Jahresplanung: Mathematik, 5. Klasse

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1 Jahresplanung: Mathematik, 5. Klasse Gymnasium und andere AHS-Formen (ausgenommen Realgymnasium) Diese Jahresplanung baut auf dem Lehrplan auf, der im Jahr 2016 gemeinsam mit der Neuen Oberstufe vom Bildungsministerium verlautbart wurde. Dieser Lehrplan gilt bereits für Schulen, die die Neue Oberstufe anwenden, und tritt auch für die anderen Schulen mit Beginn des Schuljahres 2018/19 für die 5. Klasse (und für die folgenden Klassen aufsteigend) in Kraft. In Mathematik gibt es, gerade was die 5. Klasse betrifft, für die der Lehrplan nicht semestriert ist, keine großen Änderungen gegenüber dem davor geltenden Lehrplan ältere Jahresplanungen für die 5. Klasse sollten also weitgehend weiter verwendbar sein. Der Lehrplan gibt vor, welche Lernziele zu erreichen sind. Diese sind daher verbindlich, hier darf auch nichts weggelassen werden auch dann nicht, wenn schulautonom Stunden gekürzt werden sollten (was insbesondere im Hinblick auf die Zentralmatura gerade in Mathematik keineswegs zu empfehlen ist). Bei schulautonomen Änderungen des Lehrplans allerdings Teile des Stoffs in andere Klassen verschoben werden oder Stoff hinzugefügt werden. Nicht vorgegeben ist durch den Lehrplan, in welcher Reihenfolge die Inhalte erarbeitet werden müssen. Darüber entscheidet die Lehrerin bzw. der Lehrer selbst. Ein Modul muss auch nicht in einem durchgezogen werden, sondern kann auf mehrere Teile aufgeteilt werden. Die vorliegende Jahresplanung stellt daher lediglich einen Vorschlag dar. Sie ist als Serviceleistung der ÖPU für Kolleginnen und Kollegen zur Erleichterung der Arbeit zu Beginn des Schuljahres gedacht, darf zur Verwendung für den eigenen Unterricht kopiert werden und kann (und soll) gemäß den eigenen Vorstellungen natürlich auch abgeändert werden. Ich persönlich habe gute Erfahrungen damit gemacht, einen großen Abschnitt nicht in einem durchzuziehen, weil er sonst leichter von den Schülerinnen und Schülern als erledigt betrachtet und schneller vergessen wird. Ich bemühe mich, dass z. B. Funktionen und Vektoren möglichst bei jeder Schularbeit im Schularbeitsstoff vorkommen. Daher sind diese großen Abschnitte im vorliegenden Vorschlag für eine Jahresplanung in mehrere, kleinere Portionen aufgeteilt. Für die Zeitleiste (Spalte ganz links in der Tabelle) gehe ich von folgenden Daten aus: Schulbeginn Anfang September, Schikurs im März, Ostern im April, Pfingsten im Juni. Bei abweichenden Daten muss die Zeitleiste entsprechend abgeändert werden. August 2018 Mag. Peter Friebel (BG/BRG Mödling, Keimgasse)

2 Jahresplanung: Mathematik, 5. Klasse, Gymnasium und andere AHS-Formen (ausgenommen Realgymnasium) Monat Inhalte Lernziele (gemäß Lehrplan) Grundkompetenzen Sept. Rechnen mit reellen Zahlen Reelle Zahlen als Punkte auf der Zahlengeraden, Ordnung nach der Größe, positive bzw. negative Zahlen und Zahl 0, Darstellung durch Pfeile; Betrag (Definition durch Fallunterscheidung, Deuten als Länge des Pfeils). Intervalle (zusammenhängende Teilmengen von R: abgeschlossene bzw. offene, beschränkte bzw. nicht beschränkte): Beschreiben durch Ungleichungen und in Intervallschreibweise mit Klammern, Darstellen auf der Zahlengeraden. Variable als Platzhalter in Rechenausdrücken (Termen), Beschreibung von Rechengesetzen mit Formeln: Addition: Darstellung durch Pfeile; Assoziativgesetz, neutrales Element 0, Addition der Gegenzahl (inverses Element), Kommutativgesetz; Addition der Gegenzahl (Subtraktion) als Umkehroperation, Lösen einfacher Gleichungen, Gegenzahl einer negativen Zahl, Auflösen von Klammern in Termen. Multiplikation: Vervielfachen, Berechnen des absoluten Anteils (bei gegebenem relativem Anteil, Prozentanteil, Änderungsfaktor); grafische Darstellung eines Produktes zweier Zahlen als Flächeninhalt eines Rechtecks; neutrales Element 1, Kommutativgesetz, Assoziativgesetz; Potenz als wiederholte Multiplikation. Distributivgesetz: Ausmultiplizieren und Herausheben, Multiplizieren von Klammern, binomische Formeln; Vorzeichenregeln der Multiplikation. Multiplikation mit der reziproken Zahl (inverses Element; für Brüche: Kehrwert), zu jeder reellen Zahl außer 0 Mengen, Zahlen und Rechengesetze Zahlen, Beträge von Zahlen und Intervalle auf einer Zahlengeraden darstellen Umformungsschritte durch Rechengesetze begründen Wissen über die Zahlenmengen [...] verständig einsetzen (AG-R 1.1) Definitionen von Betrag und Intervallen kennen einfache Terme und Formeln [...] umformen [...] (AG-R 2.1) Jahresplanung Mathematik, 5. Klasse G/wiku/ORG, Lehrplan Mag. Peter Friebel, ÖPU-Jahresplanung, August 2018

