ϕ ev ϕ 2 ev F G ϕ 2 eu ϕ 2 ev Damit ist die. Fundamentalform zwar nicht invariant unter Parametertransformationen, aber der Einfluss solcher Transformationen ist gut darstellbar. Flächeninhalt Zur Bestimmung des Flächeninhalts benötigen wir das Oberflächenintegral: Sei f : U R 3 ein Flächenstück, f injektiv, α : fu R eine reellwertige Funktion und Q U kompakt α da fq Q α fu, v Für α erhalten wir den Flächeninhalt von fq: da detg ij du dv fq Q detg ij du dv. Q f u f v du dv. Lemma 5.7: Der Flächeninhalt bleibt unter regulären Parametertransformationen invariant. Beweis: Sei ϕ : Ũ U ein Diffeomorphismus, ϕũ, ṽ u, v und f f ϕ, Q ϕ Q die entsprechende Parametertransformation. Wegen g ij D ϕ T g ij D ϕ gilt α da α fũ, ṽ det g ij dũ dṽ ef Q e eq α fũ, ṽ detd ϕ detg ij dũ dṽ eq Q α fu, v detg ij du dv α da fq

29 nach der Substitutionsregel, qed. Beispiele Fundamentalform der Ebene: fu, v p 0 + u w + v w 2 p 0 x 0, y 0, z 0, w a, a 2, a 3, w 2 b, b 2, b 3 w, w 2 -orthonormiert { i j f u w, f v w 2, Iw i, w j 0 i j 0 E G, F 0, also g ij 0 2 Helikoid: fu, v v cos u, v sin u, a u, a 0, 0 < u < 2π, < v < f u v sin u, v cos u, a, f v cos u, sin u, 0 Eu, v v 2 + a 2, F u, v 0, Gu, v 3 Koordinatenkurven: Sei f : U R 3 mit f fu, v, dann heißen die Kurven Koordinatenkurven. cu fu, v 0 und c v fu 0, v Winkel zwischen Kurven verschiedener Scharen im Punkt u 0, v 0 Winkel zwischen den Tangentenvektoren: cos θ c u 0, c v 0 c u 0 c v 0, c u 0 f u u 0, v 0, c v 0 f v u 0, v 0 cos θ f uu 0, v 0, f v u 0, v 0 f u u 0, v 0 f v u 0, v 0 F E G. Insbesondere sind Koordinatenkurven orthogonal F u, v 0 u, v Wir sprechen dann von einer orthogonalen Parametrisierung. 4 Einheitssphäre: fϕ, ϑ cos ϕ sin ϑ, sin ϕ sin ϑ, cos ϑ 0 < ϕ < 2π, 0 < ϑ < π f ϕ sin ϕ sin ϑ, cos ϕ sin ϑ, 0, f ϑ cos ϕ cos ϑ, sin ϕ cos ϑ, sin ϑ Eϕ, ϑ sin 2 ϑ, F ϕ, ϑ 0, Gϕ, ϑ Parameterlinien orthogonal! 5 Torus: fu, v a + r cos u cos v, a + r cos u sin v, r sin u 0 < u < 2π, 0 < v < 2π, a > r > 0 f u r sin u cos v, r sin u sin v, r cos u f v a + r cos u sin v, a + r cos u cos v, 0

30 Eu, v r 2, F u, v 0, Gu, v a + r cos u 2 Parameterlinien orthogonal! Oberfläche: E G F 2 r a + r cos u, Q {u, v R 2 : 0 < u < 2π, 0 < v < 2π} O lim ε 0 2π ε ε 2π ε ε r a + r cos u du dv 2π 2π 0 0 r a + r cos u du dv 4π 2 r a

