Algebraische Zahlentheorie

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1 Norbert Klingen Algebraische Zahlentheorie Köln WS 2010/11

2 Inhalt Einleitung ii 1 Algebraische ganze Zahlen a. Ganzheit b. Ganzheitsringe c. Dedekindringe d. Teilbarkeit Die Endlichkeitssätze a. Die Klassengruppe b. Die Einheitengruppe c. Reelle Gitter d. Der Konjugiertenraum e. Endlichkeit der Klassenzahl f. Der Logarithmenraum Primzerlegung in Erweiterungskörpern a. Verzweigungsindex und Restklassengrad b. Hilbertsche Theorie c. Verzweigung d. Differente und Diskriminante Zerlegungsgesetze a. Polynomzerlegungsgesetz von Kummer-Dedekind b. Quadratische Zahlkörper c. Einheitswurzelkörper d. Primzerlegung und der Frobeniusautomorphismus e. Kreiskörper Lokale Theorie a. Quotientenringe b. Lokalisierung c. Komplettierung d. Lokale Verzweigung e. Lokale Differente i

3 Einleitung Gegenstand der Algebraischen Zahlentheorie im engeren Sinne ist die Arithmetik algebraischer Zahlkörper, und das meint die Untersuchung des Ringes der ganzen Zahlen in diesen Körpern. Im Rahmen der Untersuchungen kommen zwangsläufig weitere Körperklassen in den Blick, die sog. globalen und ihre lokalen Körper. Ein algebraischer Zahlkörper ist eine endlich-algebraische Erweiterung des Körpers Q der rationalen Zahlen. Dieser enthält einen ausgezeichneten Unterring, den Ring der ganzen algebraischen Zahlen, der in Analogie zum Ring ZZ der gewöhnlichen (rationalen) ganzen Zahlen steht. Diesen Ring in all seinen Facetten zu analysieren und zu verstehen, ist das Ziel der algebraischen Zahlentheorie. Ausgangspunkt für die Entwicklung dieses Gebietes waren die sog. diophantischen Gleichungen, das sind (im ursprünglichen Sinne) Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten, für die ganzzahlige Lösungen gesucht sind. Ich möchte hier nur zwei Serien dieser Gleichungen nennen, die entscheidend die Entwicklung der algebraischen Zahlentheorie in Gang gesetzt haben. Die Untersuchung quadratischer diophantischer Gleichungen, etwa der sog. Pellschen Gleichung x 2 + dy 2 = 1, waren Gegenstand von Gauss grundlegender Abhandlung Disquisitiones Arithmeticae 1801, die man als die Geburt der algebraischen Zahlentheorie ansehen kann, wobei dort allerdings im wesentlichen nur quadratische Zahlkörper und ihre Arithmetik im Fokus standen. Die Untersuchung etwa der Fermat-Gleichung x n + y n = z n führte nach der Lösung der ersten Einzelfälle mit Mitteln der elementaren Zahlentheorie des Ringes ZZ (Kongruenzrechnungen im Ring ZZ) sehr bald auf die Einheitswurzelkörper Q(ζ n ) und deren Ganzheitsringe. Dies war Kummers Ansatz zu einer allgemeinen Lösung des Problems, der zwar nicht zur vollständigen Lösung führte, doch zum Beweis des Fermatschen Satzes für unendlich viele (Primzahl-)Exponenten. Schlüssel war dabei die Analyse der Ganzheitsringe ZZ[ζ p ] der p-ten Einheitswurzelkörper (p ungerade Primzahl). Im Laufe der Zeit führte dies immer tiefer in die Untersuchung solcher Ganzheitsringe und damit zur Entwicklung der algebraischen Zahlentheorie in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts. Durch die weitere Entwicklung in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts (Klassenkörpertheorie, Lokal-Global-Prinzip) ist die algebraische Zahlentheorie zu einem umfassenden, intensiv durchdrungenen Theoriegebäude angewachsen, das mit vielen mathematischen Disziplinen eng verwoben ist (kommutative Algebra, Funktionentheorie, algebraische Geometrie). Die Verbindung zur algebraischen Geometrie hat durch deren Entwicklung in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts (Geometrie über beliebigen Körpern und schließlich über Ringen) zu einem heute Arithmetische Geometrie genannten eigenen Gebiet der Mathematik geführt. Diesem Gebiet sind die herausragenden Ergebnisse der letzten 20 Jahre, wie etwa der Beweis der Mordellschen Vermutung (Gerd Faltings 1983, Fields Medaille 1986) oder der Beweis von Fermats Letztem Satz (Andrew Wiles 1995) zuzuschreiben. Unser Ziel in dieser Vorlesung ist dagegen vergleichsweise bescheiden. Hier sollen zunächst die klassischen Grundlagen der algebraischen Zahlentheorie gelegt werden. Dabei werde ich den algebraischen Standpunkt betonen und so die Voraussetzungen auf die Kenntnisse der Algebra beschränken können. Dennoch ist genug zu tun, da der notwendige Begriffsapparat und die erforderlichen Methoden auch im Grundlagenbereich bereits vielfältig sind. Dies macht für den Einsteiger Mühe, stellt aber zugleich den besonderen Reiz dieses Teilgebietes der Mathematik dar. ii

4 1 Algebraische ganze Zahlen (1.1) Definition: a) Ein algebraischer Zahlkörper ist eine endliche Körpererweiterung K von Q. b) Sein Ganzheitsbereich Z K besteht aus allen Elementen a K, die ganz sind über ZZ (siehe unten). a. Ganzheit. Wir betrachten im Folgenden ausschließlich kommutative Ringe mit Einselement. Eine Ringerweiterung S R sei stets unitär, d. h. mit gleichem Einselement. (1.2) Definition: Sei S R eine Ringerweiterung. Wir definieren: a) a S ist ganz über R : a ist Wurzel eines normierten Polynoms f mit Koeffizienten in R. Ein solches Polynom wird auch eine ganze Gleichung für a genannt. b) S R ist eine ganze Ringererweiterung : alle a S sind ganz über R. (1.3) Satz: Für eine Ringerweiterung S R und a S sind äquivalent: i) a ist ganz über R. ii) Der von R und a erzeugte Unterring R[a] von S ist als R-Modul endlich-erzeugt, d. h. es gibt w 1,..., w m R[a] mit R[a] = w 1,..., w m R := m Rw i. iii) Es gibt einen endlich erzeugten R-Untermodul R M S mit am M. iv) Es gibt einen treuen R[a]-Modul M, der als R-Modul endlich erzeugt ist. (Ein Modul ist treu, wenn die Darstellung des Ringes durch Linksmultiplikation treu, d. h. injektiv ist: dm = (0) = d = 0 für alle d R[a].) Beweis i) ii): Es gilt a n = n 1 i=0 r ia i mit den Koeffizienten r i R (i=0,..., n 1) des gemäß i) gegebenen Polynoms f. Damit ist jede R-Linearkombination von beliebigen Potenzen a j (j IN) von a bereits als Linearkombination der a i (i=0,..., n 1) darstellbar, d.h. n 1 R[a] = Ra i ist endlich erzeugt über R. ii) iii): M = R[a] erfüllt alle Forderungen. iii) iv): Ein R-Modul M, der invariant unter Linksmultiplikation mit a ist, ist ein R[a]- Modul bzgl. der Linksmultiplikation in S. Da S ein Integritätsbereich ist, ist die Operation durch Linksmultiplikation treu. iv) i): Sei w 1,..., w m irgendein R-Erzeugendensystem von M. Da a auf M operiert, existieren r ij R (i, j =1,..., m) mit a.w i = i=0 m r ij w j für alle i. j=1 Mit der Matrix A = (r ij ) i,j M m (R) M m (R[a]) sowie der m-reihigen Einheitsmatrix E bedeutet dies w 1 0 (a.e A). =... w m 0 Multipliziert man diese Gleichung mit der Adjungierten B von B = (ae A), so ergibt sich aus B B = det B E: det B w i = 0 für alle i. 1

