7 Turbulenz (7.1) L. L oder ausgerückt durch das Verhältnis (7.2)

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1 7 Turbulenz In einer laminaren Strömung fliessen die Flüssigkeitselemente in benachbarten Stromlinien aneinander vorbei ohne sich zu mischen. Im Gegensatz dazu hat die turbulente Strömung einen stark unregelmässigen, chaotischen Charakter, sie enthält zahlreiche Wirbel und die Flüssigkeit wird kräftig durchmischt. Turbulente Strömungen sind durch folgende Merkmale charakterisiert: die Strömung ist instationär, die Geschwindigkeit enthält eine fluktuierende Komponente, die zufällig verteilt scheint. sie sind immer dreidimensional (auch wenn alle Variablen nur von zwei Koordinaten abhängen) sie besitzen Vorticity und enthalten Wirbel (engl. eddies ) vieler Grössenskalen sie sind stark durchmischt. Weil die Mischung Flüssigkeit von sehr unterschiedlicher Geschwindigkeit in Kontakt bringt, entstehen hohe Gradienten und Dissipation findet statt. sie enthalten kohärente Strukturen, sind also nicht im mathematischen Sinne zufällig. Um die Turbulenz zu charakterisieren, eignen sich Methoden der statistischen Physik, also etwa Mittelung über die Zeit oder über ein Ensemble Korrelationen und Autokorrelationen Turbulenzspektren (Verteilung der turbulenten kinetischen Energie) Turbulenz kann dann existieren, wenn viskose Dämpfung nicht ausreicht, um die kinetische Energie allfälliger Wirbel zu dissipieren, d.h., wenn die Trägheitskräfte viel grösser sind als die Reibungskräfte: V V ρ >> µ (7.1) L L oder ausgerückt durch das Verhältnis ρv / L Re >> 1 (7.) µ V / L Turbulenz setzt ein, wenn die Strömung bezüglich sehr vieler Freiheitsgrade instabil ist. Dies ist der Fall bei kritischen Reynoldszahlen von der Grössenordnung 1000 bis einige Tausend. Eine turbulente Strömung hat eine starke Wechselwirkung zwischen den Wirbeln aller Skalen: kleine Wirbel können zu grossen Wirbeln wachsen, und umgekehrt grosse Wirbel in kleine Wirbel zerfallen. Die kleinen Skalen sind wesentlich für die Dissipation. Beispiel: Re = 1500 V =5m/s ν =1.5x10-5 (Luft) Re L ν = 5 mm (7.3) V Für die Dämpfung sind also (in diesem Beispiel) Wirbel der Grösse von wenigen Millimetern massgebend. Durch turbulente Durchmischung können Flüsse von Stoffen, von Impuls und von Energie analog wie durch Diffusion - bewirkt werden. Man spricht dann von turbulenter Diffusion ( ed-diffusion ). Turbulente Diffusion ist meist um Grössenordnungen effizienter als molekulare Diffusion

2 7.1 Reynolds-Mittelung Wir schreiben alle Strömungsvariablen in der Form f ~ ( x, t) = F( x, t) f ( x, t) (7.4) i i i Dabei ist f ~ die zeitlich variable Grösse, F ein zeitlicher Mittelwert, der sich mit der Zeit nur langsam verändert, und f ist die fluktuierendekomponente. Von diesen Grössen bilden wir zeitliche Mittel: ~ 1 T f ( x ~ i, t) = f ( xi, t) F( xi, t) (7.5) T 0 Im Folgenden werden Grossbuchstaben für zeitliche Mittelwerte, und Kleinbuchstaben für Fluktuationen verwendet. Der Mittelwert über die Fluktuationen verschwindet: f = 0 (7.6) Für Produkte von zwei Variablen ergibt die Mittelung ~ f g ~ = FG fg (7.7) Im Folgenden betrachten wir der Einfachheit halber inkompressible Flüssigkeiten, mit den Geschwindigkeitskomponenten u ~ i = Ui ui (7.8) Es gilt die Kontinuitätsgleichung u~ i = 0 (7.9) i Die Mittelung