PRÜFUNG: METHODEN DER STATISTIK II WS 2016/17. Name, Vorname (Druckschrift) Matrikelnummer Platznummer

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1 OTTO-FRIEDRICH-UNIVERSITÄT BAMBERG Prof. Dr. Susanne Rässler Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie PRÜFUNG: METHODEN DER STATISTIK II WS 2016/17 Name, Vorname (Druckschrift) Matrikelnummer Platznummer Hinweise zur Klausur: Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten. Bitte tragen Sie Ihren Namen und Vornamen sowie Ihre Matrikelnummer und Ihre Platznummer in die dafür vorgesehenen Felder ein. Unterschreiben Sie den Mantelbogen und legen Sie bitte Ihren amtlichen Lichtbildausweis gut sichtbar vor sich auf den Tisch. Hinweise zur Bearbeitung: Alle Blätter sind zu nummerieren und mit dem Namen zu versehen. Auf allen Seiten sollte ein ca. 5 cm breiter Rand frei bleiben. Die Arbeit darf nicht mit Bleistift verfasst werden. Diese Angabenblätter und das Zusatzpapier sind nach der Bearbeitung abzugeben! Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Bei sämtlichen Lösungen sind Lösungswege und Zwischenergebnisse anzugeben. Zugelassene Hilfsmittel: Die vom Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie herausgegebene Formelsammlung von der vierten bis zur achten Auflage. Jegliche Ergänzungen der Formelsammlung sind unzulässig. Einzig zulässig ist das Hervorheben von FORMELN und TEXT mittels Textmarker. Ein nicht programmierbarer und nicht grafikfähiger Taschenrechner. Klausurergebnis: Aufgaben: Summe: Note: maximale Punktzahl erreichte Punktzahl

2 Aufgabe 1 Jasper arbeitet neben seinem Studium als Servicekraft in einer Pizzeria. Bei der Aufnahme der Bestellungen fragt er sich immer wieder, wie man statt der stadtbekannten Pizza Nudeln bestellen kann. Er vermutet, dass diese Fehlentscheidung vor allem von weiblichen Gästen getroffen wird, da diese eher auf ihre Figur achten. Um seine Hypothese zu überprüfen, beschließt er bei seiner nächsten Schicht, von 450 zufällig über den Tag ausgewählten Gästen das bestellte Hauptgericht sowie das Geschlecht der Personen zu notieren. Am Ende des Abends hatten schließlich 350 Personen Pizza bestellt. 30% der Gäste, die Pizza gewählt haben, waren weiblich. Von den 100 Personen, die Nudeln bestellt hatten, waren 25% männlich. a) Erstellen Sie eine vollständige Kontingenztabelle für Geschlecht vs. Hauptgericht mit den angegebenen Häufigkeiten. Ersatzergebnis: Falls Sie die Teilaufgabe a) nicht lösen konnten (und nur dann), verwenden Sie im Folgenden die nachstehende Tabelle Nudeln Pizza männlich weiblich b) Überprüfen Sie mit Hilfe eines geeigneten statistischen Tests mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1%, ob die Wahl des Hauptgerichtes vom Geschlecht der Gäste abhängt. Interpretieren Sie Ihr Testergebnis inhaltlich. c) Erläutern Sie kurz welcher Fehler bei Ihrer Entscheidung vorliegen könnte. Gehen Sie dabei auch auf das Fehlerrisiko ein.

3 Aufgabe 2 Über Twitter werden kontinuierlich Fake News verbreitet. Durchschnittlich so haben eingehende Analysen ergeben geschieht dies (unabhängig von der Tageszeit) drei mal pro Minute. a) Wie und mit welchem/ welchen Parameter(n) ist die Variable Anzahl der über Twitter pro Minute verbreiteten Fake News-Meldungen verteilt? Welche Annahme ist hierfür bezüglich der Beziehung der Fake News-Meldungen zueinander notwendig? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb von fünf Minuten mindestens 8 Fake News-Meldungen verbreitet werden? Verwenden Sie zunächst eine geeignete Approximation und überprüfen Sie die zugehörigen Regeln. Sie haben auf der Website huffingtonpost.de in Ihrem Browser sieben zufällig ausgewählte Meldungen in verschiedenen Tabs geöffnet. Aus langjähriger Erfahrung (zum Teil als Fake News noch Falschmeldungen hießen) wissen Sie, dass generell der Anteil an Fake News in diesem Portal 45% beträgt. c) Wie und mit welchem/ welchen Parameter(n) ist die Variable Anzahl der Fake News-Meldungen in der nun vorliegenden Situation verteilt? d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter den sieben Meldungen... (i) genau drei Meldungen falsch sind. (ii) höchstens drei Meldungen wahr sind.

