Kurvendiskussion Michael Dröttboom, Michael Dröttboom. <span>copyright</span>

Transkript

1 Kurvendiskussion Michael Dröttboom, Michael Dröttboom <span>copyright</span>

2 Table of Contents Einleitung 1 Kurvendiskussion 1 Definitionsbereich 1 Definitionsbereich 1 Untersuchung der Symmetrie 2 Symmetrie von Funktionen 2 Achsenschnittpunkte 3 Achsenschnittpunkte 3 Nullstellen von Funktionen 3 p-q-formel 5 Satz von Vieta 8 Satz von Vieta 11 Ausklammern 13 Substitution 15 Polynomdivision 15 Hornerschema 18 Ableitungen 18 Steigung von Funktionen 18 Differenzenquotient 20 Differentialquotient 22 Ableitung von Funktionen 54 Produktregel 59 Quotientenregel 60 Kettenregel 62 Extremwerte und Monotonie 63 Extrempunkte 63 Monotonie 69 Wendepunkte und Krümmungsverhalten 70 Wendepunkte 70 Krümmungsverhalten 70 Grenzwerte 71 Grenzwerte von Funktionen 71 Regel von L'Hospital 71 Asymptoten und Polstellen 73 Asymptoten 73

3 Einleitung Kurvendiskussion Einleitung Kurvendiskussion Die Kurvendiskussion einer Funktion umfasst folgende Punkte: 1. Definitionsbereich 2. Feststellen der Symmetrie 3. Achsenschnittpunkte 4. Extremwerte 5. Monotonie (fakultativ) 6. Wendepunkte 7. Krümmungsverhalten (fakultativ) 8. Grenzwerte und Polstellen 9. Zeichnen der Funktion Dabei müssen nicht immer alle Punkte abgearbeitet werden. Monotonie und Krümmungsverhalten werden nicht immer verlangt. Eine Betrachtung des Definitionsbereichs und der Polstellen entfallen bei ganzrationalen und Exponentialfunktionen. Definitionsbereich Definitionsbereich Der Defintionsbereich einer Funktion umfasst die Werte, die für eingesetzt werden dürfen. Bei ganzrationalen Funktionen gibt es keine Einschränkungen. Bei gebrochen-rationalen Funktionen darf der Nenner nicht 0 werden, bei Wurzelfunktionen mit geradem Exponenten wie der Quadratwurzelfunktion darf der Radikand nicht negativ werden und bei Logarithmusfunktionen muss das Argument des Loga- 1

4 Definitionsbereich Definitionsbereich rithmus positiv sein. Schauen wir uns ein Beispiel an:. Solche Definitionslücken können eine Kurvendiskus- Diese Funktion hat eine Definitionslücke bei sion auf zweierlei Weise beeinflussen: 1. Es entsteht eine senkrechte Asymptote (auch Polstelle genannt), 2. Es kann vorkommen, dass rechnerisch Nullstellen, Extrempunkte oder Wendepunkte an dieser Stelle liegen; diese sind dann aber nicht im definierten Bereich der Funktion. Untersuchung der Symmetrie Symmetrie von Funktionen Im Rahmen einer Kurvendiskussion wird eine Funktion darauf geprüft, ob Sie symmetrisch zur Achse (achsensymmetrisch) oder zum Ursprung (punktsymmetrisch) ist.darüber hinaus gehende Symmetrien werden nicht geprüft. 2

5 Untersuchung der Symmetrie Symmetrie von Funktionen Eine Funktion ist symmetrisch zur -Achse, wenn gilt. Dies soll am Beispiel der Funktion erläutert werden. Wir bilden, ersetzen also in jedes durch ein. Da in diesem Beispiel alle gerade Exponenten haben und für gerade Exponenten ist, sind im Beispiel und gleich groß. Daher ist diese Funktion symmetrisch zur y Achse. [1] Eine ganzrationale Funktion ist symmetrisch zur - Achse, wenn alle Exponenten gerade sind. Eine Zahl ohne Variable entspricht wegen einem geraden Exponenten. Eine Funktion ist symmetrisch zum Ursprung, wenn gilt. Auch dies soll am Beispiel der Funktion verdeutlicht werden. Zuerst bilden wir. Bei ungeraden Exponenten bleiben die Minuszeichen erhalten, also ist. Dies widerspricht der Bedingung für Symmetrie zur - Achse. Daher bilden wir. Dies stimmt mit überein, so dass diese Funktion symmetrisch zum Ursprung ist. [2] Ganzrationale Funktionen sind symmetrisch zum Urpsprung, wenn die Funktion ausschließlich ungerade Exponenten hat. Dabei ist zu beachten, dass zu den ungeraden und eine Zahl zu den geraden Exponenten zählt. In den meisten Fällen wird eine ganzrationale Funktion sowohl gerade als auch ungerade Exponenten haben. Dann ist sie weder symmetrisch zur Achse, noch zum Ursprung. Footnotes (? returns to text) 1. Es wird nur die Symmetrie zur Achse geprüft. Eine Symmetrie zu einer anderen Achse, wie sie etwa bei zur Geraden vorliegt, wird hier nicht geprüft.? 2. Es wird nur die Symmetrie zum Ursprung geprüft. Symmetrien zu anderen Punkten, wie sie zum Beispiel bei zum Punkt vorliegt, werden mit diesem Kriterium nicht erkannt.? Achsenschnittpunkte Achsenschnittpunkte Es gibt zwei Arten von Achsenschnittpunkten: Den Schnittpunkt mit der -Achse und die Nullstellen. Der Schnittpunkt mit der -Achse ist mit schnell zu ermitteln. Methoden zur Ermittlung der Nullstellen finden sich hier. 3