3 existiert eine reziproke Zahl, Multiplikation mit der reziproken Zahl (Division) als Umkehroperation, Division in Bruchschreibweise, Lösen einfacher Gleichungen; Berechnen des relativen Anteils (Prozentanteils), des Grundwerts. Begriff lineare Gleichung, Lösen linearer Gleichungen, Äquivalenzumformungen. Lineare [...] Gleichungen in einer Variablen lösen lineare Gleichungen [...] umformen/lösen [...] (AG-R 2.2) Terme und Gleichungen Okt. Begriffe Term (Rechenausdruck), Konstante und Variable; Auswerten von Termen durch Einsetzen konkreter Zahlen, Definitionsmenge. Begriffe Gleichung und Formel, Unbekannte, Lösungen einer Gleichung, Definitionsmenge und Lösungsmenge, äquivalente Gleichungen, Äquivalenzumformungen; Lösungsfälle: genau eine Lösung, mehrere Lösungen (z. B. Produkt ist genau dann 0, wenn ein Faktor 0 ist), Sonderfälle (keine Lösung bzw. Lösungsmenge = Definitionsmenge). Aufstellen und Interpretieren von Termen und Formeln in unterschiedlichem Kontext; Umformen von Gleichungen, Ausdrücken einer Variablen. Terme und Formeln aufstellen und interpretieren ; Umformungsschritte durch Rechengesetze begründen Lineare [...] Gleichungen in einer Variablen lösen [...] Gleichungen [...] auf inner- und außermathematische Probleme anwenden Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen : Variable, Terme, Formeln, (Un )Gleichungen, [...], Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit (AG-R 1.2) einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten (AG-R 2.1) lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten (AG-R 2.2) Rechnen mit Prozenten Aufstellen und Umformen von Formeln, Interpretieren im jeweiligen Kontext: Grundwert, relativer und absoluter Anteil; Vermehrung bzw. Verminderung um p % (relative und absolute Änderung, Änderungsfaktor). Terme und Formeln aufstellen und interpretieren ; Umformungsschritte durch Rechengesetze begründen einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten (AG-R 2.1) absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden (AN-R 1.1) Funktionen Funktionen Funktionale Abhängigkeiten Darstellung durch ein Pfeildiagramm (Beispiele für numerische und für nicht-numerische Größen), Begriff Funktion (eindeutige Zuordnung), Definitionsmenge und Zielmenge (Schreibweise: A B), Wertemenge (Bild der Für gegebene Zusammenhänge entscheiden, ob man sie als Funktionen betrachten Jahresplanung Mathematik, 5. Klasse G/wiku/ORG, Lehrplan Mag. Peter Friebel, ÖPU-Jahresplanung, August 2018

4 Funktion); abhängige und unabhängige Variable, Argument und Funktionswert, Schreibweisen bzw. = ( ). Wertetabelle, Ablesen von Funktionswerten. Interpretieren von im Koordinatensystem dargestellten Graphen reeller Funktionen im jeweiligen Kontext: Ablesen von Funktionswerten und von Stellen, an denen gegebene Werte auftreten, von einem im Koordinatensystem dargestellten Graphen einer reellen Funktion; Zeichnen des Graphen einer durch eine Wertetabelle gegebenen Funktion; Ablesen von Bereichen der Zunahme bzw. Abnahme des Funktionswerts und von Maxima bzw. Minima; Interpretieren von Funktionsgraphen. Graphen von Funktionen mit diskreter bzw. mit zusammenhängender Definitionsmenge, von Funktionen mit (z. B. Signumfunktion) bzw. ohne Sprungstellen. Funktionsterm bzw. Funktionsgleichung, Schreibweise : A B, ( ), Zeichnen des Graphen zu gegebenem Funktionsterm. Direkte und indirekte Proportionalität Größen und sind direkt proportional Wenn mit einem Faktor r multipliziert wird, wird auch mit r multipliziert; konstanter Quotient k =, Funktionsgleichung y = (x) = k mit konstantem Proportionalitätsfaktor k, Graph (Gerade durch den Ursprung); Untersuchen, ob gegebene Wertepaare mit direkter Proportionalität vereinbar sind; direkte Proportionalitätsfunktionen (Werte, Funktionsgleichung und Proportionalitätsfaktor, Graph) in unterschiedlichem Kontext, Interpretieren des Proportionalitätsfaktors im jeweiligen Kontext. Abhängigkeiten, die durch reelle Funktionen in einer Variablen erfassbar sind, mittels Termen, Tabellen oder Graphen beschreiben und über den Modellcharakter von Funktionen reflektieren Mit Funktionen in anwendungsorientierten Bereichen arbeiten ; Funktionen als mathematische Modelle auffassen Einige [...] nichtlineare Funktionen beschreiben und untersuchen, z. B. stückweise definierte Funktionen Formeln in Hinblick auf funktionale Aspekte untersuchen ; direkte und indirekte Proportionalitäten mit Hilfe von Funktionen beschreiben Lineare Funktionen beschreiben und untersuchen kann (FA-R 1.1) Zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln (FA-R 1.3) Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten (FA-R 1.4) Eigenschaften von Funktionen erkennen, [...] im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen : Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), [...] (FA-R 1.5) Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten (FA-R 1.7) direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ ( ) = k beschreiben (FA-R 2.6) Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen (FA-R 1.2) Jahresplanung Mathematik, 5. Klasse G/wiku/ORG, Lehrplan Mag. Peter Friebel, ÖPU-Jahresplanung, August 2018

