Informatik II SS Überblick. Nachricht, Daten, Information (1) Nachricht, Daten, Information (2)

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1 Überblick Informatik II SS 26 Kapitel 2: Zahlen und Logik Zahlen Logik Aussagenlogik und logische Gatter Prädikatenlogik Teil : Zahlen Dr. Michael Ebner Dipl.-Inf. Marco Zibull Lehrstuhl für Telematik Institut für Informatik 2.-2 Nachricht, Daten, Information () Nachricht, Daten, Information (2) Nachricht Zeichen oder kontinuierliche Funktion, die zum Zwecke der Weitergabe Information aufgrund bekannter oder unterstellter Abmachungen darstellen. (DIN 443) Daten Zeichen oder kontinuierliche Funktion, die zum Zwecke der Verarbeitung Information aufgrund bekannter oder unterstellter Abmachungen darstellen. (DIN 443) Information Inhalt von Nachrichten oder Daten Nachricht Codierung Information Weitergabe Daten Codierung Information Verarbeitung Information edeutunginhalt Gleiche Informationen sind in verschiedenen Codierungen möglich Für verschiedene Empfänger hat die gleiche Information oft unterschiedliche edeutung Information muss für den Empfänger nicht neu sein, evtl. ist der Informationsgehalt auch leer Nachricht Datum Information 5 Grad 5 Grad Codierung menschliche Sprache Interpretation Duden ASCII Zweck Weitergabe der Information in einem Gespräch Weiterverarbeitung in einem Textverarbeitungsprogramm

2 ereiche des Wissensmanagements Zur Übertragung von NachrichtenDaten müssen diese in Signale umgesetzt werden. Help Desk Systems Database Technologies Collaborative Technologies Signal: physikalische Darstellung von NachrichtenDaten Signaltypen: Radiowellen, Rauchsignale, Stromfluss, Schallwellen, usw. Signalparameter: Ausprägung eines Signals mit dessen Hilfe NachrichtenDaten dargestellt werden. Parameterarten: Frequenz, Farbe, Form, Spannung, Lautstärke, usw. Signal NachrichtDaten Information Wissen 2.-5 Cognitive Science Technical Writing Electronic Performance Support Systems Web Technologies KM Disciplines Library & Information Science Decision Support Systems Organizational Science Document & Information Management Artificial Intelligence 2.-6 Analoge Daten & Digitale Daten Vorteile von digitalen Daten Analoge Daten Physikalische Prozesse werden im Allgemeinen durch kontinuierliche Funktionen beschrieben. Diese liefern im Prinzip unendlich viele Werte, wobei sich diese aufgrund der Unschärferelation nicht unbedingt unterscheiden lassen. Wo begegnen uns analoge Daten? Quecksilberthermometer, Uhren, Schallplatten, Audio-Kassetten, Waagen Digitale Daten Quantisierung, d.h. der eventuell unendliche Wertebereich wird auf endlich viele Werte abgebildet Wo begegnen uns digitale Daten? DVD, CD, Computerdisketten, digitale Uhren, digitale Thermometer, MP3 Auswahl diskreter Werte zur digitalen Interpretation erleichtert die rechnergestützte Verarbeitung und kann auch die Genauigkeit erhöhen Daten werden in Rechnern praktisch ausschließlich in digitaler Form dargestelltverarbeitet. Meist in Form von binären Signalen inäre Signale: Signale, die nur zwei Zustände annehmen können. Zustand Zeit

3 Wie kommt man in einer analogen Welt zu digitalen Daten? Sprach- und Signalisierungsübertragung eispiel: Digitalisierung von Sprache Analoge Telephonie basiert auf der Ähnlichkeit von elektronischen Wellen und Schallwellen Zusätzlich zur Nutzinformation werden Signalinformationen übertragen. Sprachübertragung in der analogen Telephonie ( analog ähnlich ) Anmerkung: Prinzip gilt auch für die Digitalisierung von Musik (z.. MP3), erfordert aber eigene Annahmen Digitalisierung: Prinzip (3) Digitalisierung (23) digital ziffernmäßig eispiel: Menge von Kartoffeln in einem Sack lässt sich durch zählen oder wiegen beschreiben. kg lässt sich durch die Folge -- im Dezimalsystem beschreiben Digitaltechnik: binärer Zeichenvorrat, d.h. und 2 Ähnlich lassen sich elektrische Wellen in einem Telefon und der Telefonleitung beschreiben. Fazit: Elektrische Welle wird in regelmäßigen Abständen abgehorcht und der dann aktuelle Wert wird notiert Abtasttheorem Ein Signal muss mindestens mit einer (Abtast-) Frequenz abgetastet werden, die doppelt so hoch ist wie die höchste im Signal enthaltene Frequenz. Andernfalls kann das Signal nicht originalgetreu reproduziert werden. Abtastfrequenz (Abstand zwischen zwei Abtastpunkten) Telephonie: Frequenzen (Töne): 3 Hz bis 34 Hz Abtastfrequenz: 8 Hz Tiefpass: Filter für Frequenzen > 34 Hz Durch Abtastung entsteht eine Folge von Impulsen (Werten). Hüllkurve dieser Abtastwerte ergibt wieder das alte Signal. Verfahren: Pulsamplitudenmodulation (PAM)