6 Achsenschnittpunkte Nullstellen von Funktionen Nullstellen von Funktionen Als Nullstellen der Funktionen bezeichnet man die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit der Achse. Algebraisch gesehen, muss die Gleichung gelöst werden. Dies kann in einigen Fällen recht einfach sein, in anderen aber einen aufwändigen Rechenweg nach sich ziehen. Hier sollen kurz die gängigsten Methoden des Findens von Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen [1] eingegangen werden. Lineare Funktionen Lineare Funktionen der Form haben eine Nullstelle bei. Dies erhält man durch Nullsetzen der Funktion und Auflösen der Funktion nach. Quadratische Funktionen Quadratische Funktionen haben keine, eine oder zwei Nullstellen. Sie werden mit Hilfe der quadratischen Ergänzung, des Satzes von Vieta oder der - Formel bestimmt. Funktionen höheren Grades Eine ganzrationale Funktion ten Grades hat maximal Nullstellen. Um sie zu bestimmen, ist es sinnvoll, die Funktion in eine Funktion 2. Grades zu verändern. Es empfiehlt sich, die Methoden in der Reihenfolge Ausklammern Substitution Polynomdivision/Horner-Schema auf ihre Anwendbarkeit zu prüfen. Exponentialfunktionen Exponentialfunktionen wie die Funktion nehmen nie den Wert Null an. Werden sie allerdings mit anderen Termen multipliziert, dann kann es eine Nullstelle geben, wenn der andere Term Null wird. 4

7 Achsenschnittpunkte Nullstellen von Funktionen Wurzelfunktionen Wurzelfunktionen nehmen den Wert 0 an, wenn der Radikand [2] Null wird. Footnotes (? returns to text) 1. Für gebrochen-rationale Funktionen gelten prinzipiell die gleichen Regeln, da ein Bruch dann den Wert 0 annimmt, wenn der Zähler den Wert 0 hat.? 2. Der Radikand ist der Wert unter der Wurzel.? Es wird die Lösung der Gleichung p-q-formel (1) gesucht. Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung wird dies umgeformt zu 5

8 Achsenschnittpunkte p-q-formel Wurzelziehen unter Beachtung der Tatsache, dass es zwei Lösungen auf der rechten Seite bei positiven Zahlen gibt, führt zur 6

9 Achsenschnittpunkte p-q-formel Isolieren von x auf der linken Seite führt zur p q Formel: 7

10 Achsenschnittpunkte p-q-formel Es gibt zwei Lösungen, wenn der Ausdruck unter der Wurzel positiv ist, eine, wenn er 0 ist und keine, wenn er negativ ist. Voraussetzungen für die Anwendung der p q Formel auf die Gleichung (1) sind: Vor dem steht kein anderer Koeffizient [1] als 1; ansonsten muss die gesamte Gleichung durch diesen Koeffizienten dividiert werden, auf der rechten Seite der Gleichung muss eine null stehen; ansonsten muss die zahl, die dort steht, auf beiden Seiten der Gleichung subtrahiert werden. Footnotes (? returns to text) 1. Der Koeffizient ist die Zahl, vor eine Variablen steht und damit mit dieser Variablen multipliziert wird.? Satz von Vieta Der Satz von Vieta ist eine weitere Möglichkeit, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu finden. Nehmen wir an, dass eine quadratische Funktion die Nullstellen und hat. Somit lässt sich die Suche nach den Nullstellen als 8

11 Achsenschnittpunkte Satz von Vieta (1) schreiben. Ein Vergleich der Gleichung 1 mit der Ausgangsformel für die - - Formel ergibt ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen: 9

12 Achsenschnittpunkte Satz von Vieta Es werden zwei Zahlen gesucht, die addiert den negativen Wert des Koeffizienten vor dem die multipliziert das absolute Glied der Gleichung ergeben. ergeben und Betrachten wir das Beispiel. Das sich daraus ergebende Gleichungssystem ist Wir suchen also zwei Zahlen, die addiert 5 ergeben und multipliziert 6. Diese beiden Zahlen sind 2 und 3. Mithin kann die Ursprungsgleichung auch als geschrieben werden. Die gesuchten Nullstellen sind und. 10

13 Achsenschnittpunkte Satz von Vieta Image not foundimage not found Satz von Vieta Der Satz von Vieta ist eine weitere Möglichkeit, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu finden. Nehmen wir an, dass eine quadratische Funktion die Nullstellen und hat. Somit lässt sich die Suche nach den Nullstellen als (1) schreiben. Ein Vergleich der Gleichung 1 mit der Ausgangsformel für die - - Formel 11

14 Achsenschnittpunkte Satz von Vieta ergibt ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen: Es werden zwei Zahlen gesucht, die addiert den negativen Wert des Koeffizienten vor dem die multipliziert das absolute Glied der Gleichung ergeben. ergeben und Betrachten wir das Beispiel. Das sich daraus ergebende Gleichungssystem ist 12

15 Achsenschnittpunkte Satz von Vieta Wir suchen also zwei Zahlen, die addiert 5 ergeben und multipliziert 6. Diese beiden Zahlen sind 2 und 3. Mithin kann die Ursprungsgleichung auch als geschrieben werden. Die gesuchten Nullstellen sind und. Image not foundimage not found Ausklammern Gibt es in einer ganzrationalen Funktion kein absolutes Glied, dann können Potenzen von ausgeklammert werden. Beispiel: Die Funktion kann durch Ausklammern von vereinfacht werden: 13

16 Achsenschnittpunkte Ausklammern Dabei wird folgendes beachtet: Soll ein Produkt 0 werden, so reicht es, wenn einer der Faktoren 0 wird. Image not foundimage not found 14