5 det B R[a] annulliert also ganz M. Da M ein treuer R[a]-Modul ist, muss 0 = det B = det(ae A) sein. Damit ist a Wurzel des charakteristischen Polynoms det(xe A) von A, das normiert ist und wie A seine Koeffizienten in R hat. (1.4) Korollar: a) Sei S R eine Ringerweiterung. Dann sind äquivalent: i) a 1,..., a n S sind ganz über R. ii) R[a 1,..., a n ] ist als R-Modul endlich erzeugt. iii) R[a 1,..., a n ] R ist ganz. b) (Transitivität der Ganzheit) Für Ringerweiterungen T S R sind äquivalent: i) T S und S R ganze Ringerweiterungen ii) T R ganze Ringerweiterung. Beweis: a) i) ii) folgt induktiv aus (1.3): Induktionsanfang n = 0 ist klar. Sei n 1. Da a n ganz ist über R, also erst recht über R n 1 := R[a 1,..., a n 1 ], gilt gemäß (1.3) ii): R n 1 [a n ] ist endlich erzeugter R n 1 -Modul. Nach Induktionsvoraussetzung ist R n 1 als R-Modul endlich erzeugt und folglich ist auch R[a 1,..., a n ] = R n 1 [a n ] = R n 1 w i = Ru j w i i i j ein endlich erzeugter R-Modul. ii) iii): Der endlich erzeugte R-Modul M := R[a 1,..., a n ] S ist invariant unter allen a R[a 1,..., a n ], also ist jedes derartige a ganz über R (gemäß (1.3) iii)). iii) i) ist eine logische Abschwächung. ad b): ii) i) ist eine logische Abschwächung. i) ii): Sei a T. Dann ist a ganz über S. Sind c 0,..., c n S die Koeffizienten einer ganzen Gleichung für a, so ist a ganz über S := R[c 0,..., c n ], also S [a] = k S w k endlich erzeugter S -Modul. Da die c i S S ihrerseits ganz sind über R, ist nach a) S = R[c 0,..., c n ] = j Ru j ein endlich erzeugter R-Modul. Insgesamt wird damit S [a] = k j Ru jw k ein endlich erzeugter R-Modul, so dass gemäß a) ii) das Element a T ganz ist über R. (1.5) Definition: Sei S R eine Ringerweiterung. a) Der ganze Abschluss von R in S ist die Menge der über R ganzen Elemente von S. b) Ein Ring R heißt ganz-abgeschlossen in S genau dann, wenn jedes über R ganze Element von S bereits zu R gehört, m.a.w. wenn R mit seinem ganzen Abschluss in S übereinstimmt. (1.4) Korollar (Fortsetzung): c) Der ganze Abschluss eines Ringes ist selbst ein Ring. d) Der ganze Abschluss ˆR von R in S ist ganz-abgeschlossen in S. e) Ist S R eine Ringerweiterung und σ : S T ein Ringhomomorphismus, so gilt: a S ganz über R = σa ganz über σr. Insbesondere liegt σ ˆR im ganzen Abschluss σr von σr in σs. Beweis: c) Aufgrund von (1.4) a) gilt: a, b ganz über R = R[a, b] R ganz = a ± b, a b ganz über R. d) folgt aus der Transitivität der Ganzheit ((1.4) b)). e) Da σ unitär ist, überträgt σ eine ganze Gleichung für a in eine für σa. Die bisherigen Begriffe und Resultate gelten insbesondere für beliebige Integritätsbereiche R S (sie haben notwendig dasselbe Einselement). Für diese definieren wir zusätzlich (1.6) Definition: Ein Integritätsbereich R heißt ganz-abgeschlossen (schlechthin, ohne Bezug auf einen Erweiterungsring), wenn er in seinem Quotientenkörper ganz-abgeschlossen ist. 2

6 (1.7) Bemerkung: Der ganze Abschluss eines Integritätsbereiches in irgendeinem Erweiterungskörper ist ganz-abgeschlosssen. (1.8) Satz: Faktorielle Ringe sind ganz-abgeschlossen. Beweis: Sei R faktoriell und a b ein über R ganzes Element des Quotientenkörpers, also a, b R, b 0. Da R faktoriell ist, können o. E. a, b als teilerfremd vorausgesetzt werden. Wegen der Ganzheit gibt es dann geeignete a 0,..., a n 1 R mit n 1 a i a i b i + an n 1 b n = 0 i=0 i=0 a i a i b n i + a n = 0. Wäre nun a b kein Element in R, so gäbe es einen Primteiler p von b und folglich wäre auch n 1 a n = a i a i b n i i=0 durch p teilbar (da stets n i > 0 ist). Damit wäre auch a selbst ein Vielfaches von p im Widerspruch zur Annahme, dass a, b teilerfremd sind. Für ganz-abgeschlossene Integritätsbereiche haben wir noch die folgende recht nützliche Charakterisierung der Ganzheit: (1.9) Proposition: Seien R S Integritätsbereiche und R ganz-abgeschlossen mit Quotientenkörper K. Dann sind für a S äquivalent: i) a ist ganz über R. ii) a ist algebraisch über K und das Minimalpolynom f a,k hat Koeffizienten in R. Beweis: ii) i) ist eine logische Abschwächung, da das Minimalpolynom definitionsgemäß normiert ist. i) ii): Sei g R[X] normiert mit g(a) = 0 gemäß i). Dann ist a natürlich algebraisch über K und das Minimalpolynom f von a über K teilt g. Also ist jede Wurzel von f (in irgendeinem Zerfällungskörper) auch Nullstelle von g und daher ganz über R. Damit sind auch die Koeffizienten des Minimalpolynoms f ganz über R, da sie sich als die elementarsymmetrischen Polynome der ganzen Wurzeln von f berechnen. f hat also Koeffizienten in K, die ganz sind über R, wegen der Ganzabgeschlossenheit also in R liegen. b. Ganzheitsringe. Von besonderem Interesse für uns sind die Ganzheitsringe Z K in algebraischen Zahlkörpern K. Gemäß Definition ist Z K der ganze Abschluss von ZZ in K, also eine ganze Ringerweiterung von ZZ und selbst ganz-abgeschlossen. Der Körper K ist Quotientenkörper von Z K, genauer gilt folgende (1.10) Bemerkung: Es sei S der ganze Abschluss eines Integritätsbereiches R in einem algebraischen Erweiterungskörper L von R. Dann ist jedes x L darstellbar als x = a mit a S und b R. Insbesondere ist L der Quotientenkörper von S und S enhält b eine Basis von L über dem Quotientenkörper von R. Beweis: Sei f das Minimalpolynom von x über K, dem Quotientenkörper von R, und b R ein gemeinsamer Nenner der Koeffizienten von f. Durch Multiplikation der Gleichung 0 = f(x) mit b d, d = deg f, erhält man eine ganze Gleichung für bx über R, also a := bx S. 3

