Näherungsweise Bestimmung der Krafl-Versduebungskennlinie gerader oder schwachgekrümmter Träger bei großer Verformung. Strecke PiPi+1.

Transkript

1 TECHNISCHE MECHANIK 3(1982)Heft3 Manuskripteingangz Näherungsweise Bestimmung der Kraf-Versduebungskenninie gerader oder schwachgekrümmter Träger bei großer Verformung Johannes Beyreuther und Manfred Schumann. Näherung der Biegeinie durch Kreisbogen Gatte Kurven können in einfacher Weise grafisch durch Kreisbogensu'icke angenähert werden []. Diese Methode äßt sich ohne weiteres anaytisch beschreiben und führt auf ein numerisches Verfahren zur Ermittung des Kurvenveraufes aus gegebenen Krümmungsradien. Bei der Behandung des Biegeprobems schanker Träger (insbesondere im Fae großer Verformungen) bietet die: ses Verfahren gewisse Vorteie; denn zum einen ist die Krümmungsänderung des Trägers bei gegebenem Stoffgeäetz für jeden Punkt der Trägerschse aus dem Biegemoment berechenbar, zum anderen äßt sich die für die Formuierung der Randbedingungen erforderiche Bogenänge der Biegeinie auf einfache Weise reativ genau angeben Interpoation Auf einer gatten Kurve seien in gewissen keinen Abständen die Punkte Pi mit den Koordinaten xi, yi und den Anstiegswerten y} (i = 0,,..., n) gegeben. Bid 1 zeigt das Kurvenstück zwischen den Punkten Pi und PHI mit den Kurvennormaen und PH 101, die sich in Q1 unter dem Winke Arpi schneiden. Mit Q2 bezeichnen wir den Schnittpunkt des Kreises durch die Punkte Pi, PHI, Q1 mit der Mittesenkrechten der Strecke PiPi+1. Zur Interpoation der Kurve zwischen Pi und Pi schagen wir um den Punkt Q2 einen Kreisbogen mit dem Radius pi = Dieser schneidet bei monotoner Krümmungsabhängigkeir die gegebene Kurve im betrachteten Interva in mindestens drei Punkten, seine Krümmung Ki =% iegt zwischen den Krümmungswerten der i Kurve in den Punkten Pi und Pi. Für die aus Bid ersichtichen geometrischen Größen geten fogende Beziehungen: \ (pi = arctan y'i Wi+1 = eta Yi+1 Avi = S i+1 Pi, Axi = xi+1 xi, AYi = Yi+ Yi w A i > (1.1) i = arctan Aai = x/ Ax? + Ayé p. = J Axi = Ayi = 2 sin (moi/2) 2 pi sin (Aspi/2) cos Ii 2 pi sin (Ami/2) sin \/i (1.2) 1.2. Einschrittverfahren Es sei nun y = f (x) eine gesuchte Funktion mit bekannter stetiger Krümmung AV. y, I K = = my, (13) und den Anfangswerten Wadi) Ax" Y(Xo) = 0 (1-4 ) Y'(x ) = 0- (1-5) Bid Interpoation einer Kurve Pdmch Kreisbogen 10 Bei geeigneter Wah des Krümmungsradius pi und des Winkes 111i für jedes Interva iefern die Gn. (1.2) bei vorgegebenem Bogeneement A si und daraus fogendem