dieser Gleichung gibt Ui = 0 (7.10) i also die Kontinuitätsgleichung für den Mittelwert. Subtrahiert man diese von 6.9, so erhält man eine Kontinuitätsgleichung für die Fluktuationen: ui = 0 (7.11) i Als nächstes nehmen wir die Navier-Stokes-Bewegungsgleichung für eine inkompressible Flüssigkeit, und schreiben die linke Seite in der Form wie (1.5): u~ ~ ~ i ( ~ ~ p ui ρ ρ uiu j ) = µ (7.1) t j i j Die Reynolds-Mittelung liefert Ui P Ui ρ ρ ( UiU j ) ρ ( uiu j ) = µ (7.13) t j j i j Der neue Term R ij τ = ρ u u (7.14) i j wird als Reynolds-Spannung (engl. Reynolds-stress ) bezeichnet. Er beschreibt die Effekte der Turbulenz und rührt von der Nichtlinearität der Impulsgleichung her. Es ist möglich, durch geeignete Mittelung der Navier-Stokes-Gleichung auch Gleichungen für u i u j herzuleiten. Allerdings enthalten diese ihrerseits Terme höherer Ordnung wie uiu juk oder u i p : Man erhält ein nicht abgeschlossenes System mit mehr Unbekannten als Gleichungen. Man benötigt also Annahmen oder Approximationen, um das System zu schliessen. Ein Mass für die Stärke der Turbulenz ist der Tur bulenzgrad Tu, definiert als 1 u v w Tu = (7.15) U 3 Für die meisten turbulenten Strömungen liegt der Turbulenzgrad zwischen 1% bis 10%, in Extremfällen kann er bis 40% betragen. Physikalisch können wir erwarten, dass die Reynolds-Spannungen von den charakteristischen Eigenschaften der relevanten Wirbel, nämlich einer Turbulenzgeschwindigkeit u,wo ( ) uv = O u (7.16) einer charakteristischen Längenskala der Wirbel L und den Geschwindigkeitsgradienten in der mittleren Strömung du/ abhängen. ρ uv = f ( ρ, L, u, du ) (7.17) 49 50

3 Dimensionsanalyse liefert uv L du = F (7.18) u u In Analogie zur molekularen Diffusion können wir den Effekt der Turbulenz approximieren durch eine turbulente Diffusion (engl. ed diffusion ) proportional zum Geschwindigkeitsgradienten du uv = νt (7.19) ν T = CL (7.9) (C ist eine dimensionslose Konstante). Da die Gradienten in der Strömung durch die Turbulenz produziert werden, muss für die Skalen gelten du (7.1) L und folglich du ν T = l (7.) Damit haben wir eliminiert, und die Konstante C in die Mischungslänge l integriert. Turbulente Strömungen lassen sich grob einteilen in freie Turbulenz (z.b. in einem Strahl oder Nachlauf) und Wand-Turbulenz in der Nähe einer Grenzfläche. Für freie Turbulenz ist l ungefähr konstant und von der Grössenordnung der Skala der turbulenten Struktur. 7. Wand-Turbulenz Wand-Turbulenz verhält sich fern von der Wand gleich wie freie Turbulent. Nahe der Wand können aber grosse Wirbel nicht mehr existieren (oder jedenfalls keinen Beitrag zum Impulstransport leisten), es muss gelten l 0 ( y 0), und man setzt nahe der Wand l = κ y (7.3) ( κ ist eine dimensionslose Konstante, die Karman-K onstante). Nahe der Wand lässt sich das Geschwindigkeitsprofil aus reinen Dimensionsüberlegungen herleiten: 51 du u = = (7.4) l κy mit der Lösung y y) = ln (7.5) κ y0 Allerdings kann diese Lösung die Randbedingung 0) = 0 nicht erfüllen, und man verwendet oft u y y0 y) = ln (7.6) κ y0 Diese Lösung (mit z anstelle von y) ist z.b. in der Atmosphärenphysik bekannt als das logarithmische Windprofil und gilt für die bodennahe Schicht von einigen Dutzend Metern Höhe (bei thermisch neutraler Schichtung). Die Konstante y 0 (bzw. z 0 ) hat eine verschiedene Bedeutung, je nach der Beschaffenheit der Grenzfläche. Für eine aeronamisch raue Oberfläche ist y 0 die Rauhigkeitshöhe, für eine aeronamisch glatte Oberfläche hingegen muss zusätzlich noch eine viskose Unterschicht betrachtet werden, und y 0 durch Anpassung an die Lösung für viskose Strömung bestimmt werden. 