4 Digitalisierung (33) Quantisierung (2) Filter für Frequenzen >34Hz ( Hüllkurve angedeutet) Impulse sind ja immer noch analog, d.h. die gemessenen Werte sind für die digitale Repräsentation u.u. noch zu genau. Sie müssen zu digitalen Signalen verarbeitet werden. ( Einschränkung auf eine darstellbare endliche Wertemenge) Maximal mögliche Amplitudenwert wird in eine endliche Anzahl von Amplitudenstufen unterteilt (quantisiert) Je mehr Stufen (Quantisierungsschritte) benutzt werden, desto genauer wird das Originalsignal abgetastet und desto originalgetreuer kann es wieder gewonnen werden. Telekom-Netzbetreiber verwenden Quantisierungsschritte (mit 8it darstellbar) itrate eines Fernsprechkanals? Abtastfrequenz: 8Hz 8s 8it * 8s 64 its 64 kits Quantisierung (22) Zeitmultiplexverfahren

5 Datenaufbewahrung Physikalische Prozesse mit deren Hilfe sich Signale und Informationen aufbewahren und wiederherstellen lassen Je nach Anwendung kann man zwischen RAM und ROM unterscheiden: ROM RAM Speichermedium Webstuhl-rettchen LochstreifenLochkarte Kippschalter Magnetschicht Transistor Wert ohrung Lochung Kontakt zu H,5 V Keine ohrung Keine Lochung Kontakt offen H 4,5 V Wert Codierung - Grundlagen Alphabet (Zeichenvorrat): Endliche Menge von Zeichen, die zur Darstellung von Informationen benutzt wird eispiele: Ziffern: {,, 2, 3, 4, 5, 6,, 8, 9} Alphanumerisches Alphabet: {a,,z, A,,Z,,,9} inärzeichen: {, } Wort: Folge von Zeichen, die in einem bestimmten Kontext als Einheit betrachtet werden eispiele: Zahlwörter: 5, 5, 3, 5, Schreibwörter: Kohlkopf, Hunger, Hund inärwörter:,,,, emerkungen zum Kontext: in Englisch hat das Wort Kohlkopf keine edeutung kann von Rechner mit Wortlänge 8 nicht verarbeitet werden Codierung - Codes (2) Codierung - Codes (22) Code: zwei Zeichenvorräte: Urbildmenge und ildmenge eindeutige Abbildung von der Urbildmenge auf die ildmenge inärcode: Code, bei dem jedes Zeichen der ildmenge ein Wort aus inärzeichen (inärcode) ist eispiel: Codierung der Zahlen 9 als inärwörter Abkürzungen CD: inary Coded Decimal ECDIC: Extended inary Decimal Interchange Code ASCII: American Standard Code for Information Interchange Dezimalzahl CD (Dualzahl) ECDIC ASCII (P: Paritätsbit) P P P P P P P P P P P P 2.-2

6 Alphanumerische Codes Sind zur gemeinsamen Darstellung von Zahlen und uchstaben in Texten notwendig. Alphabet: 26 Großbuchstaben (A Z) 26 Kleinbuchstaben (a z) Zahlen ( 9) 62 Zeichen 62 Zeichen lassen sich in einem inärwort der Länge 6 codieren (26 64). Was ist mit nationalen Sonderzeichen und Satzzeichen? Zum eispiel: Ä Ü Ö, ; : - ( ) Man benutzt daher einen it Code mit dem sich 28 Zeichen (2 Zeichen) codieren lassen. Codierung - ASCII Code (2) ASCII: American Standard Code for Information Interchange 8 - it Code: it zur Codierung von Zeichen it Paritätsbit its P NULL SOM EOA EOM EOT WRU RU ELL FE HTSK LF VTA FF CR SO SI P DC DC DC 2 DC 3 DC 4 ERR SYNC LEM S S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S P P P P P P p! A Q a q 2 R b r # 3 C S c s $ 4 D T d t % 5 E U e u & 6 F V f v G W g w ( 8 H X h x ) 9 I Y i y * : J Z j z ; K k, < L \ l ACK - M m UC. > N n ESC? O o DEL Codierung - ASCII Code (22) Die meisten Computer arbeiten jedoch mit einer 8 it Codierung ohne Paritätsbit, d.h. anstelle von 2 (28) Zeichen werden 2 8 ( 256) Zeichen kodiert. Man spricht dann von Extended Character Sets. Extended Character Sets werden z.. benutzt um Linienzeichnungen (z.. oder ) und andere wichtige Zeichen zu kodieren (z.. oder ). Natürlich auch zur erücksichtigung von nationalen Varianten (z.. ß, ü, Ü, ö, Ö, ä, Ä, û, ú, ù, Æ, æ, è, é, Ó). Typischerweise reichen 256 Zeichen jedoch nur aus um eine nationale Variante zu unterstützen, wodurch es dann wieder viele verschiedene nationale Extended Character Sets gibt. Ein Ausweg aus diesem Chaos soll der Unicode sein, einer 6 it Kodierung von Zeichen, bei der die ersten 28 Kodierungen der normalen it ASCII entsprechen

