Wachsum Aufgabensammlung Teil b Begrenzes Wachsum Niveau Klasse 0 Auch mi CAS-Einsaz Sand: 7. April 06 Daei Nr. 88 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mahe-cd.de
88 Begrenzes Wachsum Aufgaben Vorwor Dies is der erse Teil der Sammlung von Aufgaben zum begrenzen Wachsum. Hier die Übersich über die Vielfal der Texe zum Wachsum: Niveau Klassensufe 0: Lineares Wachsum 8800 Aufgaben dazu 880 Exponenielles Wachsum 880 Finanzmahemaik 88 Didakische Hinweise dazu 883 Aufgaben: Exponenielles Wachsum a 885 Begrenzes Wachsum 880 Aufgaben: Begrenzes Wachsum b 88 Niveau Obersufe (mi Hilfsmieln der Analysis) Zenralex mi Übersich 45800 Mahemaische Hinergründe 4580 Quadraisches Wachsum 45805 Exponenielles Wachsum 4580 Aufgaben: Exponenielles Wachsum a 458 Begrenzes Wachsum 4580 Aufgaben: Begrenzes Wachsum b 458 Logisisches Wachsum 45830 Aufgaben: Logisisches Wachsum 4583 Andere Wachsumsmodelle 45840 (Logisischer Zerfall, vergifees, chaoisches sowie verzögeres Wachsum) Im Momen sind noch alle Texe verfügbar - Februar 0 www.mahe-cd.de
88 Begrenzes Wachsum Aufgaben 3 Aufgaben zum begrenzen Wachsum Aufgabe 5 Erwärmung einer gekühlen Vanillesoße Eine Vanillesoße wird dem Kühlschrank ennommen. Ihre Temperaur beräg zu diesem Zeipunk 0 genau 0 O C. Sie erwärm sich dann auf Grund der sie umgebenden Zimmeremperaur, die O C beräg. Sofie miss alle paar Minuen die Temperaur an derselben Selle und ersell die Temperaurfunkion zum Abkühlungsprozess (und zwar eine Regressionsfunkion mi einem CAS-Rechner), welche die Temperaur als Funkion der Zei modellhaf beschreib. Ihr Ergebnis is a) Skizziere das Schaubild der Funkion T. T 0,9895 Berechne die Temperauren für = 40 min und = 0 min b) Wann sind genau 6 O C erreich? c) Zeige, dass die Differenzen zur Zimmeremperaur in gleichen Zeiabschnien um immer um den gleichen Prozensaz abnehmen. Wie hoch is dieser? Aufgabe 5 Erwärmung eines gekühlen Schokopuddings Ein Schokopudding wird einem Kühlschrank ennommen. Seine Temperaur beräg in diesem Momen 0 O C. Im Zimmer ha es O C. Die Erwärmung verlaufe so, dass sich die Temperaur in jeweils 0 Minuen um 0% der Temperaurdifferenz zur Umgebung erhöh. a) Selle die Gleichung der Temperaurfunkion f() auf. Zeichne ihr Schaubild mi 0 500 min. b) Wann ha sich der Mielwer zwischen Anfangs- und Endemperaur eingesell? c) Wann is die Temperaur nur noch Promille vom Grenzwer enfern? www.mahe-cd.de
88 Begrenzes Wachsum Aufgaben 4 Aufgabe 5 Abkühlung eines Schokopuddings auf Zimmeremperaur Eine 80 O C heiße Vanillesoße kühl auf Zimmeremperaur ( O C) ab. Dabei nimm die Temperaur pro 0 Minuen um 0 % der Temperaurdifferenz ab. a) Berechne rekursiv drei die Temperaur nach 0, 0 und 30 Minuen. b) Selle die Funkionsgleichung für die Abkühlungsfunkion auf. c) Wie groß wird die Temperaur nach h sein wird? d) Wann sind 40 O C erreich? e) In welcher Zeispanne nimm die Temperaurdifferenz zur Zimmeremperaur um