7 Die erste wichtige Aussage zur Struktur der Ganzheitsringe liefert (1.11) Hauptsatz: Sei K ein algebraischer Zahlkörper. Dann ist der Ganzheitsring Z K ein freier ZZ-Modul vom Rang n = (K: Q), d.h. es existieren a 1,..., a n Z K, so dass sich jedes Element b Z K eindeutig als ZZ-Linearkombination der a i darstellen lässt. Solch eine ZZ-Basis von Z K nennt man auch eine Ganzheitsbasis von K. Wichtiges Hilfsmittel für den Beweis ist die Diskriminante von Körperbasen. (1.12) Definition: Sei K k eine endliche separable Körpererweiterung und a 1,...a n eine k-basis von K. Dann definiert man die Diskriminante dieser Basis durch D(a 1,..., a n ) := ( det(σ i a j ) ) 2 wobei σ i : K K (i = 1,..., n) die verschiedenen k-monomorphismen von K (in eine algebraisch abgeschlossene Hülle von K) durchläuft. (Die Separabilität garantiert, dass die Matrix tatsächlich quadratisch ist.) (1.13) Proposition: Unter den Voraussetzungen von (1.12) gilt: a) Es ist D(a 1,..., a n ) = det ( Sp K k (a i a j ) ) ein Element des Grundkörpers k. b) Bei Wechsel der Basis ändert sich die Diskriminante um ein Quadrat aus k, genauer: Sind (a i ) und (b j ) zwei k-basen von K und T GL n (k) die Übergangsmatrix: n b i = t ij a j j=1 (t ij k), so gilt D(b 1,..., b n ) = (det T ) 2 D(a 1,..., a n ). c) Diskriminanten von Basen sind stets 0. d) Ist k der Quotientenkörper von R und sind alle a i ganz über R, so ist D(a 1,..., a n ) ganz über R. Beweis: a)/d) Ist M = (σ i a j ) ij M n (k) die in der Definition der Diskriminante auftretende Matrix. Dann gilt (det M) 2 = det(m t M) und für die Koeffizienten c ik der Matrix C = M t M gilt: c ik = n σ j (a i ) σ j (a k ) = j=1 n σ j (a i a k ) = Sp K k (a i a k ). j=1 Als Spur von a i a k liegen die Koeffizienten von C in k und die Determinante folglich auch. Sind nun (wie in d) vorgegeben) die a i ganz über R, so sind die a i a k und folglich auch deren Spuren sowie die Diskriminante ganz über R, liegen also in k S = R, da R ganzabgeschlossen ist. b) Die Koeffizienten t ij von T bleiben unter den k-monomorphismen σ k fest, also gilt (σ k b i ) i = T (σ k a j ) j und folglich D(b 1,..., b n ) = (det T ) 2 D(a 1,..., a n ), d. h. die Diskriminanten unterscheiden sich um das Determinantenquadrat der regulären Übergangsmatrix T. c) Die separable Erweiterung K k besitzt ein primitives Element: K = k(a) = k[a]. Daher bilden die Potenzen a l (l = 0,..., n 1) von a eine k-basis von K und man berechnet die Diskriminante D(1, a,..., a n 1 ) als Quadrat der Vandermonde-Determinante der σ i (a) (,..., n): D(1, a,..., a n 1 ) = ( det(σ i a l ) 2 ) il = (σ i (a) σ j (a)) 2. 4 i<j

8 Da a die Körpererweiterung K k erzeugt, sind die σ i a (i = 1,..., n) verschieden und die Diskriminante D(1, a,..., a n 1 ) 0. Gemäß b) ist dann jede Diskriminante einer k-basis von K ungleich 0. Anmerkung: Im Hinblick auf Übung 2.4. sei daran erinnert, dass die Spur im körpertheoretischen Sinne auch als Spur einer Matrix/linearen Abbildung beschrieben werden kann. Ein a K operiert auf K durch Linksmultiplikation und bestimmt so einen k- Endomorphismus l a : K K bzw. bzgl. einer k-basis von K eine Matrix L a M n (k). Es gilt Sp K k (a) = Spur(l a ) = Spur(L a ) Summe der Hauptdiagonalelemente. Analog gilt für die Norm N K k (a) = det l a = det L a. Diese Beschreibungen von Spur und Norm machen auch für eine endlich dimensionale kommutative k-algebra K Sinn. Wir kommen nach diesen Vorbereitungen nun zurück zum Beweis des Hauptsatzes (1.11). Die gesuchte ZZ-Basis von Z K ist natürlich auch eine Q-Basis von K. Wir betrachten nun nur Q-Basen a 1,..., a n von K, die in Z K liegen. Diese existieren gemäß Bemerkung (1.10), und ihre Diskriminanten D(a 1,..., a n ) = det( a i, a j ) 0 sind dann gemäß (1.13) d) ganz, liegen also in ZZ (ZZ ist ganzabgeschlossen). Es existiert somit unter allen Q-Basen von K aus ganzen Elementen (mindestens) eine, deren Diskriminante minimalen Betrag hat. (1.14) Lemma: Ist unter allen in Z K liegenden Q-Basen von K a 1,..., a n eine mit minimalem Diskriminantenbetrag, dann ist sie eine ZZ-Basis von Z K. Beweis: Es ist nur zu zeigen, dass sie ein ZZ-Erzeugendensystem von Z K ist. Sei also a Z K beliebig und n a = q i a i (q i Q) die Basisdarstellung von a bezüglich der Q-Basis a i (i = 1,..., n) von K. Wäre q 1 ZZ, also q 1 = c 1 + r 1 mit c 1 ZZ, r 1 Q, 0 < r 1 < 1, so betrachtet man folgende neue Q-Basis b 1,..., b n von K: b 1 := a c 1 a 1 = r 1 a 1 + b i := a i für i 1. n q i a i, Die b i sind ebenfalls ganz, und sie bilden eine Q-Basis von K, da die Übergangsmatrix i=2 r 1 q 2... q n T = von der alten zur neuen Basis offenbar die Determinante r 1 0 hat. Damit berechnet sich die Diskriminante gemäß (1.13) b) gerade als D(b 1,..., b n ) = r 2 1 D(a 1,..., a n ). Wegen r 1 < 1 steht dies im Widerspruch zur Minimalität von D(a 1,..., a n ). 5

9 Es folgt also, dass alle q i in ZZ liegen und somit die a i ein ZZ-Erzeugendensystem von Z K bilden. Als Q-Basis von K sind die a i natürlich ZZ-linear-unabhängig und bilden so eine ZZ-Basis von Z K. (1.15) Korollar/Definition: Alle Ganzheitsbasen eines algebraischen Zahlkörpers K haben dieselbe Diskriminante. Man nennt sie die Diskriminante von K und bezeichnet sie mit d K. Beweis: Die Übergangsmatrix T zwischen zwei Ganzheitsbasen von K, also zwei ZZ- Basen von Z K, hat ganzzahlige Koeffizienten und ihre Inverse auch. Damit ist det T eine Einheit in ZZ und folglich (det T ) 2 = 1. Also stimmen die Diskriminanten von Ganzheitsbasen (gemäß (1.13) b)) überein. Man kann nun (1.14) leicht übertragen auf alle Ideale von Z K : (1.16) Proposition: Sei Z K der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers K und 0 a Z K ein nichttriviales Ideal. Dann gilt: a) a ist freier ZZ-Modul vom Rang n = (K: Q). b) Eine Q-Basis in a mit minimalem Diskriminantenbetrag ist ZZ-Basis von a. Ihre Diskriminante ist eindeutig und wird Diskriminante von a genannt. Der Beweis verläuft analog zum Beweis von Lemma (1.14), sobald eine Q-Basis von K in a existiert. Wegen a 0 und der Ganzheit von Z K ZZ ist auch a ZZ 0 (siehe Übung 1.2.). Ist nun x 1,..., x n irgendeine Q-Basis von K, y i = cx i eine Q-Basis in Z K (vgl. (1.10)), so erhält man daraus nach Multiplikation mit 0 d a ZZ eine Q-Basis dy 1,..., dy n in a. Der Ring ZZ der ganzen Zahlen ist ein Hauptidealring und daher auch ein faktorieller Ring. Diese Eigenschaften gelten nun i. a. nicht für die Ganzheitsringe Z K in beliebigen algebraischen Zahlkörpern. Jedoch gibt es in diesen Ringen einen Ersatz für die eindeutige Primelementzerlegung, nämlich die eindeutige Primidealzerlegung. Ausgangspunkt sind die folgenden drei Eigenschaften eines Ganzheitsringes, die sich leicht aus unseren bisherigen Resultaten ergeben. Vereinbarung: Primideale sind stets echte Ideale. (1.17) Satz: Ist Z K der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers K, so gilt: 1) Z K ist ganzabgeschlossener Integritätsbereich. 2) Z K ist Noethersch, d. h. jedes Ideal ist endlich erzeugt. 3) Jedes Primideal 0 p von Z K ist maximal. Beweis: 1) ist klar nach Bemerkung (1.7). 2) ist in (1.16) enthalten. ad 3): Sei (0) p ein Primideal von Z K und m ein maximales Ideal von Z K mit p m. Dann gilt für den Schnitt mit ZZ wegen 1 m: p ZZ m ZZ Z. und beides sind Primideale in ZZ. Da nach Übung 1.2. p ZZ (0) ist, gibt es eine Primzahl p mit pzz = p ZZ = m ZZ. Sei nun a m beliebig und 0 = c 0 + a d c ia i 1 die minimale Gleichung für a über Q. Deren Koeffizienten sind ganz, da a ganz ist. Das Ideal m enthält a, also folgt c 0 = a d c i a i 1 m ZZ = p ZZ p. 6