5 Monat Inhalte Lernziele (gemäß Lehrplan) Grundkompetenzen Nov. Größen und sind indirekt proportional Wenn mit einem Faktor r multipliziert wird, wird durch r dividiert; konstantes Produkt a =, Funktionsgleichung = mit konstantem Faktor a, Graph (Hyperbel mit Koordinatenachsen als Asymptoten), Definitionsmenge; Untersuchen, ob gegebene Wertepaare mit indirekter Proportionalität vereinbar sind; indirekte Proportionalitätsfunktionen (Werte, Funktionsgleichung, Graph) in unterschiedlichem Kontext. Polarkoordinaten und Winkelfunktionen Kartesische Koordinaten ( ) in der Ebene, Achsen und Quadranten, Polarabstand r und Polarwinkel φ, Polarkoordinaten [r φ], Standardintervall 0 φ < 360 ;,, (für 0), Tangens ist für 90 und 270 nicht definiert. Einige [...] nichtlineare Funktionen beschreiben und untersuchen, z. B. ( ) = a/, [...] Trigonometrie Polarkoordinaten verwenden sin(α), cos(α) und tan(α) definieren und am Einheitskreis darstellen Winkel: Gradmaß und Bogenmaß. indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ ( ) = [...] beschreiben (FA-R 3.4) Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen (FA-R 1.2) Algebra und Geometrie Polarkoordinaten kennen und einsetzen (AG-L 4.4) Definitionen von Sinus und Cosinus für Winkel größer als 90 kennen und einsetzen (AG-R 4.2) Ermitteln von Funktionswerten (grafisch im Einheitskreis und mit dem TR, Hinweis auf Einstellung degree bzw. radiant, nicht grad ), Vorzeichen der Werte in Abhängigkeit vom Quadranten, Maxima und Minima für Sinus und Cosinus, Tangens als Steigung;, ; Berechnen von Cosinus und Sinus von 60, 30 bzw. 45. Gleichungen der Form und (im Einheitskreis und mit dem TR) nach φ lösen (jeweils alle Lösungen im Standardintervall). Gleichungen der Form sin(α) = c und cos(α) = c nach α lösen Umwandeln von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten und umgekehrt, Achsen und Quadranten. Trigonometrie an rechtwinkligen Dreiecken Rechtwinkliges Dreieck (Hypotenuse und Katheten), Satz von Pythagoras; Jahresplanung Mathematik, 5. Klasse G/wiku/ORG, Lehrplan Mag. Peter Friebel, ÖPU-Jahresplanung, August 2018