7.3 Strömung zwischen parallelen Platten Mit dem logarithmischen Gesetz haben wir zwar einen Ausdruck für die Strömung nahe einer Wand, allerdings fehlt uns noch jede Information über den Turbulenzgrad bzw. u * U als Funktion der Strömungsparameter. Eine solche Beziehung soll in diesem Abschnitt für den Fall einer turbulenten Strömung zwischen parallelen Platten hergeleitet werden. Eine solche Strömung entspricht beispielsweise einer Strömung in einem sehr breiten Kanal, oder, für die Transformation in Zylinderkoordinaten, der Strömung in einem Rohr mit kreisförmigem Querschnitt. Wir betrachten nur den Grenzfall sehr hoher Reynoldszahl. 5

4 (Channel Flow: Figur aus Panton) Wir setzen voll-ausgebildete Turbulenz voraus, dann sind die Strömungsgrössen unabhängig von der Koordinate in Richtung der Strömung (x). Die Impulsgleichungen sind dann, analog zu ( ): 1 P duv d U 0 = ν (7.7) ρ 1 P dv 0 = ρ (7.8) Die zweite Gleichung gibt P0 = P ρ v und, weil v nicht von x abhängt: P dp0 = dx (7.9) Nun integriert man (7.7) über y von der Wand, wo die Schubspannung τ 0 gegeben ist durch du τ 0 ν 0 ρ (7.30) und uv ( y = 0) = 0, und erhält y dp0 du τ 0 0 = uv ν (7.31) ρ dx ρ Auf der zentralen Stromlinie verschwinden aus Symmetriegründen sowohl uv als auch du,undwirerhalten du τ = 0 y uv ν 1 (7.3) ρ h Die gesamte Schubspannung verändert sich linear mit der Distanz y. Wir betrachten nun als erstes die Strömung aussen im Kanal, die äussere Lösung, und wählen dimensionslose Variablen der Ordnung 1: y Y = (7.33) h und approximieren für grosse Re: Y ) = F( Y,Re) F0 ( Y ) (Re) F1( Y )... = F0 ( Y ) F1( Y )... (7.34) definieren wir als Skalengrösse für die Turbulenz, und setzen uv = G( Y,Re) G0( Y )... (7.35) und eine modifizierte Reynoldszahl h Re Re (7.36) ν = U 0 Wir setzen nun alles in (7.3) ein: U df G 0 1 τ = u 0 ρ dy u Re Experimentell ist bekannt, dass ( 1 Y ) (7.37) U 0 1 0, Re (7.38) Re folglich verschwindet der zweite Term auf der linken Seite für Re. G ist O(1); damit die rechte Seite auch von Ordnung 1 ist, setzen wir u τ 0 ρ (7.39) Der Turbulenzgrad ist also durch die Schubspannung an der Wand bestimmt. Die Lösung für F 0 (Y) erhalten wir aus der einfachen Betrachtung des Grenzfalls von Re = : dann ist die Strömung reibungsfrei und 53 54

5 y) = F( Y, ) = F0 ( Y ) = 1 (7.40) Damit ist y ) F1( Y ) = (7.41) Als nächstes betrachten wir nun eine Approximation für die Lösung nahe der Wand, als innere Lösung. Hier ist die charakteristische Geschwindigkeit ebenfalls u (U 0 ist nahe der Wand keine Skala), die charakteristische Länge ist durch die Viskosität bestimmt: ν h d = (7.4) Re Die inneren Variablen sind dann: y y U uv y =, f0 =, g0 (7.43) d ν u In inneren Variablen wird die Bewegungsgleichung (7.3) zu df0 g 0 = 1 (7.44) In der inneren Schicht, wo y = O(1) ist also die Schubspannung (Summe aus molekularer und turbulenter Schubspannung) konstant. Es muss nun ein Gebiet geben, wo sich die beiden Lösungen überlappen, also Fcp ( Y ) F( Y 0) = f ( y ) fcp( y ) (7.45) (cp