10 Wäre nun a nicht in p, so folgte aus der Primidealeigenschaft von p d c i a i 1 p. Induktiv schließt man nun weiter, dass alle c i zu p ZZ = pzz gehören müssten, aber c d = 1, ein Widerspruch. Also a p für alle a m. c. Dedekindringe. Die drei Eigenschaften von Satz (1.17) charakterisieren die sog. Dedekindringe. Wir wollen nun die beiden wichtigen Eigenschaften der Dedekindringe erarbeiten, die eindeutige Primidealzerlegung bzw. die Invertierbarkeit aller Ideale. Für das letztgenannte Konzept und die Beweise, dass alle drei Beschreibungen äquivalent sind, benötigen wir den Begriff der gebrochenen Ideale. (1.18) Definition: Sei R ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper K. Ein gebrochenes Ideal von R ist ein R-Untermodul a (0) von K, für den ein c K existiert mit ca R. Ohne Einschränkung kann 0 c R gewählt werden, denn ist c = a mit a, b R, so b gilt ca R = aa = bca R. Da ca ein R-Untermodul von R, d. h. ein Ideal in R ist, sind die gebrochenen Ideale gerade die Mengen a = 1 c b mit einem Ideal 0 b R und 0 c R. (Dies erklärt auch die Namensgebung.) Im Kontrast zu den hier definierten gebrochenen Idealen nennt man die (gewöhnlichen) Ideale von R dann oft auch ganze Ideale von R. (1.19) Bemerkung: Endlich erzeugte R-Untermoduln 0 von K sind gebrochene Ideale von R, und für Noethersche Integritätsbereiche R gilt auch die Umkehrung. (1.20) Bemerkung: a) Die R-Untermoduln von K bilden bzgl. der Modulmultiplikation A B = a b a A, b B R = { n r i a i b i n IN, a i A, b i B} eine kommutative Halbgruppe mit Einselement R. b) Die gebrochenen Ideale bilden darin eine Unter-Halbgruppe mit demselben Einselement; sie wird mit I R bezeichnet. Nun können wir das zentrale Ergebnis dieses Abschnittes formulieren, die folgende umfassende Charakterisierung von Dedekindringen: (1.21) Hauptsatz: Ein Dedekindring ist ein Integritätsbereich R, der die folgenden drei äquivalenten Eigenschaften i) iii) hat: i) R ist ganzabgeschlossen, Noethersch und jedes Primideal p 0 ist maximal. ii) Jedes gebrochene Ideal von R ist invertierbar. [Zusatz: Die Halbgruppe I R der gebrochenen Ideale von R ist die freie abelsche Gruppe mit der Menge P R aller Primideale 0 (bzw. aller maximalen Ideale) von R als Basis.] iii) Jedes Ideal 0 a R ist (bis auf die Reihenfolge) eindeutig als Potenzprodukt von maximalen Idealen von R darstellbar: a = p vp(a), v p (a) IN, v p (a) = 0 für fast alle p, p max Beweis i) ii): Man muss also für ein gebrochenes Ideal a von K ein Inverses finden, d.h. ein gebrochenes Ideal a mit a a = R. 7

11 Es gibt dafür nur einen Kandidaten, nämlich den sog. Transporteur [R: a] := { x K x a R }. Sei nämlich a ein solches Inverses. Offensichtlich ist dann a in [R: a] enthalten. Umgekehrt folgt aus x a R durch Multiplikation mit a sofort x R a. Zunächst einmal ist dieser Kandidat [R: a] tatsächlich ein gebrochenes Ideal, denn es gilt allgemein (1.22) Lemma: Sei R ein Integritätsbereich. Dann ist für zwei gebrochene Ideale a, b von R der Transporteur [b: a] := {x K xa b} wieder ein gebrochenes Ideal. Beweis: Zunächst ist [b: a] ein R-Modul und aufgrund der Definition gebrochener Ideale existieren a, b, c, d K mit a a, b b, c a R, d b R. Daraus folgt dann bca br b, also 0 bc [b: a] da [b: a] db R mit da 0. (1.23) Lemma: Ist R ein Noetherscher Integritätsbereich, so enthält jedes Ideal a (0) von R ein Produkt von Primidealen 0. Beweis: Da R noethersch ist, besitzt jede nicht-leere Menge von Idealen von R ein maximales Element (Lemma von Zorn). Gälte also die Behauptung (1.23) nicht, so gäbe es ein Ideal a (0) maximal mit der Eigenschaft: a enthält kein Produkt von Primidealen 0. Insbesondere ist a dann selbst kein Primideal, so dass b, c R existieren mit bc a, aber b, c / a. Damit sind die Ideale b = a + b R und c = a + c R echte Oberideale von a und enthalten aufgrund der Maximalitätsanforderung an a jeweils Produkte von Primidealen 0. Dann enthält natürlich auch b c ein Produkt von Primidealen 0, im Widerspruch zu b c a. (1.24) Hilfssatz: Der Integritätsbereich R erfülle (1.21) i). Dann ist jedes Primideal p 0 von R invertierbar; das Inverse p 1 ist der Transporteur [R: p]. Beweis: Sei p := [R: p]. Per definitionem gilt p p R und wegen p R ist 1 p und es folgt p pp R. Da p maximal ist, muss entweder p = pp oder pp = R gelten. Annahme: p = pp. Dann gilt für jedes c p : c p p. Da p ein endlich erzeugter R-Modul 0 ist, ist c gemäß Satz (1.3) iii) ganz über R, liegt also im ganzabgeschlossenen Ring R. Damit folgt p R. Wegen p R gilt R p und es folgt p = R. Dies führen wir nun zum Widerspruch und es folgt dann p p = R, die Behauptung. Sei 0 a p und (gemäß (1.23)) p 1,..., p r Primideale 0 von R mit p 1... p r a R p. 8

12 O. E. sei r minimal gewählt. Es ist r 1, da sonst R a R p. Da p ein Primideal ist, muss es eines der Ideale p i umfassen, und dann wegen der Maximalität der p i mit diesem übereinstimmen. Sei o.e. p 1 = p. Wegen der Minimalität von r gilt Wählt man nun so ist p 2... p r a R. b p 2... p r, b a R, b p = b p 1 p 1 p 2... p r ar, und damit ba 1 p \ R, im Widerspruch zu p R. (1.25) Hilfssatz: Der Integritätsbereich R erfülle (1.21) i). Dann ist jedes ganze Ideal 0 a R darstellbar als Produkt von Primidealen 0. Beweis: Angenommen, dies wäre falsch. Dann betrachten wir, ähnlich wie im Beweis von (1.23) ein ganzes Ideal a 0, das maximal ist mit der Eigenschaft a ist nicht als Produkt von Primidealen darstellbar. Insbesondere ist a R, also enthalten in einem maximalen Ideal p: a p. Nach (1.24) ist p invertierbar und wegen p =R gilt R =p 1 (siehe auch Übung 3.2.). Also folgt a a p 1. Wäre nun a = a p 1, so wäre wieder jedes Element von p 1 ganz (Satz (1.3), a ist ein endlich erzeugter R-Modul, invariant unter allen c p 1 ). Damit ergäbe sich der Widerspruch p 1 R. Also muss a echt in a p 1 enthalten sein. Aufgrund der Maximalität von a ist a p 1 nun als Produkt von maximalen Idealen darstellbar, dann aber auch a = (ap 1 ) p. Es kann also kein solches a geben, d. h. jedes ganze Ideal ist Produkt von Primidealen 0. Beweisschluss von (1.21) i) ii) (mit Zusatz) und iii): Nach (1.24) ist jedes Primideal 0 invertierbar, nach (1.25) dann auch jedes ganze Ideal a. Dies überträgt sich dann sofort auf alle gebrochenen Ideale. Also ist I R eine Gruppe. Da nach Voraussetzung alle Primideale 0 maximal sind, ist in (1.25) die Existenzaussage von iii) gezeigt. Es bleibt nur noch die Eindeutigkeit der Primidealzerlegung zu zeigen. Diese ist jedoch klar, da man in der Gruppe I R kürzen kann. iii) überträgt sich aber sofort auf alle gebrochenen Ideal, womit P R, die Menge aller maximalen Ideale = Menge aller Primideale 0 eine Basis von I R wird und auch der Zusatz von ii) vollständig bewiesen ist. Beweis von (1.21) ii) i): ad 1) R Noethersch, denn es gilt (1.26) Lemma: Invertierbare Ideale in Integritätsbereichen sind endlich erzeugt. Beweis: Ist ab = R, so gibt es eine Darstellung der Eins 1 = i a i b i mit a i a, b i b. Dann lässt sich jedes a a darstellen als a = i ab }{{} i a i a i R, ab=r also wird a über R von den endlich vielen a i erzeugt. 9