6 Dez. Gegenkathete und Ankathete, Formeln für Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck. Berechnen von Seitenlängen und Winkeln im rechtwinkligen Dreieck, Höhen in Dreiecken und Parallelogrammen, Längen und Winkeln in ebenen Figuren und Körpern; Aufgaben in unterschiedlichem Kontext, Steigung bzw. Gefälle einer Straße. Vektoren Beschreibung einer Translation durch einen Vektor (Pfeil), Betrag (Länge) und Richtung; Komponenten eines Vektors in Richtung der Koordinatenachsen, Vektor in der Ebene als Zahlenpaar, Menge R². Addition von Vektoren: grafisch (Pfeile) und rechnerisch (Spaltenvektoren); Punkt im ebenen Koordinatensystem: Koordinaten (Zahlenpaar), Deutung als Vektor, Translation als Addition von Punkt und Vektor; Subtraktion als Addition des entgegengesetzten Vektors (grafisch, rechnerisch), Berechnung eines Vektors aus Anfangspunkt und Endpunkt. Geometrie: Translationen, Parkettmuster, Parallelogramm (Vektoren, Eckpunkte). Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (grafisch, rechnerisch), Linearkombinationen von Vektoren (grafisch); parallele Vektoren, Parallelitätskriterium. Berechnungen an rechtwinkeligen [...] Dreiecken, an Figuren und Körpern [...] durchführen Vektoren und analytische Geometrie in R² Vektoren addieren, subtrahieren, mit reellen Zahlen multiplizieren und diese Rechenoperationen geometrisch veranschaulichen Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen (AG-R 4.1) Algebra und Geometrie Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen (AG-R 3.2) Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, [...]) kennen; Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten (AG-R 3.3) Rechnen mit Vektoren Addition von Vektoren: Assoziativgesetz, Kommutativgesetz, Nullvektor als neutrales Element, Addition des entgegengesetzten Vektors (inverses Element) Analogie zur Addition reeller Zahlen; Subtraktion als Addition des entgegengesetzten Vektors; Multiplikation mit einem Skalar (Zahl): Zahl 1 als neutra- Vektoren addieren, subtrahieren, mit reellen Zahlen multiplizieren und diese Rechenoperationen geometrisch veranschaulichen Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen (AG-R 3.2) Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, [...]) kennen; Rechenoperationen verständig ein- Jahresplanung Mathematik, 5. Klasse G/wiku/ORG, Lehrplan Mag. Peter Friebel, ÖPU-Jahresplanung, August 2018

7 les Element, Quasi-Assoziativgesetz, Distributivgesetze hinsichtlich der Summe von Skalaren und hinsichtlich der Summ von Vektoren (Hinweis auf Strahlensatz). Mittelpunkt einer Strecke, Schwerpunkt eines Dreiecks. Gerade wird durch zwei Punkte bzw. durch Punkt und Richtungsvektor festgelegt, Parameterdarstellung einer Geraden; Ermitteln von Punkten einer gegebenen Geraden; Finden einer Parameterdarstellung von durch zwei Punkte gegebenen Geraden, auch Sonderfälle (Koordinatenachsen, parallel zu einer Koordinatenachse, durch den Ursprung), auch zu gegebenen Geraden parallele bzw. normale Geraden; Parameterdarstellung einer Geraden ist nicht eindeutig; Untersuchen, ob ein gegebener Punkt auf einer gegebenen Geraden liegt Gegenseitige Lage von Geraden in R² (schneidend, parallel und nicht identisch, identisch): Untersuchen, ob Geraden parallel sind, ob parallele Geraden identisch sind. Gleichartige Daten (z. B. Personenzahlen, Stückzahlen, Preise, Kosten,...) jeweils zu einem Zahlenpaar bzw. Zahlentupel zusammenfassen, als Vektor deuten, solche Vektoren addieren bzw. mit Skalaren multiplizieren und die Ergebnisse interpretieren. Betrag eines Vektors (Länge eines Pfeils): Formel (Pythagoras), Berechnen von Beträgen; Betrag ist nicht negativ (und nur für den Nullvektor null),, Dreiecksungleichung ; Abstand zweier Punkte, Seitenlängen eines Polygons. Einheitsvektoren (Vektoren mit Betrag=1) und entlang der Achsen, steht für ; ist der Einheitsvektor in Richtung von ( ), Ab- Geraden durch Parameterdarstellungen in R² [...] beschreiben [...] Geraden durch Parameterdarstellungen in R² [...] beschreiben [...] und die gegenseitige Lage von Geraden ermitteln Abstände ermitteln (Punkt- Punkt, [...]) Einheitsvektoren [...] ermitteln setzen und (auch geometrisch) deuten (AG-R 3.3) Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in R² angeben ; Geradengleichungen interpretieren ; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren [...] (AG-R 3.4) Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten (AG-R 3.1) Betrag eines Vektors ermitteln, verständig einsetzen und interpretieren Einheitsvektoren ermitteln, verständig einsetzen Jahresplanung Mathematik, 5. Klasse G/wiku/ORG, Lehrplan Mag. Peter Friebel, ÖPU-Jahresplanung, August 2018