4 Aufgabe 3 Beim so genannten Fracking werden neben großen Mengen an Wasser auch verschiedene Chemikalien (anteilig jedoch nur ca. 2% der Gesamtflüssigkeit) in tiefliegende Gesteinsschichten gepumpt. Im Folgenden liegen Daten zum Verbrauch von Chlorwasserstoffsäure (in t) für vier Fracking-Einsätze vor, die mit einem Standardverfahren durchgeführt wurden. i x i Bei fünf weiteren Fracking-Einsätzen wurde ein alternatives Verfahren verwendet. Hier wurden folgende Mengen an Chlorwasserstoffsäure (in t) je Einsatz verbraucht: j y j a) Berechnen Sie die Stichprobenmittelwerte und Stichprobenvarianzen des Verbrauchs an Chlorwasserstoffsäure für beide Verfahren. Ersatzergebnis: Falls Sie Teilaufgabe a) nicht lösen konnten (und nur dann), verwenden Sie im Folgenden x = 20, 5; ȳ = 17; S 2 X = 3, 6667 und S2 Y = 3, 5 b) Welches Theorem der Statistik zeigt, dass für die Stichprobenmittelwerte von X und Y (näherungsweise) eine Normalverteilung angenommen werden kann? c) Schätzen Sie ein zentrales 95%-Konfidenzintervall für den Mittelwert von X. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der tatsächliche Durchschnittsverbrauch von Chlorwasserstoffsäure für das Standardverfahren innerhalb der ermittelten Intervallgrenzen liegt? d) Führen Sie mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1 % einen geeigneten statistischen Test durch, um zu überprüfen, ob das alternative Verfahren weniger Chlorwasserstoffsäure benötigt.

5 Aufgabe 4 In einer Lostrommel befinden sich vier Lose, auf denen sich jeweils eine Abbildung befindet: ein Bär, ein Herz, ein Luftballon oder eine Eule. Diese Abbildungen stehen jeweils für Punkte, die sich in Gewinne einlösen lassen. Die Eule zählt dabei 0 Gewinnpunkte (Niete), der Bär 5, der Luftballon 5 und das Herz 10 Gewinnpunkte. Luisa (7 Jahre) soll nun zwei Lose hintereinander ziehen: a) Luisa muss - bevor sie aus der Lostrommel die beiden Lose hintereinander ziehen darf - den Ereignisraum kennen. Listen Sie für Luisa die Ergebnismenge Ω bei einer Auswahl ohne Zurücklegen auf. b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Luisa bei zweimaligem Ziehen insgesamt genau 10 Gewinnpunkte erhält, wenn es sich um eine Auswahl ohne Zurücklegen handelt? Würden sich Luisas Chancen auf insgesamt genau 10 Gewinnpunkte erhöhen, wenn es sich stattdessen um eine Auswahl mit Zurücklegen handeln würde? Begründen Sie kurz Ihre Antwort. c) Wie groß ist bei Auswahl ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit, dass Luisa im ersten oder im zweiten Zug die Eule (Niete) zieht? Zehn Jahre später ist Luisa vollkommen überschuldet und glückspielabhängig. Deshalb nimmt sie an einer Therapie in Baden-Baden teil. Die Therapiegruppe besteht aus acht Männern (M), 60% der Gruppe sind weiblich (M). Da Glückspielsucht schwer zu therapieren ist, haben bereits 60% der aktuellen Teilnehmer eine Therapie hinter sich (T ), davon sind sechs Frauen. d) Zeichnen Sie einen Ereignisbaum, tragen Sie die im Text gegebenen Informationen ein und ergänzen Sie die fehlenden Informationen. Ersatzergebnis: Falls Sie die Teilaufgabe d) nicht lösen konnten, dann verwenden Sie bitte folgende Ergebnisse: P (M) = 0, 5; P (M) = 0, 5; P (T M) = 0, 25; P (T M) = 0, 25; P (T M) = 0, 25; P (T M) = 0, 25. e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig betrachtete Frau bereits an einer Therapie teilgenommen? f) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein ehemaliger Teilnehmer an einer Therapie männlichen Geschlechts? g) Übersteigt die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene Person ein männlicher Teilnehmer ist, der noch keine Therapie erhalten hat, die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene Person ein weiblicher Teilnehmer ist, die noch keine Therapie erhalten hat?

