Übersicht. Grundlagen. Methoden zum Entwurf von Approximationsalgorithmen. Approximationsklassen. Approximations- Algorithmen. Einführung.

Transkript

1 Übersicht Einführung Grundlagen Methoden zum Entwurf von Approximationsalgorithmen

2 NP = Prüfen von Beweisen Nichtdeterministische TM (Verifikator): Beweis π input x V ja/nein Entscheidungsproblem P ist in NP gdw.es gibt Verifikator V mit x Y P π V (x, π) = ja x N P π V (x, π) = nein

3 Probabilistisch überprüfbare Beweise Verifikator: Zufallsbits ρ input x V ja/nein Beweis (Orakel) π Verifikator V ist (r(n), q(n))-beschränkt,falls bei x = n V liest r(n) Zufallsbits, berechnet daraus q(n) O rakelfragen entscheidet anhand der A ntw orten.

4 Die Klasse PCP Ein Entscheidungsproblem P ist in PCP[r(n), q(n)] gdw. es einen (r(n), q(n))-beschränkten Verifikator V gibt mit x Y P π P ρ [V (x, ρ, π) = ja] = 1 x N P π P ρ [V (x, ρ, π) = nein] 1 2 K orollar: N P = PCP[0, n O(1) ] co-r P = PCP[n O(1), 0] sogar: N P = PCP[O(log n), n O(1) ] PCP-T heorem (A rora, Lund, M otwani, Safra, Sudan, Szegedy 92): N P = PCP[O(log n), O(1)]

5 Folgerungen aus dem PCP-Theorem Satz:Falls P N P,so ist Maximum SAT / P TA S. Satz:Falls P N P,so sind Maximum Independent Set Maximum C liq ue Minimum V ertex C over nicht in P TA S. K orollar:falls P N P,so sind Maximum Independent Set Maximum C liq ue nicht in A P X

6 Beweis des PCP-Theorems 1. N P P C P [n O(1), O(1)] 2. N P P C P [O(log n), log O(1) n] 3. K om position: N P P C P [r 1 (n), q 1 (n)] und N P P C P [r 2 (n), q 2 (n)] = N P P C P [r 1 (n) + r 2 (c q 1 (n)), q 2 (c q 1 (n))]

7 Arithmetisierung Klauseln Polynome über Z 2 x p x := (1 x) x p x := x C = l 1... l k p C := p l1... p lk r Z m 2, F = C 1... C m p r F := r 1 p C r m p Cm Lemma: Für 0 v Z m 2 gilt: P r Z m 2 [ i r iv i = 1]= 1 2. Für jede B ew ertung α gilt: α = C P r Z m 2 [p r F (α) = 0]= 1 α = C P r Z m 2 [p r F (α) = 0]= 1 2

8 Codierung durch lineare Funktionen Satz:Seia Z n 2. D ann gibt es lineare Funktionen A a : Z n 2 Z 2 B a : Z n2 2 Z 2 C a : Z n3 2 Z 2 so dass Polynom e p Z 2 [x 1,..., x n ] vom G rad 3 gilt p(a) = α p + A a (q p,1 ) + B a (q p,2 ) + C a (q p,3 ) für geeignete α p Z 2, q p,1 Z n 2, q p,2 Z n2 2 und q p,3 Z n3 2, die nur von p abhängen. D efinition:für x Z m 2, y Zk 2 z im+j := x i y j. seix y := z Zmk 2 m it A us B ew eis: A a = a, B a = a a, C a = a (a a).

9 Linearitätstest Einführung Grundlagen Funktionen f, g : D R sind δ-nah, falls P x D [f (x) g(x)] δ. Methoden zum Entwurf Satz: Für g : Z m 2 Z 2 sei P x,y Z m 2 [g(x + y) g(x) + g(y)] δ 2. D ann ist g δ-nah zu einem linearen f : Z m 2 Z 2.

10 Korrektureigenschaft Sei f : Z m 2 Z 2 linear, und g : Z m 2 Z 2 δ-nah zu f. Dann gilt für alle x Z m 2 : P y Z m 2 [g(x + y) g(y) = f (x)] 1 2δ.

11 Konsistenztest A, B, C heissen konsistent, falls a mit A = A a, B = B a, C = C a. K onsistenztest: G egeben: A, B, C sind δ-nah zu linearen Funktionen A, B, C Wähle zufällig x, x Z n 2 ; a := A(x); a := A(x ); b := B(x x ); if aa b then reject; Wähle zufällig x Z n 2,y Zn2 2 ; a := A(x); b := B(y); c := C(x y); if ab c then reject else accept; (B erechne A, B, C jew eils mittels K orrektureigenschaft) Falls A, B, C konsistent sind, akzeptiert der K onsistenztest, andernfalls w eist er mit hinreichender W ahrscheinlichkeit zurück.

12 input F Zufallsbits V ja/nein ρ Aa Ba Ca Verifikator V : G egeben: O rakela, B, C, 3C N F F Linearitätstest: sind A, B, C δ-nah zu linearen Funktion A, B, C K onsistenztest: gibt es a m it A = A a, B = B a, C = C a Wähle zufällig r, setze p := p r F B erechne α p, q p,1, q p,2, q p,3 B erechne v := α p + A a (q p,1 ) +B a (q p,2 ) + C a (q p,3 ) if v = 0 then accept else reject Größe des Beweises: A a + B a + C a = 2 n3 + 2 n2 + 2 n Also: Anzahl der Zufallsbits = O(n 3 ). Anzahl der Orakelfragen ist konstant.