Simpliziale Bäume. Cora Welsch. Seminar SS2015 WWU Münster
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1 Seminar SS2015 WWU Münster
2 Übersicht abstrakter Simplizialkomplex Geometrische Realisierung Bäume Wirkung auf einen Baum
3 abstrakter Simplizialkomplex Denition (abstrakter Simplizialkomplex) Ein abstrakter Simplizialkomplex K besteht aus einer Eckenmenge V und einer Menge Σ von endlichen Teilmengen s von V, sodass gilt: (1) jede Menge die aus genau einer Ecke besteht ist in Σ (2) t s und s Σ, dann ist auch t Σ.
4 abstrakter Simplizialkomplex Denition (abstrakter Simplizialkomplex) Ein abstrakter Simplizialkomplex K besteht aus einer Eckenmenge V und einer Menge Σ von endlichen Teilmengen s von V, sodass gilt: (1) jede Menge die aus genau einer Ecke besteht ist in Σ (2) t s und s Σ, dann ist auch t Σ. Die Elemente in Σ werden Simplizes genannt, wobei ein n-simplex eine Teilmenge bestehend aus n + 1 Ecken ist. Ist t s, dann wird t als Seite von s bezeichnet.
5 abstrakter Simplizialkomplex Denition (abstrakter Simplizialkomplex) Ein abstrakter Simplizialkomplex K besteht aus einer Eckenmenge V und einer Menge Σ von endlichen Teilmengen s von V, sodass gilt: (1) jede Menge die aus genau einer Ecke besteht ist in Σ (2) t s und s Σ, dann ist auch t Σ. Die Elemente in Σ werden Simplizes genannt, wobei ein n-simplex eine Teilmenge bestehend aus n + 1 Ecken ist. Ist t s, dann wird t als Seite von s bezeichnet. Beispiel und Gegenbeispiele Sei V = {1, 2, 3, 4}. Für Σ = {{1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {2, 4}} ist K = (V, Σ) ein Simplizialkomplex
6 abstrakter Simplizialkomplex Denition (abstrakter Simplizialkomplex) Ein abstrakter Simplizialkomplex K besteht aus einer Eckenmenge V und einer Menge Σ von endlichen Teilmengen s von V, sodass gilt: (1) jede Menge die aus genau einer Ecke besteht ist in Σ (2) t s und s Σ, dann ist auch t Σ. Die Elemente in Σ werden Simplizes genannt, wobei ein n-simplex eine Teilmenge bestehend aus n + 1 Ecken ist. Ist t s, dann wird t als Seite von s bezeichnet. Beispiel und Gegenbeispiele Sei V = {1, 2, 3, 4}. Für Σ = {{1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {2, 4}} ist K = (V, Σ) ein Simplizialkomplex Für Σ = {{1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2, 3}} ist (V, Σ) kein Simplizialkomplex
7 abstrakter Simplizialkomplex Denition (abstrakter Simplizialkomplex) Ein abstrakter Simplizialkomplex K besteht aus einer Eckenmenge V und einer Menge Σ von endlichen Teilmengen s von V, sodass gilt: (1) jede Menge die aus genau einer Ecke besteht ist in Σ (2) t s und s Σ, dann ist auch t Σ. Die Elemente in Σ werden Simplizes genannt, wobei ein n-simplex eine Teilmenge bestehend aus n + 1 Ecken ist. Ist t s, dann wird t als Seite von s bezeichnet. Beispiel und Gegenbeispiele Sei V = {1, 2, 3, 4}. Für Σ = {{1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {2, 4}} ist K = (V, Σ) ein Simplizialkomplex Für Σ = {{1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2, 3}} ist (V, Σ) kein Simplizialkomplex Für Σ = {{2}, {4}, {2, 4}} ist (V, Σ) kein Simplizialkomplex
8 abstrakter Simplizialkomplex Denition Ein abstrakter Simplizialkomplex wird als endlich bezeichnet, wenn Σ endlich ist. Die Dimension eines n-simplizes ist n, die Dimension eines Simplizialkomplexes K ist sup{dim(s) s Σ}.