8 tragen von Strecken mit gegebener Länge und Richtung. und interpretieren (AG-L 3.7) Jan. Lineare Funktionen Zu einem geeigneten Kontext (Anfangswert und konstante Änderungsrate gegeben): Wertetabelle, Graph, Funktionsgleichung, Berechnen des Funktionswerts bei gegebenem Argument und umgekehrt. Definition (lineare Funktion): (x) = k +d (k, konstant); Funktionswert nimmt gleichmäßig zu, Graph ist Gerade, d als Funktionswert an der Stelle 0, k als Änderung des Funktionswerts bei Erhöhung des Arguments um 1 Einheit ( (x+1) = (x)+k 1 ), als Änderungsrate, als Steigung des Graphen (Steigungsdreieck), als Quotient der Änderungen (Differenzenquotient, k = = ); Ablesen der Parameter d und k aus der Zeichnung, Zeichnen des Graphen mit Hilfe Parameter d und k. Konstante Funktionen und direkte Proportionalitätsfunktionen als Sonderfälle, Begriffe homogene bzw. inhomogene lineare Funktionen. Stückweise lineare Funktionen (z. B. Tarifmodelle). Arbeiten mit linearen Funktionen in unterschiedlichem Kontext, Berechnen der Steigung (Änderungsrate) aus zwei Funktionswerten, Interpretieren der Parameter d und k im jeweiligen Kontext; Wirtschaft: lineare Kostenfunktionen (Fixkosten und variable Kosten); Physik: lineare Zeit-Ort-Funktionen (gleichförmige Bewegung, Steigung als Geschwindigkeit). Lineare Modellierung: Untersuchen, ob gegebene Wertepaare mit einer linearen Funktion (näherungsweise) vereinbar sind, Ermitteln des Funktionsterms. Vergleich linearer Funktionen: Schnittpunkt der Graphen; Wirtschaft: Vergleich von Tarifmodellen, Kosten-, Erlös- Funktionen Lineare Funktionen beschreiben und untersuchen Einige [...] nichtlineare Funktionen beschreiben und untersuchen, z. B. stückweise definierte Funktionen Mit Funktionen in anwendungsorientierten Bereichen arbeiten ; Funktionen als mathematische Modelle auffassen Gleichungen [...] [...] Gleichungen [...] auf inner- und außermathematische Probleme anwenden Funktionale Abhängigkeiten verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten ; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln (FA-R 2.1) aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter k und d ermitteln und im Kontext deuten (FA-R 2.2) die Wirkung der Parameter k und d kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten (FA-R 2.3) charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten : ; (FA-R 2.4) direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ ( ) = k beschreiben (FA-R 2.6) die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten (FA-R 2.5) Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten (FA-R 1.7) Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren (FA-R 1.6) Jahresplanung Mathematik, 5. Klasse G/wiku/ORG, Lehrplan Mag. Peter Friebel, ÖPU-Jahresplanung, August 2018

9 Monat Inhalte Lernziele (gemäß Lehrplan) Grundkompetenzen Mengen, Zahlen und Rechengesetze Algebra und Geometrie und Gewinnfunktionen, Break-even-point. Aussagen und Mengen Aussagen (Wahrheitswert wahr bzw. falsch eindeutig bestimmt), Negation einer Aussage; Mengen: Elemente, Aufzählen der Elemente, Beschreiben durch Grundmenge und Bedingung, leere Menge. Teilmengen, Gleichheit von Mengen. Konjunktion und Disjunktion von Aussagen, Durchschnitt und Vereinigung von Mengen, Differenzmenge. Grundlegende Begriffe über Aussagen und Mengen kennen Mit Beziehungen und Verknüpfungen von Aussagen und Mengen umgehen (AG-L 1.3) Implikationen von Äquivalenzen unterscheiden sowie beim Argumentieren und Begründen logisch richtig verwenden Implikation und Äquivalenz von Aussagen, Unterscheidung beim Argumentieren und Begründen. Allaussagen bzw. Existenzaussagen und ihre Negation. Feb. Natürliche und ganze Zahlen Mengen, Zahlen und Rechengesetze Menge ℕ der natürlichen Zahlen, ℕ*, Nachfolger und Vorgänger, Ordnung nach der Größe. Subtraktion ist in ℕ nicht immer ausführbar, Menge ℤ der ganzen Zahlen, ℕ ℤ, Ordnung, positive bzw. negative Zahlen und Zahl 0, Mengen ℤ bzw. ℤ und ℤ bzw. ℤ, Betrag (Definition durch Fallunterscheidung). Vielfache und Teiler, einfache Teilbarkeitsregeln, Primfaktorenzerlegung, ggt und kgv. Über das Erweitern von Zahlenmengen anhand von natürlichen, ganzen [...] Zahlen reflektieren Algebra und Geometrie Wissen über die Zahlenmengen ℕ, ℤ, [...] verständig einsetzen (AG-R 1.1) Zahlen [...] auf einer Zahlengeraden darstellen Mit Primzahlen und Teilern arbeiten ; Teilbarkeitsfragen untersuchen [nur bei mehr als 3 Wochenstunden verbindlich (z. B. am ORG)] Natürliche Zahlen in Produkte von Primfaktoren zerlegen ; wichtige Teilbarkeitsregeln kennen Rationale und reelle Zahlen Division ist in ℕ und in ℤ nicht immer ausführbar, Menge ℚ der rationalen Zahlen (Bruchzahlen), ℤ ℚ; Brüche beschreiben dieselbe Bruchzahl, wenn man sie durch Erweitern bzw. Kürzen ineinander überführen kann; zwischen unterschiedlichen rationalen Zahlen liegen unendlich viele weitere rationale Zahlen. Jahresplanung Mathematik, 5. Klasse G/wiku/ORG, Lehrplan 2016 Über das Erweitern von Zahlenmengen anhand von natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen reflektieren 8 Wissen über die Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ und ℝ verständig einsetzen (AG-R 1.1) Mag. Peter Friebel, ÖPU-Jahresplanung, August 2018