ein Driel ab? Aufgabe 5 Abkühlung einer Suppe auf Zimmeremperaur Eine heiße Suppe ha zur Zei = 0 die Temperaur 70 O C. Sie kühl durch die umgebende 8 O C warme Zimmerluf ab. Dabei nimm die Temperaurdifferenz pro 30 Sekunden um 0 % ab. a) Berechne rekursiv die Temperaur nach 30, 60 und 90 Sekunden. b) Selle die Temperaurgleichung auf. Sie ha diese Form: T ca q. ( T 8 5 0,9965, is die Zei in Sekunden) Wie hoch is die Temperaur 0 Minuen nach Beginn der Abkühlungsphase? c) Wann is die Suppe auf 30 O C abgekühl? d) Berechne die Zeispanne, in der die Temperaurdifferenz zur Umgebung um die Hälfe abgenommen ha (Halbwerszei für d(t) ). Vergleiche dies mi der Zei, in der die Suppe nur noch die Hälfe ihrer Anfangsemperaur hae. Aufgabe 5 Mäuseexperimen In einem Versuchslabor werden Mäuse mi einer Krankhei infizier. Ein Medikamen soll eingesez werden, und man will die Wirksamkei esen. In der Versuchsreihe sehen 00 Tiere zur Verfügung. Nach Tag leben noch 84 Tiere, nach dem. Tag noch 74. Wie viele Tiere (Menge L) werden langfrisig nich überleben, wenn man beschränke Abnahme voraussez? Wann werden drei Vierel dieser zu erwarenden Menge gesorben sein? Wann ewa kann man davon ausgehen, dass vermulich kein Tier mehr an dieser Ursache serben wird. (Hilfe: Die Funkion, welche die Anzahl der lebenden Tiere wiedergib is Die Koeffizienen wurden sinnvoll gerunde) n() 43 0,65 57. www.mahe-cd.de
88 Begrenzes Wachsum Aufgaben 5 Aufgabe 530 Aufladen eines Kondensaors GRUNDLAGEN: Ein Kondensaor nimm bei der Aufladung an einer Sromquelle Ladung auf. Die auf dem Kondensaor gespeichere Ladungsmenge is eine Funkion der Zei. Anfänglich sei er nich aufgeladen, d.h. die Ladungsmenge sei Q(0) = 0. Dann srömen Elekronen auf die eine Plae und werden von der anderen abgesaug. Dies geh nich beliebig lange. Die sich auf der Minus-Plae ansammelnden Elekronen üben nämlich auf nachrückende Elekronen eine absoßende Kraf aus, so dass der Zufluss gebrems wird und schließlich gegen 0 geh. Man sag dann, der Kondensaor sei aufgeladen. Er räg dann die maximal mögliche Ladungsmenge Q max. Diese is abhängig von der angelegen Spannung! Eine Erhöhung der Spannung bedeue Energiezufuhr für die Elekronen. Somi können eine Zei lang weiere Elekronen nachfließen, bis sich ein neues Gleichgewich eingesell ha. Für die Aufladefunkion gele hier diese Gleichung: Q 0,35 sei die Zei in Sekunden. Aufgabe 53 a) Besimme die maximale Ladung des Kondensaors, die zu dieser Funkion gehör. b) Die Ladungszunahme des Kondensaors beschreib man durch die Abnahme der Differenz zwischen vorhandener Ladung und Maximalladung. Um wie viel Prozen nimm diese Differenz pro Sekunde ab?. c) Wann is der Kondensaor halb aufgeladen? d) Wann fehl nur noch Promille zur der Maximalladung? www.mahe-cd.de