17 Achsenschnittpunkte Ausklammern Substitution Das Wort Substitution bedeutet Ersetzung. Bei dieser Methode der Berechnung von Nullstellen werden ein oder mehrere Terme der Funktion durch andere ersetzt, um einen Term zu erhalten, dessen Nullstelle einfacher berechnet werden kann. Nehmen wir als Beispiel die Funktion. Nullstellen dieser Funktion können weder direkt durch die - Formel noch durch Ausklammern ausgerechnet werden. Allerdings haben die beiden Exponenten eine Eigenart, die sich bei der Substitution gut nutzen lässt: Der eine Exponent ist doppelt so groß wie der andere. Daher können wir eine Ersatzvariable einführen, so dass sich die Funktion in eine Form verwandelt, die kompatibel zur - Formel ist:. Diese Funktion hat eine Nullstelle bei. Nun sind wir nicht an einer Lösung für interessiert, sondern an einer für, daher wird nun zurück substituiert. Wir suchen eine Lösung für die Gleichung und erhalten als Lösung. Diese Methode wird am meisten bei so genannten biquadratischen Funktionen angewendet. Dort ist der höhere Exponent 4 und der kleinere 2. Dort muss man beim Zurücksubstituieren darauf achten, dass man nur aus einer positiven Zahl die Wurzel ziehen kann und dass man dann zwei Ergebnisse erhält ein positives und ein negatives. Eine weiteres Beispiel für den Einsatz der Substitution ist. Dort wird gewählt. Polynomdivision Die Polynomdivision wird benutzt, um das Finden von Nullstellen einer Funktion zu erleichtern, eine Linearzerlegung eines Polynoms vorzunehmen, schiefe Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen zu finden. Schauen wir uns die Suche nach Nullstellen am Beispiel der Funktion an. Es gibt ein absolutes Glied, deshalb kann keine Potenz von ausgeklammert werden. Eine Substitution funktioniert auch nicht, weil die Struktur der Exponenten nicht dem Schema für eine Substitution entspricht. Ziel der Polynomdivision ist es, die Funktion in Faktoren zu zerlegen, so dass sie als geschrieben werden kann. Dabei sind dann, und die Nullstellen der Funktion. Zuerst muss eine Nullstelle durch Probieren gefunden werden. Da sich der Term von durch Ausmultiplizieren zu 15

18 Achsenschnittpunkte Polynomdivision umformen lässt, sollte man alle (positiven und negativen) Teiler des absoluten Gliedes als potentielle Nullstellen auffassen. Bei der gegeben Funktion erhält man. Um die anderen Nullstellen zu erhalten, wird nun durch dividiert. Dies geschieht wie bei einer schriftlichen Division mit Zahlen. Die zu dividierende Funktion wird nach absteigenden Exponenten geordnet. Dann wird geschaut, wie oft in die höchste Potenz der (Rest )Funktion hier passt. Dies ist hier mal der Fall, also kommt hinter das Gleichheitszeichen ein. Nun wird wie bei schriftlicher Division das Ergebnis mit dem Divisor multipliziert und von der Funktion abgezogen, so dass sich die Restfunktion zu vereinfacht. Danach beginnt der Prozess wieder von vorne. Er endet, wenn nur eine Zahl am Ende der Subtraktion übrig bleibt. In dem Fall, dass eine Zahl ungleich 0 als Rest verbleibt, ist mit Hilfe der Polynomdivision keine Nullstelle mehr zu finden. Sollte die Polynomdivision durchgeführt worden sein, um die waagerechte Asymptote einer gebrochenrationalen Funktion zu finden, dann ist dies der Teil, der bei einem Streben von gegen unendliche Werte gegen 0 strebt. Betrachten wir dies an dem Beispiel für die Berechnung einer Asymptote 16

19 Achsenschnittpunkte Polynomdivision Die Polynomdivision ergibt Die schiefe Asymptote dieser Funktion ist also. 17

20 Achsenschnittpunkte Polynomdivision Das Horner-Schema ist eine weitere Möglichkeit, die anstelle der Polynomdivision genutzt werden kann. Hornerschema Das Horner-Schema ist eine Möglichkeit, Funktionswerte zu berechnen, Nullstellen zu finden, eine Linearfaktorzerlegung ganzrationaler Funktionen vorzunehmen oder schiefe Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen zu finden. Prinzipiell läuft das Schema bei einer Funktion dritten Grades der Form folgt ab: wie Ableitungen Steigung von Funktionen Der Begriff der Steigung ist bereits bei den linearen Funktionen verwendet worden. Dort beschreibt das in der Geradengleichung, wie sich der Wert verändert, wenn sich der Wert um eine Einheit erhöht. Die Steigung wurde bei einer linearen Funktion mit Hilfe der Formel 18

21 Steigung von Funktionen errechnet. Sobald eine Funktion keine Gerade ist und damit die Steigung über den gesamten Kurvenverlauf nicht konstant ist gestaltet sich die Berechnung der Steigung dieser Funktion in einem Punkt etwas schwieriger. Prinzipiell unterscheidet man bei der Berechnung der Steigung die Steigung der Funktion in einem Bereich und die Steigung der Funktion in einem Punkt. Als Beispiel bietet sich die Funktion an, die die Strecke angibt, die ein Auto zurücklegt. Dabei gibt die Funktion an, an welchem Punkt einer Strecke sich das Auto zu einer bestimmten Zeit befindet. Die Steigung dieser Funktion also die Änderung der Strecke in einem bestimmten Zeitpunkt gibt die Geschwindigkeit an. Betrachtet man nun einen Zeitraum, um die Geschwindigkeit zu messen, dann spricht man von einer Durchschnittsgeschwindigkeit dies wird mit Hilfe des Differenzenquotienten getan. Der Differentialquotient hingegen gibt die Steigung zum einem Zeitpunkt an also die Momentangeschwindigkeit. Sowohl der Differenzenquotient als auch der Differentialquotient sind Hinleitungen zum Begriff der Ableitung einer Funktion. Image not foundimage not found 19

22 Steigung von Funktionen Differenzenquotient Mit Hilfe des Differenzenquotienten wird die Steigung einer Funktion in einem Bereich errechnet. Betrachten wir die Abbildung 1. Dort sehen wir die Funktion. Zudem sind die zwei Punkte und eingezeichnet. Diese Punkte sollen uns helfen, das Konzept der Differenzenquotienten zu verstehen. Abbildung 1: Abschätzung der Steigung Um die Steigung der Funktion im Punkt zu schätzen, betrachten wir die Gerade, die durch die beiden Punkte und geht und berechnen deren Steigung. Das Ergebnis dieser Berechnung nennt man einen Differenzenquotienten [1] oder mittlere Änderungsrate. Als mittlere Änderungsrate bezeichnen wir die Steigung zwischen den beiden Punkten und : 20

