Einstichprobenproblem t-test

Transkript

1 t-test a) H 0 : µ µ 0 H A : µ > µ 0 große Werte von T = X µ 0 s n indizieren Gültigkeit von H A. b) H 0 : µ µ 0 H A : µ < µ 0 kleine Werte von T indizieren H A c) H 0 : µ = µ 0 H A : µ µ 0 T groß indiziert Gültigkeit von H A. W. Kössler (IfI HU Berlin) Werkzeuge der empirischen Forschung 301 / 70

2 Hypothesentest Annahme- und Ablehnungsbereich Tests a) H 0 : µ µ 0 H A : µ > µ 0 große Werte von T sprechen für H A. Annahmebereich Krit.Bereich... t krit b) H 0 µ µ 0 H A : µ < µ 0 kleine Werte von T sprechen für H A. Krit.B. Annahmebereich... t krit c) H 0 : µ = µ 0 H A : µ µ 0 große Werte von T sprechen für H A. Annahmebereich.... t krit t krit W. Kössler (IfI HU Berlin) Werkzeuge der empirischen Forschung 30 / 70

3 Hypothesentest Sei jetzt t eine Realisierung von T. Tests Zweiseitige Alternative H A : µ µ 0 Wenn t > t krit = t 1,n 1 so H 0 abgelehnt. Wenn t t krit = t 1,n 1 so H 0 nicht abgel. Abl. Annahme Ablehnung t krit 0 t t krit Einseitige Alternative H A : µ > µ 0 Wenn t > t krit = t 1,n 1 so H 0 abgelehnt. Wenn t t krit = t 1,n 1 so H 0 nicht abgel. Annahme Ablehnung t t krit Einseitige Alternative: H A : µ < µ 0 Wenn t < t krit = t,n 1 so H 0 abgelehnt. Wenn t t krit = t,n 1 so H 0 nicht abgel. Ablehnung Annahme t krit 0 t W. Kössler (IfI HU Berlin) Werkzeuge der empirischen Forschung 303 / 70

4 p-werte bei einseitigen Alternativen Erinnerung: Der zweiseitige p-wert ist: P( T > t). P( T > t) = P((T > t) ( T > t)) = P((T > t) (T < t)) = P(T > t), t > 0 P(T > t) = P(T < t) = 1 P(T t) = 1 1 P( T > t), t 0 (Die Verteilung von T ist stetig und symmetrisch.) W. Kössler (IfI HU Berlin) Werkzeuge der empirischen Forschung 304 / 70

5 p-werte bei einseitigen Alternativen Fall a) H 0 : µ µ 0 H a : µ > µ 0 { 1 P( T > t), falls t > 0 p-wert = P(T > t) = 1 1 P( T > t), falls t 0 Ablehnung von H 0 falls P(T > t) <. Die p-werte von SAS sind zweiseitig, sie sind also (wenn t > 0) durch zu dividieren (wenn t 0 wird H 0 ohnehin nicht abgelehnt) W. Kössler (IfI HU Berlin) Werkzeuge der empirischen Forschung 305 / 70

6 p-werte bei einseitigen Alternativen Fall b) H 0 : µ µ 0 H a : µ < µ 0 { 1 P( T > t ), falls t 0 p-wert = P(T < t) = 1 1 P( T > t), falls t > 0 Ablehnung von H 0 falls P(T < t) < also wenn t < 0 so SAS-p-Wert durch teilen! Im Fall der zweiseitigen Alternative (c) ist der p-wert P( T > t) genau das was SAS ausgibt, wir brauchen also nichts zu ändern. W. Kössler (IfI HU Berlin) Werkzeuge der empirischen Forschung 306 / 70

7 Zusammenfassung (1) Teststatistik T = n X µ 0 Realisierung t S X = 1 n i X i, S = 1 n 1 i (X i X) Zweiseitige Alternative, H 0 : µ = µ 0 H A : µ µ 0 t > t krit H 0 ablehnen p-value < H 0 ablehnen Pr > t < H 0 ablehnen W. Kössler (IfI HU Berlin) Werkzeuge der empirischen Forschung 307 / 70

8 Zusammenfassung () Einseitige Alternative, H 0 : µ µ 0 H A : µ > µ 0 t > 0 und p-value < H 0 ablehnen Einseitige Alternative, H 0 : µ µ 0 H a : µ < µ 0 t < 0 und p-value < H 0 ablehnen W. Kössler (IfI HU Berlin) Werkzeuge der empirischen Forschung 308 / 70

9 Konfidenzbereiche am Beispiel des t-tests Tests X N(µ, σ ) n X µ t S n 1 wenn µ der wahre (Lokations-) Parameter ist. P( t 1,n 1 n X µ t 1 }{{ s,n 1 ) = 1 } ( ) Die Ungleichungenen sind äuqivalent zu ( ) s t 1 n,n 1 X µ s t 1 n,n 1 X s n t 1,n 1 µ X + s n t 1,n 1 X + s n t 1,n 1 µ X s n t 1,n 1 X s n t 1,n 1 µ X + s n t 1,n 1 W. Kössler (IfI HU Berlin) Werkzeuge der empirischen Forschung 309 / 70

10 Konfidenzbereiche Tests (1 ) Konfidenzintervall für den (unbekannten) Parameter µ [ s X t 1 n,n 1, X + s ] t 1 n,n 1 PROC TTEST ALPHA=Wert PROC UNIVARIATE ALPHA=Wert CIBASIC ALPHA: Konfidenzniveau (=Signifikanzniveau) CIBASIC: Konfidenzintervalle für µ, σ, σ basierend auf Normalverteilung CIPCTLDF: verteilungsfreie Konfidenzintervalle (basierend auf empirischen Quantilen) W. Kössler (IfI HU Berlin) Werkzeuge der empirischen Forschung 311 / 70

11 Konfidenzbereiche Beispiel Tests Test_t1_Banknote Konfidenzintervalle für den Lageparameter µ = E laenge : echt gefälscht = = = nichtparam. KI (für Median) PROC TTEST ALPHA=Wert PROC UNIVARIATE ALPHA=Wert CIBASIC CIPCTLDF W. Kössler (IfI HU Berlin) Werkzeuge der empirischen Forschung 313 / 70

12 Konfidenzintervalle für σ X N(µ, σ ) (n 1) S σ χ n 1 Dichte einer χ ν-verteilung { 1 x ν/ 1 falls x 0 f χ ν (x) = ν/ Γ( ν )e x/ 0 sonst. Test_Chi_Dichte W. Kössler (IfI HU Berlin) Werkzeuge der empirischen Forschung 315 / 70

13 Konfidenzintervall für σ auflösen nach σ : P ( χ /,n 1 (n 1) S σ ) χ 1 /,n 1 = 1 1 = P ( χ S /,n 1 (n 1) σ ) χ 1 /,n 1 = P ( 1 σ χ 1 /,n 1 (n 1)S 1 ) χ /,n 1 = P ( (n 1)S χ 1 /,n 1 σ (n 1)S) χ /,n 1 W. Kössler (IfI HU Berlin) Werkzeuge der empirischen Forschung 316 / 70

14 Konfidenzintervall für σ Konfidenzintervall (Vertrauensintervall) für den (unbekannten) Parameter σ [ ] (n 1)s (n 1)s, χ 1 /,n 1 χ /,n 1 PROC TTEST PROC UNIVARIATE ALPHA CIBASIC CIPCTLDF W. Kössler (IfI HU Berlin) Werkzeuge der empirischen Forschung 318 / 70