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88 Begrenzes Wachsum Aufgaben 7 Lösung Nr. 5 Erwärmung einer gekühlen Vanillesoße Eine Vanillesoße wird dem Kühlschrank ennommen. Ihre Temperaur beräg zu diesem Zeipunk 0 genau 0 O C. Sie erwärm sich dann auf Grund der sie umgebenden Zimmeremperaur, die O C beräg. Sofie miss alle paar Minuen die Temperaur an derselben Selle und ersell die Temperaurfunkion zum Abkühlungsprozess (und zwar eine Regressionsfunkion mi einem CAS-Rechner), welche die Temperaur als Funkion der Zei modellhaf beschreib. Ihr Ergebnis is T 0,9895 a) Skizziere das Schaubild der Funkion T. Berechne die Temperauren für = 40 min und = 0 min b) Wann sind genau 6 O C erreich? c) Zeige, dass die Differenzen zur Zimmeremperaur in gleichen Zeiabschnien um immer um den gleichen Prozensaz abnehmen. Wie hoch is dieser? Lösung: a) Schaubild der Temperaurfunkion T 0,9895 Unersuchung dieses Schaubilds bzw. der Temperaurfunkion T. Die Funkion beginn bei T(0) = 0 O C. Die Zahl ensprich der Zimmeremperaur. Sie is offenbar eine obere Grenze, die nie erreich wird, denn von wird ses ewas subrahier, das man durch den Reserm d 0,9895 berechnen kann. d() gib die Temperaurdifferenz zur Zimmeremperaur O C an. 40 Gesuche Temperauren: T40 0,9895 4, 0 T0 0,9895 8.6 www.mahe-cd.de
88 Begrenzes Wachsum Aufgaben 8 b) Wann beräg die Temperaur 6 O C? Logarihmieren: 6 0,9895 0,9895 6 : 6 0,9895 0,5 log 0,9895 log 0,5 Logarihmenregel: log 0,9895 log 0,5 : log 0,9895 log 0,5 66 log 0,9895 Diese Siuaion is als Punk P im Schaubild auf der Seie zuvor eingeragen. Hinweis: Viele Schüler dürfen im Unerrich zum Lösen solcher Gleichungen geeignee Rechner verwenden (Grafikrechner oder CAS-Rechner), dann enfäll diese logarihmische Berechnung. Mi TI Nspire CAS sieh das z. B. so aus: c) Berechnung der Temperaurdifferenzen: Für die Temperaurdifferenz gil diese Berechnungsformel: d S T 0,9895 0,9895 Berechnung einiger Zahlenwere: Zur Zei = 0: Zur Zei = : Zur Zei = : d0 d 0,9895 d 0,9895 Quoienen aufeinander folgender Differenzen: d() 0,9895 d() 0,9895 0,9895 d() 0,9895 0,9895 d(0) Wie man sieh, sind diese Quoienen konsan. Beispiele genügen jedoch nich, man muss dies allgemein beweisen: Allgemein zur Zei : Minue späer (d. h. zur Zei +) d 0,9895 d0,9895 Quoien: 0,9895 d 0,9895 0,9895 q 0,9895 d() 0,9895 0,9895 Es gil also d qd mi q 0,9895. Der Prozensaz der Abnahme der Temperaur- Differenzen isr also p q 0,005,05% www.mahe-cd.de
88 Begrenzes Wachsum Aufgaben 9 Dami is die Aufgabe gelös. Ich schließe ein paar Überlegungen an, die klar werden sollen: Diese begrenze Zunahme der Temperaur geschieh und er Modellannahme, dass die Temperaurdifferenz in gleichen Zeispannen um den gleichen Prozensaz abnimm. Hier ha sich die Abnahme pro Minue um,05% ergeben. MERKE: Die Temperaur nimm also nich exponeniell zu, sondern die Temperaurdifferenz zur Grenzemperaur nimm exponeniell ab. Dami geh die Soßenemperaur asympoisch gegen die Zimmeremperaur. Diese wird dami heoreisch nie erreich, aber irgendwann is sie ihr so nahe, dass man den