23 Differenzenquotient (1) Während eine Gerade an jeder Stelle die gleiche Steigung hat ist konstant hängt die mittlere Änderungsrate bei allen nicht-linearen Funktionen von dem Ort der Betrachtung ab. Berechnen wir im obigen Beispiel die Steigung zwischen den beiden Stellen und, so erhalten wir für diese Steigung: 21

24 Differenzenquotient Führen wir diese Berechnung für und durch, so ergibt sich für diesen Bereich: Die mittlere Änderungsrate ist also abhängig von der Stelle der Betrachtung, wenn wir keine lineare Funktion haben. Zudem hängt das Ergebnis von der Schrittweite ab; die Steigung ist beispielsweise zwischen und auf der einen Seite nämlich und und auf der anderen Seite verschieden. Footnotes (? returns to text) 1. Da in der Formel (1) zwei Differenzen dividiert werden, nennt man das Ergebnis einen Differenzenquotienten.? Differentialquotient In diesem Abschnitt berechnen wir die Steigung einer Funktion in einem Punkt. Bisher haben wir mit Hilfe des Differenzenquotienten die mittlere Änderungsrate einer Funktion berechnet. Wenn wir an der aktuellen Änderungsrate interessiert sind, müssen wir noch einige Überlegungen anstellen. Die aktuelle Änderungsrate einer Funktion an einer Stelle entspricht der Steigung der Tangente an diese Funktion in diesem Punkt. 22

25 Differentialquotient Abbildung 1: Abschätzung der Steigung Abb. 1: Differenzenquotient Ein Blick auf die Abbildung 1 zeigt, dass die aktuelle Änderungsrate im Punkt von der mittleren Änderungsrate stark abweicht, weil der Punkt ziemlich weit von entfernt ist. Ein Mittel, diese Abweichung zu verringern, ist es, den Abstand zwischen den Punkten zu verringern. Je näher an heran rückt, um so genauer wird die Schätzung mit Hilfe des Differenzenquotienten. Aus rechentechnischen Gründen kann nicht auf fallen durch eine Differenz von 0 darf man in dem Differenzenquotienten 23

26 Differentialquotient (1) nicht teilen graphisch bedeutet dies, dass man keine Gerade durch lediglich einen Punkt festlegen kann. Aus diesem Grund bedient man sich des Differentialquotienten. Die aktuelle Änderungsrate erhält man aus der mittleren Änderungsrate, wenn der Abstand zwischen den beiden betrachteten Punkten unendlich klein wird: (2) 24

27 Differentialquotient oder in anderer Formulierung (3) Beide Gleichungen beschreiben formal den Prozess, dass der Punkt möglichst nahe an den Punkt rückt. Im Fall der Gleichung (2) geschieht dies direkt, im Fall der Gleichung (3) über eine Hilfsvariable, die den Abstand zwischen den beiden Punkten auf der - Achse misst. Sehen wir uns dies an einem Beispiel an. Wir wollen die Steigung der Funktion an der Stelle bestimmen. Es gilt nach der - Methode: 25

28 Differentialquotient 26

29 Differentialquotient Nach der Methode ergibt sich: 27

30 Differentialquotient 28

31 Differentialquotient Beide Methoden führen zum gleichen Ergebnis. Wir erhalten ein eindeutiges Ergebnis, das wir als aktuelle Änderungsrate der Funktion interpretieren können: Wenn sich bei der Funktion an der Stelle der - Wert um eine kleine Einheit [1] erhöht, so steigt der - Wert um das Vierfache dieses Wertes. Wenn wir uns an die grundlegende Bedeutung von erinnern, dann können wir auch schreiben, dass die Tangente an die Funktion an der Stelle die Steigung 4 hat. Die Ableitung einer Funktion an der Stelle entspricht dem Grenzwert des Differenzenquotienten: 29

32 Differentialquotient Die Ableitung an dieser Stelle entspricht der Steigung der Tangente an die Funktion an dieser Stelle. Existiert der Grenzwert an der Stelle, so nennt man die Funktion differenzierbar an der Stelle. Dabei ist es wichtig, dass der Grenzwert der gleiche ist egal, ob man sich dem Punkt von oben ( ) oder von unten ( ) nähert. Betrachten wir ein Beispiel für die Funktion, die an einer Stelle nicht differenzierbar ist. Der Definitionsbereich dieser Funktion ist. Ermitteln des Grenzwertes mit Hilfe der Methode ergibt: 30

33 Differentialquotient 31

34 Differentialquotient Dieser Grenzwert existiert nicht, da nicht durch 0 geteilt werden darf. Die Funktion ist an der Stelle nicht differenzierbar. An allen anderen Stellen ist sie sehr wohl differenzierbar. Graphisch bedeutet eine Nicht Differenzierbarkeit, dass man in dem entsprechenden Punkt keine eindeutige Tangente an diese Funktion legen. Abbildung 2: Beispiele für nicht-differenzierbare Funktionen In der Abbildung 2 ist auf der linken Seite der Graph der Wurzelfunktion und auf der rechten Seite der Graph der Betragsfunktion dargestellt. Die Wurzelfunktion ist an der Stelle und die Betragsfunktion an der Stelle nicht differenzierbar. Bei der Wurzelfunktion endet die Funktion an der Stelle 0 und man kann durch diesen Punkt unendlich viele Geraden legen, die mit dem Graphen der Funktion nur einen Punkt (0/0) gemeinsam haben. Bei der Betragsfunktion ist der Punkt (0/3) die nicht-differenzierbare Stelle. Auch hier können unendlich viele Geraden durch diesen Punkt gelegt werden, die nur einen Punkt mit dem Graphen der Funktion gemeinsam haben. Eng verbunden mit dem Begriff der Differenzierbarkeit ist der Begriff der Stetigkeit. Eine Funktion, die an einer Stelle differenzierbar ist, ist dort auch stetig. Allgemein ist eine Funktion stetig, wenn 32

35 Differentialquotient gilt. Damit sind Funktionen mit Sprungstellen nicht stetig. Es gibt Funktionen wie die Betragsfunktion die zwar stetig sind, aber an einigen Stellen nicht differenzierbar sind. Differenzenquotienten spezieller Funktionen In diesem Abschnitt werden die Differentialquotienten einiger spezieller Funktionen Funktion, Logarithmusfunktion und Sinusfunktion berechnet. Die e-funktion Der Differentialquotient der - Funktion hat die Form 33