3 6 Reguläre Funktionen auf Flächen, Orientierung Wir wollen zeigen, wie man reguläre Flächen durch eine Gleichung erhält, und den Zusammenhang mit der Orientierung einer Fläche beschreiben. Definition 6.: Sei S eine reguläre Fläche und F : V S R eine auf V definierte Funktion. F heißt differenzierbar in p V : Parametrisierung f : U R 2 S mit p fu V, so dass die Verkettung F f : U R 2 R differenzierbar in f p ist. F heißt differenzierbar auf V : F ist differenzierbar in p V p V. Beispiel: F x, y, z x + y, fϕ, ϑ f, f 2, f 3 cos ϕ sin ϑ, sin ϕ sin ϑ, cos ϑ F fϕ, ϑ F f, f 2, f 3 cos ϕ sin ϑ + sin ϕ sin ϑ Hier ist insbesondere F : V S R eine differenzierbare Funktion und f : U R 2 S eine differenzierbare Abbildung F f wird eine differenzierbare Funktion. regulärer Wert einer Funktion Definition 6.2: Sei F : U R 3 R eine Funktion und p U, dann heißt p ein kritischer Punkt : J p F 0 Rang J p F < d.h. F x p F y p F z p 0. r R heißt kritischer Wert : kritischer Punkt p U mit F p r. r R heißt regulärer Wert : kein p U mit F p r ist ein kritischer Punkt. Betrachten wir nun eine Fläche f : U R 3 mit fu S und eine Funktion F auf S, dann haben wir für p S, p fu, v, q u, v F p F fu, v F f u, v, f 2 u, v, f 3 u, v R. p heißt kritischer Punkt für F auf S : J q F f hat den Rang 0, also Entsprechend heißt r ein regulärer Wert für die Funktion F auf S u F fu, v v F fu, v 0 : kein p S mit F p F fq r ist ein kritischer Punkt. Sei nun r ein regulärer Wert für F auf S und F r {p S : F p r}, d.h. mit fu, v f u, v, f 2 u, v, f 3 u, v ergibt sich F f u, v, f 2 u, v, f 3 u, v ϕu, v r.

32 Behauptung: ϕu, v r definiert für einen regulären Wert r eine reguläre Kurve auf S. Wegen Rang J q F f lässt sich gemäß Satz über implizite Funktionen ϕu, v r 0 lokal nach u oder v auflösen, etwa u uv, v I ist eine reguläre Kurve. c : I U {u, v : v I} f S R 3 Auf diese Weise können wir Scharen regulärer Kurven ϕu, v const. auf einer Fläche S definieren. Sei also f : U R 3 eine reguläre Fläche, fu, v f u, v, f 2 u, v, f 3 u, v, und ϕu, v const., ψu, v const. zwei Scharen regulärer Kurven auf S. Wir wollen den Schnittwinkel zweier Kurven verschiedener Scharen an der Stelle u 0, v 0 bestimmen, indem wir das Skalarprodukt der entsprechenden Tangentenvektoren berechnen: Aus der Regularität folgt ϕ u u 0, v 0 0 oder ϕ v u 0, v 0 0, etwa ϕ v u 0, v 0 0. v vu und wir erhalten die eine Kurve in u 0, v 0 durch die Abbildung fu, vu f u, vu, f 2 u, vu, f 3 u, vu : I R 3 Der Tangentialvektor an der Stelle u ist d du fu, vu f u + f v dv du f u + f v ϕ u ϕ v bzw. nach Multiplikation mit der skalaren Größe ϕ v t ϕ : f u ϕ v f v ϕ u. Entsprechend ergibt sich für die Kurve ψu, v const t ψ : f u ψ v f v ψ u. Daher ist t ϕ t ψ E ϕ v ψ v F ϕ u ψ v + ϕ v ψ u + G ϕ u ψ u. Die Kurven schneiden sich orthogonal E ϕ v ψ v F ϕ u ψ v + ϕ v ψ u + G ϕ u ψ u 0. Beispiel: Helikoid fu, v v cos u, v sin u, a u, a 0, 0 < u < 2π, < v < ϕu, v v cos u const, v 0 ψu, v v 2 + a 2 sin 2 u const, v 0, u k π k Z