2 Agni s- = ' die Zuwiichse der _ Koordinaten im 1-ten Pi Schritt zu A Xi 2 sm27i ' Asi COS w Ayi = 2pi sin Asi. ( 1.6) 27 am Für die praktische Durchführung der Rechnung genügt es zumeist, wenn geichgroße Bogeneemente A si = A s verwendet werden, der Krümmungsradius pi näherungsweise in der Mitte des Intervaes aus 1 Ax'_1 2,...) (1.7) berechnet und näherungsweise 41i: pi + 5 Ki As (1.8) gesetzt wird. Ä Bessere Ergebnisse erhät man durch xi = wi: %[K(xi...) + x(xi+axi_1 -n) As m [Ki+aK(xi,...)] (1.9).... mit einer reeen Zah < a = atopt Q 2 bei zweimahger Ax-, Ay Bestimmung im Sinne eines Prädiktor-Korrektor Verfahrens. 2. Zusammenhang zwischen Biegemoment und Krümmungsänderung des Trägers Bei schanken Trägern ist für den Fa hinreichend keiner Krümmungsänderung in guter Näherung auch im pastischen Bereich die Bernouische Hypothese vom Ebenbeiben der Querschnitte Damit stet sich ein inearer Dehnungsverauf über den Querschnitt ein, und der Zusammenhang zwischen der Dehnung e und der Krümmungsänderung K autet e = Kz. r (2.1) Hierbei ist z eine von der neutraen Faser aus gemessene Koordinate in der Querschnittsfäche A. Ist weiter a = f (e) (2.2) das nichtineare Stoffgesetz im einachsigen Spannungszustand, so ergibt sich aus M = fo-sz = (u)sz ' (2.3) A A eine nichtineare Beziehung zwischen dem Biegemo ment M und der Krümmungsänderung K für monoton veränderiche M- bzw. K Werte. Im weiteren beziehen wir uns auf Träger mit Rechteckquerschnitt der Breite b sowie der Höhe h und wähen as Verknüpfung zwischen der Spannung a und der Dehnung e ein eastisch-pastisches Stoffgesetz mit inearer Verfestigung nach fogender Vorschrift E-e fiir 1e <es a = - (2.4) signe-ees+ %(Ie es)] für e >tss Unter Beachtung des inearen Dehnungsveraufes nach G1. (2.1) entsteht so ein stückweise inearer Spannungsverauf im Trägerquerschnitt. Wegen G. (2.4) ist hinsichtich der M Bestimmung mit Hife von G. (2.3) zu unterscheiden, ob man sich im eastischen oder im pastischen Bereich befindet. Die Bereichsgrenze wird durch den querschnitts- und materiaabhängigen Grenzwert des Momentes bhzas Megr =T (25) as Hierbei bezeichnet es = den Dehnungswert bei Errei- E chen der Streckgrenze OS, E den Eastizitätsmodu und p einen Verfestigungsparameter, der das Verhätnis des Kenninienanstieges im eastischen und im pastischen Bereich angibt. Wie erkennbar, entspricht p = 1 einem durchgehend eastischem Verhaten, während p -> eo auf das eastisch-pastische Stoffgesetz ohne Verfestigung führt. festgeegt, dem ein entsprechender Krümmungsgrenzwert 2 as zugeordnet ist. Im eastischen Bereich In I < Kaa, git dann M= - 12 K im pastischen Bereich Keg. < K dagegen h3 1 ashz 1 as 3 1 ~ M:. Eb {12p+[4 Ex 392x) 1 p)}' Diese Gn. werden unter Benutzung der abkürzenden Bezeichnungen m = M und k = " (2.7) Megr i Kegr in eine dimensionsose Schreibweise überführt. Es ergeben sich in dem durch ki < festgeegten eastischen Bereich m = k (2.8) und in dem durch k > 1 festgeegten pastischen Bereich _k m-;+-2 ( ;)(3 :). (2-9) 11

3 Bid2 m m k Charakteristik 2 fü- verschiedene p-wette p 5 pio -2o p»; 1.. o ' i i 2'.i 4' I: Von G. (2.9) assen sich zwei Sonderfäe angeben: Liegt = F. keine Verfestigung vor, ergibt sich mit p -> eo m Mehr (x ma. y com) _ ma (3 2) m 2 2 k2, (2.10) g 3. = an eben. und für große k geht G. (2.9) näherungsweise über in k 3 mz + p 2< p). < 2.11> Bid 2 zeigt den funktionaen Zusammenhang zwischen m und k für verschiedene p-werte. 3. Bestimmung der Biegeinie Wir betrachten nun einen eingespannten schanken Träger der Länge i gemäß Bid 3, dessen Krümmung im unverformten Zustand as Funktion K = K (s) vorgegeben ist, und der durch eine richtungstreue Kraft F am Ende beastet sein möge. Bei bekanntem Einspannmoment MA äßt sich das Biegemoment M fiir jeden Punkt der Trägerachse in der Form M = F(x sina ycosa) MA (3.1) oder in dimensionsoser Schreibweise Durch Einsetzen des Ausdruckes (3.2) in die Gn. (2.8) bzw. (2.9) und Aufösen nach k pastischen Bereich numerisch) ist damit die Krümmungsänderung fiir jeden Punkt der Trägerschse berechenbar. Die Gesamtkrüm mung der Biegeinie ergibt sich dann as Summe der di mensionsos gemachten Anfangskrümmung und der Krümmungsänderung k. Nunmehr kann die unter Abschnitt. beschrieben Näherung durch Kreisbogen zum Einsatz kommen. in der Rege führt jedoch die Aufgabensteung (insbesondere bei großen Verformungen) auf die Lösung eines Bandwertprobemes mit einer zunächst noch unbekannten Größe bei s = 0 und einer im Veraufe der Lösung zu befriedigenden Bedingung am Trägerende. Im Fae des Trägers nach Bid 3 beispiesweise ist das Einspannmoment MA bei gegebener Kraft F von der Verschiebung des Kraftangn'ffspunktes abhängig und muß so bestimmt werden, daß fiir s = die Bedingung M() = F(xsina ycosa) MA = 0 (3.3) erfüt wird, wobei die Größen x1, y1 as Koordinaten des Endpunktes von der Wah des Wertes MA sebst abhänf gen. Eine zweite Mögichkeit besteht darin, die Krümmung des verformten Trägers an der Einspannstee (und damit über die Krümmungsänderung das Einspannmoment MA) vorzugehen, und dann die zugehörige Kraft F so zu bestimmen, daß G. (3.4) befriedigt wird. In beiden Fäen kann die praktische Lösung des Probems auf iterativem Wege (z. B. nach dem Schießverfahren [2]) erfogen, indem zunächst ein Näherungswert für die gesuchte Größe vorgegeben und dann unter Berücksichtigung der Bedingung (3.4) verbessert wird. Bid 3 vorgekrümmter Kragträger Beispie Vierteftreisträger Die Untersuchung eines diametra durch 2F gezogenen Kreisringes mit dem mitteren Radius ro fiihrt bei Ausnutzung aer Symmetrieeigenschaften auf den in Bid 4