13 ad 2) R ganzabgeschlossen: Sei a K ganz über R. Dann ist a := R[a] = n 1 i=0 Rai ein endlich erzeugter R-Modul und damit gemäß (1.19) ein gebrochenes Ideal. Nach Voraussetzung ist a also invertierbar. Aus aa a folgt durch Mulitplikation mit a 1 sofort ar R, also a R. ad 3) Jedes Primideal 0 in R ist maximal: Sei p in Primideal und 0 p m mit einem maximalen Ideal m. Durch Multiplikation mit m 1 folgt pm 1 mm 1 = R, also ist a := pm 1 ein Ideal in R und es gilt Da p ein Primideal ist, folgt p = (pm 1 ) m = a m. (1) pm 1 p (2) m p. Aus (2) folgt wie behauptet p = m ist maximal. Indem man (1) mit p 1 m multipliziert, erhält man den Widerspruch R m. Damit ist der Beweis von (1.21) ii) i) vollständig. Beweis von (1.21) iii) i): Mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes werden wir im nächsten Abschnitt (Lemma (1.31)) aus iii) folgern: a b v p (a) v p (b) für alle maximalen p. ad 1) R ist Noethersch: Aufgrund dieser Beziehung bestimmt eine aufsteigende Kette a i (i = 1, 2,...) von Idealen in R für jedes maximale p eine absteigende Kette v p (a i ) natürlicher Zahlen, die zwangsläufig stationär wird. Da für fast alle p v p (a 1 ) = 0 ist, sind nur endlich viele Ketten von Bedeutung und diese werden schließlich gemeinsam stationär. ad 2) R ist ganzabgeschlossen: Sei 0 x K ganz über R. Dann ist (siehe (1.3)) n 1 a := R[x] = Rx i endlich erzeugter R-Modul i=0 Gemäß (1.19) ist a dann ein gebrochenes Ideal, d. h. für geeignetes 0 c R ist b := ca R ein ganzes Ideal. Wegen a 2 = a erhält man die folgende Gleichung zwischen ganzen Idealen b 2 = c 2 a 2 = c 2 a = cb = cr b. Gemäß Voraussetzung iii) kann man in dieser Gleichung b kürzen und erhält b = cr, also a = 1 c b = R. Dies bedeutet x R, was zu zeigen war. ad 3) Jedes Primideal 0 ist maximal: Sei 0 p prim und p = m max mv m(p) gemäß Voraussetzung. Da p prim ist, existiert ein m j p, also wegen der Maximalität m j = p: p ist maximal. d. Teilbarkeit. In einem Ring R definiert man bekanntlich den Begriff der Teilbarkeit für Elemente durch a b : a teilt b : b ist Vielfaches von a : b = ac für ein c R. und darauf aufbauend Begriffe wie ggt, kgv, prim, teilerfremd. Das Konzept der Teilbarkeit lässt sich auch idealtheoretisch beschreiben mit Hilfe der erzeugten Hauptideale: a b Rb Ra. 10

14 Mit anderen Worten, Teilbarkeit ist durch Inklusion der Hauptideale beschreibbar. Man beachte dabei: Der Teiler erzeugt das größere Ideal. Wir übertragen nun den Begriff der Teilbarkeit von Elementen auf Ideale: a teilt b b = ca für ein Ideal c. Man beachte aber, dass in beliebigen Ringen Teilbarkeit und Inklusion nicht mehr zusammenfallen; es gilt: (1.27) Bemerkung: Teilbarkeit a b impliziert die Inklusion b a, aber i. a. nicht umgekehrt. Begründung: a b = b = ac a c aufgrund der Idealeigenschaft. Gegenbeispiel für die Umkehrung: R = ZZ[X], m = pr + XR und p = pr mit einer Primzahl p. Offenbar ist p ein Primideal (R/p IF p [X] Integritätsbereich), m maximal (R/m IF p Körper) und p =m. Wäre p = mc, so müsste wegen der Primidealeigenschaft c p gelten. Dann folgt aber pr = p = mc mp = (pr + XR)pR = p 2 R + pxr p, Wid. Aus diesem Grunde fallen für Ideale in beliebigen Ringen die Begriffe teilerfremd und coprim (relativ prim) auseinander: (1.28) Definition: Für zwei Ideale a, b in einem beliebigen Ring R definieren wir: a, b coprim a + b = R. Dieser Begriff impliziert die Teilerfremdheit: Jeder gemeinsame Teiler c von a, b muss gleich R sein: es gibt keinen gemeinsamen Teiler (außer dem immer vorhandenen R). Unter der Voraussetzung coprim lassen sich einige Resultate über Teilerfremdheit und teilerfremde Ideale auf beliebige Ringe übertragen: (1.29) Lemma: Sei R ein kommutativer unitärer Ring, a i, b Ideale in R. Dann gilt: a) b coprim zu allen a i = b coprim zu i a i. (a i = a j möglich!) b) a i paarweise coprim = i a i = i a i. Beweis: a) Nach Voraussetzung existieren a i a i und b i b mit 1 = a i + b i. Dann folgt 1 = (a i + b i ) = a i +... a i + b. i i i b) Es genügt b) für zwei Ideale nachzuweisen, der Rest folgt induktiv mit a). Sind a, b coprim, so a b = (a b)(a + b) = (a b)a + (a b)b ba + ab = ab a b. Es muss also insgesamt Gleichheit gelten a b = ab. Ein wichtiges Resultat, das sich in diesen allgemeinen Rahmen übertragen lässt, ist der Chinesische Restsatz über simultane Kongruenzen: (1.30) Satz: (Chinesischer Restsatz) Sei R ein kommutativer unitärer Ring und a 1,..., a r paarweise coprime Ideale, d. h. a i + a j = R für i j. Dann gilt: A) Für beliebige x 1,..., x r R existiert stets ein x R mit x x i mod a i für alle i; x ist eindeutig modulo i a i = i a i. B) Die kanonischen Epimorphismen R R/a i induzieren einen Isomorphismus R/ i a i = R/ i a i i R/a i. 11