33 Es ist E v 2 + a 2, F 0, G ϕ u v sin u, ϕ v cos u ψ u 2v 2 + a 2 sin u cos u, ψ v 2v sin 2 u E ϕ v ψ v F ϕ u ψ v + ϕ v ψ u + G ϕ u ψ u v 2 + a 2 2v cos u sin 2 u 2v v 2 + a 2 sin 2 u cos u 0 für alle u. Mit Hilfe differenzierbarer Funktionen F : U R 3 R lassen sich auch reguläre Flächen darstellen. Hierzu Lemma 6.3: Sei zunächst F : U R 2 R eine differenzierbare Funktion. Dann ist der Graph von f {x, y, F x, y R 3 : x, y U} eine reguläre Fläche. Beweis: Wir betrachten die Abbildung f : U R 3 mit f u, v u, v F u, v. f ist offenbar eine differenzierbare Abbildung und 0 Rang J q f Rang 0 2 q u, v U, qed. f u f v Satz 6.4: Sei F : U R 3 R eine differenzierbare Funktion und a F U ein regulärer Wert von F. Dann ist eine reguläre Fläche im R 3. F a {p x, y, z U : F x, y, z a} Dieses ist dann eine parameterfreie Form, wie sie durchaus üblich ist, z.b.: F x, y, z x 2 + y 2 + z 2 r 2 0 oder auch F x, y, z x 2 + y 2 + z 2 a, a > 0. Beweis: Sei p x, y, z F a. Da a ein regulärer Wert von F ist, gilt Rang J p F, etwa F z p 0 Umgebung V von p, so dass wir F x, y, z nach z auflösen können, etwa z hx, y, W proj R 2V f : W R 2 R 3 mit fu, v u, v, hu, v definiert eine reguläre Fläche nach Lemma 6.3, qed.

34 Orientierung Sei f : U R 3 ein Flächenstück und X : U R 3 eine Abbildung, die jedem q U einen Vektor Xq zuordnet. Xq ist Vektor im Punkt p fq, d.h. Xq T p R 3, also fq, Xq T p R 3 p R 3. Definition 6.5: X heißt Vektorfeld längs f. Wichtig sind zwei Arten von Vektorfeldern: Tangentialfeld: Xq αq f u + βq f q v 2 normales Vektorfeld: Xq γq f u f q v X heißt stetig bzw. differenzierbar : α, β, γ sind stetig bzw. differenzierbar. Beispiel: Zylinder fϕ, x cos ϕ, sin ϕ, x, f ϕ sin ϕ, cos ϕ, 0, f x 0, 0, Tangentialfeld: Xq αq sin ϕ, cos ϕ, 0 + βq 0, 0, Normalenfeld: Xq γq cos ϕ, sin ϕ, 0 normiert Xq, d.h. γq : Xq cos ϕ, sin ϕ, 0 Wählen wir generell Xq γq f u f q v derart, dass Xq q, dann erhalten q wir ein Einheitsnormalenfeld: f νq ± u f / f v u f v. Insbesondere kann man ν als Abbildung von U in die Einheitssphäre S 2 R 3 auffassen Gauß-Abbildung. Definition 6.6: Eine Fläche M R 3 heißt orientierbar : M kann durch parametrisierte Flächenstücke derart überdeckt werden, dass alle möglichen Parametertransformationen eine positive Funktionaldeterminante haben. Lemma 6.7: Eine Fläche M R 3 ist orientierbar ein stetiges Einheitsnormalenfeld auf ganz M, d.h. ν, so dass p M gilt: νp p M Normalenfeld von M. Beweis: Sei ϕ : Ũ U eine Parametertransformation und f f ϕ. Dann ist und nach der Kettenregel fu, v fϕ ũ, ṽ, ϕ 2 ũ, ṽ, ϕ 3 ũ, ṽ fũ, ṽ q q f eu f u ϕ eu + f v ϕ 2eu, fev f u ϕ ev + f v ϕ 2ev und damit offenbar f eu f ev f u f v u, v ũ, ṽ.