36 Differentialquotient 34

37 Differentialquotient Um den Grenzwert des Bruches in diesem Ausdruck zu bestimmen, wird die Definition des Wertes von angewendet. Es gilt (4) 35

38 Differentialquotient Ersetzen in ergibt Somit ist der Grenzwert dieses Ausdrucks auch gleich 1. Damit ist die Ableitung von. ebenfalls Betrachten wir zwei Fälle, in denen der Exponent nicht nur aus einem besteht. Wenden wir uns zuerst der Ableitung von zu. Der Differentialquotient sieht wie folgt aus: 36

39 Differentialquotient 37

40 Differentialquotient Ersetzen wir nun wieder gemäß der obigen Definition (4), so ergibt sich 38

41 Differentialquotient 39

42 Differentialquotient Der zweite Fall ist etwas komplizierter:. Der Differentialquotient hat dann die Form [2] 40

43 Differentialquotient 41

44 Differentialquotient Betrachten wir wieder den Grenzwert des Bruchs und ersetzen wie oben wieder durch seine Definition, so ergibt sich 42

45 Differentialquotient 43

46 Differentialquotient Da der Exponent des Binoms unbekannt ist, können wir nur einige wenige Aussagen über den ausmultiplizierten Term machen diese reichen jedoch aus. Ausmultiplizieren ergibt [3] Da in jedem der Terme außer dem ersten ein enthalten ist, ist der Grenzwert dieses Ausdrucks gerade, er entspricht also gerade der inneren Ableitung der Ursprungsfunktion. 44

47 Differentialquotient Die Funktion des natürlichen Logarithmus Der Differentialquotient der Funktion hat folgendes Aussehen: 45

48 Differentialquotient erweitert und anschließend eine Rechenregel für Logarithmen ange- An dieser Stelle wird der Bruch mit wendet: 46

49 Differentialquotient Wir ersetzen wieder nach der Definition (4) und erhalten 47

50 Differentialquotient Die Sinusfunktion Der Differentialquotient der Sinusfunktion wir mit Hilfe von Rechenregeln für trigonometrische Funktionen umgeformt. Diese Rechenregeln sind: 48

51 Differentialquotient Damit ergibt sich für die Differenz 49

52 Differentialquotient Nun werden die beiden Variablen und durch und ausgedrückt. Um auf eine Struktur wie im Differentialquotienten zu kommen, muss gelten. Lösen dieses Gleichungssystems führt zu 50

53 Differentialquotient Ersetzen im Differentialquotienten führt zu 51

54 Differentialquotient 52

55 Differentialquotient Nach der Regel von L Hospital ist der Grenzwert des ersten Ausdrucks 1. Somit bleibt nur noch der Ausdruck 53

56 Differentialquotient über. Footnotes (? returns to text) 1. Es handelt sich um eine kleine Einheit, da auf der Seite über den Differenzenquotienten gesehen haben, dass die Änderungsrate an jeder Stelle dieser Funktion einen anderen Wert annimmt. Bei schon geringfügig höheren Werte von, ist auch die aktuelle Änderungsrate ungleich 4.? 2. Es sei darauf aufmerksam gemacht, dass beim Ausklammern im Exponenten eine binomische Formel verwendet wird.? 3. Siehe dazu den Abschnitt über das Pascalsche Dreieck.? Ableitung von Funktionen Mit Hilfe der Differentialquotienten werden Steigungen von Funktionen in einzelnen Punkten berechnet. Erweitern wir dieses Konzept nun auf beliebige Stellen einer Funktion, so erhalten wir eine Ableitungsfunktion. Sehen wir uns dies am Beispiel an. Der entsprechende Differentialquotient hat die Form: 54

57 Ableitung von Funktionen 55

58 Ableitung von Funktionen Die Ableitungsfunktion gibt an, welche Steigung die Funktion an der Stelle hat. Eine Funktion, die an jeder Stelle einer Menge ( ) differenzierbar ist, wird differenzierbar über eine Menge genannt. Beispiele für Funktionen mit nicht differenzierbaren Stellen sind die Quadratwurzelfunktion an der Stelle 0, die Betragsfunktion an der Stelle, an der der Wert der Funktion 0 wird oder 56

59 Ableitung von Funktionen Funktionen mit Sprungstellen an eben diesen Sprungstellen. Ableitungen höherer Ordnung wie die 2. oder 3. Ableitung erhält man durch mehrfaches Ableiten. Wird die 1. Ableitung abgeleitet, so erhält man die 2. Ableitung. Wird diese wiederum abgeleitet, so erhält man die 3. Ableitung. Ableitungen spezieller Funktionen Im Folgenden werden die Ableitungen diverser Funktionstypen betrachtet. Konstante Funktion Die Ableitung der konstanten Funktion ist 0. Lineare Funktion Eine Funktion der Form hat die Steigung. Potenzfunktion Eine Funktion hat die Ableitung. Der Koeffizient wird also mit dem Exponenten multipliziert und der Exponent wird anschließend um 1 vermindert. Ganzrationale Funktion Eine ganzrationale Funktion besteht aus der Summierung von einzelnen Potenzfunktionen. Diese werden einzeln abgeleitet und anschließend wieder addiert. Die Ableitung von ist. 57

60 Ableitung von Funktionen Potenzfunktion mit negativem Exponent Die Ableitung von erfolgt nach der Regel für Potenzfunktionen. Der Koeffizient wird mit dem Exponenten multipliziert und der Exponent wird um 1 vermindert:. Wurzelfunktion Die Ableitung von. erfolgt nach der Grundregel für Potenzfunktionen: Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion hat die Form. Dabei bezeichnet den Logarithmus zur natürlichen Zahl. Als Spezialfall ergibt sich, dass die Ableitung von gleich sich selbst ist, also. Logarithmusfunktion Die Ableitung der Logarithmusfunktion zur Basis ist. Ein Speziafall ist die Ableitung der Logarithmusfunktion zur Basis. Dort ist die Ableitung. Sinusfunktion Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion. Kosinusfunktion 58