steht für common part, gemeinsamer Teil, d. h. den Teil der Funktionen mit gleichem asymptotischem Verhalten). In erster Näherung gilt dann 1 F1, cp ( Y ) = f0, cp( y ) (7.46) Wir kennen F 1 nicht, also hilft diese B eziehung nicht sehr viel weiter. Es müssen aber auch die Ableitungen gleich sein, also df Y dy 1, cp = y df 0, cp = 1 κ (7.47) 55 Die beiden Variablen unterscheiden sich um den Skalenfaktor Y / y = Re ; weil die Beziehung unabhängig vom Wert von Re gelten muss, sind beide Seiten gleich einer Konstanten. Wir können für innere und äussere Variablen integrieren, und erhalten y ) 1 f 0, cp( y ) = = ln y C i κ y ) U 1 F 0 1, cp( y ) = = lny C o κ (7.48) (7.49) Wir erhalten also wieder die logarithmischen Lösungen. Zwar kennen wir von F immer noch erst den Wert im Überlappungsgebiet. Dafür liefert die Differenz der beiden Ausdrücke aber das wichtige Resultat (Isakson 1937, Millikan 1938, Zitat in Panton): 1 u C i C O u = ln Re U (7.50) κ 0 Wir haben eine, wenn auch implizite, Beziehung zwischen dem Turbulenzgrad und der Reynoldszahl gefunden (gültig für grosse Re). Die Konstanten lassen sich experimentell bestimmen, sie sind κ 0.41 (Karman Konstante) (7.51) C 5.0 (7.5) i C 1 (für ein rundes Rohr) (7.53) o /U x10 3 1x10 4 1x10 5 1x10 6 1x10 7 Re Turbulenzgrad als Funktion der Reynoldszahl, für C i C o =6 56

6 Mit u lässt sich auch der Strömungswiderstand, bzw. der Druckabfall berechnen: P dp = = hτ 0 = hρ (7.54) x dx und der Widerstandskoeffizient: F u C w = = AρU 0 (7.55) Strömungswiderstände in Rohren haben dann neben diesem Beitrag für ausgebildete Turbulenz noch je einen Beitrag vom Ein- und Austritt des Rohrs, wo sich die Geschwindigkeitsverteilung ändert und die Gradienten in der Regel grösser sind. 7.4 Freie Turbulenz: der turbulente Strahl (Figur aus Panton) (Figur aus Panton) Wir betrachten einen Strahl, der aus einem Kanal in ein Reservoir austritt. Die Breite des Austritts sei D, die Austrittsgeschwindigkeit U 0.Reibung zwischen dem Strahl und der ruhenden Flüssigkeit im Reservoir bewirkt Turbulenz, der Strahl nimmt Flüssigkeit aus der Umgebung auf. Die Geometrie sei planparallel, und alle Variablen unabhängig von der z- Koordinate. In genügendem Abstand vom Austritt können wir annehmen, dass die Turbulenz alle E rinnerung an das Austrittsprofil ausgelöscht hat und das P rofil sich selbst ähnlich bleibt. Wir verwenden aus der Impulsgleichung nur den Trägheitsterm und die Reynolds-Spannung U U uv U V = Dazu addieren wir U mal die Kontinuitätsgleichung und erhalten (7.56) U UV uv = (7.57) 57 58

7 Wir integrieren diesen Ausdruck über y von - bis, und berücksichtigen die Symmetrie bezüglich y: Dann liefert nur der 1. Term einen Beitrag: bzw. du dx = d dx U = 0 0 U = const. = U D (7.58) (7.59) Der Impulsfluss in x-richtung ist erhalten. Hingegen ist der Massenfluss nicht erhalten, der Strahl nimmt Flüssigkeit aus der Umgebung auf, und wird dadurch abgebremst. In genügender Distanz vom Austritt sei die Geschwindigkeitsverteilung selbstähnlich: y y x, y) = U = η), η (7.60) δ ( x) δ ( x) Wir stellen die Geschwindigkeit durch eine Stromfunktion ψ dar: ψ = U s ( x) δ ( x) F( η), (7.61) berechnen die Komponenten ψ ψ U =, V = (7.6) und deren Ableitungen und setzen alle in die Impulsgleichung ein, und erhalten für die rechte Seite (der Strich