Unerschied nich mehr messen kann. Dies zeig vor allem das nächse Schaubild mi anderem Maßsab: Jez wird klar, warum man hier von begrenzem Wachsum sprich. Das Wachsum wird durch die erwärmende Zimmeremperaur klar begrenz, denn höher kann sie nich seigen. Je nach Genauigkeisanspruch kann man eine Aussage darüber machen, wann die Zimmeremperaur erreich sein wird. Mahemaisch und modellmäßig gesehen nie, man kann aber einen Näherungwer von ewa 500 Minuen ablesen. Oder man frag: Wann is die Temperaurdifferenz weniger als 0, O C? d 0,9895 0, Die Lösung is lau TI Nspire: Jez wissen wir mehr: Nach 454 Minuen fehlen bis zur Zimmeremperaur lau mahemaischem Erwärmungsmodell noch 0, O C. Merkmal für solche Aufgaben: Beim beschränken Wachsum nimm die Differenz zum Grenzwer exponeniell ab, www.mahe-cd.de
88 Begrenzes Wachsum Aufgaben 0 Erwärmung eines gekühlen Schokopuddings Ein Schokopudding wird einem Kühlschrank ennommen. Seine Temperaur beräg in diesem Momen 0 O C. Im Zimmer ha es O C. Die Erwärmung verlaufe so, dass sich die Temperaur in jeweils 0 Minuen um 0% der Temperaurdifferenz zur Umgebung erhöh. a) Selle die Gleichung der Temperaurfunkion f() auf. Zeichne ihr Schaubild mi 0 500 min. b) Wann ha sich der Mielwer zwischen Anfangs- und Endemperaur eingesell? c) Wann is die Temperaur nur noch Promille vom Grenzwer enfern? Lösung Lösung Nr. 5 a) WISSEN: Wenn die Temperaurdifferenz prozenual (d.h. exponeniell) abnimm, dann lieg beschränkes Wachsums vor. Für die Temperaurfunkion gil dann: T ca q Dabei is c die Grenzemperaur, also hier die Zimmeremperaur O C. Ansaz: Temperaurfunkion: T aq () Besimmung von a und q durch Einsezen zweier Werepaare. Zur Zei = 0 beräg die Temperaur 0 O C: T0 0 Nach 0 Minuen ha die Differenz zur Zimmeremperaur O C um 0% abgenommen. Zur Zei = 0 is diese Differenz von ursprünglich Grad auf 90%, d. h. auf 0,9 0,8 Grad zurückgegangen: T0 0,8, T0 0eingesez: O 0 a q () Aus () folg: a 0 T0, eingesez in (): Umsellen nach q:, a q (3) 0 0 q, 0,8 0 0,8 q () T =- 0,9895 + 0 0,8 q 0,9895 bzw. T 0,9895 www.mahe-cd.de
88 Begrenzes Wachsum Aufgaben Schaubild. Man erkenn die waagereche Asympoe: T() = bzw. y =. 6 P b) Der Mielwer zwischen 0 O C und O C is 6 O C. Temperaurfunkion: Wann is T = 6? Nach umsellen: Logarihmieren: T 0,9895 6 0,9895 0,9895 6 0,9895 6 log 0,9895 log Logarihmengeseze anwenden: log 0,9895 log log 65,7 log 0,9895 Erklärung: Nach einer Logarihmusregel is log loglog log, denn log = 0. Nach ewa 66 Minuen is die Erwärmung zur Hälfe forgeschrien. Siehe Zusandspunk P im Schaubild oben. c) Wenn is die Temperaur nur noch Promille vom Grenzwer enfern? Achung: Man mein o / oo von der akuellen Temperaur T() d T Ansaz daher: ausführlich: 0,9895 000 0,9895 000 0,9895 0,0 0,0 0,9895,0 0,9895 0,0 0,0 0,9895,0 log0,9895 log0,0 log,0 log0,0 log,0 597 log0,9895 Nach 597 Minuen (ewa 0 Sunden) is 99,9% der Zimmeremperaur erreich. www.mahe-cd.de