10 Zahlengerade und Dezimaldarstellung, rationale Zahlen sind genau die abbrechenden oder periodischen Dezimalzahlen, nicht allen Punkten der Zahlengerade (Dezimalzahlen) entspricht eine rationale Zahl; Me ge R der reelle Z hle, rr le Z hle, Q R; Q h Lö her h zu mme hä ge d ; R h ke e Lö her, zw he u er h edl he reelle Zahlen liegen unendlich viele rationale und unendlich viele irrationale Zahlen, jede irrationale Zahl lässt sich dur h r le Z hle bel eb g ge u äher Q R d h. Quadratwurzeln natürlicher Zahlen sind natürliche oder irrationale Zahlen; Untersuchen, welchen Zahlenmengen eine gegebene Zahl angehört. Näherungswerte, Rundungskonvention, Runden auf vorgegebene Anzahl von Nachkommastellen bzw. signifikante Stellen, Rundungsfehler. Zahlen [...] auf einer Zahlengeraden darstellen Mit Näherungswerten sinnvoll umgehen März Trigonometrie an allgemeinen Dreiecken Trigonometrische Flächenformel (für Parallelogramm bzw. Dreieck). Sinussatz, Cosinussatz (Satz von Pythagoras als Sonderfall des Cosinussatzes); Berechnen von Längen und Winkeln in Dreiecken, richtige Wahl der spitz- oder der stumpfwinkligen Lösung bei Winkelberechnungen mit dem Sinussatz; Berechnungen an ebenen Figuren und Körpern mit Sinusund Cosinussatz. Trigonometrie Berechnungen an rechtwinkeligen und allgemeinen Dreiecken, an Figuren und Körpern (auch mittels Sinus- und Cosinussatz) durchführen Algebra und Geometrie Die trigonometrische Flächeninhaltsformel kennen und anwenden Einfache Berechnungen an allgemeinen Dreiecken, an Figuren und Körpern (auch mittels Sinus- und Cosinussatz) durchführen (AG-L 4.3) Skalarprodukt von Vektoren Skalarprodukt von Vektoren: Definition, Ergebnis R; Zusammenhang mit dem Betrag: ; Kommutativgesetz, (Homogenität), Distributivgesetz. Vektoren und analytische Geometrie in R² Definition der Rechenoperationen mit Vektoren ([...] Skalarprodukt) kennen; [...] (AG-R 3.3) Jahresplanung Mathematik, 5. Klasse G/wiku/ORG, Lehrplan Mag. Peter Friebel, ÖPU-Jahresplanung, August 2018

11 Berechnen des Winkels, den zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren einschließen. Rechter (bzw. spitzer bzw. stumpfer) Winkel genau dann, wenn das Skalarprodukt 0 (bzw. positiv bzw. negativ) ist. Untersuchen, ob gegebene Vektoren orthogonal sind. Vom Nullvektor verschiedene Vektoren in R² um 90 nach links bzw. rechts drehen, weitere Normalvektoren ermitteln, Skalarprodukt als Probe. Geometrische Deuting des Skalarproduktes: Zerlegen eines Vektors in eine Komponente in Richtung von (Normalprojektion von auf ) und eine Komponente normal dazu, Berechnen des Betrages der Normalprojektion als Skalarprodukt von mit dem Mit dem Skalarprodukt arbeiten ; den Winkel zwischen zwei Vektoren ermitteln [...] Normalvektoren ermitteln Mit dem Skalarprodukt arbeiten Den Winkel zwischen zwei Vektoren ermitteln (AG-L 3.6) Wissen, dass zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren genau dann einen rechten (bzw. spitzen bzw. stumpfen) Winkel einschließen, wenn ihr Skalarprodukt 0 (bzw. positiv bzw. negativ) ist [...] Rechenoperationen (Skalarprodukt) verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten (AG-R 3.3) Normalvektoren in R² aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren (AG-R 3.5) Einheitsvektoren in R² aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren (AG-L 3.7) Einheitsvektor ). Berechnen des Abstandes eines Punktes A von einer Geraden als Betrag der Normalprojektion des Vektors (von einem beliebigen Punkt P der Geraden zum Punkt A) auf einen Normalvektor der Geraden. Gleichartige Daten (z. B. Stückzahlen, Stückpreise) jeweils zu einem Zahlenpaar bzw. Zahlentupel zusammenfassen, als Vektor deuten, solche Vektoren addieren bzw. mit Skalaren multiplizieren und die Ergebnisse interpretieren. Abstände ermitteln ([...] Punkt- Gerade) zumindest eine Methode zur Berechnung von Abständen (Punkt-Gerade) kennen und anwenden Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten (AG-R 3.1) Apr. Lineare Gleichungen in zwei Variablen Gerade wird in R² durch Punkt und Normalvektor festgelegt, Normalvektordarstellung einer Geraden (Skalar- Vektoren und analytische Geometrie in R² / Gleichungen und Gleichungssysteme [...] Rechenoperationen (Skalarprodukt) verständig einsetzen und (auch geometrisch) Jahresplanung Mathematik, 5. Klasse G/wiku/ORG, Lehrplan Mag. Peter Friebel, ÖPU-Jahresplanung, August 2018