4 und mit Hife der Gn. (2.8) bzw. (2.9) die bezogenen Momente m1 und m2 berechnet werden. Aus der Geichgewichtsbedingung an dem zu einem Korbbogen ver formten Viertekreis (Bid 5) erhaten wir Fro 1 a m m - (~ ~ = Mehr q,0) ( ) ä. und damit Fr _ M =wrmmmwfiob egr '0 an es Symmetrietei des gemgenen Kreisringes gezeigten eingespannten Viertekreis mit der Einzekraft F und behinderter Drehung des Querschnittes am Ende Näherung durch Korbbogen Ein auf Zug beasteter Kreisring geht im Veraufe des Beastungsvorganges in eine ovae Form über, die auch beim Erreichen des pastischen Bereiches zunächst noch zutrifft. Im fogenden wird diese Form durch ein Mode aus je zwei Kreisbogen as Korbbogenring mit einem im Veraufe der Krafterhöhung veränderichen Achsenverhätnis q = 3 aber konstant beibendem Umfang 211'ro angenähert (Bid 5). Aus der geometrischen Anayse ergeben sich dann fogende Ausdrücke für die bezogenen Kreisradien: _1 = j. Q0 {1431] (4.1) to (1 0 ' E = a. Qo[1+Q1] (4.2.) 1'0 EO mit 2 Qo (T Hq)2 4g 01 _ 1_ ( (1)4 16s (4.3) x und weiterhin f Q ={ 1+0} +%{%( Q) (1+Q) 0 arctan {Qo (1 +091} - 1 (4.4) Hiermit können nun die dimensionsosen Krümmungsänderungen gemäß 'o k = 1 1 r0 Kegr (1,t ) e 1(34) (4.5) Die zugehörige reative Verschiebung des Kraftangriffspunktes autet A J." = 3. _ 1. (4.8) ro r0 Die numerische Auswertung erfogt mit q as Parameter ausgehend von G. (4.4). F1 c Bid 5 Symmetrietei des gezogenen Korbbogenringes 2. Anwendung des Einschrittverfahrens Gemäß dem in Absehnitt 3. beschriebenen numerischen Verfahren wurde der Viertekreis in ca Bogenstücke eingeteit. Die Beastung erfogte inkremente von Nu beginnend mit keinen AF-Zuwiichsen und iterativer Bestimmung des zugehörigen A M A-Wertes. Dabei mufste jetzt anstee von G. (3.4) die Bedingung. Awe z (pr; = 0 (4.9) erfüt werden. In Anwendung des Schießverfahrens wurden zwei Testrechnungen mit dem zuetzt gewonnenen MA-Wert und den um das zugehörige AMA erhöhten Wert durchgeführt. Mit Hife der entsprechenden Größen Acpe gemäß G. (4.9) wurde dann ein Korrekturbetrsg für den MA-Wert berechnet. Diese Prozedur wurde soange fortgesetzt, bis G. (4.9) mit hinreichender Genauigkeit erfiit war. 13

5 i h Für 15. roach- 015 numorisd' (53-120) ape-imam KathogeMp-m) + 1,5... _..._.. I q g. am 1 an a: A: 'i Bid 6 Kraft-Verschiebungs-Keminie des gezogenen Kreisringes 4.3. Vergeich mit experimenteen Ergebnissen Mittes der in den Abschnitten 4.1. und 4.2. beschriebenen Verfahren wurde die Kenninie eines Ringes aus hochegiertem Stah, dessen Verfestigungsparameter p z 120 betrug, berechnet und mit experimente gewonnenen Werten vergichen. Bid 6 zeigt die entsprechenden Ergebnisse. Das Korbbogenmode weist eine zu tief iegende Kenninie auf. Da die Momente an den Enden der jeweiigen Kreisbogen eingesetzt wurden, ist das. ent sprechende Mode genere etwas zu weich. LITERATUR [1] Wiers, F. A.: Methoden der praktischen Amysis. de Gruyter, Berin New York [2] Kiesewetter, Maas: Eementare Methoden der numerischen Mathematik. Akademie-Verag Berin [3] Recking, K. A.: Pastizititstheorie und ihre Anwendung auf Festigkeitsprobeme. Springer-Verag Berin/Heideberg/New York v [4] Oeher, G.: Biegen. Car Hanser Verag München [5] Liebod, K.-P.: Dynamische Untersuchungen an pastisch verformbaren Stahringen. Dipomarbeit TH Kar-Marx- Stadt Anschrift der Verfasser Dr. rer. mt. Johannes Beyreuther Din-1m. Manfred Schumann Technische Hochschue Sektion Maschinen-Baueemente 9010 KarLMarx-Stadt PSF