88 Begrenzes Wachsum Aufgaben Lösung Nr. 5 Abkühlung eines Schokopuddings auf Zimmeremperaur Eine 80 O C heiße Vanillesoße kühl auf Zimmeremperaur ( O C) ab. Dabei nimm die Temperaur pro 0 Minuen um 0 % der Temperaurdifferenz ab. a) Berechne rekursiv drei die Temperaur nach 0, 0 und 30 Minuen. b) Selle die Funkionsgleichung für die Abkühlungsfunkion auf. c) Wie groß wird die Temperaur nach h sein? d) Wann sind 40 O C erreich? e) In welcher Zeispanne nimm die Temperaurdifferenz zur Zimmeremperaur um ein Driel ab? Lösung: a) Rekursive Berechnungsformel: Grundlage der ganzen Berechnungen is die Folge der Differenzen zwischen der Puddingemperaur zum Zeipunk, also T() und der Grenzemperaur S = O C Differenzenfolge: d T S () Abnahmebedingung: d d 0,8 () Schriweises Berechnen der gesuchen Temperaurwere: Sarwer: T0 80. Temperaurdifferenz: d0 80 58 = bedeue hier 0 Minuen usw. Kurz: T S d mi T 58 0,8 46,8 68,8 T S d S d 0,8 S d0 0,8 d d0 0,8580,8 46,4 Kurz: T 58 0,8 59, (nach 0 Minuen) 3 Kurz: T3 580,8 5,7 (nach 30 Minuen) b) Aufsellen der Funkionsgleichung Ansaz: T ab c Berechnung von a, b und c durch Einsezen dreier berechneer Were aus (a). Ich selle jez auf Minuen-Tak um: sei jez die Zahl der Minuen: T0 80 eingesez: T0 68,4 T0 59, O 80 a b c () 0 68,4 a b c () 0 59, a b c (3) www.mahe-cd.de
88 Begrenzes Wachsum Aufgaben 3 Eliminaion von c: (3) (): 0 0 9,8 ab ab (4) () (): 0,6 a b a (5) 0 0 Rechs ausklammern: 9,8 a b b (4 ) a eliminieren durch (4') (5') : 0,6 a b (5 ) 9,8,6 0 a b 0 0 ab b 0 b 0,8 0,978 0 9,8 b 0,8,6,6 In (5 ):,6 a 0,8 a 58 0, In (): 80 58 c c T 58 0,978 Hinweis: Es gib einen verkürzen Ansaz, der die Lösung schnell erledig. Dazu muss man aber mehr Hinergrundwissen haben. Ineressiere finden dies auf Seie 4 im Tex 83. c) Puddingemperaur nach 60 Minuen: Taschenrechner: T60 37,3 T 60 58 0,978 60 Nach einer Sunde ha sich der Pudding auf 37,3 O C abgekühl. d) Gesuch is der Zeipunk für T() = 40. Temperaurfunkion: T() = 40 einsezen: Umsellen nach : T 58 0,978 40 58 0,978 58 0,978 40 58 0,978 8 0,978 8 58 Logarihmieren: log 0,978 log 8 58 Logarihmengeseze anwenden: log 0,978 log 8 log 58 log 8 log 58 5,6 log 0,978 Nach 5 Minuen und 36 Sekunden is die Temperaur 40 O C erreich. www.mahe-cd.de
88 Begrenzes Wachsum Aufgaben 4 e) Temperaur zur Zei : T 58 0,978. Temperaurdifferenz zu S = zur Zei : T T 58 0,978 zur Zei : T T 58 0,978 Abnahme um ein Driel, also auf zwei Driel: T T 3 Eingesez: 58 0,978 58 0,978 3 Umformen: 58 0,978 0,978 58 0,978 3 Logarihmieren: log 0,978 log Logarihmengeseze anwenden: log0,978 log log3 log log3 8.. log0,978 3 Nach ewa 8 Minuen ha die Temperaurdifferenz um ein Driel abgenommen. Hinweis: Es is viel günsiger, diese Rechnung allgemein durchzuführen und ers am Ende einzusezen. Wer das nachlesen möche, finde diese Ar der Lösung im Tex 83 auf Seie 6. www.mahe-cd.de