6 Lösung Aufgabe 1 a) Kontingenztabelle: Nudeln Pizza männlich weiblich b) 1. Testauswahl: Geeigneter Test: χ 2 -Unabhängigkeitstest 2. Hypothesen: H 0 : p ij = p i. p.j (Wahl des Hauptgerichts unabhängig vom Geschlecht) H A : p ij p i. p.j 3. Approximationsregeln: n ij 10 erfüllt und n i. n.j n 5 erfüllt. 4. Prüfmaß: Unter H 0 ist das Prüfmaß approx. χ 2 -verteilt mit (k 1)(l 1) = (2 1)(2 1) = 1 Freiheitsgraden. 5. Entscheidungsregel: Nullhypothese ist zu verwerfen, wenn die Prüffunktion größer χ 2 0,99;1 = 6, 635 ist. 6. Rechnung: Indifferenztabelle: Nudeln Pizza männlich ( )/450 = 60 ( )/450 = weiblich ( )/450 = 40 ( )/450 = Prüfgröße: χ 2 = 65, Entscheidung und Interpretation: χ 2 0,99;1 = 6, 635 < 65, 62497, also wird die Nullhypothese auf einem Konfidenzniveau von 99% abgelehnt. Die Wahl des Hauptgerichtes ist laut Test nicht statistisch unabhängig vom Geschlecht. (Die Wahl des Hauptgerichtes ist laut Test abhängig vom Geschlecht.) c) Es könnte ein Fehler 1. Art (α-fehler) vorliegen, d.h. Nullhypothese wurde fälschlicherweise abgelehnt. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler liegt bei 1%.

7 Lösung: Aufgabe 2 a) X: Anzahl Fake News-Meldungen je Minute sind unabhängig auftretende Ereignisse (ohne zeitliche Ausdehnung) in einem zeitlichen Kontinuum. X P oi(λ = 3) b) Y: Anzahl Fake News-Meldungen in fünf Minuten. Gesucht ist P (Y 8) = P (Y > 7) = 1 P (Y 7) Y = 5X λ = E(Y ) = V ar(y ) = 15 λ = 15 nicht tabelliert in F.S. Approximation durch (Standard-)Normalverteilung. Approximationsregel λ > 9 ist erfüllt. P (Y 8) 1 0, 0262 = 0, 9738 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 97,4% werden innerhalb von fünf Minuten mehr als sieben Fake News-Meldungen verbreitet. c) X: Anzahl der Fake News innerhalb der geöffneten Tabs. X Bin(p = 0, 45, n = 7) d) (i) gesucht: P (X = 3) = 0, 2918 (ii) Y: Anzahl der korrekten Meldungen innerhalb der geöffneten tabs. Gesucht: P (Y 3) = 0, 3917

8 Lösung: Aufgabe 3 a) x = 3, 5 b) Der Zentrale Grenzwertsatz. c) Zentrales 95%-Konfidenzintervall um x als Schätzer für den Durchschnittsverbrauch an HCl (bei unbekannter Varianz) mit dem Standardverfahren: ( ) S n P X n t 1 α/2;n 1 µ X S n n + t 1 α/2;n 1 = 1 α n n Realisiertes Konfidenzintervall: Untergrenze: KI l = 16, 453 Obergrenze: KI l = 22, 547 d) Mittelwertdifferenzentest bei unverbundenen Stichproben mit unbekannter (aber identischer) Varianz Hypothesenpaar: H 0 : δ 0 gegen H A : δ > 0 mit δ = µ x µ Y Kritischer Bereich: mn > t m+n 1 α;n+m 2 S = 1, 8898 t-wert: 2, 7608 (X)n (Y )m S Kritische Schranke: t 0,99;7 = 2, 998 Da die Teststatistik nicht in den kritischen Bereich fällt, können wir die Nullhypothese, dass das Standardverfahren gleich viel oder weniger HCl verbraucht als das alternative Verfahren, nicht verwerfen. (Es könnte jedoch ein Fehler 2. Art vorliegen.)

9 Lösung Aufgabe 4 a) Ω = {(Herz,Eule), (Eule,Herz), (Eule,Luftballon), (Luftballon,Eule), (Bär,Eule), (Eule,Bär), (Herz,Bär), (Bär,Herz), (Luftballon,Bär), (Bär,Luftballon), (Herz,Luftballon), (Luftballon,Herz)} b) Ω = {(Herz,Eule), (Eule,Herz), (Bär,Luftballon), (Luftballon,Bär)} Die Wahrscheinlichkeit von 10 Gewinnpunkten beträgt somit 33 %. Ja, da die Kombination Bär, Bär sowie Luftballon, Luftballon zusätzlich vorkommen können. c) Die Wahrscheinlichkeit, entweder im ersten oder im zweiten Zug eine Niete zu ziehen, beträgt 50 Prozent. d) e) P (T M) = 0, 5 Die Wahrscheinlichkeit für eine Frau bereits an einer Therapie teilgenommen zu haben, beträgt 50 Prozent. f) P (M T ) = 0, 5 Die Wahrscheinlichkeit für einen ehemaligen Therapieteilnehmer männnlich zu sein, beträgt 50 Prozent. g) nein, da P (T M) = 0, 3 und P (T M) = 0, 1