Liste wichtiger Stammfunktionen Funktion Stammfunktion x n, x ln(x) n R \ { } n + xn+ ln( x ) x ln(x) x a x, a > sin(x) cos(x) sin 2 (x) cos 2 (x) x 2 x 2 a x ln(a) cos(x) sin(x) (x sin(x) cos(x)) 2 (x + sin(x) cos(x)) 2 arcsin(x) arccos(x) + x 2 arctan(x) Wintersemester 23/24 Zusatztutorium: aß- und Integrationstheorie
2 essbarkeit Sei (, S) ein essraum. Definition. (i) Eine enge A heißt S-messbar, falls A S. (ii) Eine Funktion f : [, + ] heißt S-messbar, falls für alle c R die enge {f c} = {x : f(x) c} S. Satz. Sei {f k } k= eine Folge von Funktionen f k : [, + ], die punktweise gegen f konvergiert. Dann ist auch f S-messbar. Beweis. Da (f k ) punktweise gegen f konvergiert, existiert für jedes n N ein Index n N derart, dass für alle k n gilt: f k (x) f(x) < n. Also gilt wegen der essbarkeit von f k Dies ist äquivalent zu f(x) c n N n N k n : f k (x) < c + n. {f(x) c} = n= n = k=n { f k (x) < c + }. n Da { f k (x) < c + n} S für alle k, folgt f c S, da S eine σ-algebra ist. Zusatztutorium: aß- und Integrationstheorie Wintersemester 23/24
3 Konvergenzsätze Sei (, S, µ) ein aßraum. Satz (. Version des Lemmas von Fatou). Sei {f k } eine Folge von nichtnegativen S-messbaren Funktionen auf, die punkweise gegen eine Funktion f konvergieren. Falls für ein C und alle k die Ungleichung f k dµ C gilt, so folgt fdµ C. Die erste Version des Lemmas von Fatou besagt, dass die Beschränktheit des Lebesgue-Integrals für eine Folge von nichtnegativen messbaren Funktionen impliziert, dass das Integral des punktweisen Grenzwertes dieser Folge durch die selbe Zahl beschränkt ist. Satz (2. Version des Lemmas von Fatou). Sei {f k } eine Folge von nichtnegativen S-messbaren Funktionen auf.dann gilt lim inf f kdµ lim inf f k dµ. Die zweite Version des Lemmas von Fatou erlaubt es den Limes Inferior einer Funktionenfolge aus dem Lebesgue-Integral rauszuziehen, indem man nach oben abschätzt. Satz (Satz von der monotonen Konvergenz). Sei {f k } k= eine monoton steigende Folge von nichtnegativen S-messbaren Funktionen. Dann gilt: lim f k dµ = lim f kdµ Beweis. Sei f := lim f k. Dann gilt wegen der onotonie für alle k N f k dµ fdµ, Wintersemester 23/24 Zusatztutorium: aß- und Integrationstheorie
4 also insbesondere lim sup f k dµ fdµ. Sei {f ki } i= eine geeignete Teilfolge im folgenden Sinne: lim f ki dµ = lim inf i f k dµ. (Die Existenz dieser Teilfolge ist klar, denn der Limes Inferior ist ja gerade den kleinste Grenzwert aller konvergenten Teilfolgen.) Dann existiert für jedes ε > ein i o N derart, dass für alle i i gilt: f ki dµ lim inf f k dµ + ε und mit dem Lemma von Fatou fdµ lim inf Da dies für alle ε > gilt, erhalten wir fdµ lim inf und somit lim sup f k dµ woraus die Behauptung folgt. f k dµ + ε. f k dµ fdµ lim inf f k dµ, Satz (Satz von der majorisierten Konvergenz). Seien {f k } k= eine Folge von messbaren Funktionen auf und f messbar auf mit f k f f.ü. Falls es eine integrierbare nichtnegative Funktion g gibt, die für alle k N die Ungleichung f k f f.ü. erfüllt. Dann sind f n und f auch integrierbar und es gilt f n dµ = lim f k dµ. Zusatztutorium: aß- und Integrationstheorie Wintersemester 23/24
5 Der Satz besagt also, dass man Lebesgue-Integral und Limes für eine Folge fast überall kovergenter Folgen vertauschen kann, wenn es eine integrierbare ajorante gibt. Wintersemester 23/24 Zusatztutorium: aß- und Integrationstheorie