88 Begrenzes Wachsum Aufgaben 5 Lösung Nr. 5 Abkühlung einer Suppe auf Zimmeremperaur Eine heiße Suppe ha zur Zei = 0 die Temperaur 70 O C. Sie kühl durch die umgebende 8 O C warme Zimmerluf ab. Dabei nimm die Temperaurdifferenz pro 30 Sekunden um 0 % ab. a) Berechne rekursiv die Temperaur nach 30, 60 und 90 Sekunden. b) Selle die Temperaurgleichung auf. Sie ha diese Form: T c a q. ( T 8 5 0,9965, is die Zei in Minuen) Wie hoch is die Temperaur 0 Minuen nach Beginn der Abkühlungsphase? c) Wann is die Suppe auf 30 O C abgekühl? d) Berechne die Zeispanne, in der die Temperaurdifferenz zur Umgebung um die Hälfe abgenommen ha (Halbwerszei für d(t) ). Lösung: Vergleiche dies mi der Zei, in der die Suppe nur noch die Hälfe ihrer Anfangsemperaur hae. a) Im Ansaz T c a q is K die Grenzemperaur, also die Zimmeremperaur S = 8 O C. Für nehmen wir die Zeieinhei 30 Sekunden. Rekursive Berechnung einiger Temperaurwere. Anfangsemperaur: T0 70 Temperaurdifferenz: d0 70 8 5. Zur Zei = beräg die Temperaurdifferenz noch d d0 0,9 50,9 46,8 Suppenemperaur : T S d 8 46,8 64,8 65 (Nach 30 sek) Zur Zei = : Temperaurdifferenz: d d0,9 oder d00,9 4, Suppenemperaur : T Sd 84 60 (Nach 60 sek) 3 Zur Zei = 3: Temperaurdifferenz: d3 d0,9 oder d00,9 37,9 Suppenemperaur : T3 Sd3 838 56 (Nach 90 sek) Diese Grafik verdeulich die Mehode: Zur Zimmeremperaur komm immer eine pro 30 sek. um 0% zurückgehende Temperaurdifferenz dazu. O 70 C O 8 46,8 64,8 C O 8 4, 60, C d(0) 5 d() 5 0,9 46,8 d() 46,8 0,9 4, O 8 C 0 (30 sek) (60 sek) www.mahe-cd.de
88 Begrenzes Wachsum Aufgaben 6 b) Aufsellung der Temperaurgleichung Ansaz: T ca q In diesem Ansaz wird lau Aufgaben in Minuen eingesez: T0 70eingesez: O 70 c a q () Nach 30 Sek.: Nach 60 Sek.: T 64,8: T 60, 30 64,8 c a q () 60 60, c a q (3) 60 30 30 30 c eliminieren: (3) (): 4,68 a q aq a q q (4) a eliminieren: 30 30 () (): 5, a q a a q 30 30 (4) a (5) : 4,68 q q 5, 30 a q (5) 30 30 q q 0.9 0,9965 In (3): 5, 0, 5, a 0,9 a 5 In (): 70 c 5 c 8 T 8 5 0,9965 600 Nach 0 Minuen is = 600: T600 8 5 0,99965 4,3 SCHAUBILD: c) Wann is die Suppe auf 30 O C abgekühl? Vorgabe war Umsellen nach : T 30: 30 8 5 0,9965 5 0,9965 30 8 0,9965 5 Logarihmieren: log 0,9965 log 5 Logarihmengeseze anwenden: log 0,9965 log log 5 log log 5 48 log 0,9965 Nach 48 Sekunden, das sind ewa 7 Minuen beräg die Temperaur noch 30 O C. www.mahe-cd.de
88 Begrenzes Wachsum Aufgaben 7 d) Berechne die Zeispanne, in der die Temperaurdifferenz zur Umgebung um die Hälfe abgenommen ha (Halbwerszei für d() ). Vergleiche dies mi der Zei, in der die Suppe nur noch die Hälfe ihrer Anfangsemperaur hae.. Lösung - speziell Temperaurfunkion: Temperaurdifferenz zu S = 8 zur Zei : zur Zei T 8 5 0,9965 d() T 8 5 0,9965 : Halbwerszeibedingung: d d d( ) T 8 5 0,9965 Funkionserme eingesez: Poenzgesez anwenden: 5 0,9965 5 0,9965 5 0,9965 0,9965 5 0,9965 Vereinfachen: 5 0,9965 0,9965 5 0,9965 Ergib: Logarihmieren: Logarihmengeseze anwenden: 0,9965 log 0,9965 log ( log log 0,9965 log log ) log 97,7 log 0,9965 Nach einer Zeispanne von ewa 98 Sekunden ha die Temperaurdifferenz zur Grenz-(Zimmer-)Temperaur auf die Hälfe abgenommen. ACHTUNG: Man solle den Unerschied kennen: Bei einer unbeschränken Abnahme auf 0 (wie beim radioakiven Zerfall) bezieh sich die Halbwerszei auf die Abnahme der Funkionswere selbs. Bei einer beschränken Abnahme gegen einen Grenzwer ungleich 0 bezieh sich die Halbwerszei auf die Abnahme der Differenz zwischen Funkionswer und Grenzwer.. Lösung allgemein (empfohlen) Temperaurfunkion: Temperaurdifferenz zu S zur Zei : zur Zei T KB q d() T S a q : d( ) T S a q Halbwerszeibedingung: d d www.mahe-cd.de
88 Begrenzes Wachsum Aufgaben 8 Funkionserme eingesez: Poenzgesez anwenden: a q a q a q q a q Vereinfachen: a q q a q Ergib: q Logarihmieren: log q log Logarihmengeseze anwenden: logq log log log q Nun q = 0,8 einsezen: log 97,7 log 0,9965 (Weil q eine Zahl zwischen 0 und is, wird log q eine negaive Zahl, was zu einem posiiven Ergebnis für den Bruch, also für führ.) Im Vergleich dazu: Nach welcher Zei is die Suppe auf die Hälfe abgekühl? (Also nich: Wann ha sich die Temperaurdifferenz halbier? das haen wir eben!) Temperaurfunkion: T T 0 35 Bedingung: Nach umsellen: T 8 5 0,9965 35 8 5 0,9965 5 0,9965 35 8 7 0,9965 7 5 7 Logarihmieren: log 0,9965 log log7 log5 5 log7 log5 39 log 0,9965 Nach 39 Sekunden is die Suppe nur noch halb so heiß. Wir müssen also feshalen: Nach 98 Minuen ha sich die Temperaurdifferenz halbier, nach 39 Minuen ha sich die Anfangsemperaur halbier. www.mahe-cd.de
88 Begrenzes Wachsum Aufgaben 9 Lösung Nr. 530 Mäuseexperimen In einem Versuchslabor werden Mäuse mi einer Krankhei infizier. Ein Medikamen soll eingesez werden, und man will die Wirksamkei esen. In der Versuchsreihe sehen 00 Tiere zur Verfügung. Nach Tag leben noch 84 Tiere, nach dem. Tag noch 74. Wie viele Tiere (Menge L) werden langfrisig nich überleben, wenn man beschränke Abnahme voraussez? Wann werden drei Vierel dieser zu erwarenden Menge gesorben sein? Wann ewa kann man davon ausgehen, dass vermulich kein Tier mehr an dieser Ursache serben wird. (Hilfe: Die Funkion, welche die Anzahl der lebenden Tiere wiedergib is Die Koeffizienen wurden sinnvoll gerunde) n() 43 0,65 57. Lösung: Es sei n() die Zahl der Tiere, die nach mal 4 Sunden noch leben. Wir machen den Ansaz: n ab c n(0) = 00: O 00 a b c () n() = 84: 84 a b c () n() = 74: 74 a b c (3) Eliminaion von c: (3) (): 0 ab ab ab b (4) () (): 6 ab a a b (5) Eliminaion von a: (4) (5) : 0 a b b b 6 a 0 b 0,65 6 6 In (5): 6 a 0,65 a 4,67 0,375 In (): 00 4,67 c c 57,33 Runde man a und c, folg: n 4,67 0,65 57,33 n 430,65 57 Für geh 0,65 gegen 0, was man auch so schreiben kann: Daher gil: limn 57 lim 0,65 0 Man muss wissen, dass es sich hier um ein mahemaisches Modell handel, das die Wirklichkei nur grob wiedergeben kann. Hier muss man abrunden und sagen: Im Miel werden 57 Mäuse überleben. www.mahe-cd.de