7 Der Unicode-Standard (4) Der Unicode-Standard (24) Allgemeines Universeller Standard zur Zeichencodierung Voll Identisch mit ISOIEC 646:23: Information Technology Universal Multiple- Octet Coded Character Set (UCS) Ziele: Codierung multilingualer Texte Einfacher Austausch von Textdateien über nationale Grenzen hinweg Einbeziehung mathematischer und technischer Symbole Unicode ist Standardcodierung bei Java Unterstützung in C durch Datentyp wchar_t und Klassenbibliotheken wie QT Zeichenumfang Jedes Zeichen ist eindeutig einem 6-it-Codewert zugewiesen 65.5 Zeichen; ausreichend für die Codierung aller Zeichen aller geschriebenen Sprachen Codierung (v.4.) Alphabetics, Symbols 649 Unicode entspricht in den unteren 28 Werten dem ASCII-Code CJK Ideographs Hangul Syllables Private Use Surrogates Controls Not Characters Total assigned 6-bit code values Unassigned 6-bit code values 2 86??? Der Unicode-Standard (34) Der Unicode-Standard (44) Zeichencodierung Unterstützte Sprachen: Latein, Griechisch, ChinesischJapanischKoreanisch, Kyrillisch, Arabisch, engalisch, Gujarati, Zusammengesetzte Zeichen (z.. Umlaute) können wahlweise dargestellt werden: durch vorkomponierte Zeichen (aus Kompatibilität), z.. ä, oder durch Kombination von Grundzeichen und Diakritika (vorteilhaft bei Sortierung), z.. a Änderung der Schreibrichtung kann durch spezielle Zeichen eingeleitet werden, z.. beim Wechsel zwischen Englisch und Arabisch Unicode legt nicht das Aussehen (glyph) von Zeichen fest; statt dessen Zuweisung eines Namens, z.. LATIN CAPITAL LETTER A Quellen Unicode Consortium ( The Unicode Consortium. The Unicode Standard, Version 4.., defined by: The Unicode Standard, Version 4. (oston, MA, Addison-Wesley, 23. ISN ), as amended by Unicode 4.. ( and by Unicode 4.. (

8 Codierung - Schichtenmodell Rückblick: Information und Schichtenmodell als Gedankenmodell C3 C2 C C eispiel: Codierungen sind häufig geschachtelt. D.h. eine höhere Schicht stützt sich auf die nächst tiefere ab. Die höhere Schicht nimmt Zeichen entgegen, ignoriert aber deren tiefere Codierung. C Schlüsselwörter Großbuchstaben ISO ISO -it 8-it ytes inärstellen, its Schaltzustände Elektronenebene Signal, Daten, Nachricht, Information Analoge Daten & digitale Daten Codierungen Zahlencodes alphanumerische Codes Codes CD Code ECDIC Code ASCII Code Unicode Schichtung von Codierungen Überblick Polyadische (2) Zahlen Logik Aussagenlogik und logische Gatter Prädikatenlogik Potenzen zu einer asis als Stellenwert N- n a i * i (, a i N, > ) i a N- * N- a N-2 * N-2 a * a 2.-3 (((a N- * ) a N-2 ) * )* a ) * a (Horner Schema) Konvention: <ZAHL> <ASIS> besagt das <ZAHL> einen Wert im Zahlensystem mit der asis <asis> beschreibt. z im Dezimalsystem, 2 im Dualsystem 2.-32

9 Polyadische (22) z.. Codierung von 985 CD (kein polyadisches Zahlensystem): 9 Dezimalsystem (asis ): 985 * 3 9 * 2 8 * 5 * (( * ) 9) * 8) * 5 8 Dualsystem (asis 2): 2 *2 *2 9 *2 8 *2 *2 6 *2 5 *2 4 *2 3 *2 2 *2 *2 (((((((((*2 )*2 )*2 )*2 )*2 )*2 )*2 )*2 )*2 )* mit Zweierpotenz als asis inärsystem (asis 2) Vierersystem (asis 4) Oktalsystem (asis 8) Hexadezimalsystem (asis 6) (Zeichenvorrat: 9, AF) Einfache Umrechnung: Umgruppieren der inärstellen eispiel: Umrechnung zwischen n eispiel für manuelle Umrechnung (3) Im allgemeinen reicht es nicht aus einfach nur die inärstellen umzugruppieren. Empfehlung für die manuelle Umrechnung: () (2) I. Darstellung mit asis II. Darstellung mit asis III. Darstellung mit asis 2 * Multiplikative Umrechnung im Zielsystem (hier asis ) Dividierende Umrechnung im Quellsystem (hier asis ) D 6??? () Multiplikative Umrechnung mit asis (Einfaches Ausmultiplizieren ) D 6 oder entsprechend dem Horner Schema D 6 D 6 * * 256 D 6 * * 6 6 * 6 * 6 6 ((D 6 * 6 ) 6 ) * 6 6 ((3 * 6 ) ) * 6 (28 ) * *