bezeichnet jeweils die Ableitung nach dem Argument der Funktion) U U Us ( δus )' U V = UsU' s F' FF' ' (7.63) δ Die Reynoldsspannung approximieren wir durch einen Diffusionsansatz: du uv = L (7.64) Die charakteristische Distanz ist die B reite des Jets (die grössten Wirbel sind die effektivsten), also L = δ, und für die charakteristische Geschwindigkeit nehmen wir einen festen Bruchteil der Strömungsgeschwindigkeit: u = cu s (7.65) du uv = cus δ (7.66) Diesen Ausdruck muss man ebenfalls durch die Stromfunktion ausdrücken, man erhält nach einiger Mathematik uv cus = F' '' (7.67) δ und die Differentialgleichung ( )' ' δus cus F FF' ' = F' ' ' (7.68) δus ' δus ' FsollnureineFunktionvonη sein (Ähnlichkeit!), also müssen die Koeffizienten Konstanten sein. In der Tat verlangt die Impulserhaltung, dass der Koeffizient auf der linken Seite gerade gleich 1 ist. Der Koeffizient auf der rechten Seite ist frei wählbar (damit skalieren wir δ ), wir setzen ihn gleich -½ (damit wird die Lösung vereinfacht). Damit ist auch die funktionale Form von δ festgelegt, der Koeffizient wird nur konstant wenn δ proportional x ist. Experimentell findet man δ ( x) x (7.69) (vgl. Panton) und daraus 1 0 ( D / ) 1 U s = Ax =.7U x (7.70) Als Lösung für F, mit den Randbedingungen F(0)=0, F (0) = 1, F (0) = 0 und F (± )=0 findet man F '( η ) = tanh( η) (7.71) U U 1 = = (7.7) U Ax 1 s cosh ( η) Für einen runden Strahl findet man ein ähnliches Profil, aber einen Verlauf U s 1 x

8 7.5 Kolmogoroff-Energiekaskade Für hohe Reynoldszahlen lässt sich die spektrale Form der Turbulenz aus einfachen Dimensionsbetrachtungen herleiten. Die spektrale Verteilung der kinetischen Energie sei gegeben durch eine Funktion F(k), wo k die Wellenzahl ist, sodass = 0 u i F( k) dk (7.73) Die kinetische Energie der Turbulenz werde auf grossen Skalen erzeugt. Auf diesen Skalen ist die viskose Dämpfung vernachlässigbar, die Dämpfung findet nur auf sehr kleinen Skalen statt. Die Energie der grossen Wirbel muss folglich über eine Kaskade von immer kleineren Wirbeln bis zu den kleinsten Wirbeln übertragen werden, damit Dämpfung stattfinden kann. Die Energie der grossen Wirbel sei gegeben durch u, ihre Längenskala durch L. Ein bestimmter P rozentsatz der Energie werde pro Zeiteinheit in die kleineren Wirbel transportiert. Aus Dimensionsgründen gilt für diese Energie u 3 ε (7.74) L Das Spektrum der grossen Wirbel lässt sich schreiben als F = F( k, ε, L) (7.75) Die Dämpfung findet nur in den kleinsten Wirbeln statt. Hier ist L keine relevante Längenskala mehr, vielmehr muss gelten f = f ( k, ε, ν ) (7.76) ε ist die Rate, mit der Energie von den grossen Wirbeln erzeugt wurde, und folglich die Rate, mit der Energie von den kleinen Wirbeln dissipiert werden muss. Die Längenskala für die Dämpfung erhält man wieder aus Dimensionsüberlegungen, 3 1/ 4 ν η = (7.77) ε η heisst Kolmogoroff-Länge. Es gilt Die Energie wird also (im Spektralbereich) über Wirbel vieler Grössenordnungen transportiert. In diesem Inertialbereich ist weder L noch η eine relevante Skala (wohl aber ε), folglich f = f ( k, ε ) (7.79) f hat die Dimension u /k, 1 / 3 5 / 3 f u k ε k (7.80) 5 / 3 Dieses k -K olmogoroff-gesetz charakterisiert bei hohen Reynoldszahlen das Spektrum für einen sehr weiten Bereich. (Figur aus Panton). L ul = η ν 3 / 4 = Re 3 / 4 (7.78) 61 6