12 produkt), Koordinatenform der Normalvektordarstellung, implizite Geradengleichung; Normalvektor bzw. implizite Geradengleichung sind nicht eindeutig bestimmt, Äquivalenz von Gleichungen; Ermitteln von Punkten einer durch eine implizite Gleichung gegebenen Geraden. Finden von Normalvektordarstellungen und impliziter Gleichungen von in Parameterdarstellung bzw. durch zwei Punkte gegebenen Geraden; Ablesen eines Normalvektors von einer impliziten Geradengleichung, Finden einer Parameterdarstellung; Aufstellen von Gleichungen von Geraden, die zu einer gegebenen Geraden parallel oder normal sind. Lineare Gleichung in zwei Variablen (Definition), Deuten als Gerade in R², Ausnahmefälle = c mit c 0 bzw. c = 0, Lösungen der Gleichung als Punkte in R²; Zeichnen von Geraden: Sonderfälle a = c und b = c, explizite Gleichung als lineare Funktion ; auch Zeichnen von durch explizite bzw. implizite Gleichungen gegebenen Geraden am Computer, Variieren der Parameter. Aufstellen linearer Gleichungen in zwei Variablen in unterschiedlichem Kontext, Finden von Lösungen. Mit dem Skalarprodukt arbeiten Geraden in R² durch [...] Gleichungen (Normalvektordarstellungen) in R beschreiben [...] [...] Normalvektoren ermitteln Lineare Gleichungen [...] auf inner- und außermathematische Probleme anwenden deuten (AG-R 3.3) Geraden durch [...] Gleichungen in R² angeben ; [...] (AG-R 3.4) Normalvektoren in R² aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren (AG-R 3.5) Geraden durch [...] Gleichungen in R² angeben ; Geradengleichungen interpretieren ; [...] (AG-R 3.4) Sachverhalte durch lineare Gleichungen [...] beschreiben Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen Gegenseitige Lage von durch implizite Gleichungen gegebene Geraden in R² (schneidend, parallel und nicht identisch, identisch): Untersuchen, ob Geraden parallel sind (Ablesen von Normalvektoren), ob parallele Geraden identisch (Gleichungen äquivalent) sind. Geraden in R² durch [...] Gleichungen [...] in R beschreiben, Geraden schneiden und die gegenseitige Lage von Geraden ermitteln Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen lösen ; Lösungsfälle untersuchen und geometrisch interpretieren Geraden durch [...] Gleichungen in R² angeben ; Geradengleichungen interpretieren ; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren und Schnittpunkte ermitteln (AG-R 3.4) Lineares Gleichungssystem in zwei Variablen: Definition, lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen Deuten als Schnitt von zwei Geraden, grafisches und rechnerisches aufstellen, interpretieren, umformen/lösen Lösen (durch Ausdrücken einer Variablen und ; über Lösungsfälle Bescheid wissen; Gleichsetzen bzw. Substituieren, Gauß sches Eliminationsverfahren), Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) Unterscheiden und geometrisches Jahresplanung Mathematik, 5. Klasse G/wiku/ORG, Lehrplan Mag. Peter Friebel, ÖPU-Jahresplanung, August 2018