10 eispiel für manuelle Umrechnung (23) (2) Dividierende Umrechnung im Quellsystem (Quellsystem: asis, Zielsystem: asis ) eispiel für manuelle Umrechnung (33) Also: Rest Rest Rest Rest Rest Rest Rest a a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a n D 6 Schritt () (Multiplikation) 35 Schritt (2) (Division) 344 (a 4 a 3 a 2 a a ) () (2) Empfehlung für manuelle Umrechnung zwischen n (Zusammenfassung) eispiel: D 6??? I. Darstellung mit asis II. Darstellung mit asis III. Darstellung mit asis 2 * Multiplikative Umrechnung im Zielsystem (hier asis ) Dividierende Umrechnung im Quellsystem (hier asis ) D 6 ((D 6 * 6) 6 ) * 6 6 ((3 * 6) )*6 (28 ) * 6 29 * : 5 Rest 4 a 5 : Rest 4 a : Rest a 2 : Rest 3 a 3 : Rest a 4 D Direkte Umrechnung einer Zahlendarstellung mit asis in eine Zahlendarstellung mit der asis 2 (2) Multiplikative Umrechnung im Zielsystem eispiel: D 6??? Einfaches Ausmultiplizieren ( , ) D 6 D 6 * 54 6 * oder entsprechend dem Horner Schema D 6 6 * 22 4 * ((D 6 * 22 ) 6 ) * 22 6 ((6 * 22 ) 4 ) * 22 (45 4 ) *

11 Direkte Umrechnung einer Zahlendarstellung mit asis in eine Zahlendarstellung mit der asis 2 (22) Darstellung von rüchen Dividierende Umrechnung im Quellsystem eispiel: D 6??? D 6 6 F5 6 Rest 4 a rüche werden als negative Potenzen der asis dargestellt. -N z a i * i (, a i N, >, a i <) i- Horner Schema: F Rest 4 a z (a - (a -2 (a -3 (a -N a -N ) ) 4 6 A A Rest Rest Rest 3 a 2 a 3 a 4 Darstellung: z, a - a -2 a -3 a -4 a -N Wiederholte Multiplikation mit der asis bringt die Ziffern a i vor das Komma: -N -N z * a - a i * i (wobei immer gilt : a i * i < ) i-2 z a - (a -2 (a -3 (a -N i-2 a -N ) ) a 4 a 3 a 2 a a 344 z..:.53 * 5, Handhabung von unechten rüchen Vor dem Komma anfallende Ziffern entsprechen dem Rest bei der Division im Quellsystem (vgl. Folie 2.-36). Für Umrechnung Aufspalten in ganze Zahl und echter ruch. Umrechnung im Quellsystem eispiel: 2,2 3??,?? 2 Ganzahliger Anteil: (emerkung: ) Echter ruch:,2 3,??? 2 Dividierende Umrechnung im Quellsystem (vgl. Folie 2.-36) bedeutet sukzessive Division durch (Division mit ruch Multiplikation mit Kehrwert des ruches) Sukzessive Division durch entspricht einer Sukzessiven Multiplikation mit der asis. Der ganzzahlige Anteil bei den Multiplikationsschritten bildet die a i im Zielsystem

12 eispiel: Umrechnung im Quellsystem (2),2 3 * 2 3, 3 a -,2 3,??? 2, 3 * 2 3,22 3 a -2,22 3 * 2 3,2 3 a -3 Periode,2 3 * 2 3,2 3 a -4,2 3 * 2 3, 3 a -5, 3 * 2 3,2 3 a -6,2 3 * 2 3, 3 a -6, ,22 3 d.h.,2 3, eispiel: Umrechnung im Quellsystem (22) Umrechnen im Zielsystem (2) Ergebnis: 2,2 3, 2 5,2 ~ 5,222 z ??? (Erinnerung: multiplikative Umrechnung, vgl. Folie 2-34) wg. Darstellung als negativer Exponent der asis heißt das Division Division nach Horner mit Anschreiben der Ziffern in umgekehrter Reihenfolge,4365 * (4 * (3 * (6 5))) Darstellung von rüchen in unterschiedlichen n kann zu Ungenauigkeiten führen. 5 ((( 6) * 3) * 4) *

13 Umrechnen im Zielsystem (22) Überblick 5 : 6,43 3,9592,43 :, 9592 :, 5656 Zahlen Logik Aussagenlogik und logische Gatter Prädikatenlogik 4,5656 :,6522, , Zahlendarstellung und Rechnen im Dualsystem (3) Zahlendarstellung und Rechnen im Dualsystem (23) Durch N its lassen sich 2 N Zahlenwerte codieren Nur positive Zahlen, Wertebereich: (2 N ) Positive und negative Zahlen: (N-) - it Zahl mit Vorzeichen darstellbarer Wertebereich: [-2 N- 2 N- -] Most significant it als Vorzeichencodierung most significant bit positive Zahl negative Zahl N 8 Wertebereich: 255 oder N 6 Wertebereich: oder N its erlauben 2 N Möglichkeiten zur Zahlendarstellung, d.h. nur eine Darstellung mit endlicher Genauigkeit. ei positiven Zahlen: Zahlen n und n N sind nicht unterscheidbar (höchstwertige it geht verloren) ei positiven und negativen Zahlen: Additionsüberlauf kann zu negativen Ergebnissen führen eispiel: -38 negatives Vorzeichen >