35 Sei M orientierbar Parametrisierung so wählbar, dass stets Einheitsnormale in p unabhängig von der Parametrisierung. u, v eu, ev > 0 Es existiert ein stetiges Einheitsnormalenfeld auf ganz M und sei etwa ϕ : Ũ U eine Parametertransformation νp f u f v / f u f v f eu f ev / f eu f ev wählbar u, v eu, ev > 0, qed. Beispiel: Möbius-Band M Sei S der Kreis x 2 +y 2 4 und AB das offene Segment y 2, z < mit dem Mittelpunkt C in der y z Ebene. Wir bewegen C längs S und drehen AB in der z C Ebene derart, dass wenn C den Winkel u durchläuft, AB um den Winkel u 2 gedreht wird. Durchläuft u den ganzen Kreis, dann ist AB mit vertauschten Endpunkten in die Ausgangslage zurückgekehrt. Behauptung: Das Möbius-Band ist nicht orientierbar. Geometrisch sieht man dieses sofort, wenn man einen Normalenvektor N in C sich mit C längs S bewegen lässt. Bei der Rückkehr zum Ausgangspunkt nimmt N die entgegengesetzte Richtung ein. Daher existiert kein stetiges Einheitsnormalenfeld. Analytisch: M hat folgende Parameterdarstellungen f : U M fu, v 2 v sin u sin u, 2 2 v sin u cos u, v cos u 2 2 0 < u < 2π, < v < Die Strecke u 0 wird nicht erfasst. Beginnt man mit den u s aus der x Achse, ergibt sich eine zweite Parametrisierung f : U 2 M { π fũ, ṽ 2 ṽ sin 4 + ũ } { π cos ũ, 2 ṽ sin 2 4 + ũ } π sin ũ, ṽ cos 2 4 + ũ 2 0 < ũ < 2π, < ṽ <, die nun das Intervall u π 2 auslässt. Der Durchschnitt der beiden Koordinatenumgebungen U und U 2 ist nicht zusammenhängend und besteht aus den beiden Komponenten W { fu, v : π } 2 < u < 2π und W 2 { fu, v : 0 < u < π }. 2 Der Koordinatenwechsel ist gegeben durch ũ u π 2 ṽ v in W und ũ 3π 2 + u ṽ v in W 2. Es folgt ũ, ṽ u, v > 0 in W und ũ, ṽ u, v < 0 in W 2.

36 Bemerkung: Wird S durch 2 Parametrisierungen überdeckt, so dass der Durchschnitt zusammenhängend ist und etwa in einem Punkt dieses Durchschnittes u, v eu, ev > 0, was andernfalls durch Vertauschung etwa von u und v erreichbar ist, dann ist in allen Punkten der u, v Überlappung eu, ev > 0 und die Fläche daher orientierbar. Zwischen der Orientierung und durch differenzierbare Funktionen F x, y, z erklärte Flächen gibt es folgende Zusammenhänge: Satz 6.8: Ist eine reguläre Fläche S gegeben durch eine differenzierbare Funktion F : U R 3 R also S {x, y, z U : F x, y, z a, a ist ein regulärer Wert für F }, dann ist S orientierbar. Beweis: Sei p x 0, y 0, z 0 S und c : I R 3 eine beliebige Kurve durch p auf S: ct xt, yt, zt und F xt, yt, zt a. Wählen wir t 0 derart, dass p x 0, y 0, z 0 xt 0, yt 0, zt 0, dann gilt d F dt F d x t0 x p dt + F d y t0 y p dt + F d z t0 z p dt 0 t0 und daher F x, p F y, p F z p x t 0, y t 0, z t 0 c t 0, also orthogonal zur beliebig gewählten Kurve c auf S und damit orthogonal zu S. Ist für eine Parametrisierung f : U S der Punkt p das Bild von q, also p fq, dann ist νq F x p, F y p, F z p Fx p 2 + F y p 2 + F z p 2 der Normalenvektor und damit auf S ein stetiges Normalenfeld definiert, qed. Umgekehrt ist jede kompakte, orientierbare Fläche durch solch eine Funktion definierbar: Definition 6.9: Eine Teilmenge V R 3 heißt kompakt : V ist abgeschlossen und beschränkt. Satz 6.0: Ist S R 3 kompakt, regulär und orientierbar. Dann gibt es eine auf einer offenen Menge W R 3, S W, definierte differenzierbare Funktion g : W R, die 0 als regulären Wert hat, und für die gilt g 0 S. ohne Beweis!

37 7 Gauß-Abbildung und Krümmungen von Flächen Bei Kurven wurde die Krümmung durch die Änderung des Tangentialvektors beschrieben: c s κ e 2. Bei Flächen wäre die Änderung der Tangentialebene ein Äquivalent. Dieses lässt sich im R 3 durch den Normalenvektor bzw. dessen Änderung beschreiben. Hieraus resultiert Definition 7. Gauß-Abbildung: Sei f : U R 3 ein Flächenstück und S 2 R 3 die Einheitssphäre, dann heißt die Abbildung ν : U S 2 mit f νu, u 2 : f f f u u 2 u u 2 die Gauß-Abbildung. Aus ν ν folgt stets u i ν ν 0 2 ν u i, ν i, 2 also sind die Ableitungen von ν senkrecht zu ν und demnach parallel zur Tangentialebene. Über die Differentiale haben wir daher folgende lineare Abbildungen von Vektorräumen: Abbildung : Wege der Weingarten-Abbildung Die Abbildung D f q ist regulär. Daher existiert D f q als eindeutige Umkehrabbildung. Da T p S und T q S 2 als Tangentialebenen durch dieselben Vektorräume erzeugt werden, können wir D ν q D f q