6 Satz von Fubini Satz (Satz von Fubini). Sei µ i Für i =, 2 ein σ-endliches aß auf der σ Algebra S i in der Grundmenge i. Sei µ = µ µ 2 das Produktmaß auf der σ Algebra S = σ(s S 2 ) in der Grundmenge = 2. Dann: (a) Sei f : [, ] (insbesondere nichtnegativ) eine S-messbare Funktion. Dann gilt: i. Die Funktion y f(x, y) ist S 2 messbar für jedes x, ii. die Funktion x f(x, y)dµ 2 (y) 2 iii. is S -messbar und fdµ = f(x, y)dµ 2 (y)dµ (y). 2 (b) Sei f : R eine µ integrierbare Funktion. Dann gilt: i. y f(x, y) ist µ 2 -integrierbar für µ -fast alle x, ii. x f(x, y)dµ 2 (y) ist µ -integrierbar und iii. 2 fdµ = f(x, y)dµ 2 (y)dµ (y). 2 Bemerkung. Analog gilt die Identität fdµ = f(x, y)dµ 2 (y)dµ (y). 2 Anwendung: Berechne e x2 dx. Zusatztutorium: aß- und Integrationstheorie Wintersemester 23/24
7 e x2 dx = e x2 dx e y2 dy = e (x2 +x 2) dxdy y=xs = = = = 2 = 2 xe (x2 +x 2 s 2) dsdx xe (x2 (+s 2 )) dsdx xe (x2 (+s 2 )) dxds [ + s 2 e x2 (+s 2 ) + s 2 ds = [arctan] = π 4 ] ds Somit gilt: e x2 dx = π 2 e x2 dx = π Wintersemester 23/24 Zusatztutorium: aß- und Integrationstheorie
8 Transformationssatz Satz (Transformationssatz). Seien U, V R n offen und φ : U V ein C - Diffeomorphismus, d.h φ ist bijektiv und φ und φ sind stetig differenzierbar. Für jede nichtnegative Borel-Funktion f : V R gilt fdλ n = (f φ) det φ dλ n. V U Dieselbe Identität gilt für jede integrierbare Borel-Funktion f : V R. Bemerkung. Diese Formel verallgemeinert die eindimensionale Substitutionsregel φ(a) b f(y)dy = f(φ(x))φ (x)dx. φ(b) a und des- Beachte, dass diese Integrale eine Orientierung besitzen, d.h. b a = a b halb die Ableitung ohne Betrag auftaucht. Beispiel. Sei V = {(x, y) R 2 : x >, y >, < xy < 3, x < y < 2x}. Berechne λ 2 (V ). Lösung: Es bieten sich die Substitutionen u = xy und v = y/x an. Es ergibt sich: x = u v und y = uv. Wir betrachten also die Transformation u (x, y) = φ : (u, v) := ( v, uv). Also U = φ (V ) = {(u, v) R 2 : < u < 3, < v < 2}. Die Funktionaldeterminante von φ ist ( det φ = det 2 uv ) uv 2 3 vu uv = 2 2v, 2 Zusatztutorium: aß- und Integrationstheorie Wintersemester 23/24
9 sodass φ ein Diffeomorphismus ist. Somit erhalten wir: λ 2 (V ) = det φ dλ 2 (u, v) = = U 3 2 3 = 3 2 ln(2). 2v dvdu 2 ln(2)du Wintersemester 23/24 Zusatztutorium: aß- und Integrationstheorie
Oberflächenmaß Definition. Die enge R n heißt k dimensionale Karte, falls es eine offene enge U R k und eine Abbildung φ : U R n gibt, sodass: i. = φ(u), ii. φ ist injektiv, iii. φ ist steig differenzierbar, iv. φ ist nichtsingulär, d.h. u U hat φ (u) maximalen Rang. (U, φ) heißt Parametrisierung von und (, U, φ) heißt parametrisierte Karte. Definition. Sei (, U, φ) eine k dimensionale parametrisierte Karte. Für jede Teilmenge A B()(= B(R n ) 2 definieren wir das k-dimensionale Oberflächenmaß σ,u,φ (A) mit σ,u,φ (A) = det ((φ ) T φ )dλ k. φ (A) gramφ := det ( (φ ) T )φ ) heißt Gramsche Determinante von φ. Beispiel. Bestimme die Länge σ () für die folgende dimensionale Karte in R 2. ist die Funktion y = 2x auf dem Intervall (, ). Wir haben die Parametrisierung φ(x) = (x, 2x). Dann gilt: φ (x) = (, 2). Also ist die Gramsche Determinante gram(φ) = 2 + 2 2 = 5 und somit erhalten wir σ () = + 5dx = 5. Beispiel. Betrachte die Oberfläche der Einheitskugel im R 3 Sei U = ( π, π) (, π) und S 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = }. φ : U R 3, φ(t, s) = (sin(t)cos(s), sin(t) sin(s), cos(t)). Dann gilt: sin(t) sin(s) cos(t) cos(s) sin(t) cos(s) cos(t) sin(s). sin(t) Zusatztutorium: aß- und Integrationstheorie Wintersemester 23/24
Also: gramφ(t, s) = det = sin(t) 2. ( ) cos(s) 2 sin 2 (t) + sin 2 (s) sin 2 (t) cos 2 (s) cos 2 (t) + sin 2 (s) cos 2 (t) + sin 2 (t) Somit gilt: σ S2 (φ(u)) = π π sin(t) dtds = 4π. π Wintersemester 23/24 Zusatztutorium: aß- und Integrationstheorie