61 Ableitung von Funktionen Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion:. Spezielle Regeln Bisher sind die Ableitungen einfacher Funktionen betrachtet worden.für verknüpfte Funktionen gibt es Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel. Produktregel Die Produktregel ist eine spezielle Regel, um Ableitungen zu berechnen. Bei der Produktregel sind zwei Funktionen einer Variablen per Multiplikation miteinander verbunden, zum Beispiel. Betrachten wir allgemein die Funktion Die Ableitung dieser Funktion ist nach der Produktregel Betrachten wir als Beispiel die Funktion, deren Ableitung wir mit als Ableitung einer Potenzfunktion ermitteln können. Schreiben wir dies aus Übungszwecken als. Dann ist 59

62 Produktregel und. Damit ergeben sich und. Als Ableitung ergibt sich damit. Aufgabe: Geben Sie die Ableitung von an. Quotientenregel Die Quotientenregel ist eine spezielle Regel, um Ableitungen zu berechnen. Bei der Quotientenregel sind zwei Funktionen einer Variable per Division miteinander verbunden, zum Beispiel. Eine allgemeine Funktion, die aus zwei weiteren Funktionen und besteht, die dividiert werden, ist: Die Ableitung ist dann 60

63 Quotientenregel Betrachten wir ein Beispiel. Sei Dann ist und. Für die Ableitung ergibt sich dann 61

64 Quotientenregel Kettenregel Die Kettenregel ist eine spezielle Regel, um Ableitungen zu berechnen. Die Kettenregel wird benutzt, wenn zwei Funktionen miteinander verkettet sind:. Ein Beispiel dafür ist. Man spricht dabei von einer äußeren Funktion im Beispiel ist dies die Wurzelfunktion und einer inneren Funktion im Beispiel. Die Ableitung dieser Funktion setzt sich nach der Regel äußere Ableitung mal innere Ableitung zusammen, formal: 62

65 Kettenregel In unserem Beispiel ist die äußere Ableitung die Ableitung der Wurzelfunktion, also innere Ableitung ist. Zusammen ergibt sich als Ableitung und die Aufgabe: Oftmals werden Wachstumsprozesse untersucht. Eine solche Funktion hat das Aussehen. Geben Sie Ableitung dieser Funktion an. Extremwerte und Monotonie Extrempunkte In der Abbildung 1 ist eine Parabel und in der Abbildung 2 die Ableitung der Parabel dargestellt. 63

66 Extremwerte und Monotonie Extrempunkte Wodurch ist das (lokale) Minimum der Parabel gekennzeichnet? Abbildung 1: Eine Parabel Abbildung 2: Die Ableitung der Parabel 64

67 Extremwerte und Monotonie Extrempunkte Das lokale Minimum ist der Punkt, der in einem Bereich der tiefste Punkt ist hier ist dies in dem Punkt der Fall. Außerhalb dieses Bereiches kann es weitere Punkte geben, die Minima sind und tiefere Werte erreichen. In dem Fall der Abbildung 1 ist das Minimum sogar ein globales Minimum, da es keinen Punkt gibt, bei dem die Werte geringer sind. Entscheidend ist jedoch, dass in einem solchen Minimum die Kurve eine Steigung von 0 hat. Dies kann man sich mit folgendem Gedankenexperiment erklären: Stellen wir uns ein Minimum vor, bei dem die Kurve eine positive (negative) Steigung hat. Dann gäbe es aber links (rechts) von dieser Stelle Punkte mit niedrigeren Werten. Der Punkt könnte also kein Minimum sein. Die Argumentation für ein lokales Maximum also einen Punkt, zu dem es in der Umgebung keine höheren Werte gibt ist ganz ähnlich. Diese Bedingung, dass die Kurve in einem Extrempunkt eine Steigung von Null hat, nennt man die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extremwertes: Notwendige Bedingung:f?(x)=0. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, kann kein Extrempunkt vorliegen. Anders herum kann es keinen Extrempunkt geben, bei dem diese Bedingung verletzt ist. Diese Bedingung kann keine, eine oder mehrere Lösungen haben. Dies sind Kandidaten für Extrempunkte ( ). Jetzt gibt es aber auch noch Fälle, wie in Abbildung 3. Auch dort ist bei die notwendige Bedingung erfüllt, weil die Kurve dort eine Steigung von Null hat. Allerdings handelt es sich nicht um einen Extrempunkt. 65

68 Extremwerte und Monotonie Extrempunkte Abbildung 3: Eine kubische Funktion Abbildung 4: Die Ableitung einer kubischen Funktion 66

69 Extremwerte und Monotonie Extrempunkte Es gibt also Punkte, die die notwendige Bedingung erfüllen, aber trotzdem keine Extrempunkte sind. Also muss zwischen den Punkten, die die notwendige Bedingung erfüllen, weiter selektiert werden. Schauen wir uns die Ableitungen in den Abbildungen 2 und 4 an: Im ersten Fall, in dem wir ein Minimum hatten, wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen; im zweiten Fall ist die Ableitung links und rechts vom Wert positiv, wechselt ihr Vorzeichen also nicht. Diese Prüfung nennt man das Vorzeichenwechselkriterium. Halten wir fest: Ein Punkt ist ein Extrempunkt, wenn die Funktion dort eine waagerechte Tangente also die Steigung 0 hat und das Vorzeichenwechselkriterium für die 1. Ableitung erfüllt ist. Das Prüfen des Vorzeichenwechselkriteriums [1] kann aufwendiger sein, daher greift man zu einer etwas einfacheren Bedingung: Hinreichende Bedingung: und. Wenn diese Bedingung bei einem der gefundenen Kandidaten für Extrempunkte erfüllt ist, liegt ein Extrempunkt vor. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, kann immer noch ein Extrempunkt vorliegen. Anders als bei der notwendigen Bedingung gilt hier der Umkehrschluss wenn ein Extrempunkt vorliegt, dann ist diese Bedingung erfüllt nicht. Versuchen wir uns dies an einem Beispiel zu verdeutlichen. Gegeben sei. Diese Funktion verläuft prinzipiell wie eine Parabel und hat ein Minimum bei. Für die notwendige Bedingung gilt: 67