13 Mai Deuten der Lösungsfälle; auch Lösen linearer Gleichungssysteme mit CAS. Aufstellen und Lösen linearer Gleichungssysteme in unterschiedlichem Kontext, Mischungsaufgaben. Quadratische Funktionen und Gleichungen Funktion ( ) = ²: Wertetabelle und Graph (Parabel), symmetrisch zur ( )-Achse, Scheitel (Minimum) im Ursprung, steigend bzw. fallend für >0 bzw. <0; Argumente zum Funktionswert r als Lösungen der Gleichung ² = r, Lösungsfälle; Gleichungen vom Typ a ² = r. Funktionen vom Typ ( ) = a ² + c (a 0): Streckung bzw. Stauchung des Graphen um den Faktor a in ( )- Richtung, für a<0 Spiegelung an der -Achse, Verschiebung um c nach oben; Definition quadratischer Funktionen durch ( ) = a ² + b + c (a 0); Zeichnen von Graphen mit Hilfe von Wertetabellen, auch Zeichnen am Computer (Variieren der Parameter). Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme auf inner- und außermathematische Probleme anwenden Funktionen / Gleichungen [...] Quadratische Funktionen [...] beschreiben und untersuchen [...] Quadratische Gleichungen [...] lösen ; Lösungsfälle untersuchen Quadratische Funktionen der Form ( ) = ² + + beschreiben und untersuchen deuten (AG-R 2.5) Sachverhalte durch lineare Gleichungen oder Gleichungssysteme beschreiben Funktionale Abhängigkeiten / Algebra und Geometrie zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln (FA-R 1.3) Eigenschaften von Funktionen erkennen und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen : Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), [...] Achsensymmetrie [...] (FA-R 1.5) [...] über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten (AG-R 2.3) verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge vom Typ ( ) = a ² + c als quadratische Funktionen erkennen bzw. betrachten ; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln (FA-R 3.1) die Wirkung der Parameter a und c kennen [...] (FA-R 3.3) Eigenschaften von Funktionen erkennen und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen : Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), [...] Achsensymmetrie [...] (FA-R 1.5) typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen (FA-R 4.1) zwischen tabellarischen und grafischen Darstel- Jahresplanung Mathematik, 5. Klasse G/wiku/ORG, Lehrplan Mag. Peter Friebel, ÖPU-Jahresplanung, August 2018

14 Inhalte Monat Quadratische Modelle: Arbeiten mit Funktionen vom Typ ( ) = a ² + c in unterschiedlichem Kontext, Berechnen der Parameter a und c, Berechnen von Funktionswerten und Interpretieren der Ergebnisse. Lernziele (gemäß Lehrplan) Mit Funktionen in anwendungsorientierten Bereichen arbeiten ; Funktionen als mathematische Modelle auffassen Grundkompetenzen lungen von quadratischen Funktionen wechseln (FA-R 4.2) Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten (FA-R 1.7) FA 3.2 aus Tabellen, Graphen und Gleichungen vom Typ ( ) = a ² + c Werte(paare) sowie die Parameter a und c ermitteln und im Kontext deuten (FA-R 1.4, 3.3) Gleichungen vom Typ ( α)( β) = 0 : Produkt-null-Satz; Gleichungen vom Typ a ² + b = 0 : Herausheben, Division durch ist keine Äquivalenzumformung. Gleichungen vom Typ ( α)² = r : Lösungsfälle; Gleichungen vom Typ ² + p + q = 0 : Abspalten eines voll ä d ge Qu dr, kle e Lö u g f rmel, Lö u g fälle, Diskriminante; Lösungen als Nullstellen der Funktion ( ) = ² + p + q, grafische Deutung der Lösungsfälle; Lösen von Gleichungen vom Typ a ² + b + c = 0 durch Normieren der Gleichung, große Lösungsformel. Juni FA 3.3 die Wirkung der Parameter a und c kennen und die Parameter im Kontext deuten (FA-R 3.3) [...] Quadratische Gleichungen [...] lösen ; Lösungsfälle untersuchen quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten (AG-R 2.3) aus Tabellen, Graphen und Gleichungen quadratischer Funktionen Funktionswerte und Argumentwerte ermitteln (FA-R 4.3) Untersuchen von Lösungsfällen für quadratische Gleichungen mit Parametern. Satz von Vieta, Zerlegen quadratischer Terme in Linearfaktoren, Erraten ganzzahliger Lösungen. Zehnerpotenzen und Gleitkommadarstellung Zehnerpotenzen mit positiven bzw. negativen ganzzahligen Exponenten; Multiplizieren und Dividieren von Zehnerpotenzen; Vorsilben für Maßeinheiten, Umwandeln von Einheiten. Gleitkommadarstellung. Jahresplanung Mathematik, 5. Klasse G/wiku/ORG, Lehrplan 2016 Terme [...]; Umformungsschritte durch Rechengesetze begründen Einfache Terme [...] umformen [...] (AG-R 2.1) Mengen, Zahlen und Rechengesetze Algebra und Geometrie Zehnerpotenzen zum Erfassen von sehr kleinen und sehr großen Zahlen in anwendungsorientierten Bereichen einsetzen ; Rechenregeln für Zehnerpotenzen kennen Mit Zehnerpotenzen rechnen 13 Mag. Peter Friebel, ÖPU-Jahresplanung, August 2018

15 Dekadisches System und nichtdekadische Zahlensysteme Dekadisches System als Stellenwertsystem; Dualsystem; Sechzigersystem (Zeitmaße, Winkelmaße). Zahlen im dekadischen und in einem nichtdekadischen Zahlensystem darstellen Zahlen im Zehnersystem darstellen Zahlen insbesondere im Dualsystem darstellen (AG-L 1.4) Jahresplanung Mathematik, 5. Klasse G/wiku/ORG, Lehrplan Mag. Peter Friebel, ÖPU-Jahresplanung, August 2018