9 abstrakter Simplizialkomplex Denition Ein abstrakter Simplizialkomplex wird als endlich bezeichnet, wenn Σ endlich ist. Die Dimension eines n-simplizes ist n, die Dimension eines Simplizialkomplexes K ist sup{dim(s) s Σ}. Beispiele für abstrakte Simplizialkomplexe Für ein festes n N ist K = {s Z s n + 1} ein n-dimensionaler unendlicher Simplizialkomplex.
10 abstrakter Simplizialkomplex Denition Ein abstrakter Simplizialkomplex wird als endlich bezeichnet, wenn Σ endlich ist. Die Dimension eines n-simplizes ist n, die Dimension eines Simplizialkomplexes K ist sup{dim(s) s Σ}. Beispiele für abstrakte Simplizialkomplexe Für ein festes n N ist K = {s Z s n + 1} ein n-dimensionaler unendlicher Simplizialkomplex. K = {s N s N} ist ein unendlichdimensionaler Simplizialkomplex.
11 abstrakter Simplizialkomplex Denition Ein abstrakter Simplizialkomplex wird als endlich bezeichnet, wenn Σ endlich ist. Die Dimension eines n-simplizes ist n, die Dimension eines Simplizialkomplexes K ist sup{dim(s) s Σ}. Beispiele für abstrakte Simplizialkomplexe Für ein festes n N ist K = {s Z s n + 1} ein n-dimensionaler unendlicher Simplizialkomplex. K = {s N s N} ist ein unendlichdimensionaler Simplizialkomplex. Jede partiell geordnete Menge P kann man zu einem Simplizialkomplex machen. Die Elemente von P sind die Ecken und jede endliche Kette von P ist ein Simplex.
12 abstrakter Simplizialkomplex Denition (Unterkomplex) Ein Unterkomplex L eines abstrakten Simplizialkomplexes K ist eine Teilmenge von K die selber ein Simplizialkomplex ist.
13 abstrakter Simplizialkomplex Denition (Unterkomplex) Ein Unterkomplex L eines abstrakten Simplizialkomplexes K ist eine Teilmenge von K die selber ein Simplizialkomplex ist. Beispiele für Unterkomplexe von K K n = {s K dim(s) n} ist Unterkomplex von K und wird als n-skelett bezeichnet.
14 abstrakter Simplizialkomplex Denition (Unterkomplex) Ein Unterkomplex L eines abstrakten Simplizialkomplexes K ist eine Teilmenge von K die selber ein Simplizialkomplex ist. Beispiele für Unterkomplexe von K K n = {s K dim(s) n} ist Unterkomplex von K und wird als n-skelett bezeichnet. Sei s ein Simplex in K, dann ist s = {t K t s} ein Unterkomplex.
15 abstrakter Simplizialkomplex Denition (Unterkomplex) Ein Unterkomplex L eines abstrakten Simplizialkomplexes K ist eine Teilmenge von K die selber ein Simplizialkomplex ist. Beispiele für Unterkomplexe von K K n = {s K dim(s) n} ist Unterkomplex von K und wird als n-skelett bezeichnet. Sei s ein Simplex in K, dann ist s = {t K t s} ein Unterkomplex. Sei s ein Simplex in K, dann ist ṡ = {t K t s} ein Unterkomplex.
16 Geometrische Realisierung
17 Geometrische Realisierung Denition (Geometrische Realisierung) Die geometrische Realisierung K eines abstrakten Simplizialkomplexes K ist die Menge aller Funktionen α : K 0 [0, 1], sodass gilt: (1) für jedes α ist supp(α) := {v K 0 α(v) 0} ein Simplex in K (2) für jedes α gilt α(v) = 1. v K 0
18 Geometrische Realisierung Denition (Geometrische Realisierung) Die geometrische Realisierung K eines abstrakten Simplizialkomplexes K ist die Menge aller Funktionen α : K 0 [0, 1], sodass gilt: (1) für jedes α ist supp(α) := {v K 0 α(v) 0} ein Simplex in K (2) für jedes α gilt α(v) = 1. v K 0 Denition Sei s ein n-simplex in einem abstrakten Simplizialkomplex K. Das abgeschlossene Simplex s ist dann deniert durch s := {α K α(v) 0 v s} = {α K supp(α) s}.