14 Zahlendarstellung und Rechnen im Dualsystem (33) 3 Darstellungsformen für Zahlen Was macht man? man führt Operationen auf einem Zahlenring durch Darstellung (Codierung) der Zahlen als inärworte. Vorzeichen und etrag (engl. Sign-Magnitude) 2. Stellenkomplement 3. asiskomplement Warum 3 Darstellungsformen? Ziel: möglichst einfache ALU (CPU austein, der Rechenoperationen durchführt) Wie macht man das? Subtraktion wird auf die Addition zurückgeführt Multiplikation wird auf die Addition zurückgeführt Division wird auf die Multiplikation (d.h. Addition) zurückgeführt Darstellung mit Vorzeichen und etrag (2) Darstellung mit Vorzeichen und etrag (22) Wortlänge N N- its beschreiben den etrag der Zahl it beschreibt das Vorzeichen der Zahl zwei Darstellungen für die NULL engl. Sign-Magnitude Representation Die Vorzeichen und etrag Darstellung entspricht dem was man so kennt. - eispiel für diese Darstellung: Dezimal Vorzeichen etrag

15 Nachteile der etrag-vorzeichen-darstellung Komplementdarstellungen Fall Man benötigt Addier- und Subtrahierwerk in der ALU Man benötigt spezielle Logik um zu bestimmen, ob addiert oder subtrahiert werden soll eispiel: die Operanden x und y sollen addiert werden es sind folgende Fälle zu unterscheiden: x y (zwei positive Operanden) -x-y Operanden (zwei negative Operanden) positiver Operand negativer Operand x, -y, x y bzw. y, -x, y x negativer Operand positiver Operand x, -y, x < y bzw. y, -x, y < x x y x y Addition x y Addition -(x y) Subtraktion x y bzw. y x x y x < y < Auszuführende Operation Subtraktion ( y x ) bzw. ( x y ) Stellenkomplement (- Komplement) 2. asiskomplement Ziel: Rückführung der Subtraktionen auf die Addition Komplementbildung: b C b (für geeignetes C) Subtraktion durch Addition des Komplements: a b a b d.h. wenn (.) das Komplement leicht zu bilden ist und (2.) die Reduktion mod C einfach ist, dann kann die Subtraktion auf eine Addition des Komplements zurückgeführt werden a b C a b C Stellenkomplement (2) C für das Stellenkomplement: N- C N Darstellung einer Zahl a: n a i * i i Komplementbildung: N- a C a ( N -) - a i * i i N- N- N- i - i - a i * i i i i N N- (( ) a i ) * i i (( ) a i ) bedeutet: (-)-Komplement kann für jede Stelle ( Stellenkomplement) gebildet werden Stellenkomplement für die asis 2 Wie funktioniert die (-)-Komplementbildung für die asis 2? einsetzen in die bekannten Formeln: N- a a i * 2 i i N- a ((2 ) - a i ) * 2 i i N- ( - a i ) * 2 i ( a i ) d.h. Invertierung jeder Stelle der Dualzahl i eispiel: x x 5 x 4 x 3 x 2 x x x 5 x 5 x 5 x 4 x 4 x 4 x 3 x 3 x 3 x 2 x 2 x 2 x x x x x x x 2.-6

16 Stellenkomplement und andere asen N- Formeln: a a i * i ; i N- a (( ) a i ) i im Dualsystem: Komplementbildung its stellenweise invertieren Man kann das Stellenkomplement auch auf andere (neben dem Dualsystem) anwenden, z.. Dezimalsystem (d.h. ): * i Eigenschaften Stellenkomplement (Dualsystem) Im Rechner werden die negativen Zahlen als Komplemente der positiven Zahlen dargestellt. Das most significant it beschreibt das Vorzeichen der repräsentierten Zahl: x 3 5 x 2 3 x 5 x x 2 ( ) x x ( ) x x ( ) x 9 2 Zwei Darstellungen der Null Und Darstellbarer Zahlenbereich (½ * N ) (½ * N ) x Zahlenring im Stellenkomplement Stellenkomplement: Reduktion mod C () Erinnerung: Stellenkomplement ist nur sinnvoll, wenn Komplementbildung einfach ist (Stellenweise invertieren) Reduktion mod C einfach ist -4 negative Zahlen positive Zahlen 4 Reduktion mod C: d a b a b C Es sind 3 Fälle zu unterscheiden: Fall (zwei positive Zahlen) a, b > ; a > b d > Fall (zwei positive Zahlen) 3. Fall (zwei negative Zahlen) a, b > ; a b d a b < ; d a b d