15 Anmerkung: A) und B) sind gleichwertige Fassungen des Satzes. Beweis: Gemäß Lemma (1.29) sind a k und b k := i k a i = i k a i coprim, d. h. Daraus folgt für b k = 1 a k : a k + b k = R 1 = a k + b k mit a k a k, b k b k. b k { 1 mod ak, 0 mod b k, also b k { 1 mod ak, 0 mod a i, i k. Dann ist x := i b ix i R ein Element mit x x i mod a i für alle i. Die Eindeutigkeitsaussage in A) ist klar, denn x x i y mod a i für alle i x y mod i a i = (1.29) a i. B) ist nur eine Umformulierung von A). Wir vervollständigen nun den Beweis von Hauptsatz (1.21) iii) i) durch das folgende Lemma, dessen Vorausetzung wegen der Eindeutigkeit in iii) erfüllt ist. (1.31) Lemma: Sei R ein beliebiger Ring, p i verschiedene maximale Ideale, deren Potenzen sämtlich verschieden sind. Dann gilt: i p n i i i p m i i n i m i für alle i. Beweis von : Wir nehmen an, dass (o.e.) n 1 < m 1 ist. Da die Potenzen von p 1 sämtlich verschieden sind, existiert x 1 p n 1 1 \ p n Verschiedene maximale Ideale sind coprim, also ist nach Lemma (1.29) p n coprim zu i 2 pn i i und folglich existiert nach dem Chinesichen Restsatz (1.30) ein x R mit { x1 mod p n x 0 mod i 2 pn i i Daraus folgt x p n 1 1 p n i i = p n i i p m i i p m 1 1. (1.29) i 2 i i Also x 0 mod p m 1 1. Wegen m 1 n folgt daraus x 1 x 0 mod p n im Widerspruch zur Wahl von x 1 p n (1.32) Proposition: In Dedekindringen R sind die beiden oben diskutierten Teilbarkeitsdefinitionen gleichwertig: a b b = ac für ein c R b a 1 R b a. Dies hat zur Folge, dass in beliebigen Dedekindringen R für Primidealzerlegungen a = p pa p, b = p pb p gilt: a b [a p b p für alle p ] b a, i a + b = ggt(a, b), a b = kgv(a, b), a, b teilerfremd a + b = R a, b coprim. Als Anwendungsbeispiel diene der folgende (1.33) Satz: a) Jedes Ideal a eines Dedekindringes R ist von 2 Elementen erzeugbar; genauer: a a \ {0} beliebig = a = a, b R = ar + br für ein geeignetes b a. b) Jeder echte Faktorring R = R/a eines Dedekindringes R ist ein Hauptidealring. 12

16 Beweis: a) Sei ar = r p n i i (n i 1) die Primzerlegung von ar im Dedekindring R. Wegen a a, also a ar hat a als Primzerlegung r a = p m i i mit 0 m i n i. Wähle nun Elemente b i p m i i \ p m i+1 i. (Dies ist möglich wegen der Eindeutigkeit der Primidealzerlegung.) Da (in Dedekindringen) Potenzen verschiedener Primideale coprim sind, existiert nach dem chinesischen Restsatz dann ein einziges Element b, das diese Eigenschaft für alle i hat (als Lösung der simultanen Kongruenzen b b i mod p m i+1 i ). Damit ergibt sich für br folgende Primzerlegung: br = r p m i i s j=1 mit Primidealen q j p i und k j 0. Man berechnet nun leicht ar + br = ggt(ar, br) = q k j j r p m i i = a. b) Sei 0 a R ein Ideal in R. Ist b ein Ideal von R/a mit vollem Urbild b unter der natürlichen Abbildung R R/a, so ist b ein Oberideal von a. Ergänzt man nun ein beliebig gewähltes Element 0 a a zu einem Erzeugendensystem a, b von b, so ist a = 0 und b wird von b erzeugt. 2 Die Endlichkeitssätze In 1 haben wir gesehen, dass die ganzen algebraischen Zahlen viele Eigenschaften mit den ganzen rationalen Zahlen teilen, besonders die eindeutige Primidealzerlegung mit ihren Konsequenzen hinsichtlich der Teilbarkeitslehre. Aber es gibt natürlich auch wesentliche Unterschiede, vor allem sind die Ganzheitsringe im Gegensatz zu ZZ in der Regel keine Hauptidealringe und auch nicht faktoriell. Wie weit die Ganzheitsringe in dieser Hinsicht von ZZ abweichen bzw. welchen Ersatz man stattdessen nachweisen kann, ist Inhalt der angestrebten Endlichkeitssätze. a. Die Klassengruppe. Gegenstand des ersten Endlichkeitssatzes ist die Abweichung der Ganzheitsringe von der Hauptidealring-Eigenschaft. Diese Abweichung wird durch die Klassengruppe der Ganzheitsringe (oder wie man ungenauer sagt: der Zahlkörper) erfasst. (2.1) Definition: Sei R ein Integritätsbereich und I R seine Halbgruppe der gebrochenen Ideale. K sei der Quotientenkörper von R. a) Jedes x K bestimmt ein gebrochenes Ideal xr, das sog. gebrochene Hauptideal erzeugt von x. b) Die Zuordnung x xr ist ein Homomorphismus von der Multiplikationsgruppe K von K in die Halbgruppe I R der gebrochenen Ideale von R. Deren Bild ist die Gruppe H R der gebrochenen Hauptideale von R: H R = {xr x K }. 13

17 c) Ist R ein Dedekindring, I R also eine Gruppe, so definiert man die Klassengruppe von R als Faktorgruppe Cl R = I R /H R. d) Ist R der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers K, so spricht man auch von der Klassengruppe Cl K von K (statt von Z K ). Wir können nun den ersten Endlichkeitssatz der algebraischen Zahlentheorie formulieren: (2.2) Satz: (Endlichkeit der Klassengruppe) Die Klassengruppe algebraischer Zahlkörper ist eine endliche abelsche Gruppe. Ihre Mächtigkeit h K = #Cl K wird Klassenzahl von K genannt. b. Die Einheitengruppe. Die zweite wichtige Invariante der Ganzheitsringe ist die Einheitengruppe R := {ε R εε = 1 für ein ε R}. Im rationalen Fall R = ZZ ist die Einheitengruppe kleinstmöglich ZZ = {±1}. In Zahlringen Z K kann sie erheblich größer sein. Zunächst einmal sind alle Einheitswurzeln, die in einem algebraischen Zahlkörper K liegen, ganz und dann auch Einheiten in R = Z K : Z K µ K := {ζ K ζ n = 1 für ein n IN}. Die Einheitswurzelgruppe µ K besteht gerade aus den Elementen endlicher Ordnung in K (bzw. in R ), also der Torsionsuntergruppe von K bzw. R. Wie viele Einheiten unendlicher Ordnung ein Ganzheitsring besitzt, hängt ab von der Signatur des algebraischen Zahlkörpers, die wir hier einleitend kurz erklären wollen. Jeder algebraische Zahlkörper K vom Grad n über Q besitzt n verschiedene Einbettungen σ i : K C in C. (2.3) Definition: Sei K Q ein algebraischer Zahlkörper vom Grade n und σ i : K C (i = 1,..., n) seine verschiedenen Einbettungen in C. Es sei c : z z die komplexe Konjugation von C. a) σ : K C heißt reell, wenn σ(k) IR gilt, d. h. σ := c σ = σ. σ : K C heißt komplex, wenn σ(k) IR gilt, d. h. σ σ. (Vorsicht: Eine komplexe Einbettung ist bei diesem Sprachgebrauch nicht reell, im Gegensatz zum Sprachgebrauch bei Zahlen.) b) Es sei r(k) die Anzahl der reellen Einbettungen von K in C und s(k) die Anzahl der Paare {σ, σ} konjugierter komplexer Einbettungen. Das Zahlenpaar (r, s) nennt man auch die Signatur von K. (2.4) Bemerkung: a) Geht man von einer festen Einbettung K C eines Zahlkörpers K aus, so ist r(k) die Zahl der reellen Konjugierten von K und s(k) die halbe Anzahl der nicht reellen. b) Ist K = Q(α) und f Q[X] das Minimalpolynom von α, so ist r die Anzahl der reellen Wurzeln von f und 2s die Zahl der nicht reellen (paarweise konjugiert komplexen) Wurzeln von f. c) Es gilt r + 2s = n = (K : Q). Nach diesen Vorbereitungen können wir den zweiten wichtigen Endlichkeitssatz der algebraischen Zahlentheorie formulieren: (2.5) Satz: (Dirichletscher Einheitensatz) Sei K ein algebraischer Zahlkörper der Signatur (r, s). Dann ist die Einheitengruppe U K = Z K seines Ganzheitsringes eine endlich erzeugte abelsche Gruppe vom Rang t = r + s 1, d. h. U K ist das direkte Produkt der endlichen zyklischen Einheitswurzelgruppe µ K und einer freien abelschen Gruppe vom Rang t := r + s 1. 14