19 Geometrische Realisierung Beispiel Die zum abstrakten Simplizialkomplex K = {{x}, {y}, {x, y}} gehörende geometrische Realisierung K = {α λ α λ (x) = λ, α λ (y) = 1 λ, 0 λ 1}
20 Geometrische Realisierung Beispiel Die zum abstrakten Simplizialkomplex K = {{x}, {y}, {x, y}} gehörende geometrische Realisierung K = {α λ α λ (x) = λ, α λ (y) = 1 λ, 0 λ 1} und die abgeschlossenen Simplizes s der Simplizes s K sind {x} = {α 1 }, {y} = {α 0 } und {x, y} = K.
21 Geometrische Realisierung Beispiel Die zum abstrakten Simplizialkomplex K = {{x}, {y}, {x, y}} gehörende geometrische Realisierung K = {α λ α λ (x) = λ, α λ (y) = 1 λ, 0 λ 1} und die abgeschlossenen Simplizes s der Simplizes s K sind {x} = {α 1 }, {y} = {α 0 } und {x, y} = K. Veranschaulichung Für ein n-simplex s ist s bijektiv zu der Menge {x R n+1 0 x i 1, x i = 1}, die die konvexe Hülle der Einheitsvektoren im R n+1 ist.
22 Bäume
23 Bäume Denition (Graph) Ein ungerichteter Graph Γ ist ein Paar (V, E), wobei V eine Menge an Ecken ist und E Menge von Kanten, die eine Teilmenge der Menge aller zweielementigen Teilmengen von V ist.
24 Bäume Denition (Graph) Ein ungerichteter Graph Γ ist ein Paar (V, E), wobei V eine Menge an Ecken ist und E Menge von Kanten, die eine Teilmenge der Menge aller zweielementigen Teilmengen von V ist. Bemerkung Damit ist ein ungerichteter Graph ein 1-dimensionaler Simplizialkomplex.
25 Bäume Denition (Graph) Ein ungerichteter Graph Γ ist ein Paar (V, E), wobei V eine Menge an Ecken ist und E Menge von Kanten, die eine Teilmenge der Menge aller zweielementigen Teilmengen von V ist. Bemerkung Damit ist ein ungerichteter Graph ein 1-dimensionaler Simplizialkomplex. Es kann Ecken geben, die zu keiner Kante gehören, aber nie Kanten dessen Ecken nicht vorhanden sind. Schleifen, Kanten von einer Ecke zu sich selbst, gibt es auch nicht. Abbildung: Graphen
26 Bäume Abbildung: Graphen Denition (Weg, Kreis, wegzusammenhängend)
27 Bäume Abbildung: Graphen Denition (Weg, Kreis, wegzusammenhängend) Eine Folge von paarweise verschiedenen Ecken v 1,..., v n in einem Graph Γ mit {v i, v i+1 } E(Γ) ist ein Weg.
28 Bäume Abbildung: Graphen Denition (Weg, Kreis, wegzusammenhängend) Eine Folge von paarweise verschiedenen Ecken v 1,..., v n in einem Graph Γ mit {v i, v i+1 } E(Γ) ist ein Weg. Ist v 1 = v n und sonst keine Ecke doppelt, so nennt man die Folge von Ecken Kreis der Länge n 1.
29 Bäume Abbildung: Graphen Denition (Weg, Kreis, wegzusammenhängend) Eine Folge von paarweise verschiedenen Ecken v 1,..., v n in einem Graph Γ mit {v i, v i+1 } E(Γ) ist ein Weg. Ist v 1 = v n und sonst keine Ecke doppelt, so nennt man die Folge von Ecken Kreis der Länge n 1. Ein Graph Γ heiÿt wegzusammenhängend, wenn es zwischen je zwei Ecke aus Γ einen Weg gibt.
30 Bäume Denition (Baum) Ein Baum T ist ein wegzusammenhängender Graph ohne Kreise der Länge n mit n 3.
31 Bäume Denition (Baum) Ein Baum T ist ein wegzusammenhängender Graph ohne Kreise der Länge n mit n 3. Abbildung: Bäume
32 Wirkung auf Bäume
33 Wirkung auf Bäume Denition (Gruppenwirkung) Eine Gruppenwirkung einer Gruppe (G, ) auf einer Menge M ist eine Abbildung. : G M M, (g, m) g.m, die folgende Eigenschaften erfüllt: (1) (g h).m = g.(h.m) für alle g, h G und m M (2) 1.m = m für alle m M.