17 Stellenkomplement: Reduktion mod C (2) Stellenkomplement: Reduktion mod C (3). Fall: a, b > ; a > b d > Abschätzung: N a b < 2* N d.h.: Es tritt ein Überlauf von in die (nicht existierende) (N).te Stelle auf. Warum? a b a ( C b) a ( a b < d < N N N Ignorieren des Übertrags entspricht einer Subtraktion von N Aufaddieren einer entspricht dann einer Subtraktion von C N d.h. man muß den Überlauf addieren um zum richtigen Ergebnis zu gelangen. Stichwort: Einserrücklauf b). Fall: 3 eispiele I. Dezimalsystem (N 3) a b II. Dualsystem (N 5) a b Komplementbildung a b (Komplement) a b Dezimal Stellenkomplement: Reduktion mod C (4) Stellenkomplement: Reduktion mod C (5). Fall: 3 eispiele III. Dualsystem (N 5) Dezimal 4 4 a b emerkung : emerkung 2: negative Null stört nicht 2. Fall: a, b > ; a b d Differenz d a b ist negativ, d.h. d muß selbst in der Komplementdarstellung vorliegen: d C d d d a b C C d a b C N 2.-6 d.h. die Addition des Komplements liefert bereits d in der richtigen Darstellung! Es tritt kein Überlauf in die (N).te Stelle auf, weil: a b N eispiel: dezimal 5 2 dual a b 2.-68

18 Stellenkomplement: Reduktion mod C (6) Stellenkomplement: Reduktion mod C () 3. Fall: d a b < ; d a b d in Komplementdarstellung d C - d ist erwünscht a b (C a) (C b) (C (a b)) (C d ) d C C ( N ) Gewünschte Ergebnis verschwindet durch ignorieren des Überlaufs und Einserrücklauf 3. Fall: d a b < ; d a b eispiel: 5 2 Dual (2 ) Überlauf in die (N).te Stelle und Einserrücklauf liefern d in Komplementdarstellung (d.h. das gewünschte Ergebnis) asiskomplement (-Komplement) Eigenschaften asiskomplement (Dualsystem) C für das asiskomplement: C N Komplementbildung: a N - a d.h. die Komplementbildung ist für das asiskomplement etwas aufwendiger ( ) Komplement bilden Aufaddieren einer eispiel: 5 (-)-Komplement: Aufaddieren von : N- i a i * i 5 5 N- ( N -) ( a i * i ) i 2.- Negative Zahlen werden als Komplemente der positiven Zahlen dargestellt. Das most significant it beschreibt das Vorzeichen der Zahl. Es gibt nur eine Null emerkung: Komplement der Null liegt beim asiskomplement, anders als beim Stellenkomplement, nicht mehr im darstellbaren Zahlenbereich (Übertrag in die (n).te Stelle). Darstellbarer Zahlenbereich (½ * N ) (½ * N ) 2.-2

19 Zahlenring im asiskomplement negative Zahlen positive Zahlen Reduktion mod C im asiskomplement (2) einfach, da C N, d.h. Überlauf in die (N).te Stelle ignorieren entspricht bereits der Subtraktion von N kein Einserrücklauf eispiele: Dezimalsystem (N3) Dualsystem (N5) dezimal Dual ( ) Reduktion mod C im asiskomplement (2) Stellen- und asiskomplement (2) eispiele: Dualsystem (N5) dezimal Dual 5 2 ( 2) Fall d < : Ergebnis ist bereits in Komplementdarstellung 2.-5 Überschreiten des zulässigen Zahlenbereichs ei Operanden mit ungleichem Vorzeichen ist ein Überschreiten des zulässigen Zahlenbereichs nicht möglich: a b a oder a b b Überschreitung möglich, wenn: a, b < oder a, b > da das oberste it das Vorzeichen repräsentiert, kann bei Überschreitung des Zahlenbereichs das Vorzeichen wechseln. In so einem Fall muß: - ein Überlauf angezeigt werden, - eine arithmetische Fehlerbedingung aktiviert werden - Overflow error angezeigt werden, -. -usw. 2.-6

20 Stellen- und asiskomplement (22) Fall : a, b > Ein Fehler entsteht dann, wenn gilt a b N - Das vorderste ( most significant ) it wird gesetzt und als falsches Resultat entsteht eine negative Zahl. Es gibt jedoch keinen Überlauf in die (N).te Stelle. Fall 2: a, b < Ein Fehler entsteht dann, wenn gilt a b > N - (asiskomplement) N - (Stellenkomplement) Das Vorzeichenbit wird dann zurückgesetzt, es gibt einen Überlauf in die (N).te Stelle und es entsteht ein falsches positives Resultat. eim Stellenkomplement führt dieses normalerweise zum Einserrücklauf Gegenüberstellung der 3 Zahlencodierungen Rechenwerk Negation Vorzeichen- etrag Add Sub Vorzeichen invertieren Stellenkomplement Add Ziffern komplementieren asiskomplement Add Stellenkomplement Stellenkomplement: Verzögerung beim Rechnen wg. Einserrücklauf Zwei Darstellungen der NULL asiskomplement Mehraufwand beim Herstellen des Komplements Verzögerung beim Negieren Praxis: heute fast nur noch asiskomplement Einserrücklauf Nein Ja Nein Multiplikation und Division (2) Multiplikation und Division (22) zurückführen auf Addition (bzw. Subtraktion) Multiplikation: Wiederholtes Verschieben (Shift-Operationen) und Addieren im Dualsystem * Shift-Operationen (Genügend Wortbreite für das Resultat angenommen) Division: Rest: Wiederholtes Verschieben und Subtrahieren im Dualsystem Schwierig bei negativem Divisor eine Lösung: rechnen mit absoluten eträgen und anschließend Vorzeichenrechnung Fehlermeldung für Divisor ( Zerodivide ) :