38 auffassen als lineare Abbildung von T q f auf sich als Vektorraum. Aus praktischen Gründen wählen wir D ν q D f q. Definition 7.2: Die Abbildung L : D ν D f mit L q D ν q D f q : T q f T q f heißt Weingarten-Abbildung von f. L q ist eine lineare Abbildung des Vektorraumes T q f auf sich. Wirkung von L: Ist q u, u 2, dann wird T q f erzeugt von {f u, f u2 } und es ist d.h. L f ui ν u ui für i, 2. Satz 7.3: D f q D ν q f ui u i ν, u ui L ist invariant unter Parametertransformationen. 2 L ist selbstadjungiert. Beweis: zu Sei f f ϕ mit einem Diffeomorphismus ϕ und damit ν ν ϕ: S 2 ν ϕ ν ν ϕ Ũ U f ϕ f f S νu, u 2 νϕ ũ, ũ 2, ϕ 2 ũ, ũ 2 νũ, ũ 2 fu, u 2 fϕ ũ, ũ 2, ϕ 2 ũ, ũ 2 fũ, ũ 2 Daher ist L D ν D f D ν Dϕ D f Dϕ D ν Dϕ Dϕ D f D ν D f L Kettenregel, siehe auch Lemma 5.6. zu 2 Die Abbildung L ist selbstadjungiert X, Y T q f gilt LX, Y X, LY d.h. ψ : V V sei ein Endomorphismus mit ψx A X und V wird durch eine Orthonormalbasis erzeugt, dann ist bezüglich dieser Basis die Matrix A symmetrisch, also A A T.

39 Hier: Basis für T q f ist {f u, f u2 } im allgemeinen nicht orthonormiert! Wir müssen zeigen: Es ist Lf ui, f uj ν u i, f u j und u i Lf ui, f uj f ui, Lf uj ν, f ν 0, f + ν, u j u i u j 2 f u i u j also Lf ui, f uj ν, f ν, u i u j 2 f u i u j ν, f Lf uj, f ui, u j u i qed. Abbildungsmatrix Sei T q f {f u, f u2 } und Lf ui 2 h j i f uj, j also Lf u h f u + h 2 f u2 Lf u2 h 2 f u + h 2 2 f u2. Dann ist Hieraus folgt ν, f uk u i Lf ui, f uk : h ik 2 j h i j f uj, f uk 2 j h i f uj, f uk j 2 h j i g jk. j Lemma 7.4: Wenn A T h i j, h ik Lf ui, f uk und g jk f uj, f uk, dann gilt h ik A T g jk bzw. A T h ik g jk. Definition 7.5 Zweite und dritte Fundamentalform: Sei f : U R 3 eine reguläre Fläche, ν : U S 2 die Gauß-Abbildung und L : T q f T q f die Weingarten-Abbildung. Dann ist für Tangentialvektoren X, Y T q f IIX, Y : ILX, Y die zweite Fundamentalform und 2 IIIX, Y : IL 2 X, Y ILX, LY die dritte Fundamentalform von f. Da L selbstadjungiert ist bezüglich IX, Y, sind II und III symmetrische Bilinearformen auf T q f q U.