34 Wirkung auf Bäume Denition (Gruppenwirkung) Eine Gruppenwirkung einer Gruppe (G, ) auf einer Menge M ist eine Abbildung. : G M M, (g, m) g.m, die folgende Eigenschaften erfüllt: (1) (g h).m = g.(h.m) für alle g, h G und m M (2) 1.m = m für alle m M. Beispiele Die symmetrische Gruppe Sym(n) wirkt auf der Menge M = {1, 2,..., n} durch Permutationen. Für σ Sym(n) ist dann σ.m = σ(m)
35 Wirkung auf Bäume Denition (Gruppenwirkung) Eine Gruppenwirkung einer Gruppe (G, ) auf einer Menge M ist eine Abbildung. : G M M, (g, m) g.m, die folgende Eigenschaften erfüllt: (1) (g h).m = g.(h.m) für alle g, h G und m M (2) 1.m = m für alle m M. Beispiele Die symmetrische Gruppe Sym(n) wirkt auf der Menge M = {1, 2,..., n} durch Permutationen. Für σ Sym(n) ist dann σ.m = σ(m) Eine Gruppe (G, ) wirkt auf sich selbst durch Multiplikation g.m = g m und durch Konjugation g.m = gmg 1.
36 Wirkung auf Bäume Bemerkung Eine Gruppenwirkung von G auf M kann auch als Gruppenhomomorphismus φ : G Sym(M) betrachtet werden, wobei φ(g) : M M, m φ(g)(m) = g.m ist.
37 Wirkung auf Bäume Bemerkung Eine Gruppenwirkung von G auf M kann auch als Gruppenhomomorphismus φ : G Sym(M) betrachtet werden, wobei φ(g) : M M, m φ(g)(m) = g.m ist. Wie sieht Aut(M) aus, wenn M ein Baum ist? Dadurch, dass die Kanten durch ihre Ecken bestimmt sind, ist eine Permutation der Kanten eines Baumes durch die Permutation der Ecken deniert.
38 Wirkung auf Bäume Bemerkung Eine Gruppenwirkung von G auf M kann auch als Gruppenhomomorphismus φ : G Sym(M) betrachtet werden, wobei φ(g) : M M, m φ(g)(m) = g.m ist. Wie sieht Aut(M) aus, wenn M ein Baum ist? Dadurch, dass die Kanten durch ihre Ecken bestimmt sind, ist eine Permutation der Kanten eines Baumes durch die Permutation der Ecken deniert. Nicht jede Permutation der Ecken gibt uns allerdings den ursprünglichen Baum wieder. Um das zu gewährleisten machen wir den Baum T zu einen metrischen Raum.
39 Wirkung auf Bäume Bemerkung Eine Gruppenwirkung von G auf M kann auch als Gruppenhomomorphismus φ : G Sym(M) betrachtet werden, wobei φ(g) : M M, m φ(g)(m) = g.m ist. Wie sieht Aut(M) aus, wenn M ein Baum ist? Dadurch, dass die Kanten durch ihre Ecken bestimmt sind, ist eine Permutation der Kanten eines Baumes durch die Permutation der Ecken deniert. Nicht jede Permutation der Ecken gibt uns allerdings den ursprünglichen Baum wieder. Um das zu gewährleisten machen wir den Baum T zu einen metrischen Raum. Wir identizieren dazu jede Kante mit dem Intervall [0, 1]. Der Abstand von zwei Punkten auf einer Kante ist dann durch die Betragsmetrik auf dem Intervall gegeben. Der Abstand zwischen zwei Ecken x, y in Baum T, die durch den Weg p = x = x 1, x 2,..., x n = y verbunden sind, sei dann d(x, y) = n 1. Ist M eine Baum T, dann ist Aut(M) die Menge aller bijektiven Isometrien von T. Ist T endlich ist Aut(T ) =Isom(T ).