21 CD Darstellung & CD Arithmetik (4) 4.te Alternative zur Darstellung und zum Rechnen mit ganzen Zahlen CD Darstellung und CD Arithmetik wird von verschiedenen Mikroprozessoren direkt unterstützt CD Codierung: CD CD 2 CD 3 CD 4 CD 5 CD 6 CD CD 8 CD 9 CD - ungenutzte Werte 6 Codierungen, die nicht zur Zahlendarstellung benutzt werden CD Darstellung & CD Arithmetik (24) eispiel : dezimal CD Darstellung 3 normale Dualzahlenaddition liefert hier das korrekte Ergebnis eispiel 2: dezimal CD Darstellung ? (6) 4 3 ungültiger CD Code Korrektur ei Überträgen und beim Erreichen von ungültigen CD-Codierungen liefert die Addition von 6 ( CD ) das richtige Ergebnis CD Darstellung & CD Arithmetik (34) CD Darstellung & CD Arithmetik (44) eispiel 3: Übertrag 6 ungültiger CD Code 6 ungültiger CD Code 6 Abschließende emerkungen: Der CD-Code erlaubt auch das Rechnen mit Festzahlen, d.h. Zahlen bei denen die Anzahl der Stellen hinter dem Komma festliegt Wenn der Ablauf Zahleneingabe, Arithmetik, Zahlenausgabe ohne Umwandlung ins inärsystem erfolgen soll, wird der CD-Code bevorzugt. Der CD-Code wird vorwiegend im technischen ereichen verwendet, z.. für -Segment-Anzeigen zur Darstellung von Zahlen

22 Gleitkommazahlen: Motivation Häufig berichteter Fehler in GCC (GNU Compiler Collection) Quelle: (Stand 9. April 24) Non-bugs: The following are not actually bugs, but are reported often enough to warrant a mention here. Inkorrekte Handhabung von Gleitkommazahlen, z..: #include <iostream> int main() { double a.5; double b.; std::cout << (int)(a b) << std::endl; return ; } In Abhängigkeit von der verwendeten Genauigkeit und Rundung wird als Ergebnis 5 (korrekt) oder 49 (falsch) geliefert. Gleitkommazahlen: Floating Point Numbers (3) Rechner speichert die Position des Dezimalpunktes z...43 * 5 oder.35 * - Allgemein: X m * e (m: Mantisse, : asis, e: Exponent) it-darstellung: Exponent (z.. 8 it) Vorzeichen ( it) Mantisse (z.. 23 it) Kein Fehler des Compilers, sondern Einschränkung von Gleitkommazahlen Exponent wird meist zur asis 2, oder 6 angegeben. Führende Nullen der Mantisse sollten möglichst vermieden werden ( Normalisieren ) Gleitkommazahlen: Floating Point Numbers (23) Gleitkommazahlen: Floating Point Numbers (33) Darstellung negativer Exponenten: bereits bekannte Möglichkeiten: Vorzeichen-etragdarstellung Komplementdarstellung (Stellen- oder asiskomplement) aber, die allgemein übliche Form ist die Darstellung mittels einer sog. Charakteristik ch e K z.. mit K N 2 (sog. IAS) (bei N-stelligen Exponenten) d.h. anstelle des Exponenten wird die Charakteristik dargestellt Speziell: X m * ch (m: Mantisse, : asis, ch: Charakteristik) 2.-8 eispiel: soll als 32 it Gleitkommazahl dargestellt werden Format: it Vorzeichen, 8 it Exponent (Charakteristik), 23 it Mantisse. Schritt: Dezimalzahl Dualzahl (26,625) (.) 2 2. Schritt: Normalisieren (Anpassen der Mantisse m, m < ) (.) 2 * 2 (.) 2 * Schritt: Charakteristik berechnen: N8 K 2 28 ch e K 5 28 () 2 () () Vorz 3 23 ch 22 M 2.-88