40 h ik : ν, f uk heißen auch Fundamentalgrößen 2. Art. u i Für X Y werden aus den Fundamentalformen quadratische Formen IIX, X und IIIX, X. Ersetzen wir nun die Tangentialrichtungen durch Differentiale du, dv und für die Parameterdarstellung von S den Vektor x xu, v, also d x x u du + x v dv, und N x u x v x u x v für den Einheitsnormalenvektor im Punkt xu, v, dann erhält die 2. Fundamentalform in der Gestalt Man setzt II d N d x N u du + N v dv x u du + x v dv N u x u du 2 N u x v + N v x u du dv N v x v dv 2. L N u x u L ist jetzt nicht die Weingarten-Abbildung! M 2 N u x v + N v x u N u x v N v x u N N v x v wegen v N x }{{ u N } v x u + N x uv 0, also N u x v N x uv N v x u, und daher 0 II L du 2 + 2M du dv + N dv 2. Aus erhält man u i ν, f ν 0, f + ν, u j u i u j 2 f u i u j N u x u N x uu L N u x v N v x u N x uv M N v x v N x vv N also II N d 2 x. Auch die zweiten Fundamentalgrößen sind bei Parametertransformationen nicht invariant. Wir haben dieselbe Situation wie bei den Fundamentalgrößen. Art: Lemma 7.6: Sei f f ϕ eine Parametertransformation und Dϕ die Funktionalmatrix. Dann gilt h ij Dϕ T h ij Dϕ. Beweis vgl. Lemma 5.6: Offenbar ist h ij Dν T Df

4 und damit h ij D ν T D f D ν ϕ T D f ϕ D ϕ T D ν T D f D ϕ D ϕ T h ij D ϕ, qed. Ausgerechnet bedeutet dieses mit u uũ, ṽ u 2 u v L L + 2M ũ ũ ũ M L Ñ L u ũ u ṽ + L v 2 ũ u v + M ṽ ũ u ṽ + v ũ v v + N ṽ ũ v ṽ 2 + 2M u ṽ v + L ṽ v 2 ṽ Satz 7.7: Zwischen den drei Fundamentalformen besteht die Gleichung III SpurL }{{} λ +λ 2 II + detl I 0. Beweis: Da L selbstadjungiert ist, besitzt T q f eine Basis aus Eigenvektoren bezüglich L: T q f {X, X 2 } mit LX i λ i X i i, 2. Folglich verschwindet obiger Ausdruck, wenn er für zwei beliebige Eigenvektoren verschwindet: qed. IIIX i, X j SpurL IIX i, X j + detl IX i, X j IL 2 X i, X j λ + λ 2 λ i IX i, X j + λ λ 2 IX i, X j λ 2 i IX i, X j λ + λ 2 λ i IX i, X j + λ λ 2 IX i, X j [λ 2 i λ + λ 2 λ i + λ λ }{{} 2 ] IX i, X j 0 i, 2, 0 Beispiele: S S 2 - Sphäre fϕ, ϑ cos ϕ sin ϑ, sin ϕ sin ϑ, cos ϑ f ϕ sin ϕ sin ϑ, cos ϕ sin ϑ, 0, f ϑ cos ϕ cos ϑ, sin ϕ cos ϑ, sin ϑ f ϕ f ϑ sin ϑ fϕ, ϑ νϕ, ϑ fϕ, ϑ Lf ϕ ν ϕ f ϕ L D ν D f Lf ϑ ν ϑ f Identität ϑ IX, Y IIX, Y IIIX, Y, f ϕ f ϕ sin 2 ϑ, f ϕ f ϑ 0, f ϑ f ϑ sin 2 ϑ 0 g ij h ij 0

42 2 hyperbolisches Paraboloid: z y 2 x 2 oder F x, y, z x 2 y 2 + z 0 parametrisiert: fu, v u, v, v 2 u 2 ; f u, 0, 2u, f v 0,, 2v f u f v 2u, 2v,, νu, v u, v, u 2 + v 2 + 2 u ν u u u 2 + v 2 + 4 3 u, v, 2 + u 2 + v 2 + 4, 0, 0 setzen au, v u 2 + v 2 + 3 ν 4 u v 2 + au, v 4, u v, u 2 entsprechend ergibt sich ν v u v, u 2 + au, v 4, v. 2 Bestimmung der h i j i, j, 2: Lf u h f u + h 2 f v h, h 2, 2u h + 2v h 2 ν u v 2 + au, v 4, u v, u 2 h v2 + 4 au, v, h 2 u v au, v Lf v h 2 f u + h 2 2 f u2 h 2, h 2 2, 2u h 2 + 2v h 2 2 ν v u v, u 2 + au, v 4, v 2 h 2 u v au, v, h 2 2 u2 + 4 au, v Abbildungsmatrix A h i j T : A h i j T v 2 + 4 u v au, v u v u 2 + 4 entsprechend gilt + 4 u 2 4 u v g ij f ui, f uj 4 u v + 4 v 2 und damit die. Fundamentalform IX, X, wenn X α f u + β f v ein beliebiger Tangentialvektor ist: IX, X α, βg ij α β + 4 u 2 α 2 + 2 4 u v α β + + 4 v 2 β 2 + 4 u 2 α 2 8 u v α β + + 4 v 2 β 2