40 Wirkung auf Bäume Denition (Isometrie) Eine Abbildung f : M 1 M 2 zwischen zwei metrischen Räumen (M 1, d 1 ), (M 2, d 2 ) heiÿt Isometrie, wenn für alle x, y M 1 gilt: d 1 (x, y) = d 2 (f (x), f (y))
41 Wirkung auf Bäume Denition (Isometrie) Eine Abbildung f : M 1 M 2 zwischen zwei metrischen Räumen (M 1, d 1 ), (M 2, d 2 ) heiÿt Isometrie, wenn für alle x, y M 1 gilt: d 1 (x, y) = d 2 (f (x), f (y)) Beisiel Für f : (T, d) (T, d) wird durch f (1) = 7, f (2) = 2, f (3) = 3, f (4) = 4, f (5) = 5, f (6) = 6, f (7) = 1 eine Isometrie auf dem abgebildeten Baum T deniert.
42 Wirkung auf Bäume Isom(T ) Abbildung: Baum T
43 Wirkung auf Bäume Isom(T ) Abbildung: Baum T Die Menge der Isometrien auf T ist Isom(T ) = {f 1 = id, f 2 = (17), f 3 = (35)(46), f 4 = (17)(35)(46)} für f i Sym(7).
44 Wirkung auf Bäume Isom(T ) Abbildung: Baum T Die Menge der Isometrien auf T ist Isom(T ) = {f 1 = id, f 2 = (17), f 3 = (35)(46), f 4 = (17)(35)(46)} für f i Sym(7). Die Menge Isom(T ) zusammen mit der Abbildungsverknüpfung ist eine Gruppe.
45 Wirkung auf Bäume Isom(T ) Abbildung: Baum T Die Menge der Isometrien auf T ist Isom(T ) = {f 1 = id, f 2 = (17), f 3 = (35)(46), f 4 = (17)(35)(46)} für f i Sym(7). Die Menge Isom(T ) zusammen mit der Abbildungsverknüpfung ist eine Gruppe. φ : Z 2 Z 2 Isom(T ) mit φ((1, 0)) = f 2, φ((0, 1)) = f 3 ist ein Gruppenhomomorphismus. Damit wirkt also Z 2 Z 2 auf den Baum T.
46 Wirkung auf Bäume Isom(T ) Abbildung: Baum T
47 Wirkung auf Bäume Isom(T ) Abbildung: Baum T Die Isometrien auf T sind f 1 = id, f 2 = (12), f 3 = (56), f 4 = (12)(56), f 5 = (15)(26)(34), f 6 = (16)(25)(34), f 7 = (1625)(34), f 8 = (1526)(34) für f i Sym(6).
48 Wirkung auf Bäume Isom(T ) Abbildung: Baum T Die Isometrien auf T sind f 1 = id, f 2 = (12), f 3 = (56), f 4 = (12)(56), f 5 = (15)(26)(34), f 6 = (16)(25)(34), f 7 = (1625)(34), f 8 = (1526)(34) für f i Sym(6). φ : D 4 Isom(T ) mit φ(a) = f 5, φ(b) = f 7 ist ein Gruppenhomomorphismus. Damit wirkt also die Diedergruppe D 4 auf den Baum T.
49 Wirkung auf Bäume Isom(T ) Abbildung: Baum T Die Isometrien auf T sind f 1 = id, f 2 = (12), f 3 = (56), f 4 = (12)(56), f 5 = (15)(26)(34), f 6 = (16)(25)(34), f 7 = (1625)(34), f 8 = (1526)(34) für f i Sym(6). φ : D 4 Isom(T ) mit φ(a) = f 5, φ(b) = f 7 ist ein Gruppenhomomorphismus. Damit wirkt also die Diedergruppe D 4 auf den Baum T. Eine Diedergruppe D n für n > 2 ist die Isometriegruppe eines regelmäÿigen n-ecks und besteht aus n Drehungen und n Spiegelungen.
50 Wirkung auf Bäume Isom(T ) Abbildung: Baum T Die Isometrien auf T sind f 1 = id, f 2 = (12), f 3 = (56), f 4 = (12)(56), f 5 = (15)(26)(34), f 6 = (16)(25)(34), f 7 = (1625)(34), f 8 = (1526)(34) für f i Sym(6). φ : D 4 Isom(T ) mit φ(a) = f 5, φ(b) = f 7 ist ein Gruppenhomomorphismus. Damit wirkt also die Diedergruppe D 4 auf den Baum T. Eine Diedergruppe D n für n > 2 ist die Isometriegruppe eines regelmäÿigen n-ecks und besteht aus n Drehungen und n Spiegelungen. Untergruppen von D 4 sind Z 4, Z 2 Z 2 und Z 2.
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