70 Extremwerte und Monotonie Extrempunkte Die hinreichende Bedingung ist nicht erfüllt. Allerdings wissen wir, dass es an der Stelle 0 ein Minimum gibt. Schauen wir uns das Vorzeichenwechselkriterium an der Stelle an. Es gilt und, das Vorzeichenwechselkrterium ist also erfüllt und an der Stelle liegt ein Minimum vor, weil die Kurve links von 0 fällt und rechts davon steigt. Es gibt eine weitere Methode, dieses Problem an Stelle mit dem Vorzeichenwechselkriterium zu lösen. Es werden weitere Ableitungen höheren Grades gebildet und an der der Stelle, an der 1. und 2. Ableitung gleich Null sind, ausgewertet. Sobald der erste Wert ungleich 0 auftaucht, wird das Verfahren beendet. Ist die Ableitung, bei der der erste Wert ungleich 0 errechnet wurde, eine ungerade Ableitung, dann liegt kein Extrempunkt vor; ist es eine gerade Ableitung, liegt ein Extrempunkt vor. In unserem hat die 3. Ableitung an der Stelle 0 den Wert 0; erst die 4. Ableitung ist mit 24 ungleich Null. Es liegt also ein Extrempunkt vor. Zusammengefasst: Es liegt ein Maximum (Hochpunkt) vor, wenn an einer Stelle die Bedingungen und erfüllt sind. Ein Minimum liegt vor, wenn an einer Stelle die Bedingungen und erfüllt sind. Sollten an einer Stelle die Bedingungen und erfüllt sein, muss auf einen Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung an der Stelle geprüft werden. Gibt es einen Vorzeichenwechsel, so liegt entweder ein Maximum (Wechsel von positiv zu negativ für steigendes ) oder ein Minimum (Wechsel von negativ zu positiv für steigendes ) vor. Alternativ können höhere Ableitungen an dieser Stelle geprüft werden. Ist die Ableitung, die als erstes einen Wert ungleich 0 an dieser Stelle hat, eine gerade Ableitung, so liegt ein Extrempunkt vor. Auch hier gilt dann: Ist 68

71 Extremwerte und Monotonie Extrempunkte der Wert dieser Ableitung positiv, so handelt es sich um ein Minimum, ist der Wert negativ, handelt es sich um ein Maximum. Maxima und Minima wenn es denn mehrere gibt müssen sich mit steigendem nicht, zwei Extrempunkte desselben Typs hintereinander zu haben. abwechseln. Es geht Footnotes (? returns to text) 1. Man setzt in die 1. Ableitung einmal einen Wert ein, der etwas kleiner als der gefundene Kandidat für ein Extremum ist und einmal einen Wert, der etwas größer ist. Unterscheiden sich die Vorzeichen der ersten Ableitung an diesen beiden Stellen, so ist das Vorzeichenwechselkriterium erfüllt.? Monotonie Die Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten der Funktion. Das Steigungsverhalten der Funktion wiederum wird durch die erste Ableitung beschrieben. Ist die erste Ableitung in einem Bereich positiv, dann ist die Funktion in diesem Bereich streng monoton steigen. [1] Entsprechendes gilt dafür, dass die erste Ableitung negativ ist; dann ist die Funktion streng monoton fallend. Der gesamt Definitionsbereich der Funktion von bis wird durch die Maxima und Minima in Monotoniebereiche mit unterschiedlichem Verhalten aufgeteilt. Wenn beispielsweise Extrempunkte bei, und vorliegen, dann ergeben sich die Intervalle,, und. Um zu sehen, ob die Kurve in einem Bereich steigt oder fällt, setzt man einfach einen Werte des Bereichs in die erste Ableitung ein. In diesem Beispiel könnten dies beispielsweise,, und sein. Ist die Ableitung in einem Bereich positiv, dann ist die Funktion streng monoton steigend; ist sie negativ, dann ist sie streng monoton fallend. Zur Kontrolle: Links von einem Maximum und rechts von einem Minimum muss eine Kurve steigen. Rechts von einem Maximum und links von einem Minimum muss sie fallen. Bei einem Extrempunkt muss sich das Steigungsverhalten ändern. Eine noch oben geöffnete Parabel ist bis zu ihrem Scheitelpunkt streng monoton fallend, anschließend ist sie streng monoton steigend. Eine nach unten geöffnete Parabel ist bis zu ihrem Scheitelpunkt monoton steigend und anschließend streng monoton fallend. Die Funktion ist monoton steigend über den gesamten Verlauf; sie ist streng monoton steigend, wenn man die Stelle 0 ausnimmt. Im Falle einer Defintionslücke wird der Monotoniebereich in zwei Teile geteilt. Footnotes (? returns to text) 69