23 Gleitkommadarstellung nach IEEE Standard 54 (5) Normenvorschlag der IEEE Computer Society, der von fast allen Mikrocomputer-Herstellern übernommen worden ist (z.. Intel 8X86, Motorola 68X) 32 it Format: 3 S 3 23 Charak. E 22 X (-) S * 2 E-2 * (.M) 2 mit < E < 255, ias 2 Mantisse ist normiert:.m, d.h. Mantisse M führende wird nicht dargestellt Erhöhung der Genauigkeit um eine Stelle (asis 2) Gleitkommadarstellung nach IEEE Standard 54 (25) eispiel: x -.5 x (-) S * 2 E-2 * (.M) 2 mit < E < S 3 23 Charakteristik E ias 2 (-) * * (.) 2 - * 2 * (.) 2 -(.) Mantisse M Gleitkommadarstellung nach IEEE Standard 54 (35) Gleitkommadarstellung nach IEEE Standard 54 (45) Zahlenbereiche negativer Überlauf * 2-26 x ( ) * * -38 x 3.4 * 38 -( ) * 2 2 darstellbare negative Zahlen oder dezimal umgerechnet -. * * 2-26 darstellbare positive Zahlen positiver Überlauf ( ) * 2 2 Es existiert eine Lücke im ereich der darstellbaren Zahlen, die insbesondere die 'NULL' enthält. Man benötigt eine eigene Darstellung der 'NULL' 2.-9 esonderheiten des IEEE Formats Not-a-Number: Darstellung ungültiger Zahlen, z.. Division durch, Wurzel aus negativer Zahl. Überlauf wird als unendlich dargestellt, d.h. es kann mit unendlich ( ) weitergerechnet werden. Unterlauf kann denormalisiert dargestellt werden, d.h. es kann mit geringerer Genauigkeit weitergerechnet werden. Null: eigene Darstellung E < E < 255 M beliebig x NaN (-) S (-) S 2 E-2 (.M) 2 (-) S 2 26 (.M) 2 (-) S Erklärung Not a Number ± Normalbereich Denormalisiert 2.-92

24 Gleitkommadarstellung nach IEEE Standard 54 (55) Abschließende emerkungen: Neben dem 32-it Format existieren noch 64- und 8-it Formate. Sie erlauben das Rechnen mit größerer Genauigkeit, aber prinzipiell folgt die Darstellung dem vorgestellten Mechanismus. Die Norm geht davon aus, dass zuerst mit beliebiger Genauigkeit gerechnet wird und danach auf das jeweilige Zielformat gerundet wird. Daher verwenden die meisten Implementierungen eine höhere Genauigkeit für interne erechnungen. Moderne Gleitkommarecheneinheiten ermöglichen z.. auch trigonometrische und logarithmische Operationen. Links zu Demonstrationswerkzeugen und weitergehende Informationen über IEEE 54 sind auf der Vorlesungsseite angegeben. Größerer Fehler bei präziserer Genauigkeit sind möglich eispiel: Zahlenbereiche für Typ double in «nearest to even» Modus: 6. X 6. Sun Solaris : 64 bits registers X [ e e-5] Intel Linux : 8 bits registers (more accurate handling of expressions) X [ e e-5] Der Fehler ist größer auf der präziseren Architektur (Intel Linux) IEEE 54854: Rundungsarten Gleitkommaarithmetik: Multiplikation Rundung Liegt ein Wert genau zwischen zwei darstellbaren Zahlen des Gleitkommasystems, dann muss dieser Wert auf einen darstellbaren Wert gerundet werden. Runden bedeutet daher immer einen Genauigkeitsverlust Rundungsarten in IEEE54854 nach oben (round toward ) nach unten (round toward - ) zur Null (round toward ) zur nächsten Zahl (round to nearest) Es wird der Wert mit einer geraden letzten Ziffer ausgewählt. Daher auch round to nearest even genannt. Im binären Fall (IEEE 54) bedeutet dies, dass die letzte Ziffer eine Null ist. Weitere Details finden Sie im IEEE 54 Standard Z X Y (m[x] m[y]) e[x]e[y] m[x]: Mantisse von X, m[y]: Mantisse von Y e[x]: Exponent von X, e[y]: Exponent von Y Multiplikation der Mantissen Addition der Charakteristiken (- ias) V X CH X V Y CH Y - ias (2) V Z CH Z Gegebenenfalls normalisieren Division entsprechend Sonderregeln für als Operand M X M Y M Z 2.-96

25 Gleitkommaarithmetik: Addition und Subtraktion Z X Y (m[x] * e[x]-e[y] m[y]) e[y] für: e[x] e [y] m[x]: Mantisse von X, m[y]: Mantisse von Y e[x]: Exponent von X, e[y]: Exponent von Y. erechne e[x] e[y] 2. Skalieren: Angleichen der Mantisse des kleineren Exponenten 3. Addition der Mantissen 4. gegebenenfalls Normalisieren Gleitkommaarithmetik: eispiel für Addition asis, vierstellige Mantisse Z X Y; X.532-2; Y.462 erechne e[x] e[y]: -2-3 Skalieren von m[x]:.532 * * (Verschieben um 3 Stellen nach Rechts, evtl. mit Genauigkeitsverlust) Subtraktion entsprechend Addition der Mantissen: Übernahme des größeren Exponenten Normalisieren entfällt Überblick Zahlen Logik Aussagenlogik und logische Gatter Prädikatenlogik 2.-99