18 Explizit formuliert: Es gibt Einheiten ε 1,..., ε t U K, so dass jede Einheit ε U K eindeutig darstellbar ist als ε = ζε ν εν t t mit ζ µ K, ν i ZZ. Ein solches Einheitensystem ε 1,..., ε t nennt man ein System von Grundeinheiten. c. Reelle Gitter. Die Formulierung des Dirichletschen Einheitensatzes weist bereits auf die besondere Rolle des reellen Zahlkörpers hin. Dies wird noch deutlicher in den Beweismethoden, und zwar für beide genannte Endlichkeitssätze. Diese Methoden wurden früher als Geometrie der Zahlen bezeichnet. Inzwischen spielt aber die Geometrie eine viel umfassendere und grundlegendere Rolle in der Zahlentheorie. Die Zahlentheorie ist heute untrennbar mit der algebraischen Geometrie verwachsen zu einem Gebiet, das man inzwischen als Arithmetische Geometrie bezeichnet. Dagegen ist die genannte Geometrie der Zahlen wesentlich konkreter, es handelt sich um gewöhnliche reelle Geometrie. (2.6) Definition: Sei V ein n-dimensionaler IR-Vektorraum. Ein Gitter Γ in V ist eine von IR-linear unabhängigen Vektoren v 1,..., v m erzeugte Untergruppe von V : Γ = ZZv 1... ZZv m, v 1,..., v m IR-linear unabhängig. Man nennt dann v 1,..., v m eine Basis des Gitters und die Menge m G = { x i v i x i [0, 1[ für alle i.} eine Grundmasche. Wir sprechen von einem Gitter auf V oder einem vollständigen Gitter Γ, wenn Γ eine Basis von V enthält, also m = n ist. Vorsicht: Ein Gitter ist zwar ein freier ZZ-Modul mit einem Rang dim V, aber die Umkehrung gilt nicht: ZZ ZZ 2 ist ein freier ZZ-Modul (in IR IR 2 ) vom Rang 2, aber kein Gitter, da die ZZ-Basis 1, 2 nicht IR-linear unabhängig ist. (2.7) Bemerkung: Ein Gitter ist vollständig, wenn die sämtlichen Translationen γ + G (γ Γ) einer Grundmasche G den Vektorraum V überdecken. Ein 2-dimensionales Gitter wird erzeugt von zwei IR-linear-unabhängigen Vektoren v 1, v 2 und besteht aus allen ganzzahligen Linearkombinationen der v i. Zur Veranschaulichung sei V = IR 2 und zur bequemeren Beschreibung der Vektoren wählen wir V = C. 1) Mit v 1 = 1 und v 2 = ζ 3 = e 2πi/3 erhält man das folgende Gitter auf C = IR 2 : 15

19 Eine Grundmasche ist schraffiert. Zur Verdeutlichung der Gitter struktur sind in nachfolgender Skizze die durch die Basisvektoren bestimmten Achsen und ihre Parallelen (die Gitterlinien) eingezeichnet. Man beachte aber, dass das Gitter im Sinne unserer Definition nur durch die Gitterpunkte repräsentiert wird. Die Basisvektoren und die Gitterlinien sind nicht durch das Gitter bestimmt! Betrachten Sie dazu einmal das nächste Beispiel mit den Basisvektoren w 1 = ζ 6 = e 2πi/6 C und w 2 = ζ 3. Die andere Gestalt der Grundmasche und der andere Verlauf der Gitterlinien darf nicht darüber hinwegtäuschen, dass es sich um dasselbe Gitter handelt, denn w 1 = v 1 + v 2 und w 2 = v 2. (Basis w i entsteht aus Basis v i durch die Translation um v 2. Die Übergangsmatrix ist ZZ-invertierbar, die erzeugten ZZ-Moduln also gleich.) Aber auch unterschiedlich lange Basisvektoren können zu demselben Gitter wie oben führen: u 1 = 1 und u 2 = ζ erzeugen dasselbe Gitter, jedoch mit der folgenden 16

20 Grundmasche und Gitterlinien: (2.8) Bemerkung: Zwei Basen (v i ) und (w i ) eines IR-Vektorraums V bestimmen dasselbe Gitter genau dann, wenn die Übergangsmatrix T von einer zur anderen Basis ganzzahlige Koeffizienten und die Determinante det T = ±1 hat. Beweis: T M n (ZZ) über ZZ invertierbar det T in ZZ invertierbar. Eine von Gitterbasis und Grundmasche unabhängige topologische Charakterisierung von Gittern gibt die folgende (2.9) Proposition: Gitter in IR-Vektorräumen sind genau die diskreten additiven Untergruppen Γ von V. Zur Erinnerung: Teilmenge M ist diskret M hat keine Häufungspunkte jeder Punkt von V hat eine Umgebung, in der höchstens ein Punkt von M liegt Schnitt mit beschränkten Mengen ist endlich Bei additiven Untergruppen genügt für die Diskretheit, dass ein Gitterpunkt eine Umgebung besitzt, in der kein weiterer Gitterpunkt liegt. Beweis von (2.9): Gitter sind selbstverständlich diskret: Ist v i eine Gitterbasis, so ist U = { i x iv i x i < 1 2 } eine Umgebung der 0, in der kein weiterer Gitterpunkt liegt. Sei nun Γ V eine additive diskrete Untergruppe von V. Ohne Einschränkung sei V das IR-Vektorraumerzeugnis von Γ. Dann gibt es eine in Γ liegende IR-Basis v 1,..., v n von V und es gilt Γ 0 := ZZv i Γ V = IRv i. i i Wir zeigen: Ist Γ diskret, so hat Γ 0 endlichen Index in Γ. Beweis: Sei G 0 die Grundmasche zu Γ 0 bzgl. der Gitterbasis v i. Dann ist jedes γ Γ V von der Form γ = γ 0 + g mit γ 0 Γ 0 und g = γ γ 0 G Γ. G 0 Γ enthält also ein Repräsentantensystem von Γ modulo Γ 0. Da G 0 beschränkt und Γ diskret ist, ist G 0 Γ endlich. Sei nun d = (Γ : Γ 0 ) der Gruppenindex, also dγ Γ 0 bzw. Γ 1 d Γ 0 = i ZZ 1 d v i. Damit ist Γ Untergruppe in einer endlich erzeugten freien abelschen Gruppe, also selbst frei (Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen bzw. endlich erzeugte Moduln über Hauptidealringen): Γ = ZZw j V. j Da Γ den Vektorraum V über IR erzeugt, muss die Gitterbasis w j eine IR-Basis von V sein: Γ ist ein vollständiges Gitter auf V. 17