88 Begrenzes Wachsum Aufgaben 0 Mi anderen Woren: Man kann erwaren, dass ewa 43 der anfänglich 00 Tiere bei dieser Versuchsreihe serben werden. Der Abnahmefakor is q = 0,65. Dieser besag, dass die Differenz d n 57 mi dem Fakor 0,65 abnimm: d d 0,65. Mi anderen Woren: Die Anzahl der wahrscheinlich serbenden Mäuse nimm pro Tag mi p q 0,375 37,5% ab und geh gegen 43. Schaubild: L L 4 * Die Menge L der Tiere die nach dem Modell der beschränken Abnahme dieses Experimen nich überleben werden is L n(0) g 00 57 43. Wenn 3 davon gesorben sein werden, dann 4 leben davon noch L, also insgesam n() 57 68. 4 d. h.: Logarihmieren: log 0,65 43 0,65 57 68-57 43 0,65 :43 0,65 43 log 43 Logarihmengeseze: log 0,65 log log 43 :log 0,65 log log 43,9 log 0,65 Nach ewa 3 mal 34 Sunden (3 Tagen) is3 Vierel der zu erwarenden Menge gesorben. www.mahe-cd.de
88 Begrenzes Wachsum Aufgaben Die leze Frage bezieh sich darauf, wann man davon ausgehen kann, dass keines mehr serben wird. Wenn die Anzahl der innerhalb dieser Versuchsreihe überlebenden Tiere bei 57 lieg, muss man die Frage sellen, wann n() < 58 sein wird? 43 0,65 57 58-57 43 0,65 : 43 0,65 43 Logarihmieren: log 0,65 log 43 Logarihmengeseze: log 0,65 log43 : log 0,65 log43 8 log 0,65 Nach ewa 8 Tagen kann man davon ausgehen, dass aus gegebener Ursache kein weieres Tier mehr serben wird. www.mahe-cd.de
88 Begrenzes Wachsum Aufgaben Lösung Nr. 530 Aufladen eines Kondensaors Für die Aufladefunkion des Kondensaors gele: Q 0,35 sei die Zei in Sekunden, Q die auf dem Kondensaor befindliche Ladung. a) Besimme die maximale Ladung des Kondensaors, die zu dieser Funkion gehör. b) Die Ladungszunahme des Kondensaors beschreib man durch die Abnahme der Differenz zwischen vorhandener Ladung und Maximalladung. Um wie viel Prozen nimm diese Differenz pro Sekunde ab?. c) Wann is der Kondensaor halb aufgeladen? d) Wann fehl nur noch Promille zur der Maximalladung? Lösung: a) Die gegebene Ladungsfunkion des Kondensaors is: Q 0,35 Wegen x lim 0,35 0 gil Q max =. lim Q(). x b) Die Ladungsdifferenz zur Maximalladung is max d Q Q() 0,35 0,35 Die Ladungsdifferenz nimm also exponeniell mi q = 0,35 ab. Wegen p = - q = 0,865 gil: Pro Zeieinhei (Sekunde) nimm die Ladungsdifferenz um 86,5 % ab! Die Ladekurve geh also anfänglich seil nach oben (siehe Abbildung). c) Wann is der Kondensaor halb aufgeladen? Q Q Logarihmieren: max 0,5 0,35 0,35 log 0,35 log Logarihmusgeseze anwenden: log 0,35 log log 0,346 log0,35 Bereis nach 0,346 (s) is der Kondensaor zur Hälfe aufgeladen. www.mahe-cd.de
88 Begrenzes Wachsum Aufgaben 3 d) Wann fehl nur noch Promille der Maximalladung? Ladungsdifferenz: Q d 0,35 Promille von Qmax : Q 0,00 Gleichsezen: 0,35 0,00 0,35 0,00 Logarihmieren: log 0,35 log 0,00 Logarihmengeseze anwenden: log 0,35 3 3 3,45 log 0,35 000 3 log 0,00 log 0 3 0 0 Nach ewa 0,35 s is der Kondensaor halb aufgeladen. ( ) Q= -0,35 www.mahe-cd.de