72 Extremwerte und Monotonie Monotonie 1. Sie ist streng monoton steigend, wenn die Ableitung größer 0 ist. Ist die Ableitung an einer Stelle in diesem Bereich gleich Null ist die Funktion lediglich monoton steigen.? Wendepunkte und Krümmungsverhalten Wendepunkte In einem Wendepunkt ändert sich die Krümmung der Kurve. Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die 2. Ableitung einer Funktion inen Wert von Null hat (notwendige Bedingung) und die 3. Ableitung ungleich Null (hinreichende Bedingung) [1] ist. Sollte die 3. Ableitung gleich Null sein, muss geprüft werden, ob an der durch ermittelten Stelle ein Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung vorliegt. Ist dies der Fall, gibt es auch bei und einen Wendepunkt. Ein Wendepunkt ist ein Punkt, in dem der Graph der Funktion von einer Rechts in eine Linkskrümmung oder von einer Links in eine Rechtskrümmung übergeht. Man kann sich das so vorstellen, als ob man den Graphen mit einem Fahrrad abfährt. In dem Punkt, in dem man den Lenker von der einen Seite auf die andere bewegen muss, ist der Wendepunkt. Da in einem Wendepunkt die 2. Ableitung gleich 0 ist, bedeutet dies, dass die 1. Ableitung dort ein Maximum oder Minimum besitzt zumindest die die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt der 1. Ableitung dort erfüllt: die Ableitung der 1. Ableitung ist dort 0. Ein Wendepunkt ist also ein Punkt größter oder kleinster Steigung in einem Bereich. Footnotes (? returns to text) 1. Die Unterscheidung zwischen notwendiger und hinreichender Bedingung ist die gleiche wie bei den Extrempunkten.? Krümmungsverhalten Das Krümmungsverhalten beschreibt, wie die Funktion gekrümmt ist. Die Krümmung der Funktion wird durch die zweite Ableitung beschrieben. Daher wird der gesamt Definitionsbereich der Funktion von bis durch die Wendepunkte in Bereiche mit unterschiedlicher Krümmung aufgeteilt. Wenn beispielsweise Wendepunkte bei und vorliegen, dann ergeben sich die Intervalle, und. Um zu sehen, ob die Kurve in einem Bereich rechts oder linksgekrümmt ist, setzt man einfach einen Wert des Bereichs in die zweite Ableitung ein. In diesem Beispiel könnten dies beispielsweise, und sein. Wenn die zweite Ableitung in einem Intervall positiv ist ( ), dann ist die Funktion linksgekrümmt oder konvex, ist sie negativ ( ), dann ist sie rechtsgekrümmt oder konkav. Die Krümmung ändert sich an den Wendepunkten einer Funktion (Links -Rechts -Krümmung oder Rechts- Links- Krümmung). 70

73 Wendepunkte und Krümmungsverhalten Krümmungsverhalten Grenzwerte Grenzwerte von Funktionen Unter den Grenzwerten einer Funktion versteht man den Wert, dem sich eine Funktion in einem Bereich annähert. Im Rahmen einer Kurvendiskussion werden oftmals die Grenzwert von Funktionen betrachtet, wenn die Variable gegen unendliche Werte strebt. Für ganzrationale Funktionen werden die Grenzwerte hier betrachtet. Für gebrochen rationale Funktionen wurden hier Betrachtungen angestellt. Bei zusammengesetzten Funktionen kann eventuell die Regel von L Hospital helfen. Regel von L'Hospital Die Regel von L Hospital erlaubt es den Grenzwert einer Funktion zu bestimmen, wenn an der Grenze ein unbestimmter Ausdruck entsteht. Nehmen wir eine Funktion an, deren Grenzwert auf eine Aufgabe der Form hinaus läuft. Der Grenzwert an der Stelle ist unbestimmt, da man nicht durch Null dividieren darf. 71

74 Grenzwerte Regel von L'Hospital Wenn im Zähler keine Null stünde, würde der Grenzwert gegen unendlich streben. In diesem Fall gilt aber falls der Grenzwert auf der rechten Seite existiert. Sollte die rechte Seite ebenfalls unbestimmt sein, kann man die Regel von L Hospital erneut anwenden. Nehmen wir als Beispiel die Funktion und betrachten den Grenzwert für. Beim Wert Null nehmen sowohl der Nenner als auch der Zähler den Wert Null an. Also bilden wir den Quotienten der beiden Ableitung von und.es ergibt sich 72

75 Grenzwerte Regel von L'Hospital Unbestimmt ist ein Grenzwert auf, wenn er gegen oder strebt. Asymptoten und Polstellen Asymptoten Eine Asymptote ist eine Linie, der sich der Graph einer Funktion annähert ohne sie letztendlich zu erreichen. Oftmals stößt man bei Grenzwertbetrachtungen auf Asymptoten, wenn der Grenzwert nicht unendlich groß oder klein ist. Es gibt vier Arten von Asymptoten. Um diese Arten von Asymptoten zu erklären betrachten wir eine Funktion der Form 73

76 Asymptoten und Polstellen Asymptoten (1) Senkrechte Asymptoten/Polstellen Senkrechte Asymptoten entstehen durch Definitionslücken. Abbildung 1: Hyperbel 74

77 Asymptoten und Polstellen Asymptoten Im Beispiel der Hyperbel in Abbildung 1 gibt es eine senkrechte Asymptote bei, weil dort eine Definitionslücke ist. Die Funktionswerte nähern sich unendlichen Werten an, wenn der Wert sich 0 annähert. Allgemein gibt es solche senkrechten Asymptoten an den Stellen, an denen in der Funktion (1) Nullstellen hat. Man unterscheidet bei solchen senkrechten Polstellen zwischen solchen mit Vorzeichenwechseln so wie hier im Beispiel und solchen ohne Vorzeichenwechsel. Den Vorzeichenwechsel kann man dadurch bestimmen, dass man einen Wert einsetzt, der etwas kleiner als die Definitionslücke ist und einen, der etwas größer ist. Horizontale/waagerechte Asymptoten Horizontale oder waagerechte Asymptoten ergeben sich, wenn der Grad der Funktion in dem Beispiel (1) kleiner oder gleich dem Grad der Funktion ist. Sollte der Grad von kleiner sein, so ist die waagerechte Asymptote 0, sind die beiden Grade der Funktionen gleich, so ist die waagerechte Asymptote der Quotient aus den beiden Koeffizienten vor den Variablen mit dem höchsten Exponenten. Sollte eine der Funktionen eine Exponentialfunktion sein, so ist dieser Grad immer höher als der Grad einer ganzrationalen Funktion. Auch bei Funktionen sind waagerechte Asymptoten möglich wenn der Exponent gegen strebt. Schiefe Asymptoten Schiefe Asymptoten ergeben sich, wenn der Grad der Funktion genau um 1 höher ist als der Grad der Funktion. Die schiefe Asymptote wird durch eine Polynomdivision ermittelt; dabei wird der Rest, der bei der Division entsteht, ignoriert. Asymptotische Kurven 75

78 Powered by TCPDF ( Asymptoten und Polstellen Asymptoten Asymptotische Kurven ergeben sich, wenn der Grad der Funktion um mehr als 1 höher ist als der Grad der Funktion. Die Asymptote wird auch hier durch eine Polynomdivision ermittelt, wobei der Rest der Division ignoriert wird. 76