21 (2.10) Proposition: Ist Γ ein Gitter auf einem euklidischen IR-Vektorraum V (mit Skalarprodukt...,... ), so haben alle Grundmaschen G dasselbe Volumen; man nennt es das Volumen vol Γ von Γ. Es berechnet sich aus einer Gitterbasis v 1,..., v n von Γ durch vol Γ = det A = det( v i, v j ) mit der Übergangsmatrix A von einer Orthonormalbasis (e i ) des euklidischen Raumes (V,...,... ) zur Basis (v i ). Beweis: Sei G die durch die Gitterbasis (v i ) bestimmte Grundmasche von Γ. Dann ist G das Parallelepiped (der Spat) mit den Kantenvektoren v i. Dessen Volumen berechnet sich als Betrag der Determinante der Übergangsmatrix A von einer Orthonormalbasis e i zu v i bzw. als Wurzel der Gramschen Determinante. Da bei einem Gitterbasiswechsel die Übergangsmatrix T ganzzahlig invertierbar ist, also Determinante ±1 hat, ändert sich das Volumen nicht. Wir kommen nun zu dem fundamentalen Hilfsmittel für die nachfolgenden Beweise. (2.11) Satz: (Minkowskischer Gitterpunktsatz) Sei Γ ein vollständiges Gitter auf einem n-dimensionalen euklidischen Vektorraum V. Ist M eine ursprungssymmetrische und konvexe Teilmenge mit einem Volumen vol M > 2 n vol Γ, so muss mindestens ein Gitterpunkt γ 0 in M liegen: vol M > 2 n vol Γ = M Γ {0}. Zusatz (Übung 5.1.): Man kann in der Voraussetzung > durch ersetzen, wenn M zusätzlich kompakt ist. Beweis von (2.11): Es sei M = 1 2 M die mit dem Faktor 1 gestauchte Menge M. Es 2 genügt zu zeigen, dass zwei verschiedene Mengen γ 1 + M, γ 2 + M (γ i Γ) nicht disjunkt sind: (γ 1 +M ) (γ 2 +M ) γ 2 γ 1 = 1 2 m m 2(m i M) = 0 γ := γ 2 γ 1 M denn 1 2 m m 2 ist die Mitte zwischen m 1 und m 2 M (Ursprungssymmetrie) und gehört daher zu M (Konvexität). Annahme: die Mengen γ + M (γ Γ) sind disjunkt. Dann würde für eine Grundmasche G von Γ gelten: vol G vol ( G γ (γ +M ) ) = γ Γ vol ( (γ +M ) G ) = (1) γ Γ vol ( M (G γ) ) = vol M. (2) ad (1): Translationen (um γ) ändern das Volumen nicht ad (2): Die Mengen G γ überdecken V, also M. Wegen M = 1 2 M gilt natürlich vol M = 1 vol M und damit folgt im Widerspruch zur 2 n Voraussetzung vol Γ = vol G 1 vol M. 2 n d. Der Konjugiertenraum. Wir betten einen algebraischen Zahlkörper K vom Grad n in einen reellen Vektorraum K IR der gleichen Dimension n ein. Dabei werden ZZ-Moduln maximalen Ranges in vollständige Gitter überführt und Gittervolumen und Diskriminante bestimmen einander. Sei K Q ein algebraischer Zahlkörper vom Grade n. Es sei M die Menge der n Einbettungen von K in C : M = {τ : K C }, #M = n. 18

22 Wir erhalten damit die folgende Q-lineare Einbettung in einen n-dimensionalen C -Vektorraum: j : K C := K C, α (τα) τ M. τ M Wegen τα = τα liegt das Bild von K unter j in K IR := {(z τ ) τ M z τ = z τ } Dies ist ein IR-Vektorraum ebenfalls der Dimension n, der explizit wie folgt beschrieben werden kann: Ist R := {ρ 1,..., ρ r } M die Menge der reellen Einbettungen von K, K := {σ 1, σ 1,..., σ s, σ s } M die Menge der komplexen Einbettungen, also n = r + 2s, so gilt K IR = {(z τ ) τ M z ρi IR, z σj = z σj } IR r+2s, wobei der Isomorphismus die Komponenten zu reellen ρ R unverändert lässt und für jedes Paar σ j, σ j K konjugiert komplexer Einbettungen gegeben ist durch ϕ j : (z σj, z σj ) = (z σj, z σj ) = (x j + iy j, x j iy j ) (x j, y j ) = (Re z σj, Im z σj ). Die Abbildung ϕ 1 j det ϕ 1 j : IR 2 C 2 hat die Determinante = det ( ϕ 1 j (e 1 ), ϕ 1 j (e 2 ) ) ( ) 1 i = det = 2i. 1 i Setzt man für die r reellen und s Paare konjugiert komplexer Einbettungen von K die Isomorphismen komponentenweise zusammen, so erhält man einen IR-Isomorphismus ϕ : K IR IR r+2s, der die jeweiligen kanonischen Determinantenfunktion auf K IR K C C n bzw. auf IR r+2s = IR n wie folgt miteinander verbindet: v 1,..., v n K IR = det(v 1,..., v n ) = ( 2i) s det(ϕ (v 1 ),...ϕ (v n )). Für die zugehörigen Maße auf diesen beiden reellen Vektorräumen gilt dann: M K IR messbar = vol M = 2 s vol (ϕ M). Zusammengefasst erhalten wir das folgende (2.12) Lemma: Sei K ein algebraischer Zahlkörper vom Grad n, j : K K IR, ϕ : K IR IR r+2s wie oben definiert und j = ϕ j : K IR n, a (ρ 1 a,..., ρ r a, Re σ 1 a, Im σ 1 a,..., Re σ s a, Im σ s a). Dann gilt für jede Q-Basis a 1,..., a n von K: D(a 1,..., a n ) = det((τa j ) τ,j ) 2 = det(ja 1,..., ja n ) 2 = ( 4) s det ( j (a 1 ),..., j (a n ) ) 2, Ist a der ZZ-Modul mit Basis a j, so ist Γ = ja ein vollständiges Gitter auf K IR sowie Γ = j (a) ein vollständiges Gitter auf IR n = IR r+2s und es gilt: da = vol Γ = 2 s vol Γ Um mit den oben definierten Abbildungen j : K K IR sowie ϕ : K IR IR r+2s = IR n gründlich vertraut zu werden, empfiehlt es sich, die Aussagen von Lemma (2.12) an 19

23 einfachen Zahlkörpern zu verifizieren. Man skizziere im Falle quadratischer Zahlkörper K = Q( D) die Bildgitter Γ = j Z K IR 2 (im reellen wie auch im komplexen Fall). Das obige Lemma (2.12) zeigt unter anderem, dass ein ZZ-Untermodul a von K genau dann frei von maximalem Rang ist, wenn sein Bild ja ein vollständiges Gitter auf K IR ist. Angesichts dieser engen Beziehung wollen wir zur einfacheren Sprechweise vereinbaren (2.13) Definition: Ein Gitter auf einem Zahlkörper K ist ein freier ZZ-Untermodul a von K von maximalem Rang, oder gleichwertig, das ZZ-Erzeugnis einer Q-Basis von K: a = n ZZw i mit Qa = n Qw i = K. Die Diskriminante eines Gitters a auf K ist die Diskriminante irgendeiner ZZ-Basis von a. Lemma (2.12) sagt dann in Kurzfassung: Das Bild eines Gitters ist im Konjugiertenraum K IR ein reelles Gitter, und die Wurzel aus dem Diskriminantenbetrag des Gitters auf K ist gleich dem Volumen (der Grundmasche) des reellen Bildgitters in K IR. Letzteres berechnet sich als das 2 s -fache des Volumens in K = IR r+2s. Man beachte, dass jedes gebrochene Ideal von Z K in diesem Sinne ein Gitter auf K ist (siehe (1.16)). Mehr noch: Alle Gitter sind gebrochene Ideale, aber nicht unbedingt über Z K, sondern über anderen (kleineren) Ringen (siehe Abschnitt e.) Aus diesem Grunde verwenden wir als Bezeichnung für Gitter wie für gebrochene Ideale Frakturbuchstaben. Basis für beide angestrebte Endlichkeitsätze ist das folgende Resultat. Es sichert in Gittern auf K die Existenz von Elementen a 0, deren sämtliche Konjugierte nicht zu weit von 0 entfernt liegen. (2.14) Hauptlemma: Sei K ein algebraischer Zahlkörper mit der Signatur r, s und a ein Gitter auf K mit der Diskriminante d a. Für alle Einbettungen τ : K C seien reelle Zahlen c τ > 0 vorgegeben mit c τ = c τ und c τ > ( 2 π )s d a τ Dann gibt es ein 0 a a mit τa < c τ für alle τ M. Zusatz: Man kann in Voraussetzung und Behauptung > durch ersetzen. Beweis: Die Menge X = {(z τ ) K IR z τ < c τ für alle τ M} ist ursprungssymmetrisch und konvex. Für ihr Volumen gilt gemäß Beweis von Lemma (2.12) mit vol X = 2 s vol ϕ X ϕ X = {(x τ ) τ IR IR n x ρ < c ρ (ρ R), x 2 σ + x 2 σ < c 2 σ ({σ, σ} K) }. ϕ X ist direktes Produkt von r reellen Intervallen und von s Kreisscheiben im IR 2, also vol X = 2 s vol ϕ X = 2 s (2c ρ ) (πc 2 σ) = 2 s 2 r π s c τ = 2 r+s π s ρ τ τ {σ, σ} Kombiniert mit der Voraussetzung für die c τ erhält man c τ. vol X > 2 r+s π s ( 2 π )s d a = 2 n d a. 20