43 h ij ν, f u j u i u 2 + v 2 + 4 0 au, v 0 u 2 + v 2 + 4 Damit erhalten wir als 2. Fundamentalform, wenn wieder X α f u + β f v : α IIX, X α, βh ij β [ u 2 + v 2 + α 2 + u 2 + v 2 + ] β u 2 + v 2 + 4 3 4 4 α 2 + β 2. u 2 + v 2 + 4. Motivation zur Krümmung Krümmung untersuchen heißt, die Krümmung Veränderung des Normalenvektors in einer bestimmten Richtung untersuchen. Problem bei Kurven auf Flächen: Welcher Anteil ist allein auf die Krümmung der Fläche zurückzuführen Normalkrümmung? Sei f : U R 3 eine Fläche S, p S, und X ein Einheitstangentenvektor in p. c c X : I R 3 sei eine beliebige Kurve auf S durch p mit X als Tangentenvektor, p cs 0 : c s 0 X e s 0 e c s 0 e s 0 κ e 2, κ Kurvenkrümmung von c X. Ist ν νs 0 der Normalenvektor in p, dann kann man c zerlegen in a Normalanteil längs ν b Tangentialanteil senkrecht dazu: c e κ e 2 κ e 2 Tang. + κ e }{{} 2, ν ν. }{{} Tantialanteil Normalanteil Normalanteil: Es ist d d c d 2 ds ds, ν c 0 ds 2, ν + c s, d ν ds und daher e, ν ν c, ν ν also unabhängig von c Satz von Meusnier. d 2 c ds 2, ν ν c s, d ν ν X, LX ν IIe ds }{{}, e ν, IIX, LX Definition 7.8: κ ν : IIX, X heißt Normalenkrümmung der Kurve c X.

44 Die Normalenkrümmung hängt nicht von der Kurve ab Satz von Meusnier. Es gilt κ 2 κ 2 ν und Gleichheit genau dann, wenn e 2 und ν linear unabhängig sind, also die Schmiegebene von c X den Vektor ν enthält, d.h. Schmiegebene Tangentialebene. Kurven auf S, für die stets κ 2 s κ 2 νs gilt, also die überall keinen Tangentialanteil der Krümmung besitzen, heißen geodätische Linien oder kurz Geodätische. Verbleibt bei der Krümmung ein Tangentialanteil, so heißt dieser geodätische Krümmung, d.h. c ist Geodätische : geodätische Krümmung ist überall 0. Hauptkrümmungsrichtungen Wir suchen Richtungen mit extremaler Krümmung, da diese, wie sich schnell herausstellt, das gesamte Krümmungsverhalten an einer festen Stelle bestimmen. Sei X x f u + y f v T q f T p S, q u, v, p fq. Wir haben Satz 7.9: Folgende Aussagen sind äquivalent: a IIX, X, d.h. die Normalkrümmung κ ν in Richtung X, hat einen stationären Wert unter der Nebenbedingung IX, X. b X ist ein Eigenvektor der Weingarten-Abbildung L und κ ν der zugehörige Eigenwert. Beweis: IIX, X ist eine quadratische Form in den Unbestimmten x, y: x x IIX, X ILX, X x, yh ij ; NB : IX, X x, yg ij. y y In Lemma 7.4 haben wir für die Matrix A der Weingarten-Abbildung gezeigt: A T h ij g ij, h ij, g ij symmetrisch, also h ij A T g ij. Damit haben wir die Extrema unter Nebenbedingungen der folgenden Funktion zu finden: F x F y 0 liefert 2 A T λ 0 Eg ij F x, y, λ IIX, X + λ IX, X x0 y 0 X T h ij X + λ X T g ij X X T A T g ij X λx T g ij X + λ X T [A T λ Eg ij ]X + λ }{{} symmetrisch x0 0 g ij A λ 0 E 0 y 0 x0 A λ E 0 y 0 λ 0 ist EW von A und x0 y 0 ist zugehöriger EV λ 0 ist EW der Weingarten-Abbildung L und X 0 ist EV von L zum EW λ 0.