Algebraische Zahlentheorie. (Abgabe: Montag 18. Oktober 2010, 10:00 Uhr)

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1 Prof. Dr. Norbert Klingen Köln, den 12. Oktober 2010 Übung 1 (Abgabe: Montag 18. Oktober 2010, 10:00 Uhr) 1. Sei K = Q( D) ein quadratischer Zahlkörper mit D ZZ quadratfrei, D 0, 1. Weiter sei α ᾱ der nicht-triviale Automorphismus von K. Zeigen Sie für α K: a) α ist ganz über ZZ α + ᾱ ZZ und αᾱ ZZ. b) Es sind für x, y Q äquivalent: i) α = x + y D ist ganz über ZZ. ii) 2x ZZ und x 2 y 2 D ZZ. iii) a = 2x, b = 2y, x 2 y 2 D ZZ und a b mod 2. iv) x, y ZZ oder (D 1 mod 4 a = 2x, b = 2y ZZ ungerade). c) Bestimmen Sie eine ZZ-Basis für den Ganzheitsring Z K sowie die Diskriminante von K. 2. Seien R, S Integritätsbereiche und S R ganz. Zeigen Sie für Ideale A in S: A 0 A R Beweisen Sie alle Aussagen von Korollar (1.4) der Vorlesung. 4. Zeigen Sie, dass jeder faktorielle Integritätsbereich ganzabgeschlossen ist.

2 Prof. Dr. Norbert Klingen Köln, 14. Oktober 2010 Übung 2 (Abgabe: Donnerstag 21. Oktober 2010, 10:00 Uhr) Aufgabe 1: (mündlich) Rekapitulieren Sie aus Ihrer Algebra-Vorlesung oder einem geeigneten Algebra Lehrbuch den Hauptsatz über endlich erzeugte Moduln über Hauptidealringen, insbesondere über Z. Formulieren Sie den Elementarteilersatz. Verwenden Sie diese Resultate für die Lösung der nachfolgenden Aufgaben. Aufgabe 2: Sei K ein algebraischer Zahlkörper und M M zwei endlich erzeugte Z-Untermoduln von K, die Q-Basen von K enthalten. Dann ist der Index (M : M ) endlich und es gilt die folgende Beziehung zu den Diskriminanten d(m ) = (M : M ) 2 d(m). Aufgabe 3: Beweisen Sie folgendes Lemma: Lemma: Sei R ein ganzabgeschlossener Integritätsbereich mit Quotientenkörper K, L K eine endliche Erweiterung und S der ganze Abschluss von R in L. Weiter sei a 1,..., a n S eine in S liegende K-Basis von L und d = D(a 1,..., a n ) ihre Diskriminante in R. Dann gilt: ds i Ra i bzw. i Ra i S i 1 d Ra i. (Hinweis: Wenden Sie die Spur-Bilinearform x, y = Sp L K (xy) =: S(xy) auf geeignete Weise auf b = n i=1 x j a j S (mit x j K) an.) Aufgabe 4: Betrachten Sie die Ringe Q und die Erweiterung L := Q[X]/(X 2 + bx +c) mit b, c Q. Dann ist L ein 2-dimensionaler Vektorraum über Q. Berechnen Sie die Diskriminante der Basis 1, X.

3 Prof. Dr. Norbert Klingen Köln, 21. Oktober 2010 Übung 3 (Abgabe: Donnerstag, 28. Oktober 2010, 10:00 Uhr) Aufgabe 1: Sei R ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper K. Zeigen Sie: a) Endlich erzeugte R-Untermoduln von K sind gebrochene Ideale; in Noetherschen Ringen gilt die Umkehrung. b) Invertierbare Ideale von R sind endlich erzeugt. Aufgabe 2: Sei R ein Noetherscher Integritätsbereich, in dem jedes Primideal 0 maximal ist. Sei 0 a R ein beliebiges Ideal von R. Dann gilt: R [R : a]. (Hinweis: Zeigen Sie, dass es genügt, Primideale zu betrachten. Betrachten Sie dann das von einem 0 x p (p prim) erzeugte Ideal und nutzen Sie Lemma (1.23) mit minimal vielen Faktoren und wählen Sie (ggf. nach Umsortierung der Faktoren) ein geeignetes b p 2 p n.) Aufgabe 3: Sei R ein Dedekindring und a = p p vp(a) die Primidealzerlegung gebrochener Ideale a I R. Dadurch ist für jedes Primideal eine Funktion v := v p : I R Z definiert. a) Bestimmen Sie v(a b) und v(a + b). b) Zeigen Sie: v p (a) = max{k a p k }. c) Zeigen Sie, dass für jedes Primideal durch v(a) := v p (ar) eine sog. Bewertung von K definiert ist, d.h. eine Funktion v : K Z mit v(ab) = v(a) + v(b), v(a + b) min{v(a), v(b)}. Aufgabe 4: Sei R ein Dedekindring und a = r i=1 p n i i a R. die Primidealzerlegung von a) Konstruieren Sie mit dem Chinesischen Restsatz ein a R mit v pi (ar) = n i für alle i = 1,..., n. Folgern Sie a a. b) Zeigen Sie, dass ein Dedekindring mit nur endlich vielen Primidealen ein Hauptidealring ist.

4 Prof. Dr. Norbert Klingen Köln, 28. Oktober 2010 Übung 4 (Abgabe: Donnerstag, 4. November 2010, 10:00 Uhr) Aufgabe 1: Es seien K L zwei Zahlkörper und Z K bzw. Z L ihre Ganzheitsringe. Weiter sei ε Z K. Zeigen Sie: ε eine Einheit in Z L N L K (ε) eine Einheit in Z K. (Erinnerung/Hinweis: Die Norm N L K (x) von einem Element x L ist definiert als Determinante des Endomorphismus l x : L L, l x (a) = xa (Linksmultiplikation). Für eine separable Erweiterung gilt N L K (x) = σ(x), wobei σ die verschiedenen σ K-Einbettungen von L in einen algebraischen Abschluss K von K durchläuft.) Aufgabe 2: Sei D Z >0 eine quadratfreie Zahl und K bezeichne den imaginärquadratischen Zahlkörper Q( D). Weiter sei U K = Z K die Einheitengruppe seines Ganzheitsringes. Zeige, dass Z/4Z für D = 1, U K Z/6Z für D = 3, Z/2Z sonst. Aufgabe 3: Zeigen Sie folgende Äquivalenz: U K ist endlich K = Q oder K ein imag.-quadr. Zahlkörper. Aufgabe 4: Beweisen Sie folgende Aussage: Ein Gitter Γ R n ist genau dann vollständig, wenn der Quotient R n /Γ kompakt ist.

5 Prof. Dr. Norbert Klingen Köln, den 4. November 2010 Übung 5 (Abgabe: Donnerstag 11. November 2010, 10:00 Uhr) Wichtiger Hinweis: Mo , 10:00 Uhr Vorlesung Di , 10:00 Uhr Übung 1. a) Zeigen Sie, dass die Voraussetzung vol M > 2 n vol Γ des Minkowskischen Gitterpunktsatzes nicht abgeschwächt werden kann. b) Zeigen Sie, dass für kompakte Mengen M die Voraussetzung vol M 2 n vol Γ genügt. [Tipp: Verwenden Sie den Gitterpunktsatz für die Mengen M ε = (1 + ε)m (ε > 0) und zeigen Sie, dass M 1 n (Γ \ {0}) absteigende nicht-leere endliche Mengen sind.] c) Welche Modifikation von Hauptlemma (2.14) erhält man bei Verwendung von b)? 2. Sei K ein Zahlkörper. a) Zeigen Sie, dass für R K die folgenden Eigenschaften äquivalent sind: i) R ist die Ordnung eines Gitters auf K (eine Ordnung von K). ii) R ist Gitter auf K und Unterring von K. iii) R ZZ ist eine ganze Ringerweiterung und K = Quot(R). iv) R ist Unterring im Ganzheitsring Z K mit Quotientenkörper K. b) Es sei R eine Ordnung von K, I R die Gruppe der invertierbaren (!) Ideale von R sowie H R := {xr x K } die Untergruppe der gebrochenen Hauptideale von R. Begründen Sie, dass die Faktorgruppe endlich ist. c) Inwieweit ist die Aussage von (2.19) schärfer als b)? 3. Beweisen Sie die Eigenschaften des verallgemeinerten Gitterindexes (Proposition 2.18). 4. Es sei K = Q( 5) und R = Z K der Ganzheitsring. a) Zeigen Sie, dass weder 3 noch 7 Norm eines Elementes von R sind. b) Zeigen Sie, dass alle Faktoren der Zerlegungen 3 7 = ( )(1 2 5) in R unzerlegbar und paarweise nicht assoziiert sind, R also nicht faktoriell ist. c) Es sei α := Zeigen Sie, dass die Ideale p 1 = 3R + αr, p 2 = 3R + ᾱr, p 3 = 7R + αr, p 4 = 7R + ᾱr maximale Ideale in R sind [Tipp: Indexberechnungen] und dass sie verschieden sind. d) Bestimmen Sie die Primidealzerlegungen der (Hauptideale der) 4 Faktoren in b) und verifizieren daran die Eindeutigkeit der Primideal zerlegung in R.

6 Prof. Dr. Norbert Klingen Köln, den 11. November 2010 Übung 6 (Abgabe: Donnerstag 18. November 2010, 10:00 Uhr) 1. Es sei R = ZZ[ 3 2] und K der kubische Quotientenkörper. a) Bestimmen Sie Gitterbasen für die Gitter jr und j R. b) Bestimmen Sie die Volumina (der Grundmaschen) dieser Gitter. c) Berechnen Sie die Diskriminante von R mittels Lemma (2.12). d) Vergleichen Sie mit der Berechnung der Diskriminante gemäß Beweis von (1.13) c). 2. a) Zeigen Sie, dass die quadratischen Zahlkörper K = Q( D) mit D = 7, 3, 2, 1, 2, 3, 5, 13 die Klassenzahl 1 haben. [Tipp: Korollar (2.21)] Korrektur! Es sei ab jetzt K = Q( 5) und R = Z K. Wir setzen a = 2R und b = (1 + 5)R. b) Berechnen Sie die Normen N (a), N (b) und zeigen Sie N (ggt(a, b)) 2 (vgl. Satz (2.22)). c) Zeigen Sie 1 a + b und folgern Sie, dass es in R ein Ideal der Norm 2 gibt. d) Zeigen Sie, dass es in K kein ganzes Element der Norm 2 gibt. e) Folgern Sie, dass die Klassenzahl von K größer als 1 ist. 3. Sei K = Q( D) IR (D > 0 quadratfrei) ein reell-quadratischer Zahlkörper und w = x + y D w = x y D der nichttriviale Automorphismus von K. a) Begründen Sie, dass jede Einheit aus U K (eindeutig) darstellbar ist als ±ε n mit einer festen Grundeinheit ε. b) Wieviele Möglichkeiten zur Wahl einer Grundeinheit ε gibt es? Zeigen Sie, dass genau eine Grundeinheit ε > 1 ist. Welches sind die anderen? c) Zeigen Sie: ε Grundeinheit ε Grundeinheit. d) Zeigen Sie, dass die Grundeinheit ε > 1 eine Darstellung ε = 1 2 (a + b D) Korrektur mit a, b IN hat. [Tipp: Verwenden Sie Übung 1.1. für a, b ZZ und betrachten Sie dann alle Möglichkeiten für Grundeinheiten.]

7 Prof. Dr. Norbert Klingen Köln, 18. November 2010 Übung 7 (Abgabe: Donnerstag, 25. November 2010, 10:00 Uhr) Aufgabe 1: Es sei α über einem Körper k algebraisch und separabel und es sei K = k(α). Das Minimalpolynom von α über k sei f α und vom Grad n. Die Differente des Elements α ist definiert als δ K k (α) := f α(α), wobei f α die formale Ableitung von f α bezeichnet. Weiter ist die Diskriminante von α definiert durch d K k (α) := N K k (δ K k (α)). Zeigen Sie folgende Beziehung zwischen der Diskriminante von α und der Diskriminante der k-basis {1, α,..., α n 1 } von K: D(1, α,..., α n 1 ) = ( 1) n(n 1) 2 d K k (α). (Tipp: Darstellung von D(1, α,..., α n 1 ) durch die Vandermonde-Determinante.) Aufgabe 2: Sei D Z >0 quadratfrei und K der quadratische Zahlkörper Q( D). Der Ganzheitsring sei wie üblich Z K mit Einheitengruppe U K. a) Zeigen Sie: Für D 2, 3 mod 4 hat die Gleichung x 2 Dy 2 = 1 unendlich viele ganzzahlige Lösungen und für D 1 mod 4 hat die Gleichung x 2 Dy 2 = 4 unendlich viele ganzzahlige Lösungen. (Tipp: Betrachten Sie Normen von Elementen in U 2 K) b) Sei D 2, 3 mod 4. Sei b die kleinste natürliche Zahl, so dass Db 2 ± 1 ein Quadrat ist, also Db 2 ± 1 = a 2 mit a N >0. Zeigen Sie, dass a + b D die Grundeinheit > 1 von K ist. Entwickeln Sie einen ähnlichen Algorithmus für die Berechnung der Grundeinheit > 1 in Q( D) für D 1 mod 4. c) Bestimmen Sie die Grundeinheiten > 1 in Q( 2), Q( 3) und Q( 5). Aufgabe 3: Sei K = Q( D) ein quadratischer Zahlkörper mit D Z quadratfrei. Zeigen Sie für Primzahlen p. a) Ist p nicht träge in K, so ist D ein Quadrat in F p. b) Ist D 1 mod 4, so gilt auch die Umkehrung: p träge in K D ist kein Quadrat in F p. c) Ist p 2, so gilt ebenfalls die Umkehrung von a). d) Sei D = 5. Bestimmen Sie die Primidealzerlegung von 3, 5, 7, 13 in Z K.

8 Prof. Dr. Norbert Klingen Köln, 25. November 2010 Übung 8 (Abgabe: Donnerstag, 2. Dezember 2010, 10:15 Uhr) Aufgabe 1: a) Beweisen Sie das folgende Klassenzahl-1-Kriterium für algebraische Zahlkörper K vom Grade n mit der Signatur r, s: h K = 1 P P K ( N (P) n! n n ( 4 π b) Spezialisieren Sie auf quadratische Zahlkörper. ) s d K P ist Hauptideal.) Es sei im folgenden K ein quadratischer Zahlkörper. Zeigen Sie: c) Ist eine Primzahl p träge in K, so gibt es in K kein Ideal mit Norm p. d) Ist α Z K mit N K Q (α) = ±p Primzahl, so ist αz K ein Primideal über pz K und alle Primidealteiler von p sind Hauptideale. e) Zeigen Sie, dass Q( 7) die Klassenzahl 1 hat. Aufgabe 2: a) Sei K = Q( D 1, D 2 ) vom Grade 4 über Q. Zeigen Sie, dass keine Primzahl p in K träge ist. b) Sei K k eine galoissche Zahlkörpererweiterung vom Grad 6. Für ein p P k gelte pz K = P 2 mit P P K. Zeigen Sie, dass K k zyklisch ist. (Tipp: Zeigen Sie G(K k) S 3.) Aufgabe 3: Zeigen Sie unter den Voraussetzungen und mit den Bezeichnungen von Korollar (3.11): a) Der Zerlegungskörper L d von P ist der kleinste Teilkörper L von N k, so dass P P N das einzige Primideal über P L ist. b) Ist N k abelsch, so stimmen die Zerlegungskörper L d zu verschiedenen Primteilern P p eines p P k überein, und L d ist der größte Zwischenkörper L in N k, in dem p voll zerlegt ist. c) Formulieren Sie entsprechende Aussagen über den Trägheitskörper L i. Aufgabe 4: Sei R ein Dedekindring mit Quotientenkörper k, K k eine endlich separable Erweiterung und S der ganze Abschluss von R in K. Zeigen Sie: a) δ K k (a) a S S D K k. b) d K k (a) a S R d K k = N K k D K k.

9 Prof. Dr. Norbert Klingen Köln, 2. Dezember 2010 Übung 9 (Abgabe: Donnerstag, 9. Dezember 2010, 10:15 Uhr) Aufgabe 1: Sei k ein Zahlkörper und k K eine Erweiterung. Weiter sei { } PK k 1 p unverzweigt in K und = p P k p hat einen Primteiler P i in K mit f(p i p) = 1 und Zeigen Sie: Z K k = {p P k p vollzerlegt in K}. a) Ist K k galoissch, so gilt P 1 K k = Z K k. b) Ist f Z k [X] das Minimalpolynom eines ganzen primitiven Elementes für K k, so ist PK k 1 bis auf endlich viele Ausnahmen P (f) := {p P k a Z k : p f(a)}, die Menge der Primteiler (von Werten) von f. c) Geben Sie eine analoge Beschreibung für Z K k. Aufgabe 2: a) Zeigen Sie: Für ein nicht-konstantes Polynom f Z[X] ist die Menge unendlich. P (f) = {p Z p prim, p f(a) für ein a Z} (Tipp: Falls f ein absolutes Glied a 0 0 hat: Nehmen Sie an, dass P (f) endlich ist, also P (f) = {p 1,..., p r }. Mit c := p i betrachten Sie das Polynom f(ca 0 X) = a 0 g(x). Begründen Sie, dass g einen Primteiler q hat und dass dieser auch ein Primteiler von f ist. Führen Sie das zu einem Widerspruch.) b) In jeder galoisschen Erweiterung von Q sind unendlich viele Primzahlen voll zerlegt. c) In jedem Zahlkörper gibt es unendlich viele Primideale, deren Absolutnorm eine Primzahl ist. Aufgabe 3: Es sei K der quadratische Zahlkörper Q(i) und Z K sein Ganzheitsring. a) Finden Sie eine Verbindung zwischen Summen von Quadratzahlen m = a 2 + b 2 (a, b Z) und dem Ganzheitsring Z K. b) Zeigen Sie: Für eine Primzahl p 2 gilt: ( ) 1 p = x 2 + y 2 = 1 p 1 mod 4. p

10 Prof. Dr. Norbert Klingen Köln, 9. Dezember 2010 Übung 10 (Abgabe: Donnerstag, 16. Dezember 2010, 10:15 Uhr) Aufgabe 1: Zeigen Sie mit Hilfe von Übung 8, Aufgabe 1, dass die 9 imaginärquadratischen Zahlkörper K mit den Diskriminanten 3, 4, 7, 8, 11, 19, 43, 67 und 163 Klassenzahl 1 haben. Aufgabe 2: Für n N sei Q n = Q(µ n ) = Q(ζ n ) mit einer primitiven n-ten Einheitswurzel ζ n. Für m, n N sei v = kgv(m, n) und d = ggt(m, n). Zeigen Sie: a) ϕ(n)ϕ(m) = ϕ(d)ϕ(v). b) Q(ζ n )Q(ζ m ) = Q(ζ v ). c) (Q(ζ v ) : Q(ζ m )) = (Q(ζ n ) : Q(ζ n ) Q(ζ m )). d) Q(ζ m ) Q(ζ n ) = Q(ζ d ). (Tipp: Schauen Sie für b) und c) einmal in die Beweise von 4.9 bzw In d) ist eine Inklusion klar, die andere beweise man durch Vergleich der Körpergrade mit Hilfe von a).) Aufgabe 3: a) Berechnen Sie die Grade und Diskriminanten folgender Einheitswurzelkörper: Q(ζ 3 ), Q(ζ 4 ), Q(ζ 6 ), Q(ζ 8 ), Q(ζ 5 ), Q(ζ 15 ). Vergleichen Sie mit evtl. bereits bekannten Ergebnissen. b) Bestimmen Sie Ganzheitsbasen und Diskriminanten der biquadratischen Zahlkörper Q( 3, 7), Q( 3, 1), Q( 3, 1).

11 Prof. Dr. Norbert Klingen Köln, 16. Dezember 2010 Übung 11 (Abgabe: Donnerstag, 23. Dezember 2010, 10:15 Uhr) Aufgabe 1: Es sei K = Q(µ 15 ). a) Bestimmen Sie die in K verzweigten Primzahlen sowie deren Verzweigungsexponenten und Restklassengrad. (Tipp: Q(µ 3 ) und Q(µ 5 ) beachten.) b) Bestimmen Sie explizit die Zerlegung aller unverzweigten Primzahlen im Einheitswurzelkörper K = Q(µ 15 ), indem Sie i) die Struktur der primen Restklassengruppe P(15) ermitteln, ii) alle in dieser Gruppe auftretenden Elementordnungen berechnen, iii) alle möglichen Typen der Primzerlegung in K bestimmen, und dann iv) für jeden möglichen Zerlegungstyp explizit die Primzahlen ermitteln, die dieses Zerlegungsverhalten in K haben. Aufgabe 2: Beweisen Sie die in Bemerkung (4.13) formulierten Eigenschaften des Frobeniusautomorphismus. Aufgabe 3: a) Zeigen Sie für n, m N: Q(µ n ) Q(µ m ) n m n 2m, m ungerade. (Tipp: Übung 10.2 und Gradberechnungen.) b) Ist f Führer eines Kreiskörpers K, so gilt 2 f 4 f. c) Sei K Q(µ n ) und f der Führer von K, dann gilt f n. d) Ist f der Führer von Q(µ n ), so gilt p verzweigt in Q(µ n ) p f. Aufgabe 4: Bestimmen Sie explizit alle quadratischen Teilkörper K = Q( D i ) Q(µ 8 ) sowie deren Fixgruppen in P(8) G(Q(µ 8 ) Q).

12 Prof. Dr. Norbert Klingen Köln, 10. Januar 2011 Übung 12/13 (Abgabe: Donnerstag, 20. Januar 2011, 10:15 Uhr) Aufgabe 1: Bestimmen Sie explizit die Primzerlegung aller Primzahlen im biquadratischen Zahlkörper Q( 3, 5). Aufgabe 2: Bestimmen Sie für den quadratischen Zahlkörper K = Q( 15) explizit die Mengen der in K verzweigten bzw. voll-zerlegten bzw. trägen Primzahlen p. Aufgabe 3: a) Sei R ein kommutativer unitärer Ring. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen: i) In R gibt es genau ein maximales Ideal m R. ii) In R gibt es ein echtes Ideal, das alle echten Ideale von R enthält (das größte Ideal). iii) Die Menge der Nicht-Einheiten R \ R ist ein Ideal in R. Ein Ring, der diese äquivalenten Eigenschaften hat, wird lokaler Ring genannt. b) Es sei K = k(x) = Quot(k[X]) der Körper der rationalen Funktionen mit dem Konstantenkörper k. Es sei a k und R a = { f f, g k[x], g(a) 0} g der Ring der an der Stelle a definierten rationalen Funktionen. Zeigen Sie, dass R a ein lokaler Ring ist, dessen größtes Ideal m a ein Hauptideal ist und bestimmen Sie den Restklassenkörper R a /m a. Aufgabe 4: Sei k ein Körper und v : k Z eine diskrete Bewertung auf k, d.h. v(ab) = v(a) + v(b) und v(a + b) min{v(a), v(b)} (vgl. Übung 3.3.). Wir schließen v(k ) = {0} aus und vereinbaren ergänzend v(0) =. Wir setzen dann R v := {x k v(x) 0}. Man nennt einen solchen Ring einen diskreten Bewertungsring. Zeigen Sie: a) R v ist ein lokaler Ring mit größtem Ideal p v = {x k v(x) > 0} und Einheitengruppe (R v ) = {x k v(x) = 0}. Im folgenden sei die Bewertung normiert, d.h. v(k ) = Z. b) Wählt man π R v mit v(π) = 1, so lässt sich jedes r R v eindeutig darstellen als r = ε π n mit ε R v und n N. c) Ist 0 a R v und m = min v(a), so gilt a = π m R v. d) Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen für Ringe R:

13 i) R ist ein diskreter Bewertungsring. ii) R ist ein Hauptidealring mit nur einem maximalen Ideal. iii) R ist ein Dedekindring mit nur einem Primideal 0.

14 Prof. Dr. Norbert Klingen Köln, den 20. Januar 2011 Übung 14 (Abgabe: Donnerstag 27. Januar 2011, 10:15 Uhr) 1. Es sei R ein Dedekindring und p 1,..., p r verschiedene Primideale 0 in R. a) Zeigen Sie, dass T = R \ r i=1 p i eine multiplikative Teilmenge von R ist. b) Zeigen Sie für Primideale q 0: r q p i = i=1 r q = p i. i=1 [Tipp: Indirekter Beweis mit dem Chinesischen Restsatz.] c) Bestimmen Sie die Primideale des Quotientenringes R T = T 1 R und zeigen Sie, dass R T ein Hauptidealring ist. d) Zeigen Sie: r R T = R (pi ). 2. Es sei k ein diskret bewerteter Körper mit der dadurch induzierten Topologie. a) Zeigen Sie: i=1 (a n ) cauchykonvergent lim n+1 a n ) = 0, n a n cauchykonvergent lim n = 0, n n=0 Jede Umordnung einer konvergenten Reihe ist konvergent. b) Sei Q p der p-adische Zahlkörper. Begründen Sie die Konvergenz und berechnen Sie i) lim n pn, ii) (p 1)p n, iii) p n. n=0 3. Sei v eine normierte diskrete Bewertung eines Körper k. Es sei R R v ein beliebiges Repräsentantensystem des Restklassenkörpers k = R v /p v mit 0 R. Weiter seien für alle n ZZ beliebige Elemente π n k mit v(π n ) = n vorgegeben. Zeigen Sie: a) Jedes Element x k lässt sich eindeutig als eine konvergente Reihe darstellen. x = n=0 α j π j mit r ZZ, α j R, α r 0 j=r

15 b) Ist k zusätzlich vollständig, so ist jede derartige Reihe konvergent und stellt somit ein Element von k dar. 4. Es sei Q p der p-adische Zahlkörper mit seinem Bewertungsring ZZ p und D ZZ quadratfrei. a) Zeigen Sie: x 2 = D lösbar in Q p x 2 = D lösbar in ZZ p = x 2 = D lösbar in IF p. Wir wollen im Falle 2 p D die letzte Implikation umkehren: b) Gegeben sei a 0 ZZ mit a 2 0 D mod p. Begründen Sie p a 0 und zeigen Sie damit, dass ein a 1 ZZ existiert (eindeutig modulo p) mit (a 0 + a 1 p) 2 D mod p 2 : a 2 0 D mod p =! 0 a 1 <p (a 0 + a 1 p) 2 D mod p 2. c) Folgern Sie nun induktiv die Existenz von 0 a j < p mit d) Zeigen Sie mit diesen a j : s 2 n := (a 0 + a 1 p a n p n ) 2 D mod p n+1. x := a j p j Q p und x 2 = D. j=0 e) Folgern Sie nun für 2 p D: D Qp ( ) D = +1. p [Tipp zu b),c): Rechnen Sie parallel ein konkretes Beispiel